专题09 尺规作图分类训练（5种类型50道）-备战2024年中考数学二轮复习之高频考点高效训练（重庆专用）

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\l "_Tc5876" 【题型1作已知角】 PAGEREF _Tc5876 \h 1
\l "_Tc15621" 【题型2角平分线】 PAGEREF _Tc15621 \h 8
\l "_Tc19091" 【题型3垂直平分线】 PAGEREF _Tc19091 \h 14
\l "_Tc27608" 【题型4过直线外一点作垂直】 PAGEREF _Tc27608 \h 22
\l "_Tc3756" 【题型5过直线上一点作垂直】 PAGEREF _Tc3756 \h 30
【题型1作已知角】
1．如图，矩形ABCD中，AC为其对角线．过点B作BE⊥AC于点E．
(1)用直尺和圆规，作∠CDF，使∠CDF=∠ABE，DF交AC于点F，交BC于点G；
(2)小明思考此时的DF是否会垂直AC，为了探究这个问题，小明尝试利用证明三角形全等来推导DF⊥AC．根据小明的思路，完成以下填空：
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，①，
∴∠BAE=∠DCF．
在△ABE和△CDF中∠BAE=∠DCF,AB=CD,②,
∴△ABE≌△CDFASA，
∴③．
∵BE⊥AC，
∴④，
∴∠CFD=90°，
∴DF⊥AC．
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，BD是对角线．

(1)用尺规完成以下基本作图：在边AD的下方作射线AE，使∠DAE=∠1，射线AE分别交BD于点O，交BC的延长线于点E，连接DE．（只保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，证明：AB=DE，（请完成下面的填空）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴① ，
∴ ∠DAE=∠AEB，∠ADB=② ．
∵ ∠1=∠DAE，
∴③ ，∠ADB=∠DAE，
∴ OB=OE，④
∵ ⑤
∴ △ABO≌△DEOSAS，
∴ AB=DE．
3．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，过点D的直线交AB于点E，交AC的延长线于点F，且BE=CF．

(1)尺规作图：过点C在线段CD上方作∠DCG=DBE交线段DF于点G（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、不下结论）
(2)在（1）中所作的图中，证明：AE=AF（请补全下面的证明过程）．
证明：
∵D为BC边中点，
∴CD=BD
∵∠DCG=∠DBE
∴ ① ．
∴∠CGF=∠AEF
在△CDG和△BDE中
∠DCG=∠DBECD=BD②．
∴△CDG≌△BDEASA，
∴ ③ ．
∵BE=CF
∴CF=CG，
∴ ④ ．
又∵∠CGF=∠AEF，
∴ ⑤ ．
∴AE=AF
4．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且BE=BC，

(1)用直尺和圆规在BC上方作∠BCF使得∠BCF=∠ABE，CF交BE于点F．
(2)求证：CF=CD
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB= ①
∴∠AEB= ②
∵在△ABE与△FCB中
∠AEB=∠FBCBE=③∠BCF=∠ABE
∴△ABE≌△FCB
∴AB= ④
∴CF=CD
5．小明最近学习了三角形的角平分线相关知识，进一步进行探究之后发现，三角形的一条角平分线分三角形一边的两线段之比值恰好等于三角形的另外两边之比值．
请根据以下思路完成作图和填空：
在△ABC中，AD平分∠BAC，在AC的右侧作∠ACN=∠DAC（保留作图痕迹，不写过程）；
延长BA交CN与点E，求证：ABAC=BDCD．

证明：∵∠ACN=∠DAC
①
∴∠BAD=∠BEC
又∵AD平分∠BAC
②
∴∠BEC=∠ACN
③
又∵AD∥CN
④
∴ABAC=BDCD．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD⊥BC交BC于点D，点E是线段AD上的点，连接BE，请完成下面的作图和填空．

