福建省福州市台江区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份福建省福州市台江区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列式子是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．一个多边形的内角和与外角和相等，这个多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列式子从左到右变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（ ）
A．1B．C．2D．4
7．如图，，下列条件①；②；③；④中，若只添加一个条件就可以证明，则所有正确条件的序号是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．②③④
8．如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成1个大正方形图案，该大正方形图案的面积为64，小正方形的面积为4，若分别用，（）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；连接，，，过点作于点于点，则以下结论错误的是（ ）
A．是等边三角形B．
C．D．
10．如图，中，，，的平分线与相交于点，连接．若的面积为，则的面积为（ ）
A．1.5B．3C．D．6
二、填空题
11．若式子有意义，则的取值范围是 ．
12．点关于轴的对称点的坐标是 ．
13．已知等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为 ．
14．将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中，，，四点在同一直线上，点在上，则图中的度数是 ．

15．若，则的结果是 ．
16．如图，点M在等边的边上，，射线垂足为点C，点P是射线上一动点，点N是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．解下列分式方程
(1)＝ ； (2) .
19．先化简再求值：，其中．
20．如图，，，，求证：．
21．如图，，O为内部的一点，连接．
(1)作线段关于直线对称的线段，分别是；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)求证：M，C，N三点在同一条直线上．
22．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．
(1)设乙队单独施工1个月能完成总工程的，两队半个月完成总工程的____________（用含x的式子表示）．
(2)哪个队的施工速度快？
23．我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：
；
；
(1)请根据以上信息，任写一个真分式；
(2)将分式化为整式与真分式的和的形式；
(3)如果分式的值为整数，求的整数值．
24．阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
(1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：；
(2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，cm，cm，求的长；
(3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，为等腰直角三角形，，，求B点坐标．
25．综合与实践：
已知：等边．
(1)如图1，D为线段上一点，，交于点E．可知为______三角形．
(2)D为线段上一点，F为线段延长线上一点，且．
①当点D为的中点时，如图2，猜想线段与的数量关系为______．
②当D为上任意一点，其余条件不变，如图3，猜想线段与的数量关系？并说明理由．
③在等边三角形中，点D在直线上，点F在直线上，且．若的边长为2，，求的长为______．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查轴对称图形的定义，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形．
根据轴对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】A选项是轴对称图形，所以A选项不符合题意；
B选项是轴对称图形，所以B选项不符合题意；
C选项是轴对称图形，所以C选项不符合题意；
D选项不是轴对称图形，所以D选项符合题意．
故选D．
2．A
【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．是最简二次根式，故此选项符合题意；
B． 不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列式进行计算是解题的关键．
【详解】解：设多边形的边数为，根据题意得
，
解得：．
所以这个多边形是四边形．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了幂的相关运算以及完全平方公式，涉及了同底数幂的乘除法、积的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故选：C．
5．B
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的整式，分式的值不变，进行判断即可．
【详解】解：A. ，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的整式，不可以分子除以m、分母除以n，故此选项不合题意；
B. ，此选项正确，符合题意；
C. ，故此选项不合题意；
D. ，故此选项不合题意；
故选：B．．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质
6．C
【分析】直接利用三角形面积公式求得，再根据中线的性质即可求解．
【详解】解：∵，，即，
∴
∵是中线，即点是的中点，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形面积和中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式求得．
7．C
【分析】利用三角形全等的判定条件判定即可．
【详解】解：已知，
加上①，可用“”来判定．
加上②，可用“”来判定．
加上③，可用“”来判定
加上④不能判定
故选C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件，熟练掌握是解题的关键．
8．D
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式及图形的特点找到长度与面积的关系即可依次判断，利用数形结合分析问题是解题的关键．
【详解】、由图可知大正方形图案的面积为，边长为，
∴，故A正确，不符合题意；
、由图可知中间小正方形的边长为，面积为4，则，即 ，故B正确，不符合题意；
、∵，，、b为正数且，
∴，，
∴，故C正确，不符合题意；
、由和，可得：
，故D错误，符合题意．
故选：D．
9．D
【分析】利用等边三角形的判定定理可判定选项A；根据角平分线的性质可判定选项B；利用HL可证明；利用等边三角形的性质结合三角形面积可判定选项D．
【详解】解：A．∵，，
∴是等边三角形，故选项A成立，不符合题意；
B．由作图知：射线是的平分线，且，，
∴，故选项B成立，不符合题意；
C．由作图知：，又，
∴(HL) ，故选项C成立，不符合题意；
D．设与交于点G，由题意可得，但无法证明，
∴无法确定，故选项D不成立，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图、全等三角形的判定、菱形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
10．C
【分析】本题考查等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”是解答本题的关键．根据等腰三角形三线合一的性质即可得出，即得出和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形，即可推出，即可求出答案．
【详解】解：∵是的角平分线，
∴，
∴和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形，
∴，
∵，，
∴．
故选：C．
