专题06 动态几何函数图像综合（3种类型50道）-备战2024年中考数学二轮复习之高频考点高效训练（重庆专用）

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\l "_Tc7615" 【题型1特殊平行四边形中的动点问题】 PAGEREF _Tc7615 \h 1
\l "_Tc13079" 【题型2三角形中的动点问题】 PAGEREF _Tc13079 \h 51
\l "_Tc31796" 【题型3梯形中的动点问题】 PAGEREF _Tc31796 \h 97
【题型1特殊平行四边形中的动点问题】
1．如图，已知矩形ABCD的边长为AB=4，AD=3，E、F分别在边AD、AB上，且DE=BF=2，点P是矩形边上的一个动点，点P从B出发，经过点C，到点D停止．记P点走过的路程为x，四边形AEPF的面积为y1．
(1)请直接写出y1关于x的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
(2)在如图所示的坐标系中画出y1的函数图象，并写出一条该函数的性质；
(3)若关于x的函数y=kx+4−k与y1的图象有两个交点，请直接写出k的取值范围．
【答案】(1)y1=x+20(2)见解析；当0(3)−16【分析】本题考查了一次函数的应用，画函数图象，待定系数法；
（1）当点P在BC上时，y1=S矩形ABCD−S△PBF−S梯形PCDE；当点P在CD上运动时，y1=S矩形ABCD−S△PDE−S梯形PCBF；分别列式计算即可；
（2）根据（1）中解析式画出函数图象即可；根据函数图象可得性质；
（3）首先求出直线y=kx+4−k过点(1,4)，再判断出函数y=kx+4−k过点A、B（C）时为临界点，然后利用待定系数法求出直线m、n的解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：当点P在BC上时，即0则y1=S矩形ABCD−S△PBF−S梯形PCDE
=AB⋅AD−12×PB⋅FB−12×DE+CP×CD
=3×4−12×2x−12×2+3−x×4
=x+2；
当点P在CD上时，即3则y1=S矩形ABCD−S△PDE−S梯形PCBF
=AB⋅AD−12×PD⋅DE−12×PC+BF×BC
=3×4−12×2×7−x−122+x−3×3
=−12x+132；
综上：y1=x+20（2）如图，函数图象为图中实线：
性质：当0
（3）∵y=kx+4−k=k(x−1)+4，
∴直线y=kx+4−k过点(1,4)，如图点A，
当函数y=kx+4−k过点A、B（C）时为临界点，即直线m、n，
将点B(3,5)代入y=kx+4−k得：5=k(3−1)+4，
解得：k=12；
将点C(7,3)代入y=kx+4−k得：3=k(7−1)+4，
解得：k=−16；
∴当关于x的函数y=kx+4−k与y1的图象有两个交点时，k的取值范围为−162．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3．O为AC的中点，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，当它到达点C时停止运动，设点P运动的路程为x(x> 0)，连接OP，设△AOP的面积为y1．
(1)直接写出y1与x的函数关系式为：______．
(2)在给出的平面直角坐标系中画出y1的函数图象，并写出这个函数的一条性质：______．
(3)如图2，y2=4x的图象如图所示，根据函数图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围是______．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)y=34x0(2)当0(3)0【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质，确定一次函数的表达式是解题的关键．
（1）当点P在AB上运动时，此时0≤x≤4，由y1=12×AP×OH，即可求解；当点P在BC上运动时，同理可解；
（2）取点绘制图象，再观察函数图象即可求解；
（3）观察函数图象即可求解．
【详解】（1）∵AB=4，BC=3，O为AC的中点，
则AC=5，AO=OC=52，sin∠ACB=45；
当点P在AB上运动时，此时0≤x≤4，如图1，
过点O作OH⊥AB于点H，则OH=12BC=32，
则y1=12×AP×OH=12×x×32=34x；
当点P在BC上运动时，此时，4则y1=12×AO×PN=12×AO×PC⋅sin∠ACB=12×52×(3+4−x)45=7−x；
故答案为：y1=34x(0（2）当x=0时，y1=0，当x=4时，y1=3，当x=7时，y1=0，
描绘上述各点绘制图象如下：
从图象看，当0故答案为：当0（3）联立y1=34x和y2=4x并解得：x=433≈2.3，
联立y1=7−x和y2=4x并解得：x=7+332≈6.4（不合题意的值已舍去），
从图象看，当y1≤y2时x的取值范围是：0故答案为：03．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，O是正方形的中心，动点P从点A出发沿折线A→B→C方向运动，到达C点停止，在AB上的运动速度为每秒1个单位长度，在BC上的运动速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，△OPB的面积为y．

(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出△OPB的面积为3时t的值．
【答案】(1)y=4−t0≤t<42t−84(2)图见解析，当0(3)t=1或5.5
【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，掌握函数的解析式求解、函数图象、数形结合的数学思想是解题关键．
（1）分类讨论0≤t<4、4（2）描点、连线即可完成作图；
（3）作出直线y=3，确定其与函数y=4−t0≤t<42t−84【详解】（1）解：①当0≤t<4时，动点P在AB上运动，
作OH⊥BP，如图所示：

∵AP=t，
∴BP=4−t
∵O是正方形的中心，
∴OH=2
∴S△OPB=12×BP×OH=4−t；
②当4作OF⊥BC，如图所示：

此时BP=2t−4，
∵O是正方形的中心，
∴OF=2
∴S△OPB=12×BP×OF=2t−8；
综上所述：y=4−t0≤t<42t−84（2）：如图所示：

当0（3）解：作出直线y=3，如图所示：；

可知直线y=3与函数y=4−t0≤t<42t−84∴△OPB的面积为3时，t=1或5.5
4．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点F是线段CD的中点．动点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点B出发沿折线B→C→F方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点F时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，△PBQ的面积为y．
(1)请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（面积不为0）；
(2)在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图像，写出△PBQ的面积为1时x的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）．
【答案】(1)y=−x2+2x0(2)见解析
(3)x的值1.0或2.5
【分析】（1）分两种情况：当点P在线段AB上，点Q在BC上时，当点P在射线AB上时，点Q在CF上时，分别根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案；
（2）先列表，再描点连线即可得到函数图象，由函数图象即可得出函数的性质；
（3）根据函数图象即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
当点P在线段AB上，点Q在BC上时，
，
此时：AP=2x，BQ=x，0∴PB=AB−AP=4−2x，
∴y=S△PBQ=12BP⋅BQ=124−2xx=−x2+2x；
当点P在射线AB上时，点Q在CF上时，
，
此时：AP=2x，2∴PB=AP−AB=2x−4，
∴y=S△PBQ=12BP⋅BC=122x−4×2=2x−4；
综上所述：y=−x2+2x0（2）解：列表：
函数图像如图：

由函数图象可得：
函数的性质：
①当0②当x=4时，函数y有最大值4；（回答一个即可）
（3）解：由函数图象可得：
△PBQ的面积为1时x的值1.0或2.5．
【点睛】本题考查了动点问题、求函数解析式、画函数图象、从函数图象中获取信息，理解题意，正确取出函数解析式，采用分类讨论与数形结合的思想解题，是解此题的关键．
5．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°．点P，Q分别以每秒2个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线A→D→C方向匀速运动，点Q沿折线A→B→C方向匀速运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点P，Q的距离为y．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当y≤4时x的取值范围．
【答案】(1)y=2x0≤x≤312−2x3(2)见解析，当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，当3(3)0≤x≤2或4≤x≤6
【分析】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，菱形的性质及等边三角形的判定和性质：
（1）当点P在AD，点Q在AB上运动时，即0≤x≤3时，证明△APQ是等边三角形，即可求解；当3（2）当x=0时，y=0，当x=3时，y=6，当x=12时，y=0，即可画出函数图象，进而求解；
（3）观察函数图象即可求解．
正确理解动点问题是解题的关键．
【详解】（1）解：∵菱形ABCD，AB=6，∠A=60°，
∴AD+DC=AB+BC=12，∠A=∠C=60°，
∴总的运动时间为：12÷2=6（秒），
当点P在AD，点Q在AB上运动时，即0≤x≤3时，连接PQ，
由题意得AP=AQ，∠A=60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴y=AP=2x；
当点P在CD，点Q在CB上运动时，即3＜x≤6时，如图所示：△CPQ是等边三角形，
∴CP=12−2x，
∴y=12−2x；
综上可得：y=2x0≤x≤312−2x3（2）解：当x=0时，y=0，当x=3时，y=6，当x=12时，y=0，依次描点再连接
该函数图象如图所示：
当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，当3（答案不唯一）；
（3）解：从图象看，当y≤4时x的取值范围为：0≤x≤2或4≤x≤6．
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=4,∠A=60°，动点P、Q分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线A→B→C方向运动到点C停止，点Q沿折线A→D→C方向运动到点C停止（点P、Q可以与线段端点重合），设运动时间是x（秒），点P、Q的距离是y．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)根据函数图象，直接写出当y>2时x的取值范围．
【答案】(1)y=x0(2)图象见解析，性质：当4(3)2【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD+DC=AB+BC=7，∠A=∠C=60°，得出总的运动时间为7秒，分两种情况：当0（2）在直角坐标系中描点连线即可，再根据函数的增减性即可得出其性质；
（3）观察图象即可求解．
【详解】（1）解：∵平行四边形ABCD中，AB=3，BC=4,∠A=60°，
∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠A=∠C=60°，BC∥AD，
∴AD+DC=AB+BC=7，
∴总的运动时间为：8÷1=8秒，
当点P在AB，点Q在AD上运动时，即0由题意得AP=AQ，∠A=60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴y=x；
当点Q在AD，点P在BC上运动时，即3如图，过点B作BE⊥AD于E，过点P作PF⊥AD于点F，

∴BP=EF，BE=PF，
∵AB=3，∠A=60°，
∴AE=12AB=32，
∴BE=AB2−AE2=323，
根据题意，得BP=x−3，AQ=x，
∴FQ=AQ−AE−EF=32，
∴PQ=PF2+FQ2=3，
即y=3；
当点Q在DC，点P在BC上运动时，即4如图所示：