(1)用尺规完成以下基本作图：以点C为顶点，在BC的右边作∠BCF=∠EBD，射线CF交AD的延长线于点F，连接BF，FC．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：四边形BECF是菱形．
证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴______，
∴BE=CE，
在△BED和△CFD中，∠EBD=∠FCDBD=DC，______；
∴△BED≌△CFD，
∴BE=CF，
∵∠BED=∠CFD，
∴______，
∴四边形BECF是平行四边形．
∵______，
∴四边形BECF是菱形．
7．在学习平行四边形时，刘老师给同学们提了这样一个问题：如图，在▱ABCD中，点E是边CD上一点，试证明△ABE的面积等于▱ABCD的一半，小明的思路是过点E作BC的平行线，转化为证三角形全等解决问题．

请根据小明的思路完成下面作图和解答：
证明：用直尺和圆规，完成基本作图：过点E作∠DEF=∠C，交AB于点F（只保留作图痕迹）．
∵∠DEF=∠C，
∴ ______①，
∴ ______②，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，
∴ ______③，
∵ ______④，
∴△BEF≌△EBC，（______⑤）
同理可得______⑥，
∴S△ABE=S△BFE+S△AEF=12S▱BCEF+12S▱ADEF=12S▱ABCD．
8．如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，连接AE．

(1)尺规作图：在正方形内部作∠ADF，使∠ADF=∠BAE，边DF交线段AE于点T，交AB边于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)要探究AE，DF的位置关系和数量关系，请将下列过程补充完整．
解：AE=DF，AE⊥DF，理由如下．
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=BA，∠DAF= ①=90°，
在△DAF和△ABE中
∠DAF=∠BDA=AB（②）
∴△DAF≌△ABE，
∴ ③
∵∠BAE+∠DAT=90°，∠BAE=∠ADF，
∴∠ADF+∠DAT=90°
∴ ④，
∴AE⊥DF，
∴AE=DF，AE⊥DF．
9．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为CB延长线上一点，CD=AB，连接AD．

(1)用尺规完成以下基本作图：在AD的右侧作∠ADE=∠ACB，射线DE与AC延长线交于点E；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)孟孟判断CE=BD．她的证明思路是：利用等腰三角形的性质及外角定理，通过全等从而得到CE与BD相等．请根据孟孟的思路完成下面的填空：
证明：∵①_____________，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ADE=∠ACB
∴②_______________，∵∠ABC=∠ADC+∠BAD
又∠ADE=∠ADC+∠CDE，∴∠CDE=∠BAD
∵D、B、C三点共线，∴∠ABD+∠ABC=180°
∵A、C、E三点共线，∴③______________
∴∠ABD=∠DCE，∵CD=AB
∴④_____________ASA，∴CE=BD
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是AD上的一点，连接BE．

