2023-2024学年甘肃省定西市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省定西市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.定西剪纸是一种甘肃省的传统民间剪纸艺术，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上透空的感觉和艺术享受.下列作品中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. 20=0B. y6÷y3=y2C. (12)−1=2D. (2y2)3=6y6
3.如图，是△ABC的高的线段是( )
A. 线段BC
B. 线段EC
C. 线段BD
D. 线段CD
4.已知某个分式，当x=−1时，分式无意义，当x=2时，分式的值为0，则该分式可能是( )
A. x−2x+1B. x+2x+1C. x+2x−1D. x−2x−1
5.如图，用直尺和圆规在∠AOB内作射线OH，P是射线OH上一点，过点P分别作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F，若PE=4，则PF的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
6.如图，AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，添加下列条件后，不能判定△ABE≌△ACD的是( )
A. ∠B=∠C
B. BE=CD
C. BD=CE
D. ∠AEB=∠ADC
7.已知m+n=4，m2−n2=−8，则m−n的值为( )
A. −4B. −2C. 2D. 4
8.欢欢家、乐乐家和学校不在同一直线上，欢欢家和乐乐家到学校的直线距离分别是3km和4km，则欢欢家和乐乐家的直线距离可能是( )
A. 8kmB. 7kmC. 3kmD. 1km
9.若□x+y÷xy2−x2运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是( )
A. y−xB. y+xC. 1xD. 3x
10.如图，在△ABC中，∠A=15°，∠B=90°，AC的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，AM=10cm，则BC=( )
A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.一个肥皂泡的薄膜大约有0.000007m厚，用科学记数法表示是______m.
12.已知分式2aa+b=3，若把a，b的值都扩大到原来的5倍，则此时分式的值为______.(填数字)
13.把边长相等的正六边形和等边三角形按如图所示的方式叠放在一起，则∠1的度数为______．
14.如图，已知AB//CF，E为AC的中点，点D在AB上，且点D，E，F在同一直线上，若FC=5cm，DB=3cm，则AB的长为______cm．
15.如图，BD是△ABC的中线，AB=6，BC=4，则△ABD周长比△BCD的周长大______．
16.规定a⊕b=1a+1b，若(x+1)⊕(x−1)=3x+2x2−1，则x的值是 ．
三、解答题：本题共11小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
化简：(a+b)(a−b)−a(a−5b)．
18.(本小题4分)
分解因式：2m2−18．
19.(本小题4分)
已知：如图，直线l是线段AB的垂直平分线，C、D是l上任意两点(除AB的中点外).求证：∠CAD=∠CBD．
20.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠ABC=60°.BE平分∠ABC.AD为BC边上的高.若∠BEC=75°，求∠DAC的度数．
21.(本小题6分)
已知：如图，点E、F在线段BD上，BE=DF，AB/​/CD，∠A=∠C.求证：△ABF≌△CDE．
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−1,5)，B(−3,0)，C(−4,3)．
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′；
(2)在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小.(要求：只要在图中画出，不需要写点P的坐标)
23.(本小题7分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，CE=CF.求证：AE=AF．
24.(本小题7分)
为了美化市区，市园林处对中山公园再次进行了绿化.施工队在种植花草800平方米后，采用机械化施工，这样每天绿化的面积是原来的2倍，最后共用了5天完成3200平方米的绿化面积，请问该施工队原来每天绿化的面积是多少？
25.(本小题8分)
如图1，这是一个长为4a、宽为b的长方形，用剪刀沿图中虚线将其平均剪成四块小长方形，然后拼成如图2所示的正方形．
(1)图2中阴影部分的边长为______；观察图2，(a+b)2，(a−b)2，ab之间的等量关系为______；
