苏科版八年级下册第9章 中心对称图形——平行四边形9.3 平行四边形习题

这是一份苏科版八年级下册第9章 中心对称图形——平行四边形9.3 平行四边形习题，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)
1．如图，将绕点顺时针旋转60°得到，若，则等于（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
2．京剧脸谱、剪纸等图案蕴含着简洁美对称美，下面选取的图片中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．等边三角形、等腰三角形、矩形、菱形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．如图，平行四边形ABCD中，两对角线交于点O，AB⊥AC，AD=5cm，OC=2cm，则对角线BD的长为（ ）
A．cmB．8cmC．3cmD．cm
5．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则▱ABCD的周长为（ ）
A．8B．10C．16D．20
6．如图，折叠矩形ABCD，使点D落在点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长（ ）
A．5cmB．2cmC．3cmD．4cm
7．菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较短的对角线长度是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，，，，则（ ）
A．54B．52C．48D．36
9．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则BEF的面积为（ ）
A．6B．7.5C．12D．15
10．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（ ）
A．32B．16C．8D．4
二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)
11．如图，▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为_____m．
12．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB边上的点，且AE⊥DF，垂足为点O，△AOD的面积为，则图中阴影部分的面积为_____．
13．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_____．
14．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A’B’C，A’B’交AC于点D，若∠A’DC=90°，则∠A= °.
15．如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米．
三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)
16．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
17．在Rt△ABC中，∠BAC=90°,D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积．
18．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.
（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．
19．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．
20．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，
（1）观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为： ．
②BC，CD，CF之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．
答案
一、单选题
1．B
【分析】
根据旋转的性质可得AB=AE，∠BAE=60°，然后判断出△AEB是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得BE=AB．
【详解】
解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴AB=AE，∠BAE=60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE=AB，
∵AB=3cm，
∴BE=3cm．
故选：B．
2．D
【分析】
在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；根据中心对称图形与轴对称图形的概念依次判断各个选项，进而得出答案．
【详解】
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．
故选D．
3．A
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．
【详解】
解：矩形，菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
等边三角形、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
共2个既是轴对称图形又是中心对称图形．
故选：A．
4．D
【分析】
利用平行四边形的性质和勾股定理易求的长，进而可求出的长．
【详解】
解：的对角线与相交于点，
，，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
故选：D．
5．C
【分析】
根据线段垂直平分线的判定和性质，可得AE=CE，又由CE+DE+CD=8，即AD+CD=8，继而可得ABCD的周长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥AC，
∴OE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∵△CDE的周长为8，
∴CE+DE+CD=8，即AD+CD =8，
∴平行四边形ABCD的周长为2(AD+CD)=16．
故选：C．
6．C
【分析】
根据矩形及折叠的性质可得，，在Rt∆ABF中，利用勾股定理得出，，在Rt∆ECF中，设，则，继续利用勾股定理求解即可得．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，且经过折叠，，，
∴，，
在Rt∆ABF中，
，
，
在Rt∆ECF中，设，则，
∴，
∴即，
解得：，
即，
故选：C．
7．D
【分析】
根据已知可求得菱形的边长及其两内角的度数,得出较短的对角线与菱形两边围成的三角形是等边三角形,即可得出结果.