(1)用直尺和圆规，在BC上作一点F，使得∠FDC=∠ABE（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图中，求证：四边形BFDE为平行四边形．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A= ① ，AB=CD，AD=BC．
在△ABE和△CDF，
∠A=∠C∠ABE=∠FDC②
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AE= ③ ，BE=DF，
∴AD−AE=CB−CF，
∴ED= ④
∴四边形BFDE为平行四边形．
【题型2角平分线】
11．如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点，连接EF，BF，∠ABD是△ABC的一个外角．
(1)用尺规完成以下基本作图：作∠ABD的角平分线BG，交FE的延长线于点G，连接AG．（只保留作图痕迹
(2)在（1）所作的图形中，若BE=FE，证明：四边形AGBF是矩形．（请完成下面的填空）
∵BG平分∠ABD，
∴ ① ，
∵点E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴ ② ，
∴∠DBG=∠EGB，
∴∠EGB=∠ABG
∴ ③ ．
∵BE=FE，
∴ ④ ，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴四边形AGBF是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵AB=AE+BE，GF=GE+FE，
∴AB=GF，
∴四边形AGBF是矩形．（ ⑤ ）
12．在学习等腰三角形的性质时，林林进一步探究发现：三角形一个角的平分线与其对边的高重合时，这个三角形是等腰三角形，他通过证明三角形全等得到结论，请根据他的思路完成以下作图与填空：
(1)用直尺和圆规，作∠BAC的角平分线交BC于D．（只保留作图痕迹）
(2)已知：如图：在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD⊥BC．
求证：AB=AC．
证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=①___________．
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=②____________=90°，
∴△ABD≅△ACDASA，
∴③__________．
林林根据垂直平分线的性质进一步发现：三角形一边上的④________________重合时，这个三角形是等腰三角形．
13．花花在学习矩形时发现：AC、BD为矩形ABCD的对角线，若∠CAD的角平分线交BC的延长线于点F，则CF=BD．她的证明思路是：先做出∠CAD的角平分线：以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AD、AC于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于12MN为半径画弧，交于点E，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．然后利用矩形的性质得到等腰三角形，从而解决问题．请根据花花得思路将图补充完整，并将下面的证明过程补充完整．
证明：∵AF为∠CAD的平分线，
∴ ①
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ② ．AC=BD
∴∠DAF=∠F
∴ ③ ．
∴AC=CF，
∴ ④ ．
14．如图，在△ABC中，AB>AC，∠A=70°，在BC边上有一点E，且EC=AC．
(1)作∠ACB角平分线CD，交AB于点D（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
(2)在（1）的条件下连接DE，若BE=AD，求∠B的度数．
注：本题第（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式．
解（2）∵CD平分∠ACB，∴______①______，
在△ACD和△ECD中，CA=CE∠ACD=∠ECDCD=CD，∴____________(SAS)，
∴____________，∠A=∠CED=70°，
∵BE=AD，∴BE=DE，∴____________，
∵∠CED=∠B+∠EDB=2∠B，∴∠B=12∠CED=12×70°=35°．
15．如图平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD于点E．
(1)请用尺规作∠BCD的角平分线CF，交AB于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）的作图，证明：AE ∥ CF．请在答题卡上完成相应的填空．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB ∥ CD，∠BAD= ∠BCD，
∴∠ECF= _________（两直线平行，内错角相等），