∴CP=CQ=7−x，
又∠C=60°，
∴△CPQ是等边三角形，
∴PQ=CP=7−x，
∴y=7−x；
综上可得：y=x0（2）解：函数图象如图，

性质：当4（3）解：当0当4由图象可知，当22．
【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，勾股定理，平行四边形的性质及等边三角形的判定和性质等知识，正确理解动点问题是解题的关键．
7．如图，在菱形ABCD中，AB=5,BD=6，动点E从点A出发，沿A→B→C以每秒1个单位的速度运动，到达点C停止运动，过点E作EF⊥BD，设点E的运动时间为xs，点E到BD的距离EF为y．
(1)直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数图象，并写出这个函数的一条性质______；
(3)根据函数图象直接写出不等式y≥2的解集是______．
【答案】(1)y=−45x+40≤x≤545x−45(2)这个函数的图象关于直线x=5对称（答案不唯一）
(3)0≤x≤2.5或7.5≤x≤10．
【分析】本题是一次函数综合题，考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数的性质．
（1）由菱形的性质得出OA=OC,OB=OD=12BD=3,AB=BC=5,AC⊥BD，由勾股定理求出OA=4，证明△EFB∽△AOB，由相似三角形的性质得出BEAB=EFAO，则可得出答案；
（2）画出函数图象见解答，这个函数的图象关于直线x=5对称（或函数y的最大值为4等）；
（3）由函数图象可得出答案．
【详解】（1）解：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC,OB=OD=12BD=3,AB=BC=5,AC⊥BD，
∴OA=AB2−OB2=52−32=4，
当0≤x≤5时，由题意可知AE=x，则BE=5−x，
∵EF⊥BD，
∴EF∥OA，
∴△EFB∽△AOB，
∴BEAB=EFAO，
∴5−x5=y4，
∴y=−45x+4；
当5∴BEAB=EFAO，
∴x−55=y4，
∴y=45x−4，
综上所述，y与x的函数关系式为y=−45x+40≤x≤545x−45（2）解：画出函数的图象如图，
观察该函数图象可知，这个函数的图象关于直线x=5对称，
故答案为：这个函数的图象关于直线x=5对称（答案不唯一）．
（3）解：由函数图象可知，当0≤x≤2.5或7.5≤x≤10时，y≥2，
∴不等式y≥2的解集是0≤x≤2.5或7.5≤x≤10．
故答案为：0≤x≤2.5或7.5≤x≤10．
8．如图1，在矩形ABCD中，AD=3，AB=2，动点P从点B出发，沿折线B−C−D运动，到达点D时停止运动，设点P的运动路程为x，由点A、B、P、D围成的图形的面积为y1,△BPD面积为y2．请解答下列问题：
(1)请直接写出y1、y2与x之间的函数表达式及x的取值范围，并在图2所示的平面直角坐标系中画出y1、y2的函数图象；
(2)根据函数图象，写出函数y1的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当y1=5时x的值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）．
【答案】(1)y1=x+3(0≤x<3)−32x+212(3≤x≤5)，y2=x(0≤x<3)−32x+152(3≤x≤5)，图象见解析
(2)见解析
(3)x≈3.7或2
【分析】（1）分情况讨论，由梯形的面积公式及三角形的面积公式可求解；
（2）由函数的图象可写出函数y1的一条性质；
（3）将y1=5代入可求解．
【详解】（1）解：当点P在BC上时，根据题意可知：BP=x，
∴y1=12×(BP+AD)⋅AB=12(x+3)×2=x+3(0≤x<3)，
y2=12BP⋅CD=12x⋅2=x；
当点P在CD上时，根据题意可知：DP=5−x，
∴y1=12×(DP+AB)⋅AD=12(5−x+2)×3=−32x+212(3≤x≤5)，
y2=12PD⋅BC=12(5−x)⋅3=−32x+152．
综上所述：y1=x+3(0≤x<3)−32x+212(3≤x≤5)，y2=x(0≤x<3)−32x+152(3≤x≤5)；
函数图象如图所示：
（2）由图象可得y1的最大值为6；
（3）当点P在BC上时，5=x+3，
解得x=2，
当点P在CD上时，5=−32x+212，
∴x≈3.7，
综上所述：当y1=5时，x≈3.7或2．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积公式，一次函数的图象和性质，分类讨论思想．
9．如图，正方形ABCD的边长为42，AC，BD交于点O，动点M从D点出发，沿D→O→A（不与A、D重合）以每秒1个单位长度的速度运动到点A时停止运动．设运动时间为t秒，△MAD面积为y．

(1)直接写出y关于t的函数关系式并注明t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)若y1=8tt>0，结合函数图象，直接写出y≤y1时t的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)y=2t0(2)函数图象见解析，该函数的最大值是8(答案不唯一)
(3)0【分析】（1）先根据正方形的性质求出OA=OD=4，再分两种情况，如图1−1所示，当点M在OD上，即当0（2）首先在坐标系中画出对应的函数图象，根据所画函数图象，写出其一条性质即可；
（3）先求出两函数的交点横坐标，然后根据图象法求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ OA=OD，∠AOD=90°，∠OAD=∠ODA=45°，
∵正方形ABCD的边长为42，即AD=42，
∴ OA=OD=22AD=4，
∴ OA+OD=8；
当点M与点O重合时，t=4；
当点M与点A重合时，t=8；
如图1−1所示，当点M在OD上，即当0
∵ MN⊥AD，
∴ △MND是等腰直角三角形，
∴ MN=DN=22DM=22⋅t=22t，
∴ y=S△MAD=12AD⋅MN=1242⋅22t=2t；
如图2−2所示，当点M在OA上，即当2
∵ MN⊥AD
∴ △MNA是等腰直角三角形，
∴ MN=NA=12AM=224+4−t=−22t+42，
∴ y=S△MAD=12AD⋅MN=12×42−22t+42=−2t+16；
综上所述，y=2t0（2）解：函数图象如图1−3所示，

由函数图象可知，该函数的最大值为8；
故答案为：该函数的最大值为8（答案不唯一）；
（3）解：如图1−4，

联立y=2ty=8t，解得t=2y=4或t=−2y=−4（舍去）；
联立y=−2t+16y=8t，解得t=4+23y=8−43或t=4−23y=8+43（舍去），
∴反比例函数y=8t与函数y=2t0∴由函数图象可知当0故答案为：0【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，画一次函数图象，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等，利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键．
10．如图1，在正方形ABCD中，AB=4，动点P从点A出发，沿折线A−B−C运动，当点P到达点C时停止运动．连结DP，DB，若点P运动的路程为xx≥0，△BPD的面积为y，当点P与点B重合时的值为0

(1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)在图2的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数图象的一条性质；
(3)根据图象，直接写出当y>4时，x的取值范围．
【答案】(1)y=−2x+8,0≤x≤42x−8,4(2)函数的图象见解析；该函数图象是轴对称图形，对称轴是直线x=4（答案不唯一）
(3)0≤x<2或6【分析】（1）分0≤x≤4和4（2）根据（1）中的函数解析式和自变量取值范围画出函数图象，根据图象写出一条性质即可；
（3）根据图象，当y=4时，x=2或x=6，即可得到当y>4时，x的取值范围．
【详解】（1）解：当0≤x≤4时，△BPD的面积为y=124−x×4=−2x+8，
当4即y与x之间的函数解析式为y=−2x+8,0≤x≤42x−8,4（2）函数的图象如图所示，该函数图象是轴对称图形，对称轴是直线x=4；

（3）根据图象，当y=4时，x=2或x=6，
∴当y>4时，x的取值范围为0≤x<2或6【点睛】此题是一次函数和几何综合题，考查了一次函数的图象和性质、求一次函数解析式等知识，读懂题意，正确写出y与x之间的函数解析式是解题的关键．
11．如图，已知四边形ABCD是菱形，∠A=60°,AB=43,E是对角线BD延长线上一点，且DE=BD．动点P在线段BE上运动．过P作PM⊥射线BC于M，作PN⊥射线CD于N．记P到BC的距离为x,P到射线CD的距离为y1．已知y2=4xx>0．

(1)y1与x之间的函数关系式是：______________
(2)在给定的平面直角坐标系中画出y1的函数图象，并写出这个函数图象的一条性质：______________．
(3)结合图像，当y1≥y2时，直接写出x的范围：_______．（保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)y1=−x+60≤x≤6y1=x−66(2)见解析，当0≤x≤6时，y随x的增大而减小
(3)0.8≤x≤5.2或x≥6.6
【分析】（1）分两种情况计算，当点P在线段BD上时，即0≤x≤6时和当点P在线段DE上时，即6（2）根据（1）中的关系式画出图象即可；
（3）联立关系式构成方程组求出交点坐标，根据图象即可写出不等式的解集．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°,AB=43，
∴AB=AD=BC=CD=43，
∴△ABD,△CBD均是等边三角形，
∴∠CBD=∠CDB=60°，
当点P与点D重合时，PM⊥BC，
∴BM=12BD=23，
∴PM=6，即此时x=6，
当点P与点E重合时，PM⊥BC，
∴BM=12BE=43，
∴PM=12，即此时x=12，
①当点P在线段BD上时，即0≤x≤6时，如下图：

