专题05 分式与不等式综合含参运算（填空题5种类型50道）-备战2024年中考数学二轮复习之高频考点高效训练（重庆专用）

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\l "_Tc1175" 【题型1条件为有解类】 PAGEREF _Tc1175 \h 1
\l "_Tc30231" 【题型2条件为无解类】 PAGEREF _Tc30231 \h 9
\l "_Tc6411" 【题型3有且仅有n个解】 PAGEREF _Tc6411 \h 17
\l "_Tc5253" 【题型4已知不等式的解集】 PAGEREF _Tc5253 \h 26
\l "_Tc21761" 【题型5至少或至多有n个解】 PAGEREF _Tc21761 \h 35
【题型1条件为有解类】
1．若关于x的一元一次不等式组x+23−1≤2x+33x+1≤x+a有解，且关于y的分式方程1y−1+6−a1−y=−2的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】7
【分析】本题考查分式方程的解、一元一次不等式组的解；熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情况是解题的关键．由关于x的一元一次不等式组x+23−1≤2x+33x+1≤x+a有解可得a≥−3，再由分式方程求解可得y=7−a2为非负整数，考虑y=1时a=5是增根，则可求整数a的值为−3，−1，1，3，7，其和为7．
【详解】解：不等式组x+23−1≤2x+33x+1≤x+a的解为x≥−2x≤a−12，
∵关于x的一元一次不等式组x+23−1≤2x+33x+1≤x+a有解，
∴ a−12≥−2，
∴a≥−3，
方程1y−1+6−a1−y=−2的两边同时乘以y−1，得
1+(a−6)=−2(y−1)，
解得：y=7−a2，
∵解为非负数，
∴a=−3、a=−1、a=1、a=3、a=5、a=7，
∵y≠1，
∴a≠5，
∴整数a的值为−3，−1，1，3，7，其和为7．
故答案为：7．
2．若关于x的不等式组x2≤m2+12x+1≥4m−1有解，且关于y的分式方程1y−2−m−y2−y=2有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值之和是 ．
【答案】−10
【分析】本题主要考查解含参一元一次不等式有解问题，解含参数分式方程，对于一元一次不等式组直接解即可，满足有解条件即可，
分式方程直接解即可，令y≥0，求m取值范围即可，注意y≠2，就可以求出m取值范围，最后写出所有整数解，再求和．
【详解】解：x2≤m2+12x+1≥4m−1；
x≤m+2，2m−1≤x；
∴2m−1≤x≤m+2；
∵x有解，
∴m+2≥2m−1；
∴m≤3；
对于分式方程1y−2−m−y2−y=2；
直接去分母得1+m−y=2y−4；
解得：y=m+53；
即m+53≠2，且m+53≥0；
∴−5≤m≤3，且m≠1；
∵m为整数
∴m的取值为−5，−4，−3，−2，−1，0，2，3；
∴所有整数m的值之和是−10；
故答案为：−10．
3．若整数a使得关于x的分式方程16xx−4+2x=ax−4有正整数解，且使得关于y的不等式组y+12−y−13>11−y2≥3−a有解，那么符合条件的所有整数a的和为 ．
【答案】16
【分析】解分式方程16xx−4+2x=ax−4得：x=8a−2，得出a−2=1或2或4或8，求出a=3或6或10，根据关于y的不等式组y+12−y−13>11−y2≥3−a有解，得出2a−5>1，求出a>3，得出符合题意的整数a的值有6，10，最后求出结果即可．
【详解】解：由分式方程16xx−4+2x=ax−4得：x=8a−2，
∵分式方程的解为正整数解，
∴a−2=1或2或4或8，
又∵x≠4且x≠0，
∴a≠4，
∴a=3或6或10，
∵关于y的不等式组y+12−y−13>11−y2≥3−a有解，
∴2a−5>1，
解得：a>3，
综上，符合题意的整数a的值有6，10，符合条件的所有整数a的和为16．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，不等式组，解题的关键是准确求出分式方程的解，得出整数a的值有6，10．
4．若整数m既能使关于x的不等式组2x−13−5x+12≥1x+3>m有解，也能使关于y的分式方程my−2y−3+13−y=2有整数解，则整数m的值为 ．
【答案】−1
【分析】先解一元一次不等式组得到x≤−1x>m−3，根据不等式组有解求出m的范围，再解分式方程，再由解为整数且y≠3，m≠2，即可求出m的值．
【详解】解：解关于x的不等式组2x−13−5x+12≥1x+3>m得：x≤−1x>m−3，
∵不等式组有解，
∴m−3<−1，
解得：m<2，
解关于y的分式方程my−2y−3+13−y=2得：y=32−m，
∵y≠3，m≠2，
∴32−m≠3，m≠2，
∴m≠1且m≠2，
∴m<2且m≠1
∵32−m为整数，且m为整数，
∴32−m=±1,−3
解得：m=−1，或m=3(舍去)，或m=5(舍去)
∴m=−1，
∴整数m的值为−1．
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解，正确求出分式方程的解和一元一次不等式组的解是解决问题的关键．
5．若关于x的一元一次不等式组4x−14≤5−2xa−x2≤x−1有解，且关于y的分式方程ay−21−y−7y−1=1的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
【答案】−4
【分析】先解不等式组中的两个不等式，根据不等式组有解可得a的一个取值范围；再利用关于y的分式方程ay−21−y−7y−1=1有整数解，确定a的值，问题随之得解．
【详解】解：4x−14≤5−2x①a−x2≤x−1②．
解不等式①的解集为x≤1，
不等式②的解集为x≥a+23，
∵不等式组有解，
∴a+23≤1，
解得：a≤1．
解关于y的分式方程ay−21−y−7y−1=1得：y=−4a+1．
∵根据题意有：y≠1，
∴−4a+1≠1，解得：a≠−5，
∵关于y的分式方程ay−21−y−7y−1=1有整数解，a<1，
∴a=−3，−2，0，1．
∴符合条件的所有整数a的和为−3−2+0+1=−4．
故答案为：−4．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组等知识，正确确定不等式组的解集是解题的关键，解分式方程要注意有产生增根的可能．
6．若关于x的一元一次不等式组3x−12≥x+12x−4【答案】7
【分析】先解一元一次不等式组，再解分式方程，进而解决此题．
【详解】解：由3x−12≥x+1，得x≥3．
由2x−4∵关于x的一元一次不等式组3x−12≥x+12x−4∴3<4+a2．
∴a>2．
ay−3y−1−2=y−51−y，
去分母，得ay−3−2y−1=5−y．
去括号，得ay−3−2y+2=5−y．
移项，得ay−2y+y=5−2+3．
合并同类项，得a−1y=6．