又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠EAF= _________，∠ECF= _________，
∴∠EAF= ∠ECF= ∠CFB，
∴AE ∥ CF__________________（填推理的依据）．
16．在学习了全等三角形判定与性质的相关知识后，小语进行了拓展性研究，她发现全等三角形的对应角平分线与全等三角形的对应边或对应角有类似性质．她的解决思路为通过证明对应线段所在的两个三角形全等即可得出结论．
请根据她的思路完成以下作图和填空：
用直尺和圆规作∠FEG的角平分线，交FG于点H．（只保留作图痕迹）
如图，△ABC≌△EFG，AD平分∠BAC交BC于D，EH平分∠FEG交FG于H．
求证：AD=EH．
证明：∵△ABC≌△EFG，
∴AB=EF，∠BAC=∠FEG，
① ，
∵AD平分∠BAC，EH平分∠FEG，
∴∠BAD=12∠BAC，∠FEH=12∠FEG，
∴② ，
在△ABD和△EFH中，
∠B=∠FAB=EF∠BAD=∠FEH，
∴△ABD≌△EFH（③ ），
∴AD=EH．
小语再进一步探究发现，全等三角形的对应高线或中线均具备此特征．依照题意，对应高线或中线此特征应表述为命题：④ ．
17．小量想利用平行四边形构造出一个菱形．他的思路如下：如图，在平行四边形ABCD中，AB证明：用直尺和圆规，在AD截取一点E，使得AE=AB，连接BE，再作∠BAD的角平分线交BC于点F，交BE于点O，连接EF．（保留作图痕迹）
∵AB=AE，AF平分∠BAE，
∴AO是BE上的中线，
∴①，
∵在平行四边形ABCD中AD∥BC，
∴在△AOE和△FOB中有∠ADE=∠FBOBO=EO②，
∴△AOE≌△FOBASA，
∴③，
∵AD∥BC，
∴四边形ABFE是平行四边形；
∵④，
∴平行四边形ABFE是菱形．
18．如图，四边形ABCD是平行四边形．
(1)用尺规完成下列基本作图：在DC上取点E，使DE=AD，连接AE，作∠BCD的平分线交AB于F；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)根据（1）中作图，求证：AE=CF，补充完成下列证明过程（答案填写在答题对应标号位置）．
证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCF=______，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，BC=AD，
∴∠DCF=______，
∴∠BCF=∠BFC，∴BC=______，
∵DE=AD，∴DE=BF，
∵DC=AB，∴CE=______，
∵CE∥AF，∴四边形AECF为______，∴AE=CF．
19．在学习平行四边形后，小函进行了拓展性研究．她发现，平行四边形ABCD中，在DC边上截DF=DA，连接AF，作∠BCD的角平分线交AB于点E，则AF=CE．她的解决思路是通过证明两条线段所在的四边形是平行四边形得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：
用直尺和圆规，在DC边上截DF=DA，连接AF，作∠BCD的角平分线CE，交AB于点E（只保留作图痕迹）．
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，DA=DF，CE平分∠BCD，交AB于点E．求证：AF=CE．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC，
∴∠ECF=______，①
∵CE平分∠BCD，
∴∠ECF=______，②
∴∠CEB=∠ECB，
∴BE=BC
∵AD=DF，
∴BE=______，③
∴AB−BE=______，④
∴AE=CF
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴AF=CE．
20．如图，AB∥CD，CB平分∠ABD．
(1)用尺规作图完成以下基本作图：作DE平分∠BDC，分别交AB，BC于点E，O．连接CE；（保留作图痕迹，不写作法和结论．）
(2)根据（1）中作图，证明四边形BDCE是菱形，请你补全证明过程．
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD．
又∵CB平分∠ABD，
∴①________，
∴∠BCD=∠DBC，
∴②________，
同理：BE=BD
∴③________，
又∵AB∥CD即BE∥CD，
∴四边形BDCE是平行四边形．
∴四边形BDCE是菱形．（④________）．
【题型3垂直平分线】
21．如图，在矩形ABCD中，AB>BC,AC是对角线．
(1)尺规作图：作线段AC的垂直平分线EF，分别交AC,AB,CD于点O、E、F（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，求证：BE=DF（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后）．
证明：∵EF垂直平分AC
∴OA=OC
又∵四边形ABCD是矩形
∴①______AB=CD,
∴∠OAB=∠OCD
在△AOE和△COF中
∠OAB=∠OCDOA=OC②______
∴△AOE≌△COFASA
∴③_______
∵AB=CD
∴AB−AE=CD−④______
∴BE=DF