∵PM⊥BC，PM=x，
∴sin∠PBN=xBP=32，
∴BP=233x，
∴PD=43−233x，
∵PN⊥CD，PN=y1，
∴sin∠PDN=y143−233x=32，
∴y1=−x+60≤x≤6；
②当点P在线段DE上时，即6
同①得：BP=233x，∠PDN=∠BDC=60°，
∴PD=233x−43，
∴sin∠PDN=y1233x−43=32，
∴y1=x−6；
故答案为：y1=−x+60≤x≤6y1=x−66（2）解：y1=−x+60≤x≤6y1=x−66
观察图象可得：
当0≤x≤6时，y随x的增大而减小；
故答案为：当0≤x≤6时，y随x的增大而减小；
（3）解：y1=−x+6y2=4x，
解得：x1=3+5y1=3−5，x2=3−5y2=3+5，
y1=x−6y2=4x，
解得：x1=3+13y1=−3+13，x1=3−13y1=−3−13（舍去），
∴结合图像，当y1≥y2时，
3−5≤x≤3+5或x≥3+13，
即0.8≤x≤5.2或x≥6.6．
故答案为：0.8≤x≤5.2或x≥6.6．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，求反比例函数与一次函数的交点坐标，画一次函数图象并根据图象判断不等式的解集，熟练掌握相关知识是解题关键．
12．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，动点P，Q分别从点B，A同时出发，P点以每秒1个单位长度的速度沿着B→C→A运动，到达A点停止运动，点Q以每秒49个单位长度的速度由A→D运动，P点运动时间为t秒，令△ABP的面积为y1，△CDQ的面积为y2，回答下列问题：
(1)请直接写出y1，y2与t之间的函数关系式以及对应的t的取值范围；
(2)请在平面直角坐标系中画出y1，y2的图象，并写出y1的一条性质；
(3)求当y1>y2时，t的取值范围．
【答案】(1)y1=3t20≤t≤4−65t+5454(2)图见解析；当t=4时，y1取得最大值，最大值为6（答案不唯一）
(3)t>3613
【分析】（1）根据矩形的性质可得BC=AD=4,AB=CD=3,∠B=90°，再由勾股定理求出AC的长，然后根据当点P在BC边上时，当点P在AC上时，结合三角形面积公式求出y1与t之间的函数关系式，再由y2=12CD×DQ，即可求解；
（2）利用两点法画出函数图象，即可求解；
（3）观察图象得：y1=3t2与y2=−23t+6相交，联立求出t=3613，即可．
【详解】（1）解：在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，
∴BC=AD=4,AB=CD=3,∠B=90°，
∴AC=AB2+BC2=5，
当点P在BC边上时，BP=t，此时0≤t≤4，
∴y1=S△ABP=12AB×BP=12×3t=3t2；
当点P在AC上时，AP=5+4−t=9−t，此时4过点B作BE⊥AC于点E，
∵S△ABC=12AB×BC=12BE×AC，
∴12×3×4=12BE×5，解得：BE=125，
∴y1=S△ABP=12BE×AP=12×125×9−t=−65t+545；
∴y1与t之间的函数关系式为y1=3t20≤t≤4−65t+5454根据题意得：DQ=4−49t，
∴y2=12CD×DQ=12×3×4−49t=−23t+60≤t≤9；
（2）解：对于y1=3t20≤t≤4
当t=4时，y1=6，
对于y1=−65t+5454当t=4时，y1=6，
当t=9时，y1=0，
对于y2=−23t+60≤t≤9，
当t=0时，y2=6，
当t=9时，y2=0，
画出图象如下：
观察图象得：当t=4时，y1取得最大值，最大值为6；
（3）解：观察图象得：y1=3t2与y2=−23t+6相交，联立得：
3t2=−23t+6，解得：t=3613，
∴当y1>y2时，t的取值范围t>3613．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，一次函数的的图象和性质，利用面积公式求出函数关系式是解题的关键．
13．如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠A=60°，动点M，N均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点M沿折线A→D→C方向运动，点N沿折线A→B→C方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点M，N的距离为y．

(1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出点M，N相距超过3个单位长度时x的取值范围．
【答案】(1)y=x(0(2)图象见解析，当0(3)3【分析】（1）根据菱形的性质得出AD+DC=AB+BC=8，∠A=∠C=60°，得出总的运动时间为8秒，分两种情况：当0（2）在直角坐标系中描点连线即可，再根据函数的增减性即可得出其性质；
（3）结合图象利用y=3分别求解即可．
【详解】（1）解：∵菱形ABCD，AB=4,∠A=60°，
∴AD+DC=AB+BC=8，∠A=∠C=60°，
∴总的运动时间为：8÷1=8秒，
当点M在AD，点N在AB上运动时，即0连接MN，

由题意得AM=AN，∠A=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴y=x；
当点M在CD，点N在CB上运动时，即4∴CM=8−x，
∴y=8−x；

综上可得：y=x(0（2）对于y=x，当x=4时，y=4，
对于y=8−x，当x=8时，y=0，
函数图象如图：

当0（3）当0当4∴由图象得：点M，N相距超过3个单位长度时，3【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，菱形的性质及等边三角形的判定和性质，正确理解动点问题是解题的关键．
14．如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠A=60°，动点P，Q分别以每秒2个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线A→D→C→B方向运动，点Q沿折线A→B→C→D方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点P，Q两点间的距离为y．

(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出点P，Q相距3个单位长度时t的值．（结果保留一位小数）
【答案】(1)y=2t0≤t≤312−2t3(2)图象见解析，当0≤t≤3时，y随着x的增大而增大，当3(3)1.5或3.5
【分析】（1）根据菱形的性质可得AB=BC=CD=DA=6，∠A=∠C=60°，求出点运动时间为6秒，分0≤t≤3和3（2）根据函数的解析式即可画出函数图象，根据增减性即可得到函数的性质；
（3）结合图象或当y=3时，代入关系式求解即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA=6，∠A=∠C=60°，
根据题意可得：运动的总时间为6+6÷2=6秒，、
则当0≤t≤3时，有AP=AQ=2t，
∴△APQ是等边三角形，
∴y=PQ=AP=2t，
当3∴△CPQ是等边三角形，
∴y=PQ=CP=12−2t，
∴y=2t0≤t≤312−2t3
（2）函数图象如图所示：

根据图象可得：当0≤t≤3时，y随着x的增大而增大，当3（3）当y=3时，2t=3或12−2t=3，
解得：t=1.5或t=4.5；
所以P，Q相距3个单位长度时t的值为1.5或4.5．
【点睛】本题考查了菱形的性质、一次函数的图象与性质以及等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键．
15．如图，在菱形ABCD中，AB=5,BD=6，动点E从点A出发，沿A→B→C以每秒1个单位的速度运动，到达点C停止运动，过点E作EF⊥BD，设点E的运动时间为x(s)，点E到BD的距离EF为y．

(1)直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数图象，并写出这个函数的一条性质___________；
(3)根据函数图象直接写出不等式y≥2的解集是___________．
【答案】(1)y=−45x+40≤x≤545x−4(5(2)画图见解析，图象关于直线x=5对称，
(3)0≤x≤52或152≤x≤10．
【分析】（1）连接AC与BD交于点O，根据菱形的性质可知AC⊥BD，利用勾股定理求出OA=OC的长，最后通过相似三角形的性质即可求解．
（2）根据画图象的方法即可求解；
（3）根据图象的性质即可求解．
【详解】（1）如图，连接AC与BD交于点O，
，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=5，OA=OC，OB=OD=12BD=3，
∴∠AOB=∠COB=90°，
由勾股定理得：OA=OC=AB2−OB2=52−32=4，
∵EF⊥BD，
∴∠EFB=∠AOB=90°，
∴EF∥AC，
∴△EBF∽△ABO，
∴BEBA=EFAO，
∵AE=x,
∴BF=5−x，
∴5−x5=y4，
∴y=−45x+40≤x≤5，
同理：当E在BC上时y=45x−4(5故答案为：y=−45x+40≤x≤545x−4(5（2）画图如下：

根据图象可知：图象关于直线x=5对称，
（3）解：如图，

当y=2时，2=−45x+4，解得：x=52，2=45x−4，解得：x=152，
当y≥2时
∴0≤x≤52或152≤x≤10，
故答案为：0≤x≤52或152≤x≤10．
【点睛】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质和一次函数的图象及其性质，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．
16．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD=6，动点P以每秒2，从点A出发，沿折线A→O→D方向运动，设运动时间为x0
(1)请直接写出y1，y2与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中，画出y1和y2的函数图象，并写出函数y1的一条性质：______；
(3)结合函数图象，估计当y1=y2时x的近似值．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)y1=3x0(2)图象见解析；当0(3)2或5.2
【分析】（1）分P在AO运动和P在OD上运动两种情况，用含x的代数式表示出三角形的高（底），利用三角形面积公式即可列式求解；
（2）根据函数解析式描点画图；
（3）借助函数图象求解，函数图象的交点对应的x的值即可所求．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴AO=OD=22AD=22×6=32，
如图，过点P向AD作垂线交AD于点H，过点Q向BD作垂线交BD于点E，

则△APH与△DQE是等腰直角三角形，
①当点P在AO运动时，
∵动点P以每秒2个单位的速度，32÷2=3，
∴AP=2x0∴PH=22AP=22×2x=x，
∴S△APD=12AD⋅PH=12×6x=3x，
∴y1=3x0②当点P在OD上运动时．如图2，

∴PH=22PD=22×62−2x=6−x3∴S△APD=12AD⋅PH=12×6×6−x=18−3x，
y1=3x0∵CQ=8x，
∴S△COQ=12CQ⋅12AD=12×8x×12×6=12x，
∴y2=12x0（2）解：图象如图：

由图可知，函数y1是分段函数，当0故答案为：当0（3）解：由图可知，当x=2或x=5.2时，y1和y2的函数图象相交，即y1=y2．
故当y1=y2时x的近似值为2或5.2．
【点睛】本题考查几何图形中动点的函数图象，解题的关键是根据正方形的性质求出相关线段的长度，熟练运用数形结合思想．
17．如图1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=8，点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD的方向向终点D运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BC的方向运动，当点P与点D重合时同时停止运动，连接AQ、PQ、DQ，记运动时间为x秒，y1=S△APQ（当x=0时，y1=0），y2=S△DCQ（当点Q与点C重合时，y2=0）．

