2023-2024学年福建省福州市台江区鳌峰学校八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州市台江区鳌峰学校八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，△ABC≌△ADE，∠B=25°，∠E=105°，∠EAB=20°，则∠BAD的度数为( )
A. 70°
B. 110°
C. 80°
D. 130°
3.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的( )
A. 三条高线的交点
B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条角平分线的交点
D. 三条中线的交点
4.已知D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=EF，FC/​/AB，若BD=2，CF=5，则AB的长为( )
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7
5.如图是用直尺和圆规作角平分线的示意图，通过证明△DOP≌△EOP可以说明OC是∠AOB的角平分线，那么△DOP≌△EOP的依据是( )
A. SSSB. SASC. ASAD. AAS
6.如图，点B、E、C、F在同一直线上，∠ACB=∠F，添加下列条件仍不能判定△ABC与△DEF全等的是( )
A. ∠A=∠D，AB=DEB. AC=DF，CF=BE
C. AB=DE，AB//DED. ∠A=∠D，∠B=∠DEF
7.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC、BC分别相交于E和D，连接AD，若AE=3cm，△ABC的周长为13cm，则△ABD的周长是( )
A. 7cm
B. 10cm
C. 16cm
D. 19cm
8.若点A(a−2,3)和点B(−1,b+5)关于x轴对称，则点C(a,b)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.如果等腰三角形的一个角等于40°，则它的底角等于______．
10.在△ABC中，AB=AC，若已知一边长为5cm，另一边长为4cm，则△ABC的周长为______．
11.如图，若∠α=29°，根据尺规作图的痕迹，则∠AOB的度数为______．
12.如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC交BC边于点D，若BC=18cm，则点D到斜边AB的距离为______．
13.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的底角为______．
14.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为______．
三、解答题：本题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=EF，AE=CE，求证：AB//CF．
16.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC．
(1)请用尺规作图在AC边上找点D，连接BD，使得BD+DC=AB；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)若∠A=50°，求∠DBC的度数．
17.(本小题8分)
在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A(−5,2)，B(−3,1)，C(−1,5)，请按要求解答下列问题：
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标为(______，______)；
(2)平行于y轴的直线l经过(1,0)，画出△ABC关于直线l对称的图形△A2B2C2，并直接写出A2(______，______)，B2(______，______)，C2(______，______)；
(3)仅用无刻度直尺作出△ABC的角平分线BD，保留画图痕迹(不写画法)．
18.(本小题8分)
自主学习，学以致用
先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至E，使DE=AD.在△ABD和△ECD中，AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，所以，△ABD≌△ECD(SAS)，进一步可得到AB=CE，AB//CE等结论．
在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．
解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．
19.(本小题8分)
如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，连接AD、BE，且AD、BE相交于点P，∠AEB=∠CDA．
(1)求∠BPD的度数．
(2)过点B作BQ⊥AD于Q，若PQ=3，PE=1，求BE的长．
20.(本小题10分)
如图，已知A(a,b)，AB⊥y轴于B，且满足 a−2+(b−2)2=0，

(1)求A点坐标；
(2)分别以AB，AO为边作等边三角形△ABC和△AOD，如图1试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系．
(3)如图2过A作AE⊥x轴于E，F，G分别为线段OE，AE上的两个动点，满足∠FBG=45°，试探究OF+AGFG的值是否发生变化？如果不变，请说明理由并求其值；如果变化，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠D=∠B=25°，
∵∠E=105°，
∴∠EAD=180°−105°−25°=50°，
∵∠EAB=20°，
∴∠BAD=∠EAB+∠EAD=50°+20°=70°，
故选：A．
首先根据全等三角形的性质可得∠D=∠B=25°，再根据三角形内角和定理可得∠EAD的度数，进而得到答案．
此题主要考查了全等三角形的性质，以及三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解决问题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点上．
故选：B．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解答即可．
本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵FC/​/AB，
∴∠ADF=∠F．
在△ADE和△CFE中，
∠ADE=∠FDE=EF∠AED=∠CEF,
∴△ADE≌△CFE(ASA)．
∴AD=CF=5．
又∵BD=2，
∴AB=AD+BD=5+2=7，
故选：D．
