2022-2023学年福建省福州市台江区八年级下学期期末考试数学试题

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1. 二次根式有意义的条件是（ ）
A. x＞3B. x＜3C. x≥3D. x≤3
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数大于等于0即可得出答案．
【详解】解：根据被开方数大于等于0得，有意义的条件是
解得：
故选：C
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
2. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 1，2，3B. 3，4，5C. 4，5，6D. 7，8，9
【答案】B
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、因为12+22≠32，故不是勾股数；故此选项错误；
B、因为32+42=52，故是勾股数．故此选项正确；
C、因为42+52≠62，故不是勾股数；故此选项错误；
D、因为72+82≠92，故不是勾股数．故此选项错误；
故选B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式运算法则逐一计算可得；
【详解】解：A．不能合并，故本选项不符合题意；
B ．，故本选项符合题意；
C．，故本选项不符合题意；
D． 不能合并，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．
4. 把直线y＝3x向下平移2个单位，得到的直线是( )
A. y＝3x﹣2B. y＝3(x﹣2)C. y＝3x+2D. y＝3(x+2)
【答案】A
【解析】
【分析】平移时k的值不变，只有b发生变化．
【详解】原直线的k＝3，b＝0；向下平移2个单位长度得到了新直线，
那么新直线的k＝3，b＝0﹣2＝﹣2．
所以新直线的解析式为y＝3x﹣2．
故选A．
【点睛】本题是关于一次函数的图象与它平移后图象的转变的题目，在解题时，紧紧抓住直线平移后k不变这一性质．
5. 在某校举行的“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（ ）
A. 众数B. 方差C. 中位数D. 平均数
【答案】C
【解析】
【分析】由于比赛取前3名进入决赛，共有5名选手参加，故应根据中位数的意义解答即可．
【详解】解：因为5位进入决赛者的分数肯定是5名参赛选手中最高的，
而且5个不同的分数按从大到小排序后，中位数及中位数之前的共有3个数，
故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否进入决赛了；
故选：C．
【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
6. 在边长为1的小正方形组成的网格中，A、B、C、D、E在格点上，长度是的线段是（ ）
A. ABB. ACC. ADD. AE
【答案】B
【解析】
【分析】利用勾股定理求得各线段的长，即可求解．
【详解】解：AB=，
AC=，
AD=，
AE=，
综上，只有B选项符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，正确计算是解题的关键．
7. 如图，在中，，，则的度数是（ ）
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
【答案】D
【解析】
【分析】因为，，所以可得到，根据平行四边形的性质对角相等，从而得出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，清楚掌握其性质并能灵活运用是解题关键．
8. 已知点A（﹣2，m）和点B（3，n）都在直线y＝2x+b的图象上，则m与n的大小关系为（ ）
A. m＞nB. m＜nC. m≤nD. m≥n
【答案】B
【解析】
【分析】因为y＝2x+b中x的系数大于0，所以随着自变量的增大，函数值也会增大，根据这点即可得到问题解答．
【详解】解：∵y＝2x+b中x的系数为2，大于0，
∴随着自变量的增大，函数值也会增大，
∵-20即可）；
故答案为：y=x（k>0即可）．
【点睛】本题考查的是正比例函数的增减性，即正比例函数y=kx（k≠0）中，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小．
13. 如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为30m，则A，B两点间的距离为______m．
【答案】60
【解析】
【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2DE，问题得解．
【详解】解：∵点D，E分别是AC和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE＝30，
∴AB＝2DE＝2×30＝60（m）．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．
14. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用函数图象，写出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：当时，，
所以关于x的不等式的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，是求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
15. 评定学生的学科期末成绩由考试分数，作业分数，课堂参与分数三部分组成，并按3：2：5的比例确定，已知小明的数学考试85分，作业90分，课堂参与80分，则他的数学期末成绩为____________分．
【答案】83.5
【解析】
【分析】结合题意，根据加权平均数的性质计算，即可得到答案．
【详解】数学期末成绩为：分