(1)直接写出y1、y2与x之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)在图2中画出y1、y2的函数图象，并写出函数y2的一条性质；
(3)结合画出的函数图象，直接写出y1=y2时，点P的运动时间为多少秒．（保留1位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)y1=32x0≤x≤8，y2=−3x+120≤x≤43x−124(2)见解析；当0≤x≤4时，y2随x的增大而减小；当4(3)2.7秒或8秒
【分析】（1）由题意可知AP=x，0≤x≤8，再利用S△APQ=12AP⋅AB，即可得到y1与x之间的函数表达式；由题意可知BQ=2x，当0≤x≤4时，CQ=8−2x；当4（2）利用列表、描点、连线即可画出函数图象，再利用函数图象得到函数y2的性质即可；
（3）根据函数图象可知y1和y2有两个交点，分两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵矩形ABCD，
∴AB=CD=3，BC=AD=8，
∵点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD的方向向终点D运动，运动时间为x秒，
∴AP=x，
∵当点P与点D重合时同时停止运动，
∴0≤x≤8，
∴y1=S△APQ=12AP⋅AB=32x0≤x≤8，
∵点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BC的方向运动，
∴BQ=2x，
当0≤x≤4时，此时点Q在BC上，CQ=BC−BQ=8−2x
∴y2=S△DCQ=12CQ⋅CD=128−2x×3=−3x+12，
当4∴y2=S△DCQ=12CQ⋅CD=122x−8×3=3x−12，
∴y2=−3x+120≤x≤43x−124（2）解：y1与x的对应数据如下：
y2与x的对应数据如下，
y1、y2的函数图象如下：
由函数图象可知，当0≤x≤4时，y2随x的增大而减小；当4（3）解：由图象可知，y1和y2有两个交点，
当0≤x≤4时，32x=−3x+12，解得：x=83≈2.7，
当4∴当y1=y2时，点P的运动时间为2.7秒或8秒．
【点睛】本题是一次函数与几何综合问题。考查了矩形的性质，三角形的面积公式，描点法画函数图象，一元一次方程的应用等知识，根据三角形面积公式正确列出y1、y2与x之间的函数表达式，并画出函数图象是解题关键．
18．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E和F分别为AD与AB边的中点，动点P从B点出发，沿折线B→C→D运动，当到达D点时停止运动．设P点的运动路程为x，连接FP、PE，设△PEF的面积为y．

(1)直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，当函数y满足y≥53，写出x的取值范围．
【答案】(1)y=12x+10≤x≤4−x+74(2)函数图象见解析，该函数的一条性质为：函数的最大值为3
(3)43≤x≤ 163
【分析】（1）分两种情况：当点P在BC上运动时，当点P在CD上运动时，结合梯形、三角形面积公式即可求解；
（2）结合（1）中解析式即可画出函数图象，然后根据图象得出函数的性质；
（3）求出y=53时对应的x的值，然后观察图象找出y≥53时所对应的自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，AB=2，AD=4，点E和F分别为AD与AB边的中点，
∴AF=BF=1，AE=DE=2，AD=BC=4，
设P点的运动路程为x，
当点P在BC上运动时，即0≤x≤4时，BP=x，
∴△PEF的面积y=S梯形ABPE−S△AEF−S△BFP
=12×2×2+x−12×1×2−12×1⋅x
=12x+1，
当点P在CD上运动时，即4
∴△PEF的面积y=S梯形ADPF−S△AEF−S△DEP
=12×4×1+6−x−12×1×2−12×2⋅6−x
=−x+7，
综上，y=12x+10≤x≤4−x+74（2）函数图象如图所示，

由图象可知：函数的最大值为3；
（3）当y=53时，即12x+1=53或−x+7=53，
解得：x=43或x=163，
由图象可知：当函数y满足y≥53，x的取值范围为43≤x≤163．
【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的应用，一次函数的图象和性质，正确理解题意，利用梯形、三角形的面积公式列出函数关系式是解本题的关键．
19．如图，E为矩形ABCD的边AD上的一个动点，F为射线DC上的一个动点，BE⊥AF于点G，AB=2，BC=4．设AE=x，CF=y1， y2=4x．
(1)请直接写出y1与x之间的函数关系式及对应的x的取值范围；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出y1 ，y2 的图像，并写出函数y1的一条性质；
(3)结合你所画的函数图象，直接写出不等式y1≤y2的解集．
【答案】(1)y1=2−2x(0≤x≤1)2x−2(1(2)图见解析；y1的图像关于直线x=1对称
(3)0【分析】（1）先证明相似三角形，然后根据边的数量关系列方程求解即可；
（2）先取点，然后用平滑的曲线连接；
（3）根据函数图像，选取y1在y2下方的部分的自变量的取值范围．
【详解】（1）①当0≤x≤1时，F在线段CD上，
∵矩形ABCD中，BE⊥AF，
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∴△BAE∽△ADF，
∴ABAD=AEDF=24=12，
∵AE=x，
∴DF=2x，
∴CF=y1=2−2x；
②当1同理可得，DF=2x，
∴CF=y1=2x−2，
综上所述，y1=2−2x(0≤x≤1)2x−2(1（2）如图，
由图可知，y1的图像关于直线x=1对称．
（3）由（2）图可知，0【点睛】此题考查函数的几何综合，解题关键是F为射线DC上的一个动点，即需要分类讨论F的位置，易错点是画图时需要注意自变量的取值范围．
20．如图，已知矩形ABCD的边长为AB=4，AD=3，E，F分别在边AD，AB上，且DE=BF=2，点P是矩形边上的一个动点，点P从B出发，经过点C，到D点停止．记P点走过的路程为x，四边形AEPF的面积为y1．

(1)请求出y1关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)在坐标系中画出y1的函数图象；
(3)观察函数图象，请写出一条该函数的性质；
(4)已知关于x的函数y=kx+4−k与y1的图象有两个交点，写出k的取值范围．
【答案】(1)y1=x+2(0(2)见解析
(3)见解析
(4)−16【分析】（1）当点P在BC上运动时，y1=S矩形ABCD−SΔPBF−S梯形PCDE，即可求解；当点P在CD上运动时，同理可解；
（2）当x=0时，y1=2，当x=3时，y1=5，当x=7时，y1=3，将上述三点描点、连线绘制图象即可；
（3）从图象看，当0≤x≤3时，y1随x的增大而增大，当3（4）当函数y=kx+4−k过点A、B（C）时为临界点，进而求解．
【详解】（1）解：当点P在BC上运动时，即0则y1=S矩形ABCD−S△PBF−S梯形PCDE=AB⋅CD−12×DE+CP×CD−12×PB⋅FB=3×4−12×2+3−x−12×2x=x+2；
当点P在CD上运动时，即3
则y1=S矩形ABCD−S△PDE−S梯形PCBF=3×4−122+x−3⋅3−12×2×7−x=−12x+132，
即y1=x+2(0（2）当x=0时，y1=2，当x=3时，y1=5，当x=7时，y1=3，
将上述三点描点、连线绘制图象如下：

（3）从图象看，当0≤x≤3时，y1随x的增大而增大，当3（4）∵y=kx+4−k=k(x−1)+4，即直线过点(1,4)，如图点A，
当函数y=kx+4−k过点A、B（C）时为临界点，即直线m、n，
将点B(3,5)的坐标代入y=kx+4−k得：5=k(3−1)+4，
解得：k=12；
将点C(7,3)的坐标代入y=kx+4−k得：3=k(7−1)+4，
解得：k=−16；
即−16≤k<12．
【点睛】本题为一次函数综合运用题，涉及到一次函数的基本性质、面积的求法、函数作图等，其中（4），确定临界点是本题解题的关键．
21．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P，Q同时从B点出发，点P沿着B→C方向运动，点Q沿着B→A→D方向运动，有一点到达终点，另一点停止运动，已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，若运动时间为x秒，将AQ的长度记为y1，△BPD的面积记为y2．
​
(1)直接写出y1，y2与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出y1，y2的图象并写出y1的一条性质；
(3)若函数y=kx+2与y1有两个交点，求k的取值范围．
【答案】(1)y1=3−2x0≤x<1.52x−31.5≤x≤3.5，y2＝32x0≤x≤3.5
(2)见解析
(3)−43≤k≤47
【分析】（1）当0≤x<1.5时，点Q在AB上运动，则y1=AQ=AB−BQ=3−2x,当1.5≤x≤3.5时，点Q在AD上运动，同理可解；由y2=12×BP•CD，即可求解；
（2）通过取点、描点、连线、绘制图象即可求解；
（3）从图象看，当函数y=kx+2过点3.5，4和1.5，0时，两条直线恰好有2个交点，进而求解．
【详解】（1）当0≤x<1.5时，点Q在AB上运动，
则y1=AQ=AB−BQ=3−2x,
当1.5≤x≤3.5时，点Q在AD上运动，
同理可得：y1=2x−31.5即y1=3−2x(0≤x<1.5)2x−3(1.5≤x≤3.5)，
则y2=12×BP⋅CD=12×x×3=32x0≤x≤3.5；
（2）对于y1=3−2x(0≤x<1.5)2x−3(1.5≤x≤3.5)，
当x=0时，y1=3，当x=1.5时，y1=0，当x=3.5时，y1=4，
对于y2=32x0≤x≤3.5，
当x=0时，y2=0，当x=2时，y2=3，
通过对上述点描点、连线、绘制图象如下：
从图象看，当0≤x<1.5时，y1随x的增大而减小，当1.5≤x≤3.5，y1随x的增大而增大（答案不唯一）；
（3）从图象看，当函数y=kx+2过点3.5，4和1.5，0时，两条直线恰好有2个交点，
将3.5，4代入y=kx+2得：4=3.5k+2，则k=47，
将1.5，0代入y=kx+2得：0=1.5k+2，则k=−43，
∴k的取值范围为：−43≤k≤47．
【点睛】本题考查了一次函数综合运用，涉及到矩形性质，一次函数的基本性质，主要考查学生分析问题和解决问题的能力．
22．如图，在矩形ABCD中AB=3，BC=4．点E为CB中点，动点P从点E出发，沿折线E→C→D→C运动，当它回到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接AP，PD．设三角形ADP的面积为y．
(1)求出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出y的函数图象；
(2)根据函数图象，写出该函数的一条性质；
(3)根据函数图象，直接写出当y=2时x的值．
【答案】(1)y=60≤x≤210−2x2(2)当0≤x≤2时，y不变；当2(3)4或6
【分析】（1）根据点P的移动轨迹，分阶段分情况讨论计算面积；
（2）根据一次函数的图象分析性质和求值即可；
（3）根据函数图象，把y=2代入函数解析式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵在矩形ABCD中，点E是BC的中点，BC=4，AB=3；
∴EC=12BC=12×4=2，AD=BC=4，DC=AB=3，
在矩形ABCD中，点P在EC之间移动时，△ADP底边AD上的高＝矩形的宽AB=3；
点P在DC之间移动时，△ADP底边AD上的高等于PD，
点P从E到C移动时，即0≤x≤2时，△ADP的面积y=12×AD×3=12×4×3=6；
点P从C到D移动时，即2点P从D到C移动时，即5≤x≤8时，△ADP的面积y=12×AD×x−5=12×4×x−5=2x−10；
∴y=60≤x≤210−2x2在x的取值范围内画出y的函数图象如图：
（2）解：根据图象可知：当0≤x≤2时，y不变；当2（3）解：y=2时，10−2x=2或2x−10=2，
∴x的值是4或6．
【点睛】本题考查函数及函数图象，理解题意，分情况讨论是解题的关键．
23．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3．动点P从点A出发，沿折线A→C→B运动，当它到达点B时停止运动，设点P运动的路程为x，连接AP，BP．设三角形ABP的面积为y．