利用ASA证明△ADE≌△CFE，进而得出AD=CF=5，即可求出AB的长．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质；利用全等三角形来得出简单的线段相等是解此类题的常用方法．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是全等三角形的判定，要清楚作图时作出的线段OD与OE、PD与PE是相等的．熟练掌握三角形全等的判定条件是解答此题的关键．易知：OD=OE，PD=PE，OP=OP，因此符合SSS的条件，故选择A．
【分析】
解：由作图知：OD=OE、PD=PE、OP是公共边，即三边分别对应相等(SSS)，△DOP≌△EOP，
故选：A．
6.【答案】D
【解析】解：A：由∠ACB=∠F，∠A=∠D，AD=DE，根据AAS，得△ABC≌△DEF.那么，A不符合题意．
B：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+CE．
∴BC=EF．
又∵∠ACB=∠F，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)．
故B不符合题意．
C：∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF．
又∵∠ACB=∠F，AB=DE，
∴△ABC≌△DEF(AAS)．
故C不符合题意．
D：由∠A=∠D，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F无法推断出△ABC≌△DEF，故D不符合题意．
故选：D．
A：由∠ACB=∠F，∠A=∠D，BC=EF，得△ABC≌△DEF(AAS).那么，A不合题意．
B：由CF=BE，得BC=EF.又因为∠ACB=∠F，AC=DF，得△ABC≌△DEF(SAS).那么，B不符合题意．
C：由AB//DE，得∠B=∠DEF.又因为∠ACB=∠F，AB=DE，得△ABC≌△DEF.那么，C不符合题意．
D：由∠A=∠D，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F无法推断出△ABC≌△DEF.那么，D符合题意．
本题主要考查全等三角形的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴AE=CE=3，DA=DC，
∵△ABC的周长为13cm，
即AB+BC+AC=13，
∴AB+BD+DA+6=13，
即AB+BD+DA=7，
∴△ABD的周长为7cm．
故选：A．
利用基本作图得到MN垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质得到AE=CE=3，DA=DC，再利用三角形周长的定义和等线段代换得到AB+BD+DA的值即可．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段的垂直平分线的性质．
8.【答案】D
【解析】解：点A(a−2,3)和点B(−1,b+5)关于x轴对称，得
a−2=−1，b+5=−3．
解得a=1，b=−8．
则点C(a,b)在第四象限，
故选：D．
根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案．
本题考查了关于x轴对称的点的坐标，利用关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等得出a−2=−1，b+5=−3是解题关键．
9.【答案】70°或40°
【解析】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于40°，
①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是40°，
②设该等腰三角形的底角是x，
则2x+40°=180°，
解得x=70°，即该等腰三角形的底角的度数是70°．
故答案为：40°或70°．
根据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析可得答案．
本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．
10.【答案】14cm或13cm
【解析】解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
①若腰长为5cm，底边长为4cm，
∵5cm，5cm，4cm可以组成三角形，
∴此时△ABC的周长为14cm；
②若腰长为4cm，底边长为5cm，
∵5cm，4cm，4cm可以组成三角形，
∴此时△ABC的周长为13cm，
综上所述：△ABC的周长为14cm或13cm．
故答案为：14cm或13cm．
分腰长为5cm与腰长为4cm两种情况讨论即可求解．
本题考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
11.【答案】58°
【解析】解：由作法得∠AOB=2∠α=2×29°=58°．
故答案为：58°．
利用基本作图得到∠AOB=2∠α．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
12.【答案】6cm
【解析】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD=∠B=30°，DE=CD，
∴AD=BD，AD=2CD，
∵BC=18cm，
∴BD+CD=18cm，
∴3CD=18cm，
∴CD=6cm，
∴DE=6cm，
即点D到斜边AB的距离为6cm．
故答案为：6cm．
过点D作DE⊥AB于点E，根据∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC可得∠BAD=∠CAD=30°=∠B，则AD=BD，AD=2CD，所以3CD=18cm，求出CD=6cm解决问题．
本题考查了角平分线上的点到脚的两边距离相等的性质，点到直线的距离的定义，熟记性质是解题的关键．
13.【答案】70°或20°
【解析】解：①如图一，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB=90°，∠ABD=50°，
∴在直角△ABD中，∠A=90°−50°=40°，
∴∠C=∠ABC=180°−40°2=70°；
②如图二，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB=90°，∠ABD=50°，
∴在直角△ABD中，∠BAD=90°−50°=40°，
又∵∠BAD=∠ABC+∠C，∠ABC=∠C，
∴∠C=∠ABC=∠BAD2=40°2=20°．
故答案为：70°或20°．
根据题意，等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，分两种情况讨论，①如图一，当一腰上的高在三角形内部时，即∠ABD=50°时，②如图二，当一腰上的高在三角形外部时，即∠ABD=50°时，根据等腰三角形的性质，解答出即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质，知道等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，有两种情况，一种是高在三角形内部，另一种是高在三角形外部，读懂题意，是解答本题的关键．
14.【答案】8
【解析】解：连接AD交EF与点M′，连接AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，BC=4，