故答案为：83.5．
【点睛】本题考查了加权平均数的知识；解题的关键是熟练掌握加权平均数的性质，从而完成求解．
16. 正方形ABCD中，AB＝4，P是AC上一点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N．则MN最小值_____．
【答案】2
【解析】
【分析】连接，证出四边形是矩形，由矩形的性质得出，当时，最小，由的面积关系即可得出结果．
【详解】解：连接，过作于，如图所示：
四边形是正方形，
，，
，
，，
四边形是矩形，
，
当时，最小，即如图长，
的面积，
，
的最小值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握正方形和矩形的性质是解题的关键．
三、解答题（本题共9小题，共86分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）2
【解析】
【分析】（1）分别化简各项，再作加减法即可求解；
（2）利用平方差公式展开，再作加减法即可求解．
【详解】（1）；
；
（2）．
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则，尤其注意平方差公式的运用．
18. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）先移向合并同类项，再利用配方法进行求解即可；
（2）先去移项把原方程变为，然后利用因式分解的方法解方程即可．
【小问1详解】
解：
∴，
【小问2详解】
解：
∴，
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．
19. 已知一次函数的图像经过点与．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）判断点是否在这个一次函数的图像上；
（3）直接写出关于x的一元一次方程kx＋b＝0的解．
【答案】（1）这个一次函数的解析式为
（2）点C(,0)在这个一次函数的图像上
（3）
【解析】
【分析】（1）把点(3,5)与(-4,-9)代入y=kx+b，得到 ，解得，得到一次函数的解析式为；
（2）当时，，推出点C(,0)在这个一次函数的图象上；
（3）根据点C(,0)在一次函数的图象上，得到一元一次方程kx＋b＝0的解为．
【小问1详解】
一次函数的图象经过点(3,5)与(-4,-9)，
∴ ，
解得，
∴这个一次函数的解析式为；
【小问2详解】
当时，，
∴点C(,0)在这个一次函数的图象上；
【小问3详解】
∵点C(,0)在一次函数的图象上，
∴一元一次方程kx＋b＝0的解为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数，解决问题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，函数图象与点的位置关系，一次函数与一元一次方程的关系．
20. 两年前，生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元．随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3200元，生产1吨乙种药品的成本是3375元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
【答案】乙药品成本的年平均下降率较大．
【解析】
【分析】因为生产1吨甲种药品的成本由5000元降至3200元，生产1吨乙种药品的成本由6000元降至3375元，所以可设甲、乙两种药品成本的年平均下降率为x、y，利用方程求解即可．
【详解】解：设甲种药品成本的年平均下降率为，依题意得：
解得：，（舍去） ，
设乙种药品成本的年平均下降率为，依题意得：
解得:，（舍去），
∵0.2＜0.25．
∴乙药品成本的年平均下降率较大．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
21. 某校抽取20名学生进行了每周课外阅读时间的调查，数据如下（单位：min）：60，81，120，140，70，81，10，20，100，81，30，60，81，50，40，110，130，146，90，100．
【整理数据】按如表分段整理样本数据：
【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表格中的a＝______，b＝______，c＝______；
（2）如果该校八年级现有学生500人，根据抽样调查数据，估计每周用于课外阅读时间不少于80min的学生有多少名？
【答案】（1）4，81，81
（2）估计每周用于课外阅读时间不少于80min的学生有300名
【解析】
【分析】（1）用调查的总人数减去其他人数求出a，再根据中位数和众数的定义即可求出b和c；
（2）用总人数乘以课外阅读时间不少于80 min的学生所占的百分比即可．
【小问1详解】
（人），
把这些熟从小到大排序：10，20，30，40，50，60，60，70，81，81，81，81，90，100，100，110，120，130，140，146，
则中位数（min），
出现了4次，出现的次数最多，
众数（min），
故答案为：4，81，81；
【小问2详解】
（名），
所以，估计每周用于课外阅读时间不少于80min的学生有300名．
【点睛】本题考查众数与中位数的意义及样本估计总体，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，熟练掌握知识点是解题的关键．
22. 如图，中，是中线．
（1）过点C作，垂足为E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）当时，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）以点C为圆心，适当长为半径画弧，交直线AD于两点，以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，交于一点，作过这点和点C的直线交DA于点E；
