2022-2023学年山东省青岛市崂山实验学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省青岛市崂山实验学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史.以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.某商场的货运电梯只限载货，严禁载人.根据如图所示的标识、货梯运送货物的质量m(kg)满足的不等关系是( )
A. m>1000B. m≥1000C. m=1000D. 0≤m<1000
3.下列从左到右的变形，是分解因式的是( )
A. (a+2)(a−2)=a2−4B. a2−a−2=a(a−1)−2
C. 2x+1=x(2+1x)D. 2a2−4a=2a(a−2)
4.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中( )
A. 有一个内角小于60°B. 有一个内角大于60°
C. 每一个内角都小于60°D. 每一个内角都大于60°
5.在平面直角坐标系中，点A(−3,−4)平移后与原来的位置关于x轴对称，则应把点A( )
A. 向左平移6个单位B. 向右平移6个单位C. 向下平移8个单位D. 向上平移8个单位
6.将不等式x−2<1与4x≥−8的解集表示在同一数轴上正确的是( )
A. B.
C. D.
7.一次智力测验，有20道选择题．评分标准是：对1题给5分，答错或没答每1题扣2分．小明至少答对几道题，总分才不会低于60分．则小明至少答对的题数是( )
A. 12道B. 13道C. 14道D. 15道
8.如图，在△ABC中，将边AB，AC分别绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，AE，连接DE，与BC交于点F，连接AF，CD，BE，BD，CE.下列结论：①BC=DE；②BC⊥DE；③AF平分∠BFE；④BE2+CD2=BD2+CE2.其中正确结论的个数为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.在△ABC中，∠A=60°，若使△ABC为等边三角形，请你再添一个条件：______．
10.当011.一次函数y=kx+b的图象与x轴相交于点(−3,0)，与y轴相交于点(0,−4)，则不等式kx+b>0的解集为______．
12.若△ABC三边长a，b，c满足a2c2−b2c2=a4−b4，则△ABC的形状为______．
13.如图，已知∠AOB=60°，点P在OA上，OP=8，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM= ______．
14.如图①为Rt△AOB，∠AOB=90°，其中OA=3，OB=4.将AOB沿x轴依次以A，B，O为旋转中心顺时针旋转．分别得图②，图③，…，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是______．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题4分)
在正方形网格图中，若每个小正方形的边长是1，△A1B1C1与△ABC关于点O对称．
(1)画出△A1B1C1；
(2)P在直线CO上，求PA+PB的最小值______．
16.(本小题4分)
如图，已知△ABC，AC>AB，∠C=45°.请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC=45°.(保留作图痕迹．不写作法)
17.(本小题8分)
因式分解：
(1)x2y+16y+8xy；
(2)a2(a−b)+b2(b−a)．
18.(本小题6分)
解不等式组3x+2<4(x+1)x−63≥x−32−1，并写出它的所有整数解．
19.(本小题6分)
如图，一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形(a>b)，用这六块图形拼成一个大长方形，画出图形并由此写出一个多项式的因式分解．
20.(本小题6分)
已知，如图，∠A=∠D=90°，AB=CD，点E、F在BC上，且BE=CF．
(1)求证：AF=ED；
(2)若OM平分∠EOF，请直接写出OM与EF的位置关系：______．
21.(本小题10分)
某商店准备购进一批冰箱和空调，每台冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城购进6台冰箱和10台空调刚好花费28000元．
(1)求每台冰箱与空调的进价分别是多少？
(2)已知冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，现商城准备购进这两种家电共100台，要求购进空调数量不超过冰箱数量的3倍，则该商店购进冰箱、空调各多少台才能获得最大利润？最大利润为多少？
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
(1)求证：∠PDE=90°；
(2)若AC=6，BC=8，PA=2，求线段DE的长．
23.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A(−2,9)，且与x轴相交点B，与y轴交于点D，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
(1)不等式kx+b−3x<0的解集是______；
(2)求一次函数的函数解析式；
(3)M为直线AB上一点，过点M作y轴的平行线交y=3x于点N，当MN=2OD时，求点M的坐标．
24.(本小题12分)
如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，点D从点O出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，设运动时间为t s．

(1)△CDE是______三角形；