∴AD⊥BC，CD=BD=2，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=12，
解得AD=6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AM=CM．
∴CM+MD=MD+AM．
∴当点M位于点M′处时，MB+MD有最小值，最小值6．
∴△CDM的周长的最小值为CD+AD=2+6=8．
连接AD交EF与点M′，连接AM，由线段垂直平分线的性质可知AM=MC，则CM+DM=AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MC+DM有最小值，然后依据等腰三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
15.【答案】证明：∵DE=EF，AE=CE，∠AED=∠FEC，
∴△AED≌△FEC．
∴∠ADE=∠CFE．
∴AD/​/FC．
∵D是AB上一点，
∴AB/​/CF．
【解析】由已知条件，可证明△AED≌△FEC，则有∠ADE=∠CFE，AD/​/FC，又因为D是AB上一点，故AB//CF．
三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
16.【答案】解：(1)如图，作线段AB的垂直平分线，交AC于点D，连接BD，
则AD=BD，
∴BD+DC=AD+DC=AC=AB，
则点D即为所求．

(2)由(1)可知，AD=BD，
∴∠A=∠ABD=50°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=12(180°−∠A)=65°，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=65°−50°=15°．
【解析】(1)作线段AB的垂直平分线，交AC于点D，连接BD，则点D即为所求．
(2)由(1)可知，AD=BD，则∠A=∠ABD=50°.再由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C=65°，根据∠DBC=∠ABC−∠ABD可得答案．
本题考查作图—复杂作图、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
17.【答案】−5 2 8 2 6 1 4 5
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1为所作，A1(−5,2)；
故答案为−5，2；
(2)如图，△A2B2C2为所作，A2(8,2)，B2(6,1)，C2(4,5)；
故答案为8，2；6，1；4，5；
(3)如图，BD为所作．
(1)利用关于x轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)根据网格特点和对称的性质，分别作出A、B、C关于直线l的对称点A2、B2、C2，然后写出它们的坐标；
(3)把AB绕A点逆时针旋转90°得到AE，连接BE交AC于D．
本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
18.【答案】
证明：延长AD到G，使DF=DG，连接CG，
∵AD是中线，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDG中
BD=DC∠BDF=∠CDGDF=DG
∴△BDF≌△CDG，
∴BF=CG，∠BFD=∠G，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠AFE=∠G，
∵BF=CG，BF=AC，
∴CG=AC，
∴∠G=∠CAF，
∴∠AFE=∠CAF，
∴AE=EF．
【解析】延长AD到G，使DF=DG，连接CG，求出BD=DC，根据SAS推出△BDF≌△CDG，根据全等三角形的性质得出BF=CG，∠BFD=∠G，求出∠AFE=∠G，CG=AC，推出∠G=∠CAF，求出∠AFE=∠CAF即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
19.【答案】解：(1)由△ABC是等边三角形可得，
∠ABC=∠C=60°，
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD，∠AEB=∠C+∠EBC，∠AEB=∠CDA，
∴∠BAD=∠EBC，
∵∠BPD=∠ABE+∠BAD，
∴∠BPD=∠ABE+∠EBC=∠ABC=60°；
(2)∵BQ⊥AD于Q，
∴∠BQP=90°，
∵∠BPD=60°，
∴∠PBQ=90°−∠BPD=30°，
在Rt△BPQ中，
∵PQ=3，∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=6，
又∵PE=1，
∴BE=BP+PE=6+1=7．
【解析】(1)根据等边三角形的性质可得，∠ABC=∠C=60°，又根据∠AEB=∠CDA，进而求得∠EBC=∠BAD，即可得出答案；
(2)根据题意求得∠PBQ=30°，再根据直角三角形中30°的角的性质求出BP的长度，即可得出答案．
此题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)根据题意得：a−2=0且b−2=0，
解得：a=2，b=2，
则A的坐标是(2,2)；
(2)AC=CD，且AC⊥CD．
如图1，连接OC，CD，
∵A的坐标是(2,2)，
∴AB=OB=2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OBC=30°，OB=BC，
∴∠BOC=∠BCO=75°，
∵在直角△ABO中，∠BOA=45°，
∴∠AOC=∠BOC−∠BOA=75°−45°=30°，
∵△OAD是等边三角形，
∴∠DOC=∠AOC=30°，
即OC是∠AOD的角平分线，
∴OC⊥AD，且OC平分AD，
∴AC=DC，
∴∠ACO=∠DCO=60°+75°=135°，
∴∠ACD=360°−135°−135°=90°，
∴AC⊥CD，
故AC=CD，且AC⊥CD．

(3)不变．
延长GA至点M，使AM=OF，连接BM，
∵在△BAM与△BOF中，
AB=OB∠BAM=∠BOFAM=OF，
∴△BAM≌△BOF(SAS)，
∴∠ABM=∠OBF，BF=BM，
∵∠OBF+∠ABG=90°−∠FBG=45°，
∴∠MBG=45°，
∵在△FBG与△MBG中，
BM=BF∠MBG=∠FBGBG=BG，
∴△FBG≌△MBG(SAS)，
∴FG=GM=AG+OF，
∴OF+AGFG=1．
【解析】(1)根据二次根式以及偶次方都是非负数，两个非负数的和是0，则每个数一定同时等于0，即可求解；
(2)连接OC，只要证明OC是∠AOD的角平分线即可判断AC=CD，求出∠ACD的度数即可判断位置关系；
(3)延长GA至点M，使AM=OF，连接BM，由全等三角形的判定定理得出△BAM≌△BOF，△FBG≌△MBG，故可得出FG=GM=AG+OF，由此即可得出结论．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，涉及到非负数的性质及等边三角形的性质等知识，难度适中．