(2)已知a+1a=4，求(a−1a)2的值．
26.(本小题8分)
某次考试中有这样一道题“先化简，再求值：2−xx−3+1，x=■”，其中x的值被污染了.小明的解题过程如下：解：原式=2−xx−3⋅(x−3)+(x−3)=2−x+x−3=−1．
(1)小乐说：“小明，你的化简过程是错误的!”请你帮小明写出正确的化简过程；
(2)老师说：“小明得出的−1恰好是这道试题求值的结果!”请求出被污染的x的值．
27.(本小题10分)
如图1，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=100°，AB=AC=AD=AE，BC与AD，DE分别交于点F，H，AC和DE交于点G，连接BD，CE．
(1)若∠DBA=70°，求∠DAC的度数；
(2)如图2，连接BE，AH，求证：AH垂直平分BE．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到一条直线(竖直穿过身体中心的直线)，图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、20=1，原计算错误，不符合题意；
B、y6÷y3=y3，原计算错误，不符合题意；
C、(12)−1=2，正确，符合题意；
D、(2y2)3=8y6，原计算错误，不符合题意．
故选：C．
分别根据零指数幂及负整数指数幂的运算法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是同底数幂的除法，零指数幂及负整数指数幂的运算法则，幂的乘方与积的乘方法则，熟知运算法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：线段BD是△ABC的AC边上的高，
故选：C．
根据三角形的高的概念判断即可．
本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
4.【答案】A
【解析】解：由题可知，
某个分式，当x=−1时，分式无意义，说明其分母x≠−1才有意义，
则只有A、B符合题意，
当x=2时，分式的值为0，
则只有A符合题意．
故选：A．
根据分母不为零分子为零的条件进行解题即可．
本题考查分数的值为零的条件、分式有意义的条件和分式的定义，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：由作图可知，OH平分∠AOB，
∵PE⊥OB，PF⊥OA，
∴PF=PE=4，
故选：C．
由作图可知，OH平分∠AOB，由角平分线的性质可得出答案．
本题考查了基本作图，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、∠B=∠C，又AB=AC，∠BAE=∠CAD，由ASA判定△ABE≌△ACD，故A不符合题意；
B、BE=CD，AB=AC，∠BAE和∠CAD分别是BE和CD的对角，不能判定△ABE≌△ACD，故B符合题意；
C、由BD=CE，AB=AC，得到AE=AD，由SAS判定△ABE≌△ACD，故C不符合题意；
D、∠AEB=∠ADC，又∠BAE=∠CAD，AB=AC，由AAS判定△ABE≌△ACD，故D不符合题意．
故选：B．
由全等三角形的判定，即可判断．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
7.【答案】B
【解析】解：∵m2−n2=(m+n)(m−n)=−8，m+n=4，
∴m−n=−2．
故选：B．
先利用平方差公式分解因式，再运用整体的思想求代数式的值．
本题考查的是平方差公式，熟练掌握和运用平方差公式是解本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：把欢欢家、乐乐家和学校分别看作一个点，
∵欢欢家、乐乐家和学校不在同一直线上，
∴顺次连接可以组成一个三角形，
根据“三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边”可以知道：欢欢家和乐乐家的直线距离大于1km，小于7km，
符合条件的只有C，
故选：C．
根据三角形三边关系定理可以知道欢欢家和乐乐家的直线距离大于乐乐家和欢欢家到学校的直线距离的差，小于二者的和进行判断即可解决问题．
本题主要考查两点间的距离，熟练掌握三角形三边关系定理是解决问题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：□x+y÷xy2−x2=□x+y×(y−x)(y+x)x
∵运算的结果为整式，
∴□中式子一定含有x的单项式，
故只有D项符合．
故选：D．
根据分式的乘除法法则进行解题即可．
本题考查分式的乘除法和整式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：如图，连接CM，
∵AC的垂直平分线交AB于点M，AM=10cm，
∴CM=AM=10cm，
∴∠ACM=∠A，
∵∠A=15°，
∴∠ACM=∠A=15°，
∴∠BMC=∠ACM+∠A=30°，
∵∠B=90°，CM=10cm，
∴BC=12CM=5cm，
故选：B．
连接CM，先利用线段垂直平分线的性求得CM=AM=10cm，再求∠BMC=∠ACM+∠A=30°，然后利用直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半即可求解．