11．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键．
根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列出不等式，求出答案．
【详解】解：根据题意得：
式子有意义，
，
解得：，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．
【详解】解：∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数
∴点关于x轴的对称点的坐标是
故答案为：．
13．17
【分析】根据等腰三角形的性质分情况讨论底边长和腰长分别是多少，再求出周长．
【详解】解：若3是底边长，7是腰长，则等腰三角形的周长为，
若7是底边长，3是腰长，则等腰三角形三边长为3，3，7，
∵不能构成等腰三角形，
∴此种情况不存在，
∴等腰三角形的周长为17．
故答案是：17．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，在讨论底边长和腰长时需要注意三边长要满足构成三角形的条件．
14．/15度
【分析】本题考查了三角板中的角度计算，根据题意得，是解题关键．
【详解】解：由题意得：，
∴
∴
故答案为：
15．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则将原式变形得出答案．
【详解】∵3x+y+3=0，∴3x+y=﹣3，∴=23x•2y=23x+y=2﹣3．
故答案为．
【点睛】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题的关键．
16．11
【分析】根据等边三角形的性质得到，，作点M关于的对称点G，作，交于点P，可推出当时，的值最小，的值最小，根据直角三角形的性质得到，求得，据此即可求解．
【详解】是等边三角形，
，，
作点M关于直线的对称点G，过G作于N，交于P，
则此时，的值最小，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的加减混合运算，整式的混合运算，掌握二次根式的性质，同底数幂的乘法和积的乘方运算法则是解题关键．
（1）化简二次根式，然后合并同类二次根式；
（2）先算乘方，乘法，然后再算加法．
【详解】（1）解：
＝
＝；
（2）解：
＝
＝
＝．
18．(1) x=9；（2）无解
【分析】（1）方程两边同乘以最简公分母x（x-3），把分式方程转化为整式方程进行求解，然后把x的值代入到最简公分母进行检验，确定原方程的解；
（2）先把方程两边同时乘以（x+1）（x-1），求出x的值，代入最简公分母进行检验即可．
【详解】（1）方程两边同乘以最简公分母x（x-3）得：2x=3x-9，
整理的：x=9；
检验：当x=9时，x（x-2）=3×1=3≠0，
所以，x=9是原方程的解；
（2）方程两边同时乘以（x+1）（x-1）得，（x+1）2-4=x2-1，解得x=1，
检验：当x=1时，（x+1）（x-1）=（1+1）（1-1）=0，
故x=1是原分式方程的增根，原分式方程无解．
【点睛】本题考查的是解分式方程，在解答此类问题时要注意验根．
19．，
【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算，掌握分式和二次根式运算的运算法则是解题关键．先算括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．
【详解】解：
＝
＝
＝
＝，
当时，
原式＝
20．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明．
利用证明，即可推出．
【详解】解：，
，即，
∵，
∴
在和中，，
，
．
21．(1)图见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据要求作出图形，
（2）证明即可，
本题考查轴对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
【详解】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵关于对称，
，
∵关于对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴共线．
22．(1)
(2)乙队的施工速度快
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，列代数式，正确理解题意列出对应的代数式和方程是解题的关键．
（1）设乙队单独施工1个月能完成总工程的，根据工作总量工作效率工作时间分别求出两队半个月的工作量，然后求和即可得到答案；
（2）根据（1）所求，结合题意可建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的，
∴乙半个月完成总工程的，
∵甲队单独施工1个月完成总工程的，
∴甲半个月完成总工程的，
∴两队半个月完成总工程的，
故答案为：；
（2）解：由（1）得，
解得，
经检验是原方程的解
∴乙队单独施工1个月能完成总工程，
∴乙队的施工速度快．
23．(1)（答案不唯一）
(2)
(3)或或或
【分析】（1）根据定义即可求出答案；
（2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可；
（3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值．
本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算．
【详解】（1）解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”
∴分式是真分式，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：
；
（3）解：
=
∵分式的值为整数，x为整数，
∴或，
解得或或或，
∴当或或或时，分式的值为整数．
【点睛】
24．(1)见解析
(2)0.8cm
(3)B点坐标为（4，1）
【分析】（1）证，再由证即可；
（2）证，得，，即可解决问题；
（3）过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作cm，于点E，过B作于点F，交x轴于点H，证，得，，则，，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴cm，，
∴(cm)，
即的长为0.8cm；
（3）解：如图3，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作于点E，过B作于点F，交x轴于点H，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴A，
∴，
∴B点坐标为（4，1）．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
25．(1)等边
(2)①；②，理由见解析；③5或1
【分析】（1）利用平行线的性质、等边三角形的性质证明的三个角均为60度，可得为等边三角形；
（2）①根据等腰三角形的性质可得，，再根据是的外角，可得，进而推出，结合可得；②在上截取，连接，可得，通过证明，可得，等量代换可得；③分“点D在线段的延长线上”和“点D在线段的延长线上”两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
故答案为：等边；
（2）解：①，理由如下：
∵，点D是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
②，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角，是的外角，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
③∵的边长为2，，
∴点D在线段的延长线上或线段的延长线上，
若点D在线段的延长线上，在上截取，如图：
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
若点D在线段的延长线上，作，交直线于点E，如图：
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上所述，的长是5或1．
故答案为：5或1．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的定义和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是合理添加辅助线，第3问注意分情况讨论．