(1)请直接写出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出y的函数图象；
(2)根据函数图象，写出该函数的一条性质；
(3)根据函数图象，直接写出当y=5时x的值(结果保留一位小数，误差范围±0.2)．
【答案】(1)y=65x0(2)当x=5时，函数取得最大值，最大值为6；
(3)当y=5时x的值约为4.2或5.5
【分析】（1）先根据勾股定理求得AC的长，然后分当0（2）根据函数图象写出一条性质即可求解；
（3）根据函数图象求自变量的值即可求解．
【详解】（1）解：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=3．
∴AC=AB2+BC2=5，
当0
∴BC∥PQ
∴△APQ∽△ACB，
∴APAC=PQBC，即x5=PQ3，
∴PQ=35x，
∴y=12AB⋅PQ=12×4×35x=65x，
当5≤x≤8时，点P在BC上，如图所示，连接AP，

∴BP=AC+BC−x=8−x，
∴y=12AB⋅PQ=12×4×8−x=−2x+16，
综上所述，y=65x0函数图象如图所示，

（2）根据函数图象，可得，当x=5时，函数取得最大值，最大值为6；
（3）根据函数图象，可得，当y=5时x的值约为4.2或5.5．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，一次函数图象与性质，根据题意得出函数图象是解题的关键．
24．如图1，在矩形ABCD中，AD=4，AB=3，动点P从点B出发，延折线B－C－D运动，到达点D时停止运动，设点P的运动路程为x，由点A、B、P、D围成的图形的面积为y．请解答下列问题：

(1)请直接写出y与x之间的函数表达式及x的取值范围，并在图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象；
(2)根据函数图象，写出函数y的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当y=8时x的值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）．
【答案】(1)y=32x+60≤x≤4−2x+204(2)见解析
(3)x1≈1.3，x2≈6.0
【分析】（1）分两种情况讨论：当点P在BC上，即0≤x≤4，当点P在CD上，即4（2）根据函数的增减性和最值，得出答案即可；
（3）根据函数图象，写出结果即可．
【详解】（1）解：当点P在BC上，即0≤x≤4时，y=3x+42=32x+2；
当点P在CD上，即4综上分析可知，y=32x+60≤x≤4−2x+204函数图象，如图所示：

（2）解：增减性：当0当4最值：该函数在自变量取值范围内有最大值和最小值．
当x=4时，函数有最大值为12，
当x=0和x=7时函数有最小值为6；
（3）解：根据函数图象可知，当y=8时，x1≈1.3或x2≈6.0．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，求函数解析式，解题的关键是理解题意，求出函数解析式．
【题型2三角形中的动点问题】
25．如图，在△ABC中，∠C=60°，BC=3厘米，AC=4厘米，点P从点B出发，沿B→C→A以每秒1厘米的速度匀速运动到点A，设点P的运动时间为x秒，B、P两点间的距离为y厘米．小新根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小新的探究过程，请补充完整：
(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
m的值是______；当0≤x≤3时，y与x的函数关系式是______．
(2)先补全平面直角坐标系，再画出该函数的图象，并写出函数图象的性质：______（写出一条即可）．
(3)结合画出的函数图象，解决问题：在曲线部分的最低点时，P运动的时间为______秒．
【答案】(1)3；y=x
(2)见解析；见解析；当0≤x≤3时，y随x的增大而增大
(3)92
【分析】（1）根据表格信息可得运动时间，证明△BCP是等边三角形可得BP=3，再根据题意，得当0≤x≤3时，y是关于x的正比例函数，即可得出答案；
（2）首先补全平面直角坐标系，再根据描点，连线，画图步骤画出图象，最后根据函数图象写出性质即可；
（3）找到点P位置，求出CP长度，再求出时间，即可．
【详解】（1）解：根据表可知，运动6s，即BC+CP=6，
∵BC=3，
∴CP=6−3=3，
∵∠C=60°，
∴△BCP是等边三角形，
∴BP=3，即m=3，
根据题意得：当0≤x≤3时，y是关于x的正比例函数，
设当0≤x≤3时，y与x的函数关系式是y=kx，
把点1,1.0代入得：k=1，
∴当0≤x≤3时，y与x的函数关系式是y=x；
故答案为：3；y=x
（2）解：补全平面直角坐标系如下图，描点，连线，画图象如下，
性质：当0≤x≤3时，y随x的增大而增大；
故答案为：当0≤x≤3时，y随x的增大而增大
（3）解：P点位置如图，
此时曲线位置为最低点，BP⊥AC，
∵∠C=60°，
∴∠CBP=30°，
∴CP=12BC=32，
∴运动时间x=3+32÷1=92，
故答案为：92．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象、等边三角形的判定与性质、函数图象、含30°角的直角三角形，解题关键在画出图象，正确应用“从直线外一点到直线上的连线中，垂线段最短”．
26．如图，Rt△ABC中，AB=6，AC=8，动点M、N分别以每秒3个单位长度、4个单位长度的速度同时从A出发，点M沿折线A→B→C方向运动，点N沿折线A→C→B方向运动，点M达点B后，点M、点N的运动速度均变为每秒1个单位长度运动，当两点相遇时停止运动，设运动时间为t秒，点M、N的距离为y．
(1)请直接写出y关于t的函数表达式并直接写出自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图像，并写出函数的一条性质；
(3)当M，N两点相距6个单位长度时，直接写出t的值．
【答案】(1)y=5t,0≤t≤214−2t，2(2)图象见解析，当0≤t≤2时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）
(3)t的值为65或4
【分析】（1）分0≤t≤2及2（2）由（1）中求得的函数关系式画出函数图象，根据图象即可写出一条性质即可；
（3）根据所求得的函数关系式，求出当y=6时的自变量值即可．
【详解】（1）解：由勾股定理得：BC=AB2+AC2=10；
当M、N分别运动到点B、C时，运动时间为6÷3=2（秒）；当M、N在BC上相遇时，2(t−2)=10，解得t=7；
①当0≤t≤2时，M、N分别在边AB，AC上，此时AM=3t，AN=4t，
由勾股定理得y=MN=AM2+AN2=5t；
②当2由于BM+CN+MN=10，
则y=MN=BC−BM−CN=10−(t−2)−(t−2)=14−2t；
综上，所得函数关系式为y=5t,0≤t≤214−2t，2（2）解：函数图象如下：
当0≤t≤2时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）；
（3）解：当0≤t≤2时，5t=6，得t=65；
当2故当M，N两点相距6个单位长度时，t的值为65或4．
【点睛】本题是动点问题，考查了勾股定理，求函数解析式，画一次函数图象，已知函数值求自变量值等知识，注意分类讨论．
27．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，动点D以每秒1个单位长度的速度沿折线A→B→C方向运动，当点D运动到点C时停止运动．设运动时间为x秒，△ACD的面积为y．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式井注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出△ACD的面积为4时x的值，x1=______，x2=______．
【答案】(1)y关于x的函数关系式为y= 2x(0(2)作图见详解；该函数的一条性质为：在0(3)2,143
【分析】本题是一次函数综合题，考查了三角形的面积，直角三角形的性质，一次函数的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键；
（1）分两种情况，当点D在AB上，0（2）由题意画出图象，由一次函数的性质可得出结论；
（3）由（2）中的图象及一次函数图象上点的坐标特征可得出答案．
【详解】（1）当点D在AB上，0∵∠A=90°,AB=3,AC=4,
∴BC=AB2+AC2=5,
∵AD=x,
∴S△ACD=12AC⋅AD=12×4×x=2x,
∴y=2x；
当点D在BC上时，3≤x<8，如图，过点D作DE⊥AC于E，
∵BC=5，
∴CD=8−x，
∵sin∠ACB=ABBC=35，
∴ED8−x=35，
∴ED=35(8−x)，
∴S△ACD=12×CA×ED=12×4×35(8−x)=485−65x，
∴y=485−65x．
综上所述，y关于x的函数关系式为y= 2x(0
（2）如图，该函数的一条性质为：在0
（3）由图象可知将y=4（1）中方程可得，x1=2,x2=143．
∴△ACD的面积为4时x的值为2或143．
故答案为：2,143．
28．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，sin∠ACB=35，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C每秒1个单位的速度运动（不包含端点A、C），设点P运动的时间为x秒，△PAC的面积为y．
(1)请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出一条该函数的性质；
(3)结合函数图象，请直接写出△PAC的面积为3时x的值（结果保留一位小数）．
【答案】(1)y=2x0(2)画图见解析，当0(3)1.5或5.5
【分析】本题考查研究函数的一般方法，解题涉及分段函数，一次函数，掌握研究函数的一般方法是解题的关键，还考查了解直角三角形．
（1）分点P在AB上和BC上分别讨论即可；
（2）列表、描点、连线，画出函数图象，从函数的某一方面性质，比如增减性写出一条即可；
（3）根据函数图象即可得到答案．
【详解】（1）解∶∵∠A=90°，AB=3，sin∠ACB=35，
∴sin∠ACB=ABBC=35，
∴BC=5，
∴AC=4，
当0y=12×4x=2x；
当3≤x<8即P在BC上时，此时CP=3+5−x=8−x，
过点P作PH⊥AC于H，
∴PH=PC⋅sin∠PCH=358−x，
∴y=12×4×358−x=−65x+485，
综上，y=2x0（2）解：列表
函数图形如下：
该函数的性质：当0（3）解：由函数图象可得：
△PAC的面积为3时x的值1.5或5.5．
29．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，S△ABC=12，BC=6，动点P从B点出发，沿B→A→C运动，点P运动到点C时停止运动，过点P作PQ⊥BC交BC于点Q，记PQ=y，P点的运动路程为x．