22．在学习了矩形后，小雨借助尺规找到了直角三角形斜边的中点，通过倍长中线构造了矩形，然后利用矩形对角线的性质探究出了直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系．请根据她的思路完成以下作图与填空：
(1)已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交BC于点E，垂足为点O，连接BO并延长，在射线BO上截取OD=OB，连接AD、CD．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）问所作的图形中，求证：OB=12AC．
证明：∵OE垂直平分AC，
∴点O是AC的中点．
∴OA=_____．
∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠ABC=_____，
∴四边形ABCD是_____．
∴_____．
∵OB=12BD，
∴OB=_____．
23．如图，在四边形ABCD中，AB=12CD，DC∥AB连接DB，∠DBC=90°．
(1)尺规作图：作线段BC的垂直平分线交 CD于点E，交BC于点F，连接BE（不下结论、不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作图中，证明四边形ABED为菱形，完成下列填空．
证明：∵EF垂直平分BC．
∴ ① ，
∴∠EBC=∠C．
∵∠DBC=90°
∴∠EBC+∠EBD=90°，∠C+∠EDB=90°．
∴．∠EBD= ②
∴DE=BE．
∴DE= ③ ；即DE=12CD．
∵AB=12CD．
∴DE=AB．
又∵ ④
∴四边形ABED是 ⑤
∵DE= ⑥
∴四边形ABED为菱形．
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC ,BD是对角线．
(1)用尺规完成以下基本作图：作线段BD的垂直平分线EF,EF分别交BD,AD,BC于点O,E，F．连接BE,DF．（只保留作图痕迹）
(2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形BFDE为菱形．（请完成下面的填空）
证明：∵EF垂直平分BD
∴① ，EF⊥BD
∵ AD∥BC
∴②
∠EDO=∠FBODO=BO③_______
∴△EDO≌△FBOASA
∴④
∴四边形BFDE为菱形（两条对角线互相垂直平分的四边形为菱形）
在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤ ．
25．如图，在四边形ABCD中，AB=12CD，DC∥AB．连接DB,∠DBC=90°．
(1)尺规作图：作线段BC的垂直平分线交CD于点E，交BC于点F，连接BE（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作图中，证明四边形ABED为菱形，完成下列填空．
证明：∵EF垂直平分BC，
∴______．
∴∠EBC=∠C，
∵∠DBC=90°，
∴∠EBC+∠EBD=90°，∠C+∠EDB=90°，
∴∠EBD=∠EDB（______），
∴DE=BE，
∴DE=______，
即DE=12CD，
∵AB=12CD，
∴DE=AB，
∵AB∥DE，
∴四边形ABED是______．
∵DE=______．
∴四边形ABED为菱形．
26．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E．
(1)用尺规作图完成以下基本作图：作线段BE的垂直平分线，分别交BE,BC于点M,N，连接NE；（保留作图痕迹，不写作法和结论，）
(2)根据（1）中作图，证明四边形ABNE是菱形，请你补全证明过程．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC
∴∠1=∠2
又∵BE平分∠ABC
∴ ①
∴∠1=∠ABE
∴ ②
∴点A在直线MN上
在△AME和△NMB中
∠l=∠2ME=MB∠AME=∠NMB
∴△AME≌△NMB（ ）③
∴AM=NM
又∵BM=EM,AM=NM
∴四边形ABNE是平行四边形
又∵AN⊥BE
∴ ④
27．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC．