本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，运用垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质是解决本题的关键．
11.【答案】7×10−7
【解析】解：0.0000007=7×10−7．
故答案为：7×10−7．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，掌握一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10是关键．
12.【答案】3
【解析】解：2×5a5a+5b=2×5a5(a+b)=2aa+b=3，
故答案为：3．
将a和b分别扩大到原来的5倍后再进行计算即可．
本题考查分式的基本性质，熟练地利用它进行相关分式的计算是解题的关键．
13.【答案】60°
【解析】解：如图，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC=(6−2)×180°6=120°，
∵三角形MBC是等边三角形，
∴∠MBC=60°，
∴∠1=∠ABC−∠MBC=60°，
故答案为：60°．
根据正多边形的内角相等及多边形内角和定理求解即可．
此题考查了多边形的内角，熟记多边形内角和定理是解题的关键．
14.【答案】8
【解析】解：∵E为AC的中点，
∴AE=EC，
∵AB/​/CF，
∴∠DAE=∠FCE，
在△ADE和△CFE中，
∠DAE=∠FCEAE=CE∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CFE(ASA)，
∴FC=AD=5cm，
∴AB=AD+DB=5+3=8cm，
故答案为：8．
由“ASA”可证△ADE≌△CFE，可得FC=AD=5cm，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
15.【答案】2
【解析】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD，
∴△ABD和△BCD的周长差=(AB+AD+BD)−(BC+CD+BD)，
=AB+AD+BD−BC−CD−BD，
=AB−BC，
∵AB=6，BC=4，
∴△ABD和△BCD的周长差=6−4=2．
答：△ABD和△BCD的周长差为2．
故答案为：2．
根据三角形中线的定义可得AD=CD，然后求出△ABD和△BCD的周长差=AB−BC，代入数据进行计算即可得解．
本题考查了三角形的中线的定义，是基础题，数据概念并求出△ABD和△BCD的周长差=AB−BC是解题的关键．
16.【答案】−2
【解析】解：由题意得(x+1)⊕(x−1)
=1x+1+1x−1
=2xx2−1，
∴2x=3x+2，
解得x=−2，
故答案为：−2．
先按定义求得2x=3x+2，再求得x的值即可．
此题考查了分式方程方面新定义问题的解决能力，关键是能准确理解定义进行计算．
17.【答案】解：(a+b)(a−b)−a(a−5b)
=a2−b2−a2+5ab
=5ab−b2．
【解析】先计算平方差公式和单项式乘多项式，再合并同类项．
此题考查了运用平方差公式和单项式乘多项式进行整式的混合运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解．
18.【答案】解：2m2−18
=2(m2−9)
=2(m+3)(m−3)．
【解析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
本题考查提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
19.【答案】证明：∵直线l是线段AB的垂直平分线且C、D在直线l上，
∴CA=CB，DA=DB，
∴∠CAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA，
∴∠CAD=∠CBD．
【解析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AC=BC，AD=BD，再根据等边对等角可得∠CAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA，然后求解即可．
本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，熟记性质是解题的关键．
20.【答案】解：∵BE平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠ABE=∠EBC=30°，
∵∠BEC=75°，
∴∠C=180°−∠EBC−∠BEC=180°−30°−75°=75°，
∵AD为BC边上的高，
∴∠C+∠DAC=90°，
∴∠DAC=90°−∠C=90°−75°=15°．
【解析】要求∠DAC的度数，只要求出∠C的度数即可．先根据角平分线的定义，可得∠EBC的度数，在△BEC中利用三角形的内角和可得∠C的度数．因AD为BC上的高，所以∠ADC=90°，在△ADC中，再运用三角形的内角和可求∠DAC的度数．