∵关于y的分式方程ay−3y−1−2=y−51−y的解为整数，
∴6a−1是整数且6a−1≠1．
∴a−1=±1或±2或±3或−6．
∴a=0或2或3或−1或4或−2或−5．
又∵a>2，
∴a=3或4．
∴所有满足条件的整数a的值之和是3+4=7．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查分式方程的解、解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式的解法、分式方程的解的定义是解决本题的关键．
7．若关于y的不等式组y−2≤y−223y+1−m≥0有解，且关于x的分式方程3−11−x=mx−1有非负整数解，则满足条件的所有整数m的和为 ．
【答案】9
【分析】通过一元一次不等式的解的条件可得m≤7，再解分式方程可得x=2+m3，根据分式方程解得情况确定m的值为m=−2或m=4或m=7，再求和即可．
【详解】解：不等式组y−2≤y−22①3y+1−m≥0②，
由①得y≤2，
由②得y≥m−13，
∵不等式组有解，
∴m−13≤2，
解得m≤7，
3−11−x=mx−1，
∴x=m+23，
∵方程有非负整数解，
∴m=−2或m=1或m=4或m=7，
∵x≠1，
∴m≠1，
∴满足条件的所有整数m的和为9，
故答案为：9
【点睛】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意方程的增根情况是解题的关键．
8．若关于x的一元一次不等式组x2≥x−13x+a<1有解，且关于y的分式方程1y−2−a−y2−y=1的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】−1
【分析】先解不等式组，确定a的取值范围a<3，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得y=a+32，由分式方程有正数解，确定出a的值，相加即可得到答案．
【详解】解：x2≥x−13①x+a<1②，
解不等式①得：x≥−2
解不等式②得：x<1−a，
∵关于x的一元一次不等式组x2≥x−13x+a<1有解，
∴1−a>−2，
解得：a<3，
分式方程1y−2−a−y2−y=1去分母得：1+a−y=y−2，
解得：y=a+32，
∵y是正数，且y≠2，
∴a>−3且a≠1，
∴满足条件的整数a的和为−2−1+0+2=−1，
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．
9．若关于x的不等式组x−a<0x+42−1≥x+13有解，且关于x的分式方程ax−1+1=x1−x的解为非负整数，则满足条件的整数a的值的和为 ．
【答案】−2
【分析】先解不等式组，根据已知求出a的范围，然后解分式方程，根据分式方程的解为非负数整数确定a的范围，最后找出满足条件的整数a值即可解答．
【详解】解：x−a<0①x+42−1≥x+13②
解不等式①得：x解不等式②得：x≥−4，
∵不等式组有解，
∴a>−4，
ax−1+1=x1−x，
a+x−1=−x，
解得：x=1−a2，
∵分式方程的解为非负数整数，
∴1−a2≥0且1−a2≠1，
∴a≤1且a≠−1，
∴−4＜a≤1且a≠−1，
∴满足条件的整数a的值为：−3,1，
∴满足条件的整数a的值的和为：−3+1=−2，
故答案：−2
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，分式方程的解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．
10．若整数a使关于x的分式方程ax−2x−3=2−13−x的解为整数，且使关于x的一元一次不等式组2x−13−5x+12≥1x+5>a有解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
【答案】2
【分析】先求出分式方程的解可得x=32−a，再由分式方程的解为整数，可得a取5，3，−1，然后解出不等式的解集，根据整数a使关于x的一元一次不等式组有解，可得a−5<−1，可求出所有满足条件的整数a的值，即可求解．
【详解】解：ax−2x−3=2−13−x
去分母得：ax−2=2x−3+1，
解得：x=32−a，
∵分式方程的解为整数，
∴a取5，3，1，−1，
∵x−3≠0，
∴x≠3，即a≠1，
2x−13−5x+12≥1①x+5>a②，
解不等式①得：x≤−1，
解不等式②得：x>a−5，
∵整数a使关于x的一元一次不等式组有解，
∴a−5<−1，
即a<4，
∴符合条件的a的值为3，−1，
∴所有满足条件的整数a的值之和为3−1=2．
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了含字母系数的分式方程和含字母系数的一元一次不等式组等，解决问题的关键是熟练掌握分式方程的解的概念，解分式方程，一元一次不等式组有解的情形，解一元一次不等式组， 确定分式方程的解时，注意分式方程不产生增根的情形．
【题型2条件为无解类】
11．若数a使关于x的不等式组x−a>2x−3a<−2无解，且使关于x的分式方程axx−5−55−x=−3有正整数解，则满足条件的整数a的值之积为
【答案】28
【分析】解不等式组x−a>2x−3a<−2，根据“该不等式组无解”，得到关于a的一元一次不等式，解之，解分式方程axx−5−55−x=−3根据“a为整数，且分式方程有正整数解”，找出符合条件的a的值，相乘后问题可解．
【详解】解：解不等式组x−a>2①x−3a<−2②
∴解不等式①得，x>a+2，
解不等式②得，x<3a−2，
∵该不等式组无解，
∴3a−2≤a+2，解得a≤2；
解分式方程axx−5−55−x=−3得：a+3x=10，
∵分式方程axx−5−55−x=−3有正整数解，
∴x=10a+3，且a≠−3，
∵a为整数，
∴a的值为：2，−1，−2，7
∴2×−1×−2×7=28．
故答案为：28．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解题的关键是正确掌握解分式方程的方法和解一元一次不等式组方法．
12．若关于x的一元一次不等式组x+a≤1+3x2x<1无解，且关于y的分式方程2+ay3−y=1y−3−1的解是整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】9
【分析】由不等式组的解集可确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解以及增根的定义确定整数a的值即可．
【详解】解：x+a≤1+3x2①x<1②
解不等式①得：x≥2a−1
解不等式②得：x<1
∵不等式组无解：
∴2a−1≥1
∴a≥1
2+ay3−y=1y−3−1
解得：y=−6a−1
∵y=−6a−1是整数
∴a−1=±1,±2,±3
∴a=2，0，3，−1，4，−2，
∵y=3是增根，则a−1≠−2，
∴a≠−1
又a≥1，则a=2,3,4
