2023-2024学年吉林省松原市宁江区吉林油田十二中八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省松原市宁江区吉林油田十二中八年级（上）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列图形具有稳定性的是( )
A. B. C. D.
3.下列式子中，正确的是( )
A. m3⋅m5=m15B. (a3)4=a7C. (−a2)3=−(a3)2D. (3x2)2=6x6
4.一个三角形的两条边长分别为3和7，则第三边的长可能是( )
A. 3B. 7C. 10D. 11
5.如图，已知∠AOB.根据下列作图回答问题：
①作射线O′A′；
②以O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
③以O′为圆心，以OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
④以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第③步中所画的弧相交于点D′；
④过点D′画射线O′B′.则∠A′O′B′=∠AOB．
这种做法正确的理由是( )
A. 由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′=∠AOB
B. 由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′=∠AOB
C. 由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′=∠AOB
D. 由“等边对等角”可得∠A′O′B′=∠AOB
6.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于( )
A. 10B. 7C. 5D. 4
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.已知点A(a,4)，B(3,b)关于x轴对称，则a+b=______．
8.若27×3x=39，则x的值等于______ ．
9.如图，已知在△ABC中，AB=AC，点D是AC边上的一点，且AD=BD=BC，则∠A的度数是______．
10.如图，点D是△ABC的边BC的中点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为8cm2，则△BEF的面积为______ cm2．
11.如果(x−3)x=1，则x的值为______ ．
12.将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是______ ．
13.如图，在长方形纸片ABCD中，AB/​/CD，将纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点的对应点分别为点A′，D′.若∠CFE=2∠CFD′，则∠AEF= ______ °.
14.如图，A(4,0)，B(0,6)，若AB=BC，∠ABC=90°，则C点的坐标为______ ．
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
计算：(x3)2⋅(x2)3．
16.(本小题5分)
计算：(−4x)⋅(2x2+3x−1)．
17.(本小题5分)
如图，AB=AD，CB=CD，求证：∠B=∠D．
18.(本小题5分)
如图，上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°.求从B处到灯塔C的距离．
19.(本小题7分)
先化简，再求值：(12a3−6a2+3a)÷3a，其中a=−1．
20.(本小题7分)
已知(x2+mx−3)(2x+n)的展开式中不含x2项，常数项是−6．
(1)求m，n的值．
(2)求(m+n)(m2−mn+n2)的值．
21.(本小题7分)
如图，某小区有一块长为(2a+3b)米，宽为(3a+2b)米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，将阴影部分进行绿化．
(1)用含有a、b的式子表示绿化的总面积S；
(2)若a=2，b=4，求出此时绿化的总面积S．
22.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠BAC=110°，BC=10，EF是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC于F，MN是边AC的垂直平分线，垂足为M，交BC于N.连接AF、AN．
(1)求∠FAN的度数；
(2)请直接写出△AFN的周长．
23.(本小题8分)
如图(1)、图(2)、图(3)均为10×10的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上，请你只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图(保留画图痕迹，不要求写出画法)．

(1)在图(1)中画出△ABC的BC边上的高AD；
(2)在图(2)中，画出△ABC关于直线MN的轴对称图形△A′B′C′；
(3)在图(3)中，在MN上画出点P，使PA+PC最小．
24.(本小题8分)
(1)如图1，已知：在△ABC中，AB=AC=20，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF/​/BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有______ 个等腰三角形，EF与BE、CF之间的数量关系是______ ．
(2)如图2，若将(1)中“△ABC中，AB=AC=20”改为“若△ABC为不等边三角形，AB=16，AC=20”其余条件不变，则图中共有______ 个等腰三角形；EF与BE，CF之间的数量关系是什么？证明你的结论．
(3)已知：如图3，D在△ABC外，AB>AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE/​/BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不需要证明．