【详解】
如图所示：
∵菱形的周长为20cm，
∴菱形的边长为5cm，
∵两邻角之比为1:2，
∴较小角为60°，
∴，
∵AB=5cm，，
∴为等边三角形，
∴ cm，
∴较短的对角线为5cm，
故选D．
8．A
【分析】
根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．
【详解】
解：如图，
根据勾股定理的几何意义，可知：
S=SF+SG
=SA+SB+SC+SD
=20+16+12+6=54；
即S=54；
故选：A．
9．B
【分析】
根据翻折的性质可得，BE＝DE，设AE＝x，则ED＝BE＝9−x，在直角△ABE中，根据勾股定理可得32＋x2＝（9−x）2，即可得到BE的长度，由翻折性质可得，∠BEF＝∠FED，由矩形的性质可得∠FED＝∠BFE，即可得出△BEF是等腰三角形，BE＝BF，即可得出答案．
【详解】
解：设AE＝x，则ED＝BE＝9−x，
根据勾股定理可得，32＋x2＝（9−x）2，
解得：x＝4，
由翻折性质可得，∠BEF＝∠FED，
∵ADBC，
∴∠FED＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF＝5，
∴S△BFE＝×5×3＝7.5．
故选：B．
10．C
【分析】
根据等腰三角形的性质和中位线的性质求解即可．
【详解】
∵AD＝AC
∴是等腰三角形
∵AE⊥CD
∴
∴E是CD的中点
∵F是BC的中点
∴EF是△BCD的中位线
∴
故答案为：C．
二、填空题
11．1
【分析】
根据角平分线的概念、平行线的性质及等腰三角形的性质，可分别推出AE=AB，DF=DC，进而推出EF=AE+DF -AD．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠AEB＝∠EBC，AD＝BC＝5cm，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
则∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝3cm，
同理可证：DF＝DC＝AB＝3cm，
则EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1cm．
故答案为：1．
12．
【分析】
先证得△ADF△BAE，再利用等量代换即可求得阴影部分的面积等于△AOD的面积．
【详解】
正方形ABCD中，
∠DAF=∠ABE=90，AD=AB，
∵AE⊥DF，
∴∠DOA=∠DAF =90，
∴∠DAO+∠ADF =∠DAO +∠FAO =90，
∴∠ADF =∠FAO，
在△ADF和△BAE中，
，
∴△ADF△BAE，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13．（﹣5，4）．
【分析】
首先由A、B两点坐标，求出AB的长，根据菱形的性质可得AD=CD=AB，从而可得到点C的横坐标；接下来在△AOD中，利用勾股定理求出DO的长，结合上面的结果，即可确定出C点的坐标.
【详解】
由题知A（3,0），B（-2,0），D在y轴上，
∴AB=3-（-2）=5，OA=3，BO=2，
由菱形邻边相等可得AD=AB=5，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
OD==4，
由菱形对边相等且平行得CD=BA=5，
所以C（-5,4）.
故答案为（﹣5，4）．
14．55.
【详解】
试题分析：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A’B’C
∴∠ACA’=35°，∠A =∠A’，.
∵∠A’DC=90°，
∴∠A’ =55°.
∴∠A=55°.
15．3
【详解】
试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．
又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12厘米．
∵△OAB的周长是18厘米，∴AB=6厘米．
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线．
∴EF=AB=3厘米．
三、解答题
16．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE=x，则 DE=x，AE=6-x，
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+（6-x）2，
解得：x= ，
∵BD= =2，
∴OB=BD=，
∵BD⊥EF，
∴EO==，
∴EF=2EO=．
17．
（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DBE中，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．
∵AD为BC边上的中线
∴DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD=DC=BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）连接DF，
∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF=AC▪DF=×4×5=10．
18．
(1)∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM
∴DE=DM ∠EDM=90°
∴∠EDF + ∠FDM=90°
∵∠EDF=45°
∴∠FDM =∠EDM=45°
∵ DF= DF
∴△DEF≌△DMF
∴ EF=MF …
（2） 设EF=x ∵AE=CM=1
∴ BF=BM -MF=BM -EF=4-x
∵ EB=2
在Rt△EBF中，由勾股定理得
即
解之，得
19．
（1）证明：如图1，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF．
（2）解：连接GC、BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF=45°，
∵∠DCB=90°，DF∥AB，
∴∠DFA=45°，∠ECF=90°
∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，
∴EG=CG=FG，CG⊥EF，
∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，
∴BE=DC，
∵∠CEF=∠GCF=45°，
∴∠BEG=∠DCG=135°
在△BEG与△DCG中，
∵，
∴△BEG≌△DCG，
∴BG=DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA=90°，
又∵∠DGC=∠BGA，
∴∠BGA+∠DGA=90°，
∴△DGB为等腰直角三角形，
∴∠BDG=45°．
（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．
∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四边形AHFD为平行四边形
∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD
∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°
∴△DAF为等腰三角形
∴AD=DF，
∴CE=CF，
∴平行四边形AHFD为菱形
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°
∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，
∴BH=GF
在△BHD与△GFD中，
∵ ，
∴△BHD≌△GFD，
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.
20．解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；
②△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
（2）成立，
∵正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠B=∠ACF，CF=BD
∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
（3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC=2AB=4，AH=12BC=2，
∴CD=14BC=1，CH=12BC=2，
∴DH=3，
由（2）证得BC⊥CF，CF=BD=5，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE=CM，EM=CN，
∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠ADH=∠DEM，
在△ADH与△DEM中，∠ADH=∠DEM∠AHD=∠DMEAD=DE，
∴△ADH≌△DEM，
∴EM=DH=3，DM=AH=2，
∴CN=EM=3，EN=CM=3，
∵∠ABC=45°，
∴∠BGC=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG=BC=4，
∴GN=1，
∴EG=GN2+EN2=10．