(1)用尺规完成以下基本作图：作AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，交AD于点G．连接DE，DF（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）
(2)若∠BAC=90°，求证：四边形AEDF是正方形．（请补全下面证明过程）
证明：EF垂直平分AD，
∴AE=DE，AF=①________．
∴∠1=∠ADE，∠2=②________．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=③________．
∴∠ADE=∠ADF（等量代换）
又∵AD=AD，
∴△ADE≌④________（ASA）．
∴AE=AF=DE=DF
∴四边形AEDF是⑤________．
又∵∠BAC=90°（已知）
∴四边形AEDF是正方形．
28．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．

(1)作AD的垂直平分线，分别交AB，AC，AD于点E，F，G．连接DE，DF．（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）
(2)求证：AF=DE．（完成以下证明过程）
证明：∵EF⊥AD，AG⊥DG，
∴AE= ① ，∠AGE=∠AGF=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAG=∠FAG．
在△AEG和△AFG中，
② ，
③ ，
∠AGE=∠AGF，
∴△AGE≌△AGFASA．
∴ ④ ，
∴AF=DE．
29．我们都知道，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．小明在探究这个结论时，他的思路是：如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点．过点D作AC的垂线，然后证明该垂线是AC的垂直平分线，请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点D作AC的垂线，垂足为E（只保留作图痕迹）．
∵DE⊥AC，
∴∠AED=①__________
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠AED=②__________
∴③__________．
又∵AD=DB，
∴④__________．
∴DC=AD=12AB．
30．如图，直线l1∥l2，线段AD分别与直线l1、l2交于点C、点B，满足AB=CD．
(1)使用尺规完成基本作图：作线段BC的垂直平分线交l1于点E，交l2于点F，交线段BC于点O，连接ED、DF、FA、AE．（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）
(2)求证：四边形AEDF为菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵l1∥l2，
∴∠1=________①________，
∵EF垂直平分BC，
∴OB=OC，∠EOC=∠FOB=90°，
∴________②________≌△FOB，
∴OE=________③________，
∵AB=CD，
∴OB+AB=OC+DC，
∴OA=OD，
∴四边形AEDF是_________④_________，
∵EF⊥AD，
∴四边形AEDF是菱形．
【题型4过直线外一点作垂直】
31．如图：正方形ABCD中，直线l1经过点D，与AB交于点E，
(1)用直尺和圆规作图：过点C作DE的垂线l2，垂足为G，交AD于点F，（请保留作图痕迹，不要求写作图过程）
(2)同学们作图完成后，通过测量发现DE=CF，并且推理论证了该结论，请你根据他们的推理论证过程完成以下证明：
如图：已知正方形ABCD中，DE、CF分别是直线l1，直线l2被一组对边截得的线段，当DE⊥CF时，求证：DE=CF．
证明：∵正方形ABCD，
∴AD=DC，
∴∠EAD=∠CDF=90°，
∴ ① +∠AED=90°，
∵DE⊥CF，
∴∠FGD=90°，
∴ ② ，
∴∠AED=∠DFG，
在△DAE和△CDF中，
∠EAD=∠CDF ③ ∠AED=∠DFG，
∴△DAE≌△CDF，
∴DE=CF．
同学们进一步研究发现，一条直线被正方形的一组对边所截得的线段与另一条直线被正方形的另一组对边所截得的线段垂直时均具备此特征，请你依据题目中的相关描述，完成下列命题：两条直线分别被正方形的一组对边所截，若所截得的线段 ④ ．
32．在学习了平行四边形的相关知识后，小明对它的面积进行了研究，他发现，平行四边形的面积=底×高，可以通过三角形全等转换成矩形计算．请根据他的思路完成以下作图和填空：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE垂直BC，垂足为E．用直尺和圆规作图，过点D作DF垂直BC，交BC的延长线于点F．（只保留作图痕迹）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，______．
∴∠ABE=______．
∵AE垂直BC,DF垂直BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠AEB=∠DFC，
∴DA∥BC,AE∥DF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵∠DFC=90°．∴四边形AEFD是______．
∴S平行四边形ABCD=S△ABE+S四边形AECD
=S△DCF+S四边形AECD
=S矩形AEFD=AD×AE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴______．
∴S平行四边形ABCD=BC×AE．
即平行四边形的面积=底×高．
33．在学习正方形的过程中，小明遇到了一个问题：在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，过点D作AE的垂线，分别交AE，AB于点G和点F．求证：AE=DF．他的思路是：首先利用正方形的性质得到正方形各边相等，再利用垂直，得到角相等，将其转化为证明三角形全等，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用尺规完成以下基本作图：过点D作AE的垂线，分别与AE、AB交于点G、F；（不写作法和证明，保留作图痕迹）