本题考查三角形内角和定理，灵活运用垂直的定义和角平分线的定义，结合三角形的内角和定理是解决本题的关键．
21.【答案】证明：∵BE=DF，
∴BE+EF=DF+EF，
即BF=DE，
∵AB/​/CD，
∴∠B=∠D，
在△ABF和△CDE中，
∠A=∠C∠B=∠DBF=DE，
∴△ABF≌△CDE(AAS)．
【解析】两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，据此利用AAS进行判定即可．
此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求；
(2)如图，点P即为所求的点．

【解析】(1)利用轴对称变换的性质作A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
(2)连接A′B与y轴相交于点P，则点P即为所求的点．
本题考查作图−轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
23.【答案】证明：如图所示，连接AC，

在Rt△BEC和Rt△DFC中，
CE=CFBE=DF，
∴△BEC≌△DFC(HL)，
∴BC=DC，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
AC=ACBC=DC，
∴△ABC≌△ADC(HL)，
∴AB=AD，
∵BE=DF，
∴AB−BE=AD−DF，
∴AE=AF．
【解析】连接AC，证明△BEC≌△DFC得到BC=DC，再证明△ABC≌△ADC得到AB=AD，再根据线段之间的关系即可证明结论．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
24.【答案】解：设该施工队原来每天绿化的面积为x平方米，则采用机械化施工每天绿化的面积为2x平方米，
由题意得：800x+3200−8002x=5，
解得：x=400，
经检验，x=400是原方程的解，且符合题意．
答：该施工队原来每天绿化的面积为400平方米．
【解析】设该施工队原来每天绿化的面积为x平方米，则采用机械化施工每天绿化的面积为2x平方米，根据“施工队在种植花草800平方米后，采用机械化施工，最后共用了5天完成3200平方米的绿化面积”，列出分式方程，解分式方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25.【答案】b−a (a−b)2=(a+b)2−4ab
【解析】解：(1)由题知，
图2中阴影部分是一个正方形，且其边长为b−a，
则图2中阴影部分的面积可表示为：(b−a)2．
图2中的阴影部分的面积可用打正方形的面积减去四个相同的小长方形的面积，
则图2中的阴影部分的面积还可表示为：(a+b)2−4ab，
所以(b−a)2=(a+b)2−4ab，
即(a−b)2=(a+b)2−4ab．
故答案为：b−a，(a−b)2=(a+b)2−4ab．
(2)由(1)中的等量关系可知，
(a−1a)2=(a+1a)2−4⋅a⋅1a，
又因为a+1a=4，
所以(a−1a)2=42−4=12．
(1)结合图2即可表示出阴影部分的边长，用两种不同的方法表示出图2中阴影部分的面积即可．
(2)依据(1)中发现的等量关系即可解决问题．
本题考查完全平方公式的几何背景，能用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积是解题的关键．
26.【答案】解：(1)2−xx−3+1
=2−xx−3+x−3x−3
=2−x+x−3x−3
=13−x；
(2)令13−x=−1，
解得x=4，
检验：当x=4时，3−x≠0，
所以x=4是原分式方程的解．
∴被污染的x的值是4．
【解析】(1)先通分，然后计算加法即可；
(2)令(1)中的结果等于−1，求出x的值，再检验即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
27.【答案】解：(1)∵AB=AD，∠DBA=70°，
∴∠BDA=∠ABD=70°．
∴∠BAD=180°−2×70°=40°，
∵∠BAC=100°，
∴∠DAC=100°−40°=60°，
(2)证明：∵AB=AC=AD=AE，∠BAC=∠DAE=100°．
∴∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=40°，
∠BAC−∠DAC=∠DAE=∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE，∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC，
∴∠DBH=∠CEH，
∠DBH=∠CEHBD=CE∠DHB=∠CHE，
∴△DBH≌△CEH(AAS)，
∴BH=EH，
又∵AB=AE，
∴点A，H在线段BE的垂直平分线上，
即AH垂直平分BE．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可；
(2)根据条件证明△ABD≌△AEC(SAS)和△DBH≌△CEH(AAS)，等量代换即可证明结论．
本题是三角形的综合题，主要涉及等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，是解答的关键．