2023-2024学年甘肃省定西市安定区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省定西市安定区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. a6÷a2=a3B. a2+a3=a5
C. −2(a+b)=−2a+bD. (−2a2)2=4a4
3.新型冠状病毒的直径约为0.000000907米，0.000000907用科学记数法表示为( )
A. 9.07×10−10B. 9.07×10−11C. 9.07×10−8D. 9.07×10−7
4.若分式x2−1x−1=0，则x的值是( )
A. 1B. −1C. ±1D. 0
5.如图，已知AF=CE，BE/​/DF，那么添加下列一个条件后，能判定△ADF≌△CBE的是( )
A. ∠AFD=∠CEBB. AD/​/CB
C. AE=CFD. AD=BC
6.下列式子运算结果为x+1的是( )
A. x2−1x·xx+1B. x+1x·1x−1C. x2+2x+1x+1D. x2x−1·11−x
7.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E且AB=6cm，则△DEB的周长为( )
A. 40cm
B. 6cm
C. 8cm
D. 10cm
8.若分式x+2x−1有意义，则x的取值范围是( )
A. x>1B. x≠1且x≠−2C. x<1D. x≠1
9.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
10.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，边AC的垂直平分线EN交BC于点E.已知△ADE的周长为8cm，则BC的长为( )
A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在平面直角坐标系中，点A(−4,1)与点B关于y轴对称，则点B的坐标是______ ．
12.若3x=15，3y=5，则3x−y=______．
13.计算：(−2)0= ．
14.如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=50°，CD平分∠ACB交AB于点D，则∠ADC= ______ °.
15.如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA于点D，点M是OB上一个动点.若PD=9，则PM的最小值是______ ．
16.若方程2x−1−k1−x=1有增根，则k= ______ ．
三、解答题：本题共11小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
分解因式：4x2−8xy+4y2．
18.(本小题5分)
计算：(x−2y)(x+2y)−x(x−y)．
19.(本小题5分)
解分式方程：1x+2+4xx2−4=1x−2．
20.(本小题5分)
已知，如图，角的两边上的两点M、N，
求作：点P，使点P到OA、OB的距离相等，且PM=PN(保留作图痕迹)
21.(本小题5分)
先化简x2−2x+1x2−1÷(1−3x+1)，再从−1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值代入求值．
22.(本小题6分)
如图，△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，AD=4.求DC的长度．
23.(本小题6分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)．
(1)△ABC的面积为______ ；
(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(3)在x轴上画出点P，使PA+PB值最小，并直接写出点P的坐标.(保留画图痕迹)
24.(本小题8分)
如图，在等边△ABC中，点M是BC边上的任意点(不含端点B，C)，连接AM，以AM为边作等边△AMN，并连接CN．
(1)求证：△ABM≌△ACN；
(2)求证：AB=CN+CM．
25.(本小题8分)
利用所学的知识计算：
(1)已知a>b，且a2+b2=13，ab=6，求a−b的值；
(2)已知a、b、c为Rt△ABC的三边长，若a2+b2+25=6a+8b，求Rt△ABC的周长．
26.(本小题9分)
实践与探索：如图1，在边长为a的大正方形里挖去一个边长为b的小正方形，再把图1中的剩余部分(阴影部分)拼成一个长方形(如图2所示)．
(1)上述操作能验证的等式是：______ (请选择正确的一个)
A.a2−b2=(a+b)(a−b)
B.a2−2ab+b2=(a−b)2
C.a2+ab=a(a+b)
(2)请应用这个等式完成下列各题：
①已知4a2−b2=24，2a+b=6，则2a−b= ______ ．
②计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．
27.(本小题10分)
某食品公司决定将一批花椒送往外地销售.现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱花椒，且甲种货车装运1000箱花椒所用车辆与乙种货车装运800箱花椒所用车辆相等．
(1)求甲、乙两种货车每辆车可装多少箱花椒？
(2)如果这批花椒有1625箱，用甲、乙两种货车共18辆来装运，甲种货车每辆车刚好装满，乙种货车最后一辆只装了65箱，其他全部装满，求甲、乙两种货车各多少辆？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、a6÷a2=a4，故A选项不符合题意；
B、a2+a3≠a5，故B选项不符合题意；
C、−2(a+b)=−2a−2b，故C选项不符合题意；
D、(−2a2)2=4a4，故D选项符合题意；
故选：D．
A、根据同底数幂的除法公式计算，即可判断；B、非同类项，不能合并；C、根据去括号法则计算，即可判断；D、根据积的乘方进行计算，即可判断．
本题主要考查整式化简，掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：0.000000907=9.07×10−7．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】B
【解析】解：∵分式x2−1x−1=0，
∴x2−1=0且x−1≠0，
解得：x=−1．
故选：B．
直接利用分式的值为0，则分子为零，分母不等于零，进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的值为零的条件是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵BE/​/DF，
∴∠BEC=∠DFA，
A.∠AFD=∠CEB，AF=CE，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ADF≌△CBE，故本选项不符合题意；
B.∵AD/​/CB，
∴∠A=∠C，