(1)求出y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围，并在下面的平面直角坐标系中直接画出y的函数图象．
(2)根据所画的函数图像，写出该函数的一条性质：_________________________
(3)在射线BC上有一动点M，始终满足BM=45x，利用所求函数解决问题：当PQ>BM时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)y=45x0≤x≤5−45x+85(2)该函数图象关于直线x=5对称（答案不唯一）
(3)1【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据面积求出AD=4，根据勾股定理求出AB=AC=5，再进行分类讨论①当点P在AB上时，△ABD∽△PBQ；②当点P在AC上时，△ACD∽△PCQ，根据相似三角形对应边成比例即可解答；
（2）根据图象分析其对称性，即可解答；
（3）根据（1）中得出的PQ关于x法表达式，进行分类讨论，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：过点A作AD⊥BC于点D，

∵S△ABC=12，BC=6，
∴12BC⋅AD=12×6AD=12，解得：AD=4．
∵AB=AC，AD⊥BC，BC=6，
∴BD=CD=12BC=3，
根据勾股定理可得：AB=BD2+AD2=5，
则AC=5，
①当点P在AB上时：
∵AD⊥BC，PQ⊥BC，
∴∠ADB=∠PQB=90°．
∵∠PBQ=∠ABD，
∴△ABD∽△PBQ，
∴PQAD=PBAB，即y4=x5，整理得：y=45x0≤x≤5；
②当点P在AC上时：
∵AD⊥BC，PQ⊥BC，
∴∠ADC=∠PQC=90°，
∵∠PCQ=∠ACD，
∴△ACD∽△PCQ，
∴PQAD=PCAC，即y4=10−x5，整理得：y=8−45x5综上：y=45x0≤x≤5−45x+85画出图形如下：

（2）解：由图可知，该函数图象关于直线x=5对称．
故答案为：该函数图象关于直线x=5对称；
（3）解：当0≤x≤5时，
∵PQ>BM，
∴45x>45x，解得：x>1或x<−1（舍去），
∴1当5∵PQ>BM，
∴−45x+8>45x，解得：x<5+26或x>5−26（舍去），
∴5综上：1【点睛】本题为三角形综合题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，图象法解一元二次不等式等知识，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
30．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点D是AC的中点，动点E从点C出发，沿着折线C→D→B（含端点）运动，到达点B时停止运动，过点E分别向BC，AB边作垂线，垂足分别为F，G．设点E运动的路程为x，线段EF与EG的长度和为y，

(1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)若y′=−x+11，结合函数图象，直接写出y>y′时x的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)y=−15x+80≤x<5−75x+145≤x≤10
(2)图象见解析，当0≤x≤10时，y随x增大而减小（答案不唯一）
(3)3.8≤x≤7.5
【分析】（1）分两种情况：当点E在CD上时和当点E在BD上时，分别利用三角函数表示出线段EF与EG的长度，即可写出y关于x的函数表达式；
（2）根据（1）中所列表达式，取值描点连线作图，结合图象写出性质；
（3）观察图象求出函数图象的交点，根据交点结合图象根据函数值大小判断自变量取值范围．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∵点D是AC的中点，
∴BD=12AC=CD=5，
①当点E在CD上时，即0≤x≤5时，如图：

∵EF⊥BC,AB⊥BC，∠ABC=90°，
∴四边形BFEG是矩形，
∴sin∠C=EFCE=ABAC，
即EFx=610，
∴EF=35x，
同理，cs∠C=CFCE=BCAC，
即CFx=810，
∴CF=45x，
∴BF=8−45x=EG，
∴y=35x+8−45x=−15x+8；
②当点E在BD上时，即5≤x≤10时，如图：

由①知四边形BFEG是矩形，
∵BD=CD=5，
∴∠C=∠DBC，
∴sin∠C=sin∠DBC=ABAC=EFBE，
又∵点E运动的路程为x，
∴BE=5+5−x=10−x，
∴610=EF10−x，
∴EF=3510−x，
同理， cs∠DBC=cs∠C=BFBE=BCAC，
即BF10−x=810，
∴BF=4510−x=EG，
∴y=3510−x+4510−x=−75x+14；
（2）解：函数y=−15x+80≤x<5，当x=0时，y=8；
当x=5时，y=7（不包括这点）；
函数y=−75x+145≤x≤10，当x=5时，y=7；
当x=10时，y=0；
描点、连线，函数图象如下图所示：

性质：①当0≤x≤10时，y随x增大而减小；（答案不唯一）
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当x=0时，函数取得最大值8，当x=10时，函数取得最小值0．（答案不唯一）
（3）解：由题意得：先求函数y=−15x+80≤x<5图象与直线y′=−x+11交点，
∴y′=−x+11y=−15x+8，
解得：x=154=3.75y=294，
∴两图象交点为3.75,294，
再求函数y=−75x+145≤x≤10图象与直线y′=−x+11交点，
∴y′=−x+11y=−75x+14，
解得：x=152=7.5y=72，
∴两图象交点为7.5,72，
当图象在两个交点之间时y>y′，
此时，x的取值范围是3.8≤x≤7.5（结果保留1位小数，误差不超过0.2）．
【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质、三角函数的应用，掌握一次函数图象与性质是解题关键．
31．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D是BC的中点，动点M从点C出发，沿着折线C→D→A（含端点C和A）运动，速度为每秒1个单位长度，到达A点停止运动，设点M的运动时间为t秒，点M到AC的距离MH为y个单位长度．

(1)求y关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(2)在直角坐标系中画出y与t的函数图像，并写出它的一条性质 ．
(3)根据图像直接写出当y≥2时t的取值范围： ．
【答案】(1)y=35t0≤t≤5−35t+65(2)当0≤t≤5时，y随t的增大而增大，5(3)103≤t≤203
【分析】（1）分点M在CD上和DA上，根据勾股定理，三角函数，解直角三角形计算即可．
（2）画出图像，根据函数的性质，选择一个函数描述即可．
（3）根据题意，结合解析式，分别计算y=2时的t值，结合图像确定符合题意的范围即可．
【详解】（1）∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=62+82=10，
∵点D是BC的中点，
∴AD=BD=CD=12BC=5，
∴∠C=∠DAC，
∴sinC=sin∠DAC=ABBC=610=35，CM=t，
当点M在CD上时，此时0≤t≤5，

在Rt△CMH中，sinC=MHMC=yt=35，
解得y=35t；
当点M在DA上时，此时5AM=AD+CD−CM=10−t，

在Rt△AMH中，sin∠DAC=MHAM=y10−t=35，
解得y=3510−t=−35t+6；
综上所述，y=35t0≤t≤5−35t+65（2）∵y=x,0≤x≤3−34x+214,3＜x≤7，
列表如下：
画图如下：

故当0≤t≤5时，y随t的增大而增大，5故答案为：当0≤t≤5时，y随t的增大而增大，5（3）当0≤t≤5时，
∵y=35t，且y=2，
∴2=35t
解得t=103；
当5∵y=−35t+6，且y=2，
∴2=−35t+6
解得t=203；
结合图像，当y≥2时，t满足的范围是103≤t≤203．
故答案为：103≤t≤203．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角函数，一次函数的性质，熟练掌握勾股定理，三角函数，一次函数的性质是解题的关键．
32．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，点D为BC中点，点P从点D出发，沿D→C→A方向以每秒1cm的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，线段CP的长度为ycm．

(1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当CP的长度与AD的长度相等时x的值．
【答案】(1)y=3−x,0≤x≤3x−3,3(2)图象见解析，当0≤x≤3时，y随x的增大而减小，当3(3)x=7
【分析】（1）分点P在DC上和CA上分别讨论即可；
（2）列表、描点、连线，画出函数图象，从函数的某一方面性质，比如增减性写出一条即可；
（3）根据函数图象，利用关系y=AD，由图象找出x的对应值即可．
【详解】（1）解：∵AB=AC，点D为BC中点，
∴AD⊥BC，DC=12BC=3cm，
∵点P以每秒1cm的速度沿D→C→A匀速运动到点A，运动时间为x秒，
∴点P运动的路程为xcm，
①当点P在DC上，即当0≤x≤3时，
∵DP=xcm
∴y=DC−DP=3−x，
②当点P在CA上时，即当3
∵DC+CP=xcm，
∴y=CP=x−DC=x−3，
∴y与x的函数关系式为：y=3−x,0≤x≤3x−3,3（2）列表如下：
函数图象如下：