（2）过点A作，根据直角三角形斜边中线的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：（1）如图，为所求作的的垂线，E为垂足．
（2）过点A作．
在中，，
．
又，
．
是的中线，
．
在中，，
，
．
【点睛】此题考查了作图-基本作图，勾股定理，直角三角形的性质，以及过一点作已知直线的垂线，难度适中．
23. 某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回．经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表：
（1）若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车辆，共需付租金元，请写出与的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
【答案】（1）；（2）最节省费用的租车方案是大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元．
【解析】
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x的函数关系式；
（2）根据题意和表格中的数据，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到最低费用和此时的租车方案．
【详解】解：（1）由题意可得，
，
即与的函数关系式为；
（2）由题意可得，
，
解得，，
，
，随的增大而增大，
当时，取得最小值，此时，，
答：最节省费用的租车方案是大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
24. 已知菱形ABCD，∠BAD＝60°，直线BH不经过点A，D，点A关于直线BH的对称点为E，CE交直线BH于点P，连接AP．
（1）如图1，当直线BH经过点C时，点E恰好在DB延长线上，点P与点C重合，则∠AEP＝______°，线段EA与EP之间的数量关系为______，说明理由；
（2）当直线BH不经过点C，且在菱形ABCD外部，时，如图2，
①依题意补全图2；
②（1）中的结论是否发生改变？若不改变，请证明；若改变，说明理由．
【答案】（1）60，EA＝EP．理由见解析
（2）①画图见解析；②不改变．理由见解析
【解析】
【分析】（1）证明△AEC是等边三角形即可作答；
（2）①依据要求作图即可；②连接EB延长EB交CD于点Q．证明△AEP是等边三角形即可．
【小问1详解】
60，EA＝EP．
理由：如图1中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE垂直平分线段AC，
∴EA＝EC，
∵A，E关于BH对称，
∴BH垂直平分线段AE，
∴CA＝CE，
∴AC＝EC＝AE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠AEP＝60°，EA＝EP．
故答案为：60，EA＝EP．
【小问2详解】
①画图如下，
②不改变．
理由：如图2，连接EB延长EB交CD于点Q．
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴∠ABC＝120°，BA＝BC，
∵点A关于点E关于直线BH对称，
∴PA＝PE，BA＝BE，
∴BE＝BC，
∴∠BAE＝∠BEA，∠BEC＝∠BCE，
∴∠ABQ＝2∠BEA，∠CBQ＝2∠BEC，
∵∠ABC＝∠ABQ+∠CBQ，∠AEP＝∠BEA+∠BEC，
∴∠AEP＝∠ABC＝60°，
∴△AEP是等边三角形，
∴EA＝EP．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是证明△AEP是等边三角形．
25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，点，．
（1）求直线AC的表达式；
（2）点M从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿x轴向左运动，两点同时出发．过点M，N作x轴的垂线分别交直线OC，AC于点P，Q，猜想四边形PMNQ的形状（点M，N重合时除外），并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当点M运动多少秒时，四边形PMNQ是正方形．
【答案】（1）直线CA的表达式为：y＝﹣x+8
（2）四边形PMNQ为矩形．证明见解析
（3）当点M运动秒或8秒时，四边形PMNQ是正方形
【解析】
【分析】（1）由点A、B的坐标知，OA=8=BC，故点C(2，6)，然后利用待定系数法进行求解即可；
（2）设点M，N运动时间为t秒，则M（t，0），N（8-3t，0），则有P（t，3t），Q（8-3t，3t），然后可得四边形PMNQ是平行四边形，进而问题可求解；
（3）由（2）及题意可得MN=QN，然后可建立方程进行求解．
【小问1详解】
解：∵四边形OABC是平行四边形，A（8，0），B（10，6）
∴C（2，6）
设直线AC的解析式为
∴，解得
∴直线AC的解析式为；
【小问2详解】
猜想：四边形PMNQ是矩形
证明：如图，∵C（2，6）
∴直线OC的解析式为
设点M，N运动时间为t秒，则M（t，0），N（8-3t，0）
∵PM，QN垂直于x轴，点P，Q分别在OC，AC上
∴P（t，3t），Q（8-3t，3t）
∴PM=QN=3t
∵PM∥QN
∴四边形PMNQ是平行四边形
又PM⊥x轴
∴平行四边形PMNQ是矩形；
【小问3详解】
∵四边形PMNQ是正方形，
∴MN=QN，
∴，
解得：或8；
故答案为或8．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合及正方形的性质、矩形的性质与判定，熟练掌握一次函数与几何的综合及正方形的性质、矩形的性质与判定是解题的关键．
课外阅读时间x（min）
人数
3
5
8
a
平均数
中位数
众数
80
b
c
运力（箱辆）
租金（元辆）
大货车
45
400
小货车
35
320