备战2024年高考物理一轮重难点复习讲义 第05章+ 万有引力与宇宙航行【全攻略】

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2、知道引力常数的数值、单位及其测量装置；
3、掌握万有引力定律并能应用；
4、理解三种宇宙速度及其区别。
一、开普勒定律
二、开普勒定律的理解
1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．
2．由开普勒第二定律可得eq \f(1,2)Δl1r1＝eq \f(1,2)Δl2r2，eq \f(1,2)v1·Δt·r1＝eq \f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq \f(v1,v2)＝eq \f(r2,r1)，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
3．开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
三、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
2．表达式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
四、万有引力定律的理解及应用
1．地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力。
(1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；
(2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；
(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力，F向和mg，这两个分力刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝eq \f(GMm,R2)－mRωeq \\al( 2,自)。
2．地球表面上的重力加速度
(1)设在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，由mg＝Geq \f(Mm,R2)，得g＝Geq \f(M,R2)。
(2)设在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由mg′＝eq \f(GMm,（R＋h）2)，得g′＝eq \f(GM,（R＋h）2)，所以eq \f(g,g′)＝eq \f(（R＋h）2,R2)。
3．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力．
(2)星体内部万有引力的两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝Geq \f(M′m,r2).
五、天体质量和密度的计算
1．利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R.
①由Geq \f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq \f(gR2,G).
②天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR).
2．利用运行天体(以已知周期为例)
测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
①由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得M＝eq \f(4π2r3,GT2).
②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3).
③若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq \f(3π,GT2)，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
六、人造卫星与宇宙航行
1．天体(卫星)运行问题分析
将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
2．物理量随轨道半径变化的规律
Geq \f(Mm,r2)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))
即r越大，v、ω、a越小，T越大．(越高越慢)
3．人造卫星
卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道．
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
(2)同步卫星
①轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同．
②周期与地球自转周期相等，T＝24 h.
③高度固定不变，h＝3.6×107 m.
④运行速率均为v＝3.1 km/s.
(3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大圆轨道运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)．
注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星．
4．宇宙速度
(1)第一宇宙速度
①第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s。
②第一宇宙速度是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动时的速度。
③第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。
④第一宇宙速度的计算方法
由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)得v＝eq \r(\f(GM,R))；
由mg＝meq \f(v2,R)得v＝eq \r(gR)．
(2)第二宇宙速度：使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s．
(3)第三宇宙速度：使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s．
5．第一宇宙速度的推导
方法一：由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v12,R)，得v1＝eq \r(\f(GM,R))＝eq \r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.4×106)) m/s≈7.9×103 m/s.
方法二：由mg＝meq \f(v12,R)得
v1＝eq \r(gR)＝eq \r(9.8×6.4×106) m/s≈7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2πeq \r(\f(R,g))＝2πeq \r(\f(6.4×106,9.8)) s≈5 075 s≈85 min.
6．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．
(2)7.9 km/svB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB．
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知T1