证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD．
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAE=90°．
∵DF⊥AE，
∴∠AGD= ①
∴ ② +∠DAE=90°．
又∵∠BAE+∠DAE=90°，
∴ ③
在△ABE和△DAF中，
___④____AB=AD∠BAE=∠ADF
∴△ABE≌△DAFASA．
∴AE=DF．
34．在平行四边形ABCD中，E为AD边上的一点，连接AC，CE．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点E作EF垂直AC于点O，交BC于点F；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图形中，连接AF，若BF=DE，证明：四边形AECF为菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ ①
∵BF=DE
∴BC−BF=AD−DE
即 ②
∵BC∥AD
即AE∥CF且AE=CF
∴四边形AECF为 ③
又∵ ④
∴四边形AFCE为菱形．
35．如图，点C在线段AB上，AD∥BE，AC=BE，AD=BC，DE交AB于点G．
(1)尺规作图：过点A作线段DE的垂线交DE于点F．(基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论)
(2)求证DF=FG．
证明：∵ AD∥BE
∴
在△ACD和△BEC中，
AC=BE∠DAC=∠CBEAD=BC
∴△ACD≌△BEC
∴∠ADC=∠BCE， ，
∴∠CDE=∠CED．
∴∠ADC+∠CDE=∠BCE+∠CED
∴∠ADG=∠AGD
∴
∵
∴DF=FG．
36．在学习了角平分线的性质后，小红进行了拓展性探究，她发现在直角梯形中，如果两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度，她的解决思路是：将问题转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决，请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，过点E作AD的垂线，垂足为点F（只保留作图痕迹）
已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．
求证：AB+CD=AD．
证明：∵AE平分∠BAD，
∴ ① ，
∵EF⊥AD，
∴∠AFE=90°，
∵∠B=90°，
∴∠B=∠AFE，
在△ABE和△AFE中，
∠B=∠AFE∠BAE=∠FAE➁，
∴△ABE≅△AFE(AAS)，
∴ ③ ，
同理可得：CD=DF，
∴AB+CD=AF+DF=AD
小红再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：
如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么 ④ ．
37．如图，已知AB∥CE，AD平分∠BAC，交CE于点D．
(1)用直尺和圆规完成以下基本作图，过点C作AD的垂线，交AD于点F，交AB于点G；（保留作图痕迹，不写作法和结论）
(2)在（1）所作图形中，求证：CD=AG．（补全证明过程）
证明：∵AD平分∠BAC
∴ ，
∵CF⊥AD
∴∠CFA=∠GFA=90°，
在△AFC和△AFG中，
∠BAD=∠CAD______∠CFA=∠GFA
∴△AFC≌△AFGASA
∴AC=AG
∵AB∥CE
∴ ．
∵∠BAD=∠CAD
∴∠CDA=∠CAD
∴ ．
∴CD=AG
38．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BD于E．
(1)尺规作图：过点C作CF⊥BD于点F，连接AF．（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：CE=AF．将下面的过程补充完整．
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AED=∠CFB=90°；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴___①___，AD∥BC，
∴___②___．
在△ADE和△CBF中，
∠AED=∠CFB∠ADE=∠CBFAD=CB，
∴△ADE≌△CBF（AAS）
∴___③___，
又∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是___④___；
∴CE=AF．
39．在几何学习中，我们遇到这样一个题目：“在四边形ABCD中，AB>AD．若AC平分∠BAD，BC=CD，求证：∠B+∠ADC=180°．”结合学过的知识，可以知道：首先过点C分别作出AB、AD的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后结合补角的知识使问题得到解决．请根据上述的思路，完成下面的作图与填空：
(1)尺规作图：用直尺和圆规，过点C分别作出AB、AD的垂线，垂足分别是点 E、F（只保留作图痕迹）；
(2)证明：∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠CEB=∠CFD=90°，
又∵AC平分∠BAD，
∴ ．
在Rt△CEB和Rt△CFD中，
BC=CD
∴Rt△CEB≌Rt△CFDHL
∴ ．
又 ．
∴∠B+∠ADC=180°．
40．如图，在△ABC中．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点A作BC的垂线交BC于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图形中，在EC上取一点F，使得BE=EF，连接AF，若CF=AB，证明：△AFC为等腰三角形．
证明：∵AE⊥BC，
∴
在△ABE与△AFE中
BE=EFAE=AE
∴△ABE≌△AFE(SAS)
∴
又∵CF=AB
∴
∴△AFC为等腰三角形
【题型5过直线上一点作垂直】
41．在三角形ABC中，∠C=90°，AD为边BC上的中线，小明想以BC为对角线，构造一个平行四边形ABEC，做了如下思考：过点B作BC的垂线，交AD的延长线于点E，连接CE，则四边形ABEC即为平行四边形．请你按小明的思路进行作图并证明：四边形ABEC即为平行四边形（用基本尺规作图，保留作图痕迹，不下结论）．
证明：∵AD为边BC上的中线
∴①
又∵BE⊥BC
∴②
∵∠ACB=90°
∴③
在△ACD与△EBD中
∠ACB=∠EBCCD=BD∠ADC=∠EDB
∴△ACD≌△EBD(ASA)
∴④
∴四边形ABEC为平行四边形
42．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点．
(1)用直尺和圆规完成下面的作图，过点C作AC的垂线，与OE的延长线交于点F，连接FD：（只保留作图痕迹）
(2)求证：四边形OCFD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是菱形．
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
又∵AC⊥CF，
∴∠ACF=90°
∴∠COD+∠ACF=180°
∴CF∥BD
∴___________①___________，
∵E是CD中点，
∴___________②___________，
在△ODE和△FCE中，
∠ODE=∠FCEDE=CE∠DEO=∠CEF
∴△ODE≌△FCEASA，
∴___________③___________，
∵CF∥BD
∴四边形OCFD是平行四边形，
又∵___________④___________，
∴四边形OCFD是矩形．
43．如图，在矩形ABCD中，DF平分∠ADC交BC于点F，连接AF．