∴所有满足条件的整数a的值之和是2+3+4=9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查一元一次不等式组，分式方程，理解一元一次不等式组、分式方程的解，掌握一元一次不等式组、分式方程的解法是正确解答的前提．
13．若关于x的一元一次不等式组x≥−2x+7,2x−x−12【答案】7
【分析】不等式组变形后，根据无解确定出a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有非负整数解，确定出满足条件a的值，进而求出之和．
【详解】解∶解不等式x≥−2x+7得：x≥73，
解不等式2x−x−12∵一元一次不等式组x≥−2x+7,2x−x−12∴2a−13≤73，
解得a≤4，
解分式方程3−ayy−2+2=−12−y，得y=22−a，
∵关于y的分式方程3−ayy−2+2=−12−y有整数解，
∴2−a=±1或2−a=±2
∴a=4或3或0或1，
a=1时，y=2，原分式方程无解，故将a=1舍去，
∴符合条件的所有整数a的和是4+3+0=7，
故答案为7．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．
14．若关于x的方程ax+1+1=x+ax−1的解为负数，且关于y的不等式组y−1≥2y−13−12y−a>0无解，则所有满足条件的整数a的值之积是 ．
【答案】2
【分析】分别解分式方程和不等式组，从而得出a的范围，从而得整数a的取值，进而得所有满足条件的整数a的值之积．
【详解】解：将分式方程去分母得：
ax−1+x+1x−1=x+ax+1，
解得：x=−2a−1，
∵解为负数，
∴−2a−1<0，
∴a>−12，
∵当x=1时，a=−1；x=−1时，a=0，此时分式的分母为0，
∴a>−12且a≠0；
将不等式组y−1≥2y−13−12y−a>0整理得：y≥2y∵不等式组y−1≥2y−13−12y−a>0无解，
∴a≤2，
∴a的取值范围为：−12∴满足条件的整数a的值为：1，2，
∴所有满足条件的整数a的值之积是2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查含参数分式方程和含参数一元一次不等式组的解的问题，注意分式方程取增根的情况及明确不等式组解集的取法是解题的关键．
15．若关于x的一元一次不等式组x+a3≥a−x3115x+23≤35无解，且关于y的分式方程7y−1+ay1−y=−1的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】9
【分析】先解不等式组，根据不等式组无解，得出a>−2，解分式方程，根据分式方程的解为正整数，得出a=2,3,4,7，求其和，即可求解．
【详解】解：x+a3≥a−x3①115x+23≤35②
解不等式①得：x≥a2
解不等式②得：x≤−1
∵不等式组无解
∴a2>−1
解得：a>−2，
解分式方程7y−1+ay1−y=−1
解得：y=6a−1
∵y≠1或0
∴a≠1或a≠7
∵分式方程的解为正整数，
∴6a−1>0，且a−1=1,2,3,6
解得：a>1，a=2,3,4,7
∵a≠7
∴a=2,3,4
∴2+3+4=9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等式组，掌握由解集倒推参数范围是解本题关键．
16．若关于x的不等式组3x+76≤x+43x+1>a+x2无解，且关于y的分式方程3−ay3−y−1=6y−3有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为 ．
【答案】11
【分析】先解不等式组，再解分式方程，从而确定a的取值，进而解决此题．
【详解】解：解不等式3x+76≤x+43，得x≤1．
解不等式x+1>a+x2，得x>a−2．
∵关于x的不等式组3x+76≤x+43x+1>a+x2无解，
∴a−2≥1．
∴a≥3．
∵ 3−ay3−y−1=6y−3，
∴3−ay−(3−y)=−6．
∴3−ay−3+y=−6．
∴(1−a)y=−6．
∴y=−61−a．
∵关于y的分式方程3−ay3−y−1=6y−3有正整数解，
∴−61−a≠3且1−a=−1或−2或−3或−6．
∴a=2或a=3（当a=3，此时y=3是增根，故舍去）或a=4或a=7．
综上：a=4或7．
∴满足条件的整数a和为4+7=11．
故答案为：11．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握一元一次不等式组以及分式方程的解法是解决本题的关键．
17．若关于y的不等式组y−1≥2y−13−12y−a＞0无解，且关于x的分式方程ax+1+1=x+ax−1的解为负数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】3
【分析】分别解不等式组和分式方程，从而得到a的范围，进而取得a的整数，即可解答．
【详解】解： y−1≥2y−13−12y−a＞0
整理得：y≥2y∵不等式组无解，
∴a≤2，
解ax+1+1=x+ax−1，得：x=−2a−1，
∵方程得解为负数，
∴−2a−1<0，
∴a>−12，
当a=0时，x=−1，分式方程无解，
∴a>−12且a≠0
∴−12∴a的整数解为：1，2．
∴所有满足条件的整数a的值之和为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了含参数分式方程和含参数一元一次不等式，注意分式方程取增根的情况和明确不等式组解集的取法是解题的关键．
18．若关于x的不等式组5x+4≤6xx+1【答案】11
【分析】利用不等式无解及分式方程的解为非负数得到a的取值范围，再求所有满足条件的整数a的值之和即可．
【详解】解：∵5x+4≤6xx+1∴a−1≤4，解得：a≤5，
∵关于x的分式方程12=2y−ay−2的解为非负数，即y=2a−23≥0，且y≠2
∴a≥1且a≠4
综上：1≤a≤5且a≠4
所有满足条件的整数a的值之和：1+2+3+5=11，
故答案为：11
【点睛】本题主要考查不等式无解的定义及分式方程的解法和非负数的定义，能够熟练的解不等式及分式方程是解题关键．
19．若实数m使得关于x的不等式组2x>23x【答案】2
【分析】先求出每个不等式的解集，然后根据不等式组无解求出m的取值范围，再解分式方程从而确定y的取值范围即可得到答案．
【详解】解：解不等式2x>2得：x>1，
解不等式3x∵不等式组无解，
∴m+13≤1，
∴m≤2；
yy−1=4−m2y−2
去分母得2y=4−m，
解得y=4−m2，
∵m≤2，
∴4−m≥2
∴y=4−m2≥1，
又∵y−1≠0，
∴y>1，
∴y的最小整数解为2，
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解分式方程，熟知相关计算法则是解题的关键．
20．若关于x的分式方程ax−2+22−x=12的解为正数，且关于x的不等式组x+2a>3x+5<0无解，则满足这两个条件的所有整数a的和是 ．
【答案】7