∠AFD=∠CEB，AF=CE，∠A=∠C，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ADF≌△CBE，故本选项符合题意；
C.∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
∠AFD=∠CEB，AF=CE，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ADF≌△CBE，故本选项不符合题意；
D.AD=BC，AF=CE，∠AFD=∠CEB，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ADF≌△CBE，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据平行线的性质得出∠BEC=∠DFA，∠A=∠C，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
6.【答案】C
【解析】解：A．x2−1x·xx+1=x2−1x+1=x−1，故不符合题意；
B.x+1x·1x−1=x+1x2−x，故不符合题意；
C.x2+2x+1x+1=x+1，故符合题意；
D.x2x−1·11−x=−x2(x−1)2，故不符合题意．
故选：C．
根据分式的运算法则逐项计算即可．
本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．
7.【答案】B
【解析】解：∵DE⊥AB，
∴∠C=∠AED=90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△AED中，
∠C=∠AED∠CAD=∠EADAD=AD，
∴△ACD≌△AED(AAS)，
∴AC=AE，CD=DE，
∴BD+DE=BD+CD=BC=AC=AE，
BD+DE+BE=AE+BE=AB=6，
所以，△DEB的周长为6cm．
故选：B．
先利用“角角边”证明△ACD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，CD=DE，然后求出BD+DE=AE，进而可得△DEB的周长．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是证明△ACD≌△AED．
8.【答案】D
【解析】解：∵分式x+2x−1有意义，
∴x−1≠0，
解得：x≠1；
故选：D．
根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分母不为零．
9.【答案】C
【解析】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
设这个多边形是n边形，内角和是(n−2)·180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
解：根据多边形的外角和是360°，n边形的内角和是(n−2)·180°．
设这个多边形是n边形，
根据题意得(n−2)×180°=2×360°，
解得n=6，
即这个多边形为六边形．
故选：C．
10.【答案】D
【解析】解：∵DM是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∵EN是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∵△ADE的周长8cm，
∴AD+DE+AE=8cm，
∴BD+DE+EC=8cm，
∴BC=8cm，
∴BC的长为8cm；
故选：D．
利用线段垂直平分线的性质可得DA=DB，EA=EC，然后利用等量代换可得△ADE的周长=BC，即可解答．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键．
11.【答案】(4,1)
【解析】解：由题意得，点A(−4,1)与点B关于y轴对称，则点B的坐标是(4,1)．
故答案为：(4,1)．
关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12.【答案】3
【解析】解：3x−y=3x÷3y=15÷5=3．
故答案为：3．
根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
本题考查了同底数幂的除法，利用了同底数幂的除法底数不变指数相减．
13.【答案】1
【解析】【分析】
主要考查了零指数幂的意义，即任何非0数的零次幂等于1．
根据零指数幂的运算法则进行计算．
【解答】
解：(−2)0=1．
故答案为1
14.【答案】85
【解析】解：∵在△ABC中，∠A=60°，∠B=50°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=70°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠BCD=12∠ACB=35°，
∴∠ADC=∠B+∠BCD=50°+35°=85°，
故答案为：85．
由三角形内角和定理得出∠ACB=70°，由角平分线的定义得出∠BCD=12∠ACB=35°，最后由三角形外角的定义及性质进行计算即可．
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质是解此题的关键．
15.【答案】9
【解析】解：当PM⊥OB时，PM最小，
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，
∴PM=PD=9，
∴PM的最小值是9．
故答案为：9．
当PM⊥OB时，PM最小，由角平分线的性质得到PM=PD=9，即可得到PM的最小值是9．
本题考查角平分线的性质，垂线段最短，关键是掌握角平分线的性质．
16.【答案】−2
【解析】解：去分母得2+k=x−1
∵方程有增根，
∴最简公分母x−1=0，即增根是x=1，把x=1代入整式方程，得k=−2．
故答案为：−2．
将分式方程去分母后，将x=1代入求出k值即可．
本题考查了分式方程的增根问题，掌握最简公分母不等于0是解题的关键．
17.【答案】解：4x2−8xy+4y2
=4(x2−2xy+y2)
=4(x−y)2．
【解析】先提取公因式4，再根据完全平方公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
18.【答案】解：(x−2y)(x+2y)−x(x−y)
=x2−4y2−x2+xy
=−4y2+xy．
【解析】根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则求解即可．
本题考查了平方差公式，单项式乘多项式，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：1x+2+4xx2−4=1x−2
方程两边同时乘以(x+2)(x−2)去分母得：x−2+4x=x+2，
移项得：x+4x−x=2+2，
合并同类项得：4x=4，
系数化为1得：x=1，
检验，当x=1时，(x+2)(x−2)≠0，
∴x=1是原方程的解，
∴原方程的解为x=1．
【解析】按照去分母，再移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，再检验即可得到答案．