该函数的性质：当0≤x≤3时，y随x的增大而减小，当3（3）由（1）可知在Rt△ACD中，AD=AC2−CD2=52−32=4cm，
∴直线y=4时，与图象交点的横坐标就是要求的x的值，
观察图象，当y=AD=4时，x=7，
当CP的长度与AD的长度相等时x=7．
【点睛】本题考查研究函数的一般方法，解题涉及分段函数，一次函数，掌握研究函数的一般方法是解题的关键，还考查了等腰三角形的性质及勾股定理．
33．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D为AB中点，动点P从点A出发，沿着A→C→B方向运动至点B处停止．连接DP、BP，设点P的运动路程为x，△BDP的面积为y．

(1)直接写出y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)请在图2中画出函数y的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)根据函数图象，直接写出当y=2时x的值．
【答案】(1)y=x0(2)作图见解析，图象有最大值为4（答案不唯一）
(3)x=2
【分析】（1）分两种情况讨论：当点P在AC上运动，当点P在BC上运动时，由三角形的面积公式求解即可；
（2）根据题意画出图象，再根据图象得出函数的性质即可；
（3）根据函数图象求解即可．
【详解】（1）解：过点P作PH⊥AB于点H，
在Rt△ABC中，AC=BC=4，
∴AB=42+42=42，
∴sinA=22=PHAP，即PH=AP⋅sinA，
∵D为AB中点，
∴AD=BD=22，
当点P在AC上运动时，则y=12BD⋅PH=12BD⋅AP⋅sinA=12×22×22x=x，

当点P在BC上运动时，则PB=8−x，
∵sinB=22=PHPB，即PH=PB⋅sinA，
∴y=12DB⋅PH=12×22⋅8−x×22=8−x，
即y=x0
（2）解：如图所示，

由图象可得，图象有最大值为4；
（3）解：由图象可得，当y=2时，x=2．
【点睛】本题考查函数图象与性质，明确题意，利用三角形的面积公式求得函数解析式是解题的关键．
34．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．

(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
【答案】(1)当0(2)图象见解析，当0(3)t的值为3或4.5
【分析】（1）分两种情况：当0（2）在直角坐标系中描点连线即可；
（3）利用y=3分别求解即可．
【详解】（1）解：当0连接EF，

由题意得AE=AF，∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴y=t；
当4
（2）函数图象如图：

当0（3）当0当4故t的值为3或4.5．
【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键．
35．如图1，在△ABC中，∠A=90°，AC=4，AB=3，动点P从点C出发沿C→A→B运动．当点P到达点B时，终止运动．设点P每秒运动1个单位长度，运动的时间为x秒，△BPC的面积为y．

(1)求出y与x之间的函数关系式，注明自变量x的取值范围．
(2)在图2所示的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并写出该函数的性质（写出一条即可）
(3)当△BPC的面积等于4的时候，时间x=________．
【答案】(1)y=32x(0≤x≤4)14−2x(4(2)当0(3)3或5
【分析】（1）分情况讨论：当0≤x≤4时，CP=x，AB=3，则S△BPC=12x·AB=32x，当4（2）根据y=32x(0≤x≤4)14−2x(4（3）分情况讨论：①当0【详解】（1）解：当0≤x≤4时，CP=x，AB=3，
则S△BPC=12x·AB=32x，
当4则S△BPC=12BP·AC=12(7−x)×4=14−2x，
∴y=32x(0≤x≤4)14−2x(4（2）解：如图所示，

当0（3）解：当0x=83；
当4x=5；
故答案为：3或5．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质．
36．如图，在△ABC中∠A=30°，AB=BC=43，点D为线段AC中点，点E为线段BC上一点且BE=4．动点P从点A出发沿着A→B→D→C的路径运动，且动点P以每秒3个单位的速度在路径A→B→D上运动，以每秒2个单位的速度在路径D→C上运动，设运动时间为x秒，△PBE的面积为y．

(1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当S△PBE=S△BDC时x的值(3≈1.732，结果精确到0.1，误差不超过0.1）．
【答案】(1)y=12−3x，0≤x<43x−12，4≤x<618−2x，6≤x≤9
(2)图像见详解
(3)x=0.5
【分析】（1）根据点P在不同直线上，分情况讨论得出关系式；
（2）根据y关于x的函数表达式找到点画出图象，根据图象写出函数的性质；
（3）先计算出S△BDC的值，构造等式即可．
【详解】（1）解：延长AB，过点E作AB的垂线于一点F，过点E作BD的垂线于一点G，当点P在DC上运动时，过点P作BC的垂线于一点M，如图所示：
，
∵∠A=30°，AB=BC=43，点D 为AC的中心，
∴∠C=30°，BD=23，
∵EF⊥AB，BE=4，
∴∠CBF=60°，
∴EF=23，
当点P在AB上运动时，此时△PBE的面积是以PB为底，EF为高的三角形，
∵在AB上以每秒3个单位的速度，
∴AP=3x，则PB=43−3x，
此时y=12×PB×EF=12×43−3x×23，
整理得：y=12−3x0≤x<4，
当点P在BD上运动时，此时△PBE的面积是以BP为底，EG为高的三角形，
∵在BD上以每秒3个单位的速度，
即BP=3x−4，
∵EG⊥BD，
∴∠BEG=∠C=30°，
∵BE=4，
∴EG=23，
此时y=12×BP×EG=12×3x−4×23，
整理得：y=3x−124≤x<6，
当点P在DC上运动时，此时△PBE的面积是以BE为底，PM为高的三角形，
∵在DC上以每秒2个单位的速度，
∴DP=2x−6，
∵BC=23，∠C=30°，
∴DC=6，
∴PC=6−DP=18−2x，
故PM=9−x，
此时y=12×BE×PM=12×4×9−x，
整理得：y=18−2x6≤x≤9，
综上可得y关于x的函数表达式为：y=12−3x，0≤x<43x−12，4≤x<618−2x，6≤x≤9；
（2）解：根据（1）中的表达式，在每一段求出两个点，
分别为0,12，4,0，6,6，9,0，
画出图象，如下图所示：
，
该函数在A→B是运动时，随着时间x的增大，y减小，在B→D上运动时，随着时间x的增大，y增大，在D→C上运动时，随着时间x的增大，y减小；
（3）解：由题可得S△BDC=12×CD×BD=12×6×23≈10.4，
综合图象可知当S△PBE=10.4时，x的值只有一个，
当y=12−3x=10.4时，此时x=0.5秒．
【点睛】本题考查了实际问题与一元一次函数，根据题意列出一元一次函数是解题的关键．
37．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4．动点E以每秒1个单位长度的速度从点C出发向点B运动．到达点B后，又以每秒2个单位长度的速度返回点C．点E回到点C时停止运动．连接AE，设运动时间为t秒，△ACE的面积为y．

(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；

(3)结合函数图象，写出△ACE的面积为3时t的值．
【答案】(1)y=t0≤t≤412−2t4(2)图象见解析；函数有最大值，最大值为4
(3)t=3或92
【分析】（1）分0≤t≤4和4（2）根据函数解析式直接作图，根据图像写出性质即可；
（3）根据函数图象的性质可得答案．
【详解】（1）解：当0≤t≤4时，E未到达B点，
此时CE=t，
∴y=2t2=t；
当4此时CE=4−2t−4=12−2t，
∴y=212−2t2=12−2t，
综上所述，可得y=t0≤t≤412−2t4（2）解：函数解析式，如图所示：

函数的性质：函数有最大值，最大值为4．
（3）解：当0≤t≤4，y=3时，
3=t，即t=3；
当43=12−2t，解得t=92
∴ t=3或92．
【点睛】本题考查了函数解析式的求法，函数图像的作法及应用，根据t的取值的变化，得到不同的CE的表达式是解题的关键．
38．如图，在△ABC中，AB=8，AD⊥BC，∠B=30°，CD=3，点E在BD上且DE=2，动点P从点B出发，沿B→A→C运动，到达点C时停止．设点P运动路程为x，△PED的面积为y1．
(1)求y1关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)在坐标系中画出y1的函数图象；
(3)观察函数图象，请写出一条该函数的性质____________________；
(4)在坐标系中画出y2=10x的函数图象，并结合图象直接写出y1＞y2时x的取值范围．
【答案】(1)y1=12x 0＜x≤8−45x+525 8＜x＜13；
(2)如图所示：
；
(3)当0＜x≤8时，y随x的增大而增大；
(4)如图所示：
25＜x＜13+1192．
【分析】（1）分两种情况进行讨论，当点P在AB边上时，作PM⊥BC，此时y1=12×DE×PM；当点P在AC边上时，作PN⊥BC，此时y1=12×DE×PN；分别用含x的代数式表示线段长度，计算得出答案；
（2）根据第1问求出的函数解析式，在平面直角坐标系中描点绘制函数图象；
（3）直接观察函数图象可得；
（4）在平面直角坐标系中描点绘制函数y2图象，观察函数图象可知有两个交点，计算求出交点横坐标，当y1＞y2时，y1图象在y2图象上方，得到x的取值范围．
【详解】（1）动点P从点B出发，沿B→A→C运动，
当点P在AB边上时，如图所示：
作PM⊥BC，垂足为点M，
∴y1=12×DE×PM
∵BP=x，∠B=30°，
∴PM=12BP=12x，
∵DE=2，
∴y1=12×2×12x
=12x；
当点P在AC边上时，如图所示：
作PN⊥AC，垂足为点N，
y1=12×DE×PN，
∵AB=8，∠B=30°，CD=3，
∴AD=12AB=4,
AC=AD2+CD2=5，
∵AB+AP=x，
∴PC=13−x，
∵CPCA=PNAD，
13−x5=PN4，
∴PN=−45x+525，
y1=12×2×−45x+525
=−45x+525；
综上，y1=12x 0＜x≤8−45x+525 8＜x＜13，
故答案是y1=12x 0＜x≤8−45x+525 8＜x＜13．
（2）由（1）得，y1=12x 0＜x≤8−45x+525 8＜x＜13，
在平面直角坐标系中描出相应的点，画出y1的函数图象，
故答案如图所示：
（3）由图可得，当0＜x≤8时，y随x的增大而增大；
当8＜x＜13时，y随x的增大而减小；
故答案是：当0＜x≤8时，y随x的增大而增大．
（4）在平面直角坐标系中描点画出y2的函数图象，
如图所示：
当0＜x≤8时，
令12x=10x，
解得x=25，
当8＜x＜13时，
令−45x+525=10x，
解得x=13+1192或x=13−1192（不符合题意舍），
∴y1＞y2时，
25＜x＜13+1192，
故答案是25＜x＜13+1192．
【点睛】本题考查了一次函数图象、反比例函数图象，数形结合思想是解题的关键．
39．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点M是AC的中点．点P从点B出发，沿B→A→M的路径向点M运动，点Q在射线BA上，连接MQ、PC、QC．当点P到达点M时停止运动．在点P整个运动过程中，点Q都满足∠CQB＝∠PCB．设点P的运动路程为x，S△MAQ=y1．
(1)直接写出y1与x的函数表达式，并补全表格中y1的值，以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，并在x的取值范围内画出y1的函数图象：