【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a＞1且a≠2，根据不等式组无解，即可得：a≤4，找出所有的整数，求其和即可．
【详解】解：解分式方程ax−2+22−x=12，得：x=2a-2，
∵分式方程的解为正数，
∴2a-2＞0，即a＞1，
又x≠2，
∴2a-2≠2，即a≠2，
则a＞1且a≠2，
∵关于x的不等式组x+2a>3x+5<0无解，
∴3-2a≥-5，
解得：a≤4，
综上，a的取值范围是1＜a≤4，且a≠2，
则符合题意的整数a的值有3，4，它们的和是7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组无解，找出1＜a≤4，且a≠2是解题的关键．
【题型3有且仅有n个解】
21．若关于x的不等式组5x−a≤22x+34>x−32有且仅有四个整数解，关于y的分式方程4yy−3+a+113−y=1有整数解，则符合条件的所有整数a的和是 ．
【答案】11
【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定a的取值范围．
【详解】解：5x−a≤2①2x+34>x−32②
解不等式①得：x≤a+25
解不等式②得：x>−3
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴1≤a+25<2，
解得：3≤a<8，
解4yy−3+a+113−y=1
解得：y=a+83且y≠3，
∵a+83是整数，3≤a<8，y≠3，
∴a=4,7，
则符合条件的所有整数a的和是4+7=11，
故答案为：11．
22．若数a使关于x的不等式组x3−2≤14x−76x−2a>51−x，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程1−2yy−1−a1−y=−3的解为正数，求所有满足条件的整数a的值之和 ．
【答案】−3
【分析】首先解不等式组并根据有且仅有三个整数解得2a+511【详解】解：由不等式x3−2≤14x−7，解得：x≤3，
由6x−2a>5（1−x），解得：x>2a+511，
∵该不等式组有且仅有三个整数解，
∴2a+511∴x可取1，2，3，
∴0≤2a+511<1，
∴−52对于1−2yy−1−a1−y=−3，
去分母，方程两边同时乘以y−1得：1−2y+a=−3y−1，
解得：y=2−a，
∵该方程的解为正数，
∴2−a>0，
解得：a<2，
又∵y=1为增根，
∴a≠1，
∴−52∴满足条件的整数a的值为：−2，−1，0，其和为−3．
【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握解解一元一次不等式组和解分式方程的方法，理解一元一次不等式组的解集和分式方程的增根是解答此题的关键．
23．若关于x的一元一次不等式组3x+12≥x−18x−8【答案】18
【分析】先求解不等式组3x+12≥x−18x−8【详解】解：3x+12≥x−1①8x−8解①得：x≥−3，
解②得：x∵不等式组有且仅有5个整数解，
∴1解得：44yy−2−2=a−142−y
解得：y=10−a2，
∵分式的解是非负整数，
∴a≤10的偶数．
∵y=10−a2≠2，
∴a≠6，
∴整数a的值为8，10，
∴所有满足条件的整数a的值之和=8+10=18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查解不等式组，解分式方程，能根据不等式组解集情况与分式方程解的情况确定出a值是解题的关键．
24．从−4、−1、−12、0、12、2、3这七个数中，随机抽取一个数a，若数a使关于x的分式方程axx−2−3x−2=x2−x的解为整数，且使不等式组123x−1≤x+15x+3>a−2x有且仅有四个整数解，那么这七个数中满足所有条件的a的值之和为 ．
【答案】−52
【分析】解分式方程、一元一次不等式组，再根据题目要求取值即可；
【详解】解： 123x−1≤x+1①5x+3>a−2x②
解不等式①得x≤3，
解不等式②得x>a−37，
∴该不等式组的解集为：a−37∵不等式组123x−1≤x+15x+3>a−2x有且仅有四个整数解，
∴−1≤a−37<0，
∴−4≤a<3，
∴−4、−1、−12、0、12、2符合题意，
解：axx−2−3x−2=x2−x
ax−3=−x
a+1x=3
x=3a+1且x≠2
∵分式方程axx−2−3x−2=x2−x的解为整数，
∴−4，−12、0、2符合题意，
综上符合题意的数有−4，−12、0、2．
∴这七个数中满足所有条件的a的值之和为−4−12+0+2=−52．
故答案为：−52．
【点睛】本题主要考查分式方程、一元一次不等式组的应用，正确计算是解题的关键．
25．若关于x的不等式组x−22≤−12x+25x+4>−a有且仅有4个整数解，且使得关于y的分式方程y1−y−1=ay−1有整数解，则满足条件所有整数a的乘积为 ．
【答案】−3
【分析】根据不等式组有且仅有4个整数解，求出a的取值范围，再根据y的分式方程y1−y−1=ay−1有整数解，求出满足条件的整数a的值，然后计算即可．
【详解】解：由x−22≤−12x+25x+4>−a，得：x≤3x>−a−45，
∵不等式组有且仅有4个整数解，
∴−a−45∴−1≤−a−45<0，
∴−4∵y1−y−1=ay−1，
解得：y=1−a2，
∵方程的解为整数，
∴1−a2为整数，且1−a2≠1，
∵−4∴a的值为：−3或1，
∴满足条件所有整数a的乘积为−3×1=−3．
故答案为：−3．
【点睛】本题考查根据不等式组的解集的情况以及分式方程的解得情况求参数的值，解题的关键是正确的求出不等式组的解集和分式方程的解．
26．若关于x的不等式组3x−m≤−1x−12−x3>−1 有且仅有3个整数解，关于y的方程3yy−2+5+m2−y=1的解为正整数，则符合条件的所有整数m的和为 ．
【答案】4
【分析】根据含参数一元一次不等式组的解法得到m的范围，再由关于y的方程3yy−2+5+m2−y=1的解为正整数，求出得到m的范围，从而得到答案．
【详解】解：3x−m≤−1①x−12−x3>−1②，
由①得x≤m−13；
由②得x>−3；
∵关于x的不等式组3x−m≤−1x−12−x3>−1 有且仅有3个整数解，
∴0≤m−13<1，即1≤m<4；
∴由1≤m<4可知，当m为整数时，取1,2,3，
解关于y的方程3yy−2+5+m2−y=1得y=m+32，
∵关于y的方程3yy−2+5+m2−y=1的解为正整数，
∴当m=1时，y=m+32=2，满足题意；
当m=2时，y=m+32=52，不满足题意；
当m=3时，y=m+32=3，满足题意；
∴则符合条件的所有整数m的和为1+3=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组及分式方程求参数，熟练掌握一元一次不等式组及分式方程的解法是解决问题的关键．
27．若整数a使关于x的不等式组a−(8x+13)＜0x+1≤x+42有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程yy−2+1=ay−22−y有整数解，则符合条件的所有整数a之和为 ．