(2)当6(3)当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、B、E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，
∴C选项中的图形为中心对称图形，
故选：C．
根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形判断即可．
本题主要考查中心对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意得：0≤m<1000．
故选：D．
根据货运电梯限载1000kg，即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，找出m的取值范围是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.从左到右的变形是多项式乘法，不是分解因式，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
C.等式的右边不是整式的积的形式，即从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
D.从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
故选：D．
根据分解因式的定义逐个判断即可．
本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．
4.【答案】C
【解析】解：反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中每一个内角都小于60°，
故选：C．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5.【答案】D
【解析】解：∵点A(−3,−4)平移后能与原来的位置关于x轴对称，
∴平移后的坐标为(−3,4)，
∵纵坐标增大，
∴点是向上平移得到，平移距离为|4−(−4)|=8，
故选：D．
关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，根据平移前后对应点的坐标进行计算即可．
此题主要考查坐标平移的性质，熟练掌握，即可解题．
6.【答案】A
【解析】解：由x−2<1，得：x<3，
由4x≥−8，得：x≥−2，
表示在数轴上如下：
故选：A．
分别求出每一个不等式的解集可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：设小明至少答对的题数是x道，
5x−2(20−x)≥60，
x≥1427，
故应为15．
故选：D．
设小明至少答对的题数是x道，答错的为(20−x)道，根据总分才不会低于60分，这个不等量关系可列出不等式求解．
本题考查一元一次不等式的应用．首先要明确题意，找到关键描述语即可解出所求的解．
8.【答案】A
【解析】解：过A作AM⊥DE于M，AH⊥BC于H，设AC交DE于G，如图：
∵将边AB，AC分别绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，AE，
∴∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴△BAC≌△DAE(SAS)，
∴BC=DE，故①正确；
∠BCA=∠DEA，
∵∠CGF=∠EGA，
∴∠CFG=∠EAG=90°，
∴BC⊥DE，故②正确；
∵△BAC≌△DAE，AM⊥DE，AH⊥BC，
∴AM=AH，
∴AF平分∠BFE，故③正确；
∵BC⊥DE，
∴BE2+CD2=BF2+EF2+CF2+DF2，BD2+CE2=BF2+DF2+EF2+CF2，
∴BE2+CD2=BD2+CE2，故④正确；
∴正确的有①②③④，共4个，
故选：A．
过A作AM⊥DE于M，AH⊥BC于H，设AC交DE于G，根据将边AB，AC分别绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，AE，可证△BAC≌△DAE(SAS)，得BC=DE，判断①正确；且有∠BCA=∠DEA，而∠CGF=∠EGA，即得∠CFG=∠EAG=90°，BC⊥DE，判断②正确；由△BAC≌△DAE，AM⊥DE，AH⊥BC，可得AM=AH，故AF平分∠BFE，判断③正确；BC⊥DE，根据勾股定理可判断④正确．
本题考查三角形中的旋转问题，涉及全等三角形的判定与旋转，解题的关键是证明△BAC≌△DAE．
9.【答案】AB=AC
【解析】解：添加AB=AC；
∵AB=AC
∴△ABC为等腰三角形
∵∠A=60°
∴△ABC为等边三角形．
故答案为：AB=AC．
欲证△ABC为等边三角形，已知∠A=60°，再添加两边相等即可．
考查了等边三角形的判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；根据判定方法添加条件是解答这类题目常用的方法，要熟练掌握．
10.【答案】x2【解析】解：0∵14<12<2，
∴x2故答案为：x2利用设特殊值的方法即可比较大小．
本题考查了有理数大小比较，掌握设特殊值的方法是解答本题的关键．
11.【答案】x<−3
【解析】解：∵一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点(−3,0)，与y轴交于点(0,−4)，
∴y随x的增大而减小，且x=−3时，y=0，
当x<−3时，y>0，即kx+b>0，
∴不等式kx+b>0的解集为x<−3．
故答案为：x<−3．
根据一次函数的性质得出y随x的增大而减小，当x<−3时，y>0，即可求出答案．
本题主要考查一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
12.【答案】等腰三角形或直角三角形
【解析】解：∵a2c2−b2c2=a4−b4，
∴(a4−b4)−(a2c2−b2c2)=0，