25.(本小题10分)
如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．
(1)求证：△OCD是等边三角形；
(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
26.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=40cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为vP=2cm/s，vQ=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．
(1)BP= ______ ，BQ= ______ (用含t的式子表示)，BC= ______ cm；
(2)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
(3)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可完全重合．根据轴对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2.【答案】A
【解析】解：具有稳定性的图形是三角形，
故选：A．
根据三角形具有稳定性判断即可．
本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、m3⋅m5=m8，故错误，不合题意；
B、(a3)4=a12，故错误，不合题意；
C、(−a2)3=−(a2)3=−(a3)2，故正确，符合题意；
D、(3x2)2=9x4，故错误，不合题意；
故选：C．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则分别判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握相应的运算法则．
4.【答案】B
【解析】解：根据三角形的三边关系，得
第三边应大于4，且小于10．
下列答案中，只有7符合．
故选：B．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析求解．
此题考查了三角形的三边关系．
5.【答案】A
【解析】解：由作图可知OC=O′C′，OD=O′D′，CD=C′D′，
在△COD和△C′O′D′中，
OC=O′C′OD=O′D′CD=C′D′，
∴△COD≌△C′O′D′(SSS)，
∴∠∠A′O′B′=∠AOB．
故选：A．
根据SSS证明三角形全等即可．
本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
6.【答案】C
【解析】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
∴S△BCE=12BC⋅EF=12×5×2=5，
故选：C．
作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可．
本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．
7.【答案】−1
【解析】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
根据关于关于x轴对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a、b的值，进而得到答案．
解：∵点A(a,4)，点B(3,b)关于x轴对称，
∴a=3，b=−4，
∴a+b=−1．
故答案为：−1．
8.【答案】6
【解析】解：∵27×3x=39，
∴33×3x=39，
∴33+x=39，
∴3+x=9，
∴x=6，
故答案为：6．
先把27化成33，然后根据同底数幂的乘法法则计算，得出3+x=9，从而求出x的值．
本题考查了同底数幂的乘法，熟知：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
9.【答案】36°
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵BD=BC=AD，
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，
设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠C=180°−x2，
可得2x=180°−x2，
解得：x=36°，
则∠A=36°，
故答案为36°．
利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．
此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．
10.【答案】2
【解析】解：∵点D是△ABC的边BC的中点，△ABC的面积为8cm2，
∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC=4cm2，
∵点E是线段AD的中点，
∴S△EBD=12S△ABD=2cm2,S△ECD=12S△ACD=2cm2，
∵S△EBC=S△EBD+S△ECD=4cm2，
∵点F是线段CE的中点，
∴S△BEF=12S△EBC=2cm2．
故答案为：2．
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
本题考查三角形中线的性质，关键是三角形中线性质定理的应用．
11.【答案】0或4或2
【解析】解：当x=0时，(x−3)x=(0−3)0=1；
当x−3=1时，x=4，符合题意；
当x−3=−1时，x=2，符合题意；
故答案为：0或4或2．
根据零指数幂及有理数乘方的法则进行计算即可．
本题考查的是零指数幂及有理数乘方的法则，熟知非零数的零次幂等于1是解题的关键．
12.【答案】30°
【解析】解：∵图中六边形为正六边形，
∴∠ABO=(6−2)×180°÷6=120°，
∴∠OBC=180°−120°=60°，