【答案】−2
【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．
【详解】解：a−(8x+13)<0①x+1≤x+42②
解不等式①得：x>a−138
解不等式②得：x≤2
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴a−138解得：−3≤a<5；
∵分式方程yy−2+1=ay−22−y有整数解，
∴解得：y=4a+2且a+2≠0、y=4a+2≠2（增根）
当y为整数时，a+2=−4或−2或−1或1或2或4，
解得a=−6或−4或−3或−1或0或2，
∵a+2≠0、y=4a+2≠2，
∴a=−6或−4或−3或−1或2；
又∵−3≤a<5
∴a=−3或−1或2，
则符合条件的所有整数a的和是−3−1+2=−2，
故答案为：−2．
【点睛】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的整数解确定a的取值范围．
28．若关于x的一元一次不等式组2x−13+1≥x+124x−a<2有且仅有5个整数解，且关于y的分式方程yy−1−1=2y+a−12y2−1的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的和是 ．
【答案】24
【分析】先求出不等式组2x−13+1≥x+124x−a<2的解集−1≤x【详解】解：2x−13+1≥x+12①4x−a<2②，
解不等式①得：x≥−1，
解不等式②得：x∴不等式组的解集为−1≤x∵不等式组有且仅有5个整数解，
∴3∴10yy−1−1=2y+a−12y2−1
解得：y=13−a，
∵分式方程的解是非负整数，10∴a取11，12，13，
∵y+1≠0,y−1≠0，
∴13−a+1≠0,13−a−1≠0，
∴a≠14且a≠12，
∵10∴所有满足条件的整数a为11，13，
∴所有满足条件的整数a的和是11+13=24．
故答案为：24
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程，一元一次不等式组的解法是解题的关键．
29．已知关于x的分式方程x+mx+2−mx−2=1的解不超过6，且关于y的不等式组m−6y>2y−4≤3y+4有且仅有四个整数解，则符合条件的整数m的和 ．
【答案】−2
【分析】先解分式方程，求得分式方程解x=2−2m，再由分式方程的解不超过6，得2−2m≤6且2−2m≠±2，解得：m≥−2且m≠0、m≠2，然后解不等式组得−4≤m【详解】解：解方程x+mx+2−mx−2=1，得x=2−2m，
∵x+mx+2−mx−2=1的解不超过6，
∴2−2m≤6且2−2m≠±2，
解得：m≥−2且m≠0、m≠2，
解不等式组m−6y>2y−4≤3y+4，得−4≤y∵不等式组有四个整数解，
∴−1解得：−4∴−2≤m<2且m≠0，
∵m为整数，
∴m=±1，−2，
∴符合条件的整数m的和为：−1+1+−2=−2，
故答案为：−2．
【点睛】本题考查根据分式方程解的情况和不等式组的整数解求字母系数值，熟练掌握解分式方程和不等式组是解题的关键．
30．若关于x 的不等式组5x+a≤24x+32>x−32有且仅有四个整数解，关于y的分式方程3yy−2+a+112−y=1有整数解，则符合条件的所有整数a的和是 ．
【答案】−10
【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．
【详解】解：5x+a≤2①4x+32>x−32②
解不等式①得：x≤2−a5
解不等式②得：x>−52
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴1≤2−a5<2
解得：−8解3yy−2+a+112−y=1
解得：y=a+92且a≠−5，
∵a+92是整数，−8∴a=−7,−3，
则符合条件的所有整数a的和是−7−3=−10，
故答案为：−10．
【点睛】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定a的取值范围．
【题型4已知不等式的解集】
31．若关于x的不等式组2x−3≥34x+2a−2x<−5的解集为x≥4，且关于y的分式方程y+2ay−1−12−3y1−y=2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的和是 ．
【答案】−3
【分析】本题考查了解分式方程以及一元一次不等式组的解，根据一元一次不等式组的解及解分式方程，找出y=7+a2的取值范围是解题的关键．由关于x的不等式组2x−3≥34x+2a−2x<−5的解集为x≥4，可得出a+52<4，解分式方程，可得出y=7+a2，结合不等式组的解集为正整数，可得出y=2或3或4或5，代入y=7+a2，可求出a值，结合a为整数，即可得出结论．
【详解】解：2x−3≥34x+2①a−2x<−5②，
解不等式①得：x≥4，
解不等式②得：x>a+52．
∵关于x的不等式组2x−3≥34x+2a−2x<−5的解集为x≥4，
∴ a+52<4，
∴a<3，
∵ y+2ay−1−12−3y1−y=2，
∴y+2a+12−3y=2y−2，
∴y=7+a2，
∵关于y的分式方程y+2ay−1−12−3y1−y=2的解是正整数，y=7+a2<5，且y≠1，
∴y=2或3或4．
当y=2时，7+a2=2，
解得：a=−3；
当y=3时，7+a2=3，
解得：a=−1；
当y=4时，7+a2=4，
解得：a=1；
∴所有满足条件的整数a的和=−3−1+1=−3．
故答案为：−3
32．若关于x的一元一次不等式组x+1≥x+933x>a+1的解集为x≥3，且关于y的分式方程yy−2+a2−y=−1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了不等式组的解集和分式方程的正整数解的问题，首先根据不等式组的已知解集求出a的取值范围，然后利用分式方程的正整数解求出a的取值范围，最后结合两个条件得出答案．
【详解】解：不等式组x+1≥x+933x>a+1解得x≥3x>a+13，
∵关于x的一元一次不等式组x+1≥x+933x>a+1的解集x≥3，
∴a+13<3，
∴a<8，
∵分式方程yy−2+a2−y=−1，
∴y=a+22，
此方程有正整数解，
∴a+2>0，
但是y=a+22≠2，
∴a≠2
∴a>−2，
∴−2∴a的整数解且使y有正整数解有a=0或4或6，
∴所有满足条件的整数a的值之和是10．
故答案为：10．
33．若关于x的一元一次不等式组2(x+1)−1【答案】12
【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程的解，根据不等式组的解求出m的范围，再根据分式方程的解求出m的值是求解本题的关键；
先根据不等式组的解找到m满足的条件，再根据分式方程的解求出m．
【详解】解：2(x+1)−1由①得：2x+1∴x<1.