(1)用尺规作图：过点F作AF的垂线，交CD于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)小明同学准备在（1）问所作的图形中，求证BF=CE．他的证明思路是：利用矩形和角平分线的性质，证明三角形全等解决问题．请根据小明的思路完成下列填空．
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴∠ADF=∠DFC
∵①
∴∠ADF=∠CDF
∴∠DFC=∠CDF
∴②
∵AB=CD
∴AB=FC
∵AF⊥EF
∴∠AFE=90°
∴∠AFB+∠EFC=90°
∵在△ABF中，∠B=90°
∴③
∴∠BAF=∠EFC
在△ABF和△FCE中
∠B=∠C④∠BAF=∠EFC
∴△ABF≌△FCEASA
∴BF=CE
44．如图，在▱ABCD中，连接BD．

(1)用直尺和圆规过点B作BC的垂线，交线段CD的延长线于点E，连接AE，要求尺规作图（用基本工具作图，要保留作图痕迹，不写作法，不写结论）．
(2)若BD=CD，求证：四边形ABDE为菱形．
证明：∵BD=CD，
∴_________________，
∵在Rt△CBE中，∠CBE=90°，
∴∠CEB+∠C=∠EBD+∠CBD=90°，
∴_________________，
∴BD=ED，
∵BD=CD，
∴_________________，
∵▱ABCD，
∴AB=CD，
∴AB=ED，
∴四边形ABDE为 _________________，
∵▱ABDE，BD=ED，
∴四边形ABDE为菱形（__________________________________）．
45．在学习等腰直角三角形的过程中，小邓同学遇到了一个问题：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为线段BC上任意一点，试说明AD，BD，CD之间的数量关系．小邓的思路是：首先过点C作BC的垂线，再构造与△ABD全等的三角形，从而转化AD，BD，使问题得到解决．请根据小邓的思路完成下面的作图与填空：
尺规作图：过点C作BC的垂线CE，在BC上方的直线CE上截取CF=BD，连接AF，DF（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）
证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC
∴∠B=∠ACB=45°，
∵CE⊥BC
∴ ①
∴∠ACF=45°
在△ABD和△ACF中，
AB=AC∠B=∠ACF②，
∴△ABD≌△ACFSAS
∴AD=AF， ③
∵∠BAD+∠DAC=90°
∴∠FAC+∠DAC=90°
∴∠DAF=90°
在Rt△DAF中，∠DAF=90°，DF2=AD2+AF2=2AD2
在Rt△DCF中，∠DCF=90°， ④
又∵BD=CF
∴DF2=BD2+CD2
∴2AD2=BD2+CD2
46．如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，
(1)用尺规完成以下基本作图：过O点作AC的垂线分别交AB、DC于点E、F（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）问的条件下，连接AF，CE，求证：四边形AECF为菱形
并将下面的证明过程补充完整
证明：∵□ABCD
∴AO=CO
∴___________①___________
∴∠DCA=∠BAC
在△FOC和△EOA中
∠DCA=∠BACAO=CO②
△FOC≌△EOA，
∴___________③___________
∵AO=CO
∴四边形AECF为平行四边形
∵___________④___________
∴四边形AECF为菱形
47．四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD交于点O．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点O作AC的垂线，分别交AD，BC于点E，F．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)在（1）问所作的图形中，连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴______①______，OA=OC，OB=OD
∴∠ADO=∠CBO
在△DEO和△BFO中
∠ADO=∠CBOOD=OB__②__
∴△DEO≌△BFOASA
∴______③______
∵OA=OC
∴四边形AFCE为平行四边形
∵______④______
∴平行四边形AFCE为菱形
48．如图．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．
（1）过点O作BD的垂线，交BA延长线于点E，交AD于F，交BC于点N；（要求：尺规作图，标注字母．不写作法．保留作图痕迹并下结论）
（2）若EF=OF，∠CBD=30°，BD=63．求AF的长．
49．如图，在矩形ABCD中，AO＝OC．
（1）尺规作图：作对角线AC中点O的垂线，分别交AB和CD于点E，F．
（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）
（2）连接AF．求证：AE=AF．
50．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，已知D为AC的中点．
(1)求作：过点C作直线BC的垂线，交BD的延长线于点E连接AE．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)请判断四边形ABCE的形状，并说明理由．