∵正方形中，OC⊥CD，
∴∠OCB=90°，
∴∠BOC=180°−90°−60°=30°，
故答案为：30°．
根据多边形内角和及正多边形性质求得∠ABO的度数，从而求得∠OBC的度数，再结合正方形性质及三角形内角和定理即可求得答案．
本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
13.【答案】72
【解析】解：设∠CFD′=x，则∠CFE=2∠CFD′=2x，∠EFD′=3x，
由折叠的性质得：∠DFE=∠EFD′=3x，
∵∠DFE+∠CFE=180°，即2x+3x=180°，
∴x=36°，
∴∠CFE=36°×2=72°，
∵AB/​/CD，
∴∠AEF=∠CFE=72°．
故答案为：72°．
设∠CFD′=x，则∠CFE=2∠CFD′=2x，∠EFD′=3x，由折叠的性质得∠DFE=∠EFD′=3x，根据平角为180°列方程即可得到x的值，进而求出∠CFE，最后根据平行线的性质即可得出∠AEF．
本题主要考查平行线的性质，翻折变换，解题关键是熟练应用平行线的性质进行求解．
14.【答案】(6,10)
【解析】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=90°，AB=BC．
∵CD⊥BD，BO⊥AO，
∴∠CDB=∠BOA=90°．
∵∠CBD+∠ABO=90°，∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠ABO=∠BCD．
在△ABO和△BCD中，
∠BCD=∠ABO∠CDB=∠BOABC=AB，
∴△AO≌△BCD(AAS)，
∴BD=AO，CD=BO，
∵A(4,0)，B(0,6)，
∴BD=4，CD=6，
∴点C的坐标为(6,10)，
故答案为：(6,10)．
过点C作CD⊥y轴于点D，由△ABC为等腰直角三角形即可得出∠ABC=90°、AB=BC，通过角的计算即可得出∠ABO=∠BCD，再结合∠CDB=∠BOA=90°即可利用AAS证出△ABO≌△BCD，由此即可得出BD、CD的长度，进而可得出点C的坐标．
本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．熟悉全等三角形的判定方法是解答的关键．
15.【答案】解：(x3)2⋅(x2)3
=x6⋅x6
=x12．
【解析】根据幂的乘方与同底数幂的乘法进行计算即可求解．
本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键．
16.【答案】解：(−4x)⋅(2x2+3x−1)
=(−4x)⋅2x2+(−4x)⋅3x−(−4x)⋅1
=−8x3−12x2+4x．
【解析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．
本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理．
17.【答案】证明：连接AC．

∵在△ADC和△ABC，
AB=AD BC=CD AC=AC ，
∴△ADC≌△ABC(SSS)，
∴∠B=∠D．
【解析】连接AC，运用已知条件得出△ADC≌△ABC；接下来根据全等三角形的对应角相等即可得出结论．
本题主要是考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
．
18.【答案】解：根据题意，可得AB=20×2=40(海里)，
∵∠NAC=40°，∠NBC=80°，
∴∠ACB=∠NBC−∠NAC=80°−40°=40°，
∴∠ACB=∠NAC，
∴BC=BA=40海里，
答：从B处到灯塔C的距离为40海里．
【解析】根据速度×时间=路程，可得AB的长，根据∠ACB=∠NBC−∠NAC可知∠ACB=∠NAC，根据等角对等边可得BC=BA，即可确定从B处到灯塔C的距离．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，方向角，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键．
19.【答案】解：(12a3−6a2+3a)÷3a
=12a3÷3a−6a2÷3a+3a÷3a
=4a2−2a+1，
当a=−1时，原式=4×(−1)2−2×(−1)+1=4×1+2+1=4+2+1=7．
【解析】先利用多项式除以单项式的法则进行计算，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：(1)原式=2x3+2mx2−6x+nx2+mnx−3n
=2x3+2mx2+nx2+mnx−6x−3n
=2x3+(2m+n)x2+(mn−6)x−3n，
由于展开式中不含x2项，常数项是−6，
则2m+n=0且−3n=−6，
解得：m=−1，n=2；
(2)由(1)可知：m=−1，n=2，
∴原式=m3+n3=(−1) 3+23，
=−1+8
=7．
【解析】(1)直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出m，n的值；
(2)利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．
此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
21.【答案】解：(1)由题意得：
S=(3a+2b)(2a+3b)−a(3a+2b)
=6a2+9ab+4ab+6b2−3a2−2ab
=(3a2+11ab+6b2)平方米；
(2)当a=2，b=4，
S=3×22+11×2×4+6×42=196(平方米)
答：此时绿化的总面积196平方米．
【解析】本题考查的是整式的混合运算，代数式求值有关知识
(1)利用长方形的面积公式及平行四边形的面积公式进行求解即可；
(2)把相应的值代入(1)中运算即可．
22.【答案】解：(1)∵EF是边AB的垂直平分线，MN是边AC的垂直平分线，
∴FB=FA，NC=NA，
∴∠FAB=∠B，∠NAC=∠C，
∵∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=70°，
∴∠FAB+∠NAC=70°，
∴∠FAN=110°−70°=40°；