由②得：x≤m+2．
∵不等式组的解集是x<1，
∴m+2≥1,
∴m≥−1.
∵x+mx−2−2mx−2=4,
∴x+m−2m=4x−8,
∴3x=8−m,
∴x=8−m3,
∵方程的解为非负整数，且x≠2，
∴8−m≥0,8−m≠6,
∴m≤8,8−m≠6,
∴−1≤m≤8,m≠2.
∵8−m是3的倍数，
∴m=−1,5,8.
−1+5+8=12.
故答案为：12．
34．关于x的一元一次不等式组m−32x≥1−x4−x≥0的解集为x≤4且关于y的分式方程myy−2+1=−3y2−y有整数解，那么符合条件的所有整数m的积为 ．
【答案】4
【分析】先求出不等式组的解集，再根据已知解集确定出m的范围，然后将分式方程去分母转化为整式方程求解，再根据分式方程有整数解确定出整数m的值，最后求积即可．
【详解】解：m−32x≥1−x①4−x≥0②，
由①得：x≤2m−2，
解②得：x≤4，
∵该不等式组的解集为x≤4，
∴2m−2≥4，
∴m≥3．
给myy−2+1=−3y2−y，
两边都乘以y−2，得：my+y−2=3y,
解得：y=2m−2，
∵m≥3，分式方程myy−2+1=−3y2−y有整数解，
∴m−2=−2，−1，1，2，即m=3，4，
∵y−2≠0，
∴y≠2，
∴2m−2≠2，
∴m−2≠1，即m≠3，
∴m=4，
∴m所有整数解的积为4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了解分式方程、解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
35．若关于x的不等式组x−m2>0x−3<3x−3的解集为x＞3，且关于y的分式方程5−my−2=1−y2−y有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是 ．
【答案】−11
【分析】先解一元一次不等式组，根据解集为x＞3得到m的取值范围；再解分式方程，根据解是非负正数解且不是增根得到m的最终范围，然后再确定在这个范围内能使y是整数的m的值，最后求和即可．
【详解】解：关于x的不等式组整理得到：
x＞mx＞3，
∵不等式组的解集为x＞3，
∴m≤3；
分式方程两边都乘以y−2得：5y−2−m=y−1，即y=9+m4．
∵y有非负解且2−y≠0，
∴9+m4≥0且9+m4≠2，解得：m≥−9且m≠−1．
∴−9≤m≤3且m≠−1，
∴整数m为：−9、−5、3，它们的和为−11．
故答案为：−11．
【点睛】本题主要考查解分式方程、解一元一次不等式组等知识，熟练掌握分式方程、一元一次不等式组的解法是解题的关键．
36．若整数a使关于x的不等式组3x−a≤0x+23−x2>1的解集为x<−2，且关于y的分式方程a1−y+2y−1=4的解为正数，则符合条件的所有整数a的积为 ．
【答案】0
【分析】根据不等式组的解集确定a的取值范围，再根据分式方程的解为正数，得出a的所有可能的值，再进行计算即可．
【详解】解：解不等式3x−a≤0得：x≤a，
解不等式x+23−x2>1得：x<−2，
∵整数a使关于x的一元一次不等式组3x−a≤0x+23−x2>1的解集是x<−2，
∴a≥−2，
解分式方程a1−y+2y−1=4得：y=6−a4，且6−a4≠1，
∵分式方程的解是正数，
∴y=6−a4>0，
∴−2≤a<6，且a≠2，
∵a为整数，
∴a=−2，−1，0，1，3，4，5，
∴符合条件的所有整数a的值之积为0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查分式方程的整数解，解一元一次不等式组，掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，理解分式方程的整数解的意义是正确解答的前提．
37．已知关于x的分式方程ax−2x−1+1=−11−x有整数解，且关于x的不等式组3x≤2x−122x−a【答案】1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有整数解，确定出a的值，再根据不等式组的解集确定出满足题意a的值，求和即可．
【详解】解：ax−2x−1+1=−11−x，
两边同时乘以x−1得：ax−2+x−1=1，
移项合并得，x=4a+1，
∵分式方程有整数解，
∴a+1=±1或±2或±4，
解得：a=0或−2或1或−3或−5，
3x≤2x−122x−a3x≤2x−12，
解得x≤−1，
2x−a解得x<3a−15，
∵不等式组的解集为x≤−1，
∴−1<3a−15，
解得a>−43，
∴满足题意的整数a为0或1，
∴满足题意的整数a的和为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
38．若关于x的不等式组3x−1<2x+1x−a3≤0的解集为x<4，且关于y的分式方程ayy−5+255−y=3有整数解，则符合条件的所有整数a的和的平方为 ．
【答案】625
【分析】分别求解两个不等式，根据解集为x<4，得出a≥4；把a当做已知数，求解分式方程，再根据分式方程有意义的条件，以及分式方程解为整数，得出a的值，即可求解．
【详解】解：3x−1<2x+1①x−a3≤0②，
由①可得：x<4，
由②可得：x≤a，
∵不等式组的解集为x<4，
∴a≥4；
ayy−5+255−y=3，
去分母，得：ay−25=3y−15，
移项，得：ay−3y=−15+25，
合并同类项，得∶ a−3y=10，
化系数为1，得：y=10a−3；
∵y≠5，
∴10a−3≠5，则a−3≠2，
∵a≥4，
∴a−3≥1，
∵分式方程有整数解，
∴a−3=5或a−3=10或a−3=1,
解得：a=8或13或4．
∴符合条件的所有整数a的和的平方=4+8+132=625，
故答案为：625．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，解题的关键是掌握写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”；以及解分式方程的方法和步骤．
39．关于x的分式方程ax−3=1+33−x的解为非负数，且关于y的不等式组a+3y<43y+2<−y+10的解集为y<2，则符合条件的整数a的值之和是 ．
【答案】−17