∴(a2+b2)(a2−b2)−c2(a2−b2)=0，
∴(a2−b2)(a2+b2−c2)=0，
∴a2−b2=0或a2+b2−c2=0，
当a2−b2=0时，a=b，△ABC是等腰三角形，
当a2+b2−c2=0时，a2+b2=c2，△ABC是直角三角形，
∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．
故答案为：等腰三角形或直角三角形．
首先根据平方差公式将a2c2−b2c2=a4−b4变形，然后根据三角形分类的方法，判断出△ABC的形状即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，以及因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式．
13.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了含30度角的直角三角形，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
过P作PC垂直于MN，由等腰三角形三线合一性质得到MC=NC，求出MC的长，在直角三角形OPC中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出OC的长，由OC−MC求出OM的长即可．
【解答】
解：如图，过P作PC⊥MN，
∵PM=PN，MN=2，
∴MC=NC=12MN=1，
在Rt△OPC中，∠POC=60°，
∴∠OPC=30°，
∴OC=12OP=4，
则OM=OC−MC=4−1=3，
故答案为：3．
14.【答案】(36,0)
【解析】【分析】
本题考查了坐标与图形的变化−旋转，仔细观图形，判断出旋转规律“每3个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合”是解题的关键，根据勾股定理列式求出AB的长度，然后根据图形不难发现，每3个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合，所以，第10个图形的直角顶点与第9个图形的直角顶点重合，然后求解即可．
【解答】解：∵∠AOB=90°，OA=3，OB=4，
∴AB= OA2+OB2= 32+42=5，
根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4=12，
所以，图⑨的直角顶点在x轴上，横坐标为12×3=36，
所以，图⑨的顶点坐标为(36,0)，
又∵图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合，
∴图⑩的直角顶点的坐标为(36,0)．
故答案为：(36,0)．
15.【答案】 29
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，连接A1B，交直线CO于点P，连接AP，
此时PA+PB=PA1+PB=A1B，为最小值．
由勾股定理得，A1B= 52+22= 29，
∴PA+PB的最小值为 29．
故答案为： 29．
(1)根据中心对称的性质作图即可．
(2)连接A1B，交直线CO于点P，此时PA+PB取得最小值，最小值为A1B的长，利用勾股定理计算即可．
本题考查中心对称、轴对称−最短路线问题，熟练掌握中心对称的性质、轴对称的性质是解答本题的关键．
16.【答案】解：如图，∠PBC即为所求．

【解析】根据作一个角等于已知角的作图步骤作图即可．
本题考查作图−复杂作图，熟练掌握作一个角等于已知角的作图步骤作图即可．
17.【答案】解：(1)原式=y(x2+8x+16)
=y(x+4)2；
(2)原式=a2(a−b)−b2(a−b)
=(a−b)(a2−b2)
=(a−b)(a−b)(a+b)
=(a−b)2(a+b)．
【解析】(1)提公因式后利用完全平方公式因式分解即可；
(2)将原式变形，提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
18.【答案】解：3x+2<4(x+1)①x−63≥x−32−1②，
解不等式①得：x>−2，
解不等式②得：x≤3，
则不等式组的解集为−2故不等式组的整数解为−1，0，1，2，3．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：拼图如图：
．
∵从组成看，大长方形的面积由a2，ab，ab，ab，b2，b2组成，大长方形的面积可表示为：a2+3ab+2b2；
从整体看，大长方形的边长分别为：a+2b和a+b，大长方形的面积可表示为：(a+2b)(a+b)．
∴a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)．
【解析】把这六块图形拼成一个大长方形，观察大长方形的边长分别是多少．根据大长方形的面积从组成及整体看可得这个多项式的因式分解．
本题考查因式分解的应用．动手把六块图形拼成一个大长方形是解决本题的关键．
20.【答案】OM⊥EF
【解析】(1)证明：∵BE=CF，
∴BF=CE，
在Rt△ABF与Rt△DCE中，
BF=CEAB=CD，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)，
∴AF=ED；
(2)解：OM⊥EF，理由如下：
∵Rt△ABF≌Rt△DCE，
∴∠OEF=∠OFE，
∴OE=OF，
又∵OM平分∠EOF，
∴OM⊥EF．
故答案为：OM⊥EF．
(1)根据HL证明Rt△ABF≌Rt△DCE即可推出结论；
(2)根据全等三角形的性质推出三角形OEF是等腰三角形即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，证明Rt△ABF≌Rt△DCE是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设每台冰箱的进价为x元，每台空调的进价为(x−400)元，
由题意得，6x+10(x−400)=28000，