(2)∵EF是边AB的垂直平分线，MN是边AC的垂直平分线，
∴FB=FA，NC=NA，
∴△AFN的周长=AF+FN+AN=BF+FN+CN=BC=10．
【解析】(1)根据线段的垂直平分线的性质得到FB=FA，NC=NA，根据等腰三角形的性质“等边对等角”解答即可；
(2)根据线段的垂直平分线的性质得到FB=FA，NC=NA，利用三角形的周长公式即可求解．
本题考查三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
23.【答案】解：(1)如图(1)所示，AD即为所求；

(2)如图(2)所示，△A′B′C′即为所求；
(3)如图(3)所示，画点C关于MN的对称点C′，连接AC′交MN于点P，则点P即为所求．
【解析】(1)根据高线的定义，画出AD即可；
(2)根据找点，描点，连线，画出△A′B′C′即可；
(3)画点C关于MN的对称点C′，连接AC′交MN于点P，则点P即为所求．
本题考查画高，轴对称作图．熟练掌握成轴对称的性质，是解题的关键．
24.【答案】5 EF=BE+CF 2
【解析】解：(1)∵AB=AC=20，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBE=∠DBC=12∠ABC，∠DCB=∠DCF=12∠ACB，
∴∠DBE=∠DBC=∠DCB=∠DCF，
∵EF/​/BC，
∴∠BDE=∠DBC，∠CDF=∠DCB，
∴∠DBE=∠BDE=∠CDF=∠DCF，
∴BE=DE，DF=CF，
∴EF=DE+DF=BE+CF；
由以上过程中可得：
BE=DE，DF=CF，BD=CD，
∴△BDE、△CDF、△BCD是等腰三角形，
∴AB=AC，
∴AE=AF，
∴△ABC、△AEF是等腰三角形；
故答案为：5，EF=BE+CF；
(2)EF=BE+CF；
证明：由(1)同理可证：
∠BDE=∠DBE，∠CDF=∠DCF，
∴BE=DE，CF=DF，
∴EF=DE+DF=BE+CF；
由以上过程可得：
△BDE、△CDF是等腰三角形，
故答案为：2；
(3)EF=BE−CF；
证明：∵BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，
∴∠DBE=∠CBD，∠DCF=∠DCG，
∵DE/​/BC，
∴∠BDE=∠CBD，∠CDF=∠DCG，
∴BE=DE，CF=DF，
∴EF=DE−DF=BE−CF．
(1)由角平分线的定义可得∠DBE=∠DBC=12∠ABC∠DCB=∠DCF=12∠ACB，再由平行线的性质可证∠DBE=∠BDE=∠CDF=∠DCF，可得BE=DE，DF=CF，即可求证；
(2)由(1)同理可证BE=DE，CF=DF，即可求证；
(3)可证BE=DE，CF=DF，即可求证
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，掌握判定方法、性质和由角平分线的所得等腰三角形的典型解法是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC．
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形．
(2)解：△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，∠α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，
∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=150°−60°=90°，
∴△AOD是直角三角形．
(3)解：∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°−∠AOB−∠BOC−∠COD=360°−110°−α−60°=190°−α，
∠ADO=∠ADC−∠ODC=α−60°，
∴∠OAD=180°−∠AOD−∠ADO=180°−(190°−α)−(α−60°)=50°．
①当∠AOD=∠ADO时，190°−α=α−60°，
∴α=125°．
②当∠AOD=∠OAD时，190°−α=50°，
∴α=140°．
③当∠ADO=∠OAD时，
α−60°=50°，
∴α=110°．
综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【解析】(1)根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
(2)根据全等易得∠ADC=∠BOC=∠α=150°，结合(1)中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；
(3)根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况．
26.【答案】(40−2t)cm t cm 20
【解析】解：(1)根据题意得：BP=(40−2t)cm，BQ=t cm；
∵∠C=90°，∠A=30°，AB=40cm，
∴BC=12AB=20cm；
故答案为：(40−2t)cm，t cm；20；
(2)∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵△PBQ为等边三角形，
∴BQ=BP，
∴40−2t=t，
解得：t=403，
(3)解：当∠BQP=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ，
∴40−2t=2t，
解得：t=10；
当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BQP=30°，
∴BQ=2BP，
∴2(40−2t)=t，
解得：t=16；
综上所述，当t为10或16时，△PBQ为直角三角形．
(1)根据题意可得BP=(40−2t)cm，BQ=tcm；再由含30度角的直角三角形的性质，即可求解；
(2)根据等边三角形的性质，可得BQ=BP，即可求解；
(3)分两种情况讨论：当∠BQP=90°时，当∠BPQ=90°时，结合含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．