【分析】分别解分式方程和不等式组，从而得出a的范围，再确定整数a的值．
【详解】解分式方程ax−3=1+33−x得x=a+6
∵x−3≠0
∴a+6≠3
∴a≠−3
∵方程的解为非负数
∴a+6≥0
∴a≥−6且a≠−3
解不等式组得 y<4−a3y<2
∵不等式组的解集为y<2
∴4−a3≥2
∴a≤−2
∴−6≤a≤−2且a≠−3
∴符合条件的整数a为−6、−5、−4、−2共有4个
∴符合条件的整数a的值之和是−6−5−4−2=−17
故答案为: −17．
【点睛】本题主要考查分式方程的解和解一元一次不等式组，解题的关键是根据分式方程的解的情况及不等式组解集的情况得出a的取值范围．
40．若关于x的一元一次不等式组x+2≤3x+642x【答案】−7
【分析】分别通过解一元一次不等式组和分式方程确定a的取值范围，再确定所有满足条件的整数a，最后求解此题结果．
【详解】解不等式组x+2≤3x+642x∵关于x的一元一次不等式组x+2≤3x+642x∴a+12>−2，
∴a>−5，
∵y−ay+1=−yy+1−1，
解分式方程得：y=a−13，
∵y是非正数且y≠−1，
∴a−13是非正数且a−13≠−1，
∴a≤1且a≠−2，
∵a>−5且a为整数，
∴−5∴a的值为−4、−3、−1、0、1，
∴所有满足条件的整数a的值之和为：−4+−3+−1+0+1=−7，
故答案为：−7．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，正确求解分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．
【题型5至少或至多有n个解】
41．若关于x的不等式组3x−4>2x−32x−a≤1−x有解且至多有2个偶数解，且关于y的分式方程2a−7y−2+a+12−y=3的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
【答案】46
【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各种的解法是解本题的关键；
不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且至多有2个偶数解确定出a的范围，再由分式方程解为非负整数，确定出满足题意整数a的值，求出之和即可．
【详解】解：不等式组整理得：x>−2x≤a+13，
解得：−2∵不等式组有解且至多2个偶数解，
∴−2解得：−7分式方程去分母得：2a−7−a−1=3y−6，
解得：y=a−23，
∴a−23≥0且a−23≠2,
解得：a≥2且a≠8，
∵分式方程的解为非负数，
综上，a=2,3,4,5,6,7,9,10，
则满足题意整数a之和为2+3+4+5+6+7+9 +10=46．
故答案为：46．
42．若关于x的一元一次不等式组x+a<2x+51−2+x4≥x−2至少有4个整数解，且关于y的分式方程2y−a1−y=1−4y−1的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
【答案】−4
【分析】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．不等式组整理后，根据至少有4个整数解，确定出a的范围，再由分式方程解为非负数，确定出满足题意整数a的值，求出之和即可．
【详解】解：不等式组整理得：x>a−5x≤2，
解得：a−5∵不等式组至少有4个整数解，即−1，0，1，2，
∴a−5<−1，
解得：a<4，
分式方程去分母得：2y−a=1−y+4，
解得：y=5+a3，
∵分式方程解为非负数，
∴ 5+a3≥0且5+a3≠1，
解得：a≥−5且a≠−2，
∴a的范围是−5≤a<4且a≠−2，
则整数解为−5，1，之和为−4．
故答案为：−4．
43．若关于x的一元一次不等式组x−23【答案】2
【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，先解不等式组，确定a的取值范围a≤4，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得y=a+32，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相乘即可得到答案．
【详解】解：x−23解不等式①得：x>−52
解不等式②得：x≤3−a，
则根据题意可知，不等式组的解集为：−52∵关于x的一元一次不等式组x+1>x−13x+a<3至少有2个整数解，
则该不等式的整数解至少包含：−2，−1，
∴3−a≥−1，
解得：a≤4，
分式方程y−ay−2+12−y=−1去分母得：y−a−1=2−y，
解得：y=a+32，
∵a≤4，
∴y=a+32≤72，
∵y是正整数，且y≠2，
∴y=1或y=3，
∴a=−1或a=3，
∴满足条件的整数a的和为−1+3=2，
故答案为：2．
44．如果关于x的分式方程axx−2−2=x2−x有整数解，且关于x的不等式组a−2x≤1−x4x+12【答案】−1
【分析】本题主要考查了分式方程的解法和不等式组的解法．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由方程的解为整数确定出a的值，不等式组整理后，由已知解集确定出a的范围，进而确定出满足题意的所有a的值，求出它们的和即可．
【详解】解：axx−2−2=x2−x，
去分母得：ax−2x+4=−x，
∴x=41−a，且x=41−a≠2，
∵这个分式方程有整数解，
∴1−a可以是：1或−1或−2或4或−4，
∴a=0或2或3或−3或5．
关于x的不等式组a−2x≤1−x4x+12整理得：x≥a−1x<52，
∵这个不等式组的解集至少有2个整数解，
∴a−1≤1，
∴a≤2，
∴a的值为：0，2，−3，
∴符合条件的所有整数a的和为：0+2+−3=−1．
故答案为：−1．
45．已知关于x的不等式组x+12≤42x−a>5至少有3个整数解，且关于y的分式方程ayy−2−82−y=−1有整数解，那么满足条件的所有整数a的和是 ．
【答案】−9
【分析】先解不等式组中的两个不等式，根据不等组至少有3个整数解，得到a+52<5，则a<5，再解分式方程得到y=−6a+1，由分式方程有整数解得到−6a+1是整数，由此求出a的值，再由y≠2，a<5确定出符合题意的a的值，最后求和即可得到答案．