解得x=2000，
x−400=1600，
答：每台电冰箱进价为2000元，每台空调进价为1600元；
(2)设购进冰箱a台，利润为y元，由题意可得，
y=(2100−2000)a+(1750−1600)×(100−a)=−50a+15000，
∵购进空调数量不超过冰箱数量的3倍，
∴100−a≤3a，解得a≥25，
∵a为正整数，y=−50a+15000，−50<0，
∴y随a的增大而减小，
∴当a=25时，y取得最大值，
此时y=−50×25+15000=13750(元)，100−a=75，
答：当购进冰箱25台，空调75台获利最大，最大利润为13750元．
【解析】(1)设每台冰箱的进价为x元，每台空调的进价为(x−400)元，由题意得6x+10(x−400)=28000，解方程可得答案；
(2)设购进冰箱a台，利润为y元，则y=−50a+15000，再根据一次函数的性质可得最大利润．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意列出一次函数的关系式．
22.【答案】(1)证明：∵PD=PA，
∴∠A=∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠PDA+∠EDB=90°，
∴∠PDE=180°−90°=90°，
∴DE⊥DP；
(2)解：连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8−x，
∵∠C=∠PDE=90°，
∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2，
∴42+(8−x)2=22+x2，
解得x=4.75，
∴DE=4.75．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A=∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED，于是得到结论；
(2)连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8−x，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．
23.【答案】x>1
【解析】解：(1)由图象可得x>1时，直线y=kx+b落在直线y=3x下方，即kx+b<3x，
∴kx+b−3x<0的解集为x>1．
故答案为：x>1；
(2)把x=1代入y=3x，得y=3，
点C坐标为(1,3)，
把(1,3)，(−2,9)代入y=kx+b，
得k+b=3−2k+b=9，
解得：k=−2b=5，
∴一次函数的函数解析式为y=−2x+5；
(3)设M(m,−2m+5)，则N(m,3m)，
∴MN=|3m−(−2m+5)|=|5m−5|，
在y=−2x+5中，令x=0，得y=5，
∴D(0,5)，
∴OD=5，
∵MN=2OD，
∴|5m−5|=5×2，
解得：m=3或−1，
∴点M的坐标为(3,−1)或(−1,7)．
(1)根据函数图象，写出直线y=kx+b落在直线y=3x上方所对应的自变量的范围即可；
(2)先确定C点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
(3)设M(m,−2m+5)，则N(m,3m)，可得MN=|3m−(−2m+5)|=|5m−5|，由MN=2OD，建立方程求解即可得出答案．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于3x的自变量x的取值范围；也考查了待定系数法求一次函数解析式．
24.【答案】等边
【解析】解：(1)∵△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∴△CDE是等边三角形，
故答案为：等边；
(2)如图1，
在BC上截取BF=BE，
∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，∠CD=CE，∠CAB=∠ABC=∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠CAD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CBE=∠CAB=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴EF=BE，∠EFB=∠FEB=60°，
∴∠CFE=∠DBE=120°，∠CED=∠FEB=60°，
∴∠CEF=∠BED，
∴△CEF≌△DBE(ASA)，
∴BD=CF，
∴BD+BE+DE=CF+BF+DE=BC+DE=4+DE，
∵DE=CD，
∴当CD⊥AB时，CD最小= 32AC=2 3，
此时OD=6+2=8，即：t=8秒，△BDE的最小周长为4+2 3；
(3)如图2，
当∠DEB=90°时，
∵∠CED=90°，
∴∠CDA=∠CEB=90°−∠CED=30°，
∴∠DCA=∠CAB−∠DCA=60°−30°=30°，
∴∠CDA=∠ACD，
∴AD=AC=4，
∴OD=OA−AD=2，
∴t=2秒，
如图3，
当∠BDE=90°时，
∵∠CDE=60°，
∴∠ADC=180°−60°−90°=30°，
同理可得BD=CB=4，
∴OD=OB+BD=14，
∴t=14秒，
综上所需：t=2秒或14秒．
(1)可得出CD=CE，∠DCE=60°，从而得出△CDE是等边三角形；
(2)在BC上截取BF=BE，可证得△CEF≌△DBE(ASA)，从而BD=CF，从而得出BD+BE+DE=CF+BF+DE=BC+DE=4+DE，故当CD⊥AB时，CD最小= 32AC=2 3，进一步得出结果；
(3)当∠DEB=90°时，可推出∠CDA=∠ACD，从而AD=AC=4，进一步得出结果；当∠BDE=90°时，同理可得BD=CB=4，进一步得出结果．
本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．