本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤．
20.【答案】解：如图所示：
．
【解析】首先作出∠AOB的角平分线再作出MN的垂直平分线，交点即为P．
此题主要考查了垂直平分线和角平分线的作法，利用垂直平分线的性质和角平分线的性质得出是解题关键．
21.【答案】解：原式=(x−1)2(x+1)(x−1)÷(x+1x+1−3x+1)
=x−1x+1÷x−2x+1
=x−1x+1⋅x+1x−2
=x−1x−2，
∵x≠±1且x≠2，
∴x=3，
则原式=3−13−2=2．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
22.【答案】解：连接BD，
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=12(180°−∠BAC)=30°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD=4，
∴∠DBA=∠A=30°，
∴∠CBD=120°−30°=90°，
∵∠C=30°，
∴CD=2BD=8，
答：DC的长是8．
【解析】连接BD，求出∠A、∠C的度数，根据DE是AB的垂直平分线，求出BD=4，∠DBA=30°，∠CBD=90°，根据含30度角的直角三角形求出BC的长即可．
本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线性质等知识点的运用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题型较好，难度适中．
23.【答案】72
【解析】解：(1)S△ABC=3×3−12×(1×3+1×2+2×3)=72，
故答案为：72．
(2)根据轴对称图形的性质得：
如图1所示，△A1B1C1即为所求．
(3)作点A关于x轴对称的点A′，连接A′B，交x轴于P，连接AP，
∵AP=A′P，
∴PA+PB=PA′+PB=A′B，
则此时PA+PB值最小，
如图2所示，点P即为所求：
．
(1)利用割补法即可求解；
(2)根据轴对称图形的性质作出轴对称图形即可求解；
(3)作点A关于x轴对称的点A′，连接A′B，交x轴于P，连接AP，根据轴对称图形的性质可得PA+PB=PA′+PB=A′B，则此时PA+PB值最小，进而可求解．
本题考查了作图−轴对称图形、三角形面积，熟练掌握轴对称图形的性质及割补法求图形的面积是解题的关键．
24.【答案】证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∵△AMN是等边三角形，
∴AM=MN=AN，∠MAN=∠AMN=∠ANM=60°，
∴∠BAC−∠MAC=∠MAN−∠MAC，
即∠BAM=∠CAN，
在△ABM和△ACN中，
AB=AC∠BAM=∠CANAM=AN，
∴△ABM≌△ACN(SAS)；
(2)∵△BAM≌△CAN，
∴BM=CN，
∴AB=BC=BM+CM=CN+CM．
【解析】(1)据等边三角形的性质得到AB=BC=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，AM=MN=AN，∠MAN=∠AMN=∠ANM=60°，证明△ABM≌△ACN；
(2)根据全等三角形的性质、结合图形证明结论．
此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，利用SAS证明△ABM≌△ACN是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵a2+b2=13，ab=6，
∴(a−b)2=a2+b2−2ab=13−2×6=1，
∵a>b，
∴a−b=1；
(2)∵a2+b2+25=6a+8b，
∴a2−6a+9+b2−8b+16=0，
∴(a−3)2+(b−4)2=0，
∴a=3，b=4，
当4是直角边时，斜边长= 32+42=5，
则Rt△ABC的周长=3+4+5=12，
当4是斜边时，另一条直角边长= 42−32= 7，
则Rt△ABC的周长=3+4+ 7=7+ 7，
综上所述，Rt△ABC的周长为12或7+ 7．
【解析】(1)根据完全平方公式计算；
(2)根据非负数的性质分别求出a、b，分4是直角边和斜边两种情况，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是完全平方公式、勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
26.【答案】A 4
【解析】解：(1)图1的面积为a2−b2，图2的面积为：(a+b)(a−b)，
由于拼接前后的面积相等，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)，
∴上述操作能验证的等式是A，
故答案为：A；
(2)①∵4a2−b2=(2a+b)(2a−b)，4a2−b2=24，2a+b=6，
∴6(2a−b)=24，
∴2a−b=4，
故答案为：4；
②∵1=2−1，
∴(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)
=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)
=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)
=(24−1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)
=(28−1)(28+1)(216+1)(232+1)
=(216−1)(216+1)(232+1)
=(232−1)(232+1)
=264−1．
(1)观察图形，利用拼接前后的面积关系即可得出结论；
(2)①利用平方差公式解答即可；②将1看成(2−1)，利用平方差公式解答即可．
本题主要考查了平方差公式的应用，有理数的混合运算，正确记忆运算法则是解题关键．
27.【答案】解：(1)设乙种货车每辆车可装x箱花椒，则甲种货车每辆可装(x+20)箱花椒，
依题意得：1000x+20=800x，
解得：x=80，
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，
∴x+20=80+20=100，
答：甲种货车每辆可装100箱花椒，乙种货车每辆可装80箱花椒；
(2)设甲种货车有m辆，则乙种货车有(18−m)辆，
依题意得：100m+80(18−m−1)+65=1625，
解得：m=10，
∴18−m=18−10=8，
答：甲种货车有10辆，乙种货车有8辆．
【解析】(1)设乙种货车每辆车可装x箱花椒，则甲种货车每辆可装(x+20)箱花椒，根据甲种货车装运1000箱花椒所用车辆与乙种货车装运800箱花椒所用车辆相等，列出分式方程，解方程即可；
(2)设甲种货车有m辆，则乙种货车有(18−m)辆，根据“甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了65箱，且这批花椒共1625箱”，列出一元一次方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程．