【详解】解：x+12≤4①2x−a>5②
解不等式①得：x≤7，
解不等式②得：x>a+52，
∵关于x的不等式组x+12≤42x−a>5至少有3个整数解，
∴a+52<5，
∴a<5；
ayy−2−82−y=−1
去分母得：ay+8=2−y，
移项得：ay+y=2−8，
合并同类项得：a+1y=−6，
∵关于y的分式方程ayy−2−82−y=−1有整数解，
∴a+1≠0，
∴y=−6a+1，
∴−6a+1是整数，
∴a+1=±6或a+1=±3或a+1=±2或a+1=±1，
∴a=5或a=−7或a=2或a=−4或a=1或a=−3或a=0或a=−2，
∵y=−6a+1≠2，
∴a≠−4，
又∵a<5，
∴a=−7或a=2或a=1或a=−3或a=0或a=−2，
∴满足条件的所有整数a的和是−7+2+1−3+0−2=−9，
故答案为：−9．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和解分式方程，根据不等组解的情况和分式方程解的情况确定a的值是解题的关键，本题需要注意的地方是必须对分式方程的根进行检验．
46．关于x的不等式组1−x2+x3≤1x【答案】4
【分析】分别解不等式组1−x2+x3≤1x【详解】解：解不等式1−x2+x3≤1，得：x≥−3，
∵不等式组有解，
∴不等式组的解集为：a3>x≥−3，
∵该不等式组至多有5个整数解，
∴该不等式组的整数解为：1，0，−1，−2，−3，
∴1∴3解分式方程3−ay3−y−1=6y−3，
得：y=6a−1，且y≠3，
∵该分式方程有正整数解，且3则a=4，
即满足条件的所有整数a的和为：4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，正确掌握解一元一次不等式组的方法和解分式方程得方法是解题的关键．
47．若a使关于x的不等式组x−a2<0x−4<3(x+2)至少有三个整数解，且关于x的分式方程a+x2−x+4x−2=2有正整数解，则所有整数a的乘积为 ．
【答案】−5
【分析】将不等式组整理后，由不等式组至少有三个整数解确定出a的范围，再由分式方程有正整数解确定出满足条件a的值，进而求出它们的积．
【详解】解：关于x的不等式组x−a2<0x−4<3(x+2)，
整理得x−5，
由不等式组至少有三个整数解，可得a>−2，
关于x的分式方程a+x2−x+4x−2=2，整理得x=8−a3，
∵分式方程有正整数解，且x≠2，
∴a=−1或a=5，
∴−1×5=−5，
故答案为：−5．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
48．若关于x的一元一次不等式组x+12≤32x−3>a有解且最多有3个整数解，且关于y的分式方程a2y−1+31−2y=2有非整数解，则所有满足条件的整数a的个数为 ．
【答案】0
【分析】根据不等式组有解且最多有3个整数解，求出a的取值范围，再根据分式方程有非整数解，进行求解即可．
【详解】解：由x+12≤32x−3>a，得：x≤5x>3+a2，
∵不等式组有解且最多有3个整数解，
∴3+a2∴2≤3+a2<3，
解得：1≤a<3，
∵a2y−1+31−2y=2，
解得：y=a−14，
∵方程有非整数解，1≤a<3，且a为整数，
∴当a=1时，y=0，不符合题意；
当a=2，此时y=12，2y−1=0，分式方程无解，不符合题意；
故所有满足条件的整数a的个数为0；
故答案为：0．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组和分式方程．熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的步骤，正确的求出不等式组的解集和方程的解，是解题的关键．
49．若整数a使关于x的不等式组x−33+1>x−222x≥122x+a至少有两个整数解，且使关于y的分式方程a−5y−1−41−y=2有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为 ．
【答案】15
【分析】先解不等式①得x<6，解不等式②得x≥a2，根据不等式组至少有两个整数解可得a≤8，解分式方程可得y=a+12，根据y≠1和分式方程有正整数解可得a≠1，−1【详解】解：x−33+1>x−22①2x≥122x+a②，
解不等式①得：x<6，
解不等式②得：x≥a2，
∵整数a使关于x的不等式组x−33+1>x−222x≥122x+a至少有两个整数解，
∴a2≤4，
∴a≤8，
∵a−5y−1−41−y=2，
∴去分母得：a−5+4=2y−2，
解得：y=a+12，
∵y≠1，
∴a+12≠1，
∴a≠1，
∵分式方程有正整数解，
∴a+1>0，且a+1是2的倍数，
∴a>−1，
∴−1∴0∴a+1=4或a+1=6或a+1=8，
∴a=3或a=5或a=7，
∴满足条件的所有整数a的和为：3+5+7=15，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法、分式方程的解法，注意方程增根的讨论是解题的关键．
50．若关于x的不等式组x−3a≤22(x−1)>x+2至少有两个正整数解，且关于x的分式方程(a−1)xx−5+55−x=−1有正整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ．
【答案】15
【分析】将不等式组整理后，由不等式组至少有两个正整数解确定出a的范围，再由分式方程有正整数解，确定出满足条件a的值，进而求出值．
【详解】解：x−3a≤22x−1>x+2，
不等式组整理得：x≤2+3ax>4，
故不等式组的解集为4∵不等式组至少有两个正整数解，
∴2+3a≥6，解得a≥43；
(a−1)xx−5+55−x=−1，
分式方程去分母得：a−1x−5=−x+5，
解得：x=10a，且x≠5，
即a≠2，
∵分式方程有正整数解，
∴a=1或a=5或a=10，
又∵a≥43，
∴a=5或a=10，
∴符合条件的所有整数a的和为：5+10=15．
故答案为：15．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．