(2)写出函数y1的一条性质：______．
(3)在直角坐标系中已经画出y2=x0【答案】(1)7，3，53，1；1，1；
(2)当0(3)17−12【分析】（1）①当点P在AC上运动时，求出tan∠BCP=PHCH=x4−x，得到tan∠CQB=tan∠PCB=ACAQ=2AQ=x4−x，即可求解；②当点P在AM上时，则∠CQB=∠PCB=45°，则y1=12AM⋅AQ，即可求解；
（2）看表格数据即可得出结论；
（3）观察函数图象即可求解．
【详解】（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，BC=2AB=22，
∵点M是AC的中点，
∴AM=1．
①当点P在AC上运动时，此时0过点P作PH⊥BC于点H，
则BH=PH=22BP=22x，
则CH=CB−AH=22−22x，
则tan∠BCP=PHCH=22x22−22x=x4−x，
∵∠CQB=∠PCB，
∴tan∠CQB=tan∠PCB=ACAQ=2AQ=x4−x，
解得：AQ=8−2xx，
则y1=12⋅AM⋅AQ=12×1×8−2xx=4x−1，
当x=12时，y1=4x−1=7，
同理可得：当x=1时，y1=4x−1=3，
x=32时，y1=4x−1=53，
x=2时，y1=4x−1=1；
②当点P在AM上时，此时2则∠CQB=∠PCB=45°，
则AQ=AC=2，
则y1=12⋅AM⋅AQ=12×1×2=1，
当x=52时，y1=1，
当x=3时，y1=1，
故答案为：7，3，53，1；1，1；
（2）从表格看：当0故答案为：当0（3）画出y1的函数图象如下（图象加粗的部分）:

联立y1=4x−1和y=x并整理得：
x2+x−4=0，
解得：x=17−12（负值已舍去），
从图象看，当y1【点睛】本题考查了反比例函数综合运用，涉及到解直角三角形，反比例函数的基本性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
40．如图1，在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=16，D为底边BC的中点，点P从A点出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点Q从C点出发，以每秒2个单位长度的速度；沿着C→A→B的路线运动，设运动时间为t，连接AD，DP，DQ，记△ADP的面积为y1，记△CDQ的面积为y2，请解答下列问题：

(1)请直接写出y1，y2与t之间的函数关系式以及对应的t的取值范围；并在如图2所示的平面直角坐标系中分别画出y1，y2的函数图象；
(2)观察y2的函数图象，写出函数y2的一条性质；
(3)根据图象，直接写出当y1≥y2时，t的取值范围.
【答案】(1)y1=125t0≤t≤10；y2=245t0≤t≤5−245t+48(5(2)函数y2的最大值是24；
(3)203≤t≤10
【分析】(1)由锐角三角函数可求PH，QN的长，由三角形的面积公式可求解；
(2)由图象可直接求解；
(3)列出不等式即可求解.
【详解】（1）如图1, 过点P作PH⊥AD于H, 过点Q作QN⊥CB于N,

∵AB=AC=10，BC=16，D为底边BC的中点，
∴BD=CD=8,AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,
∴AD=AB2−BD2=6,
∵点P从A点出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，
∴AP=t,
∵sin∠BAD=PHAP=BDAB，
∴PH=810×t=45t，
∴y1=12×AD⋅PH=125t0≤t≤10，
当点Q在AC上时，
∵动点Q从C点出发，以每秒2个单位长度的速度,
∴CQ=2t,
∵sinC=ADAC=QNQC=35，
∴QN=35×2t=65t，
当0≤t≤5时,
y2=12×CD⋅QN=24t5；
当点Q在AB上时,同理可求当5 y2=−24t5+48,
综上所述： y2=245t0≤t≤5−245t+48(5则y1，y2的函数图象如图所示：

（2）由图象可得：函数y2的最大值24；
（3）∵y1≥y2
∴125t≥−24t5+48，
∴t≥203.
即203≤t≤10.
【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.
41．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D为AB中点，动点P从点A出发，沿着A→C→B方向运动至点B处停止．连接DP、BP，设点P的运动路程为x，△BDP的面积为y1．

(1)直接写出y1与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)请在图2中画出函数y1的图象，并写出该函数的一条性质：____________；
(3)已知函数y2=−13x+3，当y1≥y2时，请直接写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)y=x0≤x≤48−x4≤x≤8
(2)图见解析，函数有最大值，最大值为4（答案不唯一）
(3)94≤x≤152
【分析】（1）分当点P在AC和CB上运动两种情况讨论，利用三角形的面积公式及三角函数求解即可；
（2）画出函数图像，可得结论；
（3）画出y2=−13x+3的图象，构建方程组求得y1、y2的交点，结合图象，即可求解．
【详解】（1）解：∵ △ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，
∴∠A=∠ABC=45°，AB=42+42=42，
∵ D为AB中点，
∴BD=12AB=22，
①当点P在AC上运动时，如图，过点P作PH⊥AB于点H，

∵AP=x，
∴PH=sin∠A⋅AP=22x，
∴此时y1=12⋅BD⋅PH=12×22⋅22x=x，
②当点P在CB上运动时，如图，则PB=8−x，

∴PH=sin∠ABC⋅PB=22⋅8−x，
∴此时y1=12⋅BD⋅PH=12×22×22⋅8−x=8−x，
综上，y1与x的函数表达式为y=x0≤x≤48−x4≤x≤8；
（2）解：当x=0时，y1=0，当x=4时，y1=4，当x=8时，y1=0，
函数图象如图所示：

函数y1的性质：函数有最大值，最大值为4（答案不唯一），
故答案为：函数有最大值，最大值为4（答案不唯一）；
（3）解：当x=0时，y2=3，当x=3时，y2=−13×3+3=2，
如图，

由y1=xy2=−13x+3，解得x=94，
由y1=8−xy2=−13x+3，解得x=152，
观察图象可知，当94≤x≤152时，y1≥y2．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积，函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解决问题．
42．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，点D为BC中点，点P从点D出发，沿D→C→A方向以每秒1cm的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，△ADP的面积为ycm2．
根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化规律进行探究．

(1)直接写出y与x的函数关系式，注明x的取值范围，并画出y的函数图像；
(2)观察y的函数图像，写出一条该函数的性质；
(3)观察图像，直接写出当y=AD时，x的值______．（保留1位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)y=2x0≤x≤3−65x+4853＜x≤8，见解析
(2)当0≤x≤3时，y随x的增大而增大
(3)x=2.0或x=4.7
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，计算AD=4，根据面积公式，分类计算即可．
（2）根据图像的性质描述即可．
（3）分类计算即可．
【详解】（1）∵AB=AC=5cm，BC=6cm，点D为BC中点，
∴AD⊥BC,BD=CD=12BC=3cm，
∴AD=52−32=4cm，
当0≤x≤3时，y=12×x×4=2x；
当3＜x≤8时，

过点P作PE⊥BC于点E，
则PC=x−3,PE=PCsin∠PCB=45PC=45x−3，
∴y=12CD×AD−12CD×PC=6−32×45x−3=−65x+485，
故y=2x0≤x≤3−65x+4853＜x≤8，
画图像如下：
．
（2）根据图像，可得当0≤x≤3时，y随x的增大而增大．
（3）∵AD=4，
∴y=2x=4或y=−65x+485=4，
∵保留1位小数，误差不超过0.2，
∴2−0.2≤x≤2+0.2或143−0.2≤x≤143+0.2，
故x=2.0或x=4.7．
故答案为：x=2.0或x=4.7．
【点睛】本题考查了三线合一性质，勾股定理，三角函数，函数的图像，误差，熟练掌握三线合一性质，勾股定理，三角函数是解题的关键．
43．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4，点O是AC的中点，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，到达点C停止运动，设点P运动的路程为x，△AOP的面积为y，请解答下列问题：

(1)请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出y与x的函数图像，并写出它的一条性质：___________________________________；
(3)若直线y=kx+2与该函数图像有且只有2个交点，则k的取值范围为______．
【答案】(1)y=x,0≤x≤3−34x+2143(2)当0≤x≤3时，y随x的增大而增大
(3)−27≤k<13
【分析】（1）分点P在AB上和BC上，计算即可．
（2）画出图像，根据函数的性质，选择一个函数的性质描述即可．
（3）根据图像，确定符合题意的图像，再确定k值即可．
【详解】（1）如图，当点P在AB上时，
过点O作OD⊥AB于点D，
∵∠ABC=90°，
∴OD∥BC，
∴OAOC=ADDB，
∵点O是AC的中点，
∴OA=OC，
∴AD=DB，
∴OD=12BC，
∵BC=4，

∴OD=12BC=2，
∴y=12AP·OD=12×2×x=x，
∵AB=3，
∴y=12AP·OD=12×2×x=x,0≤x≤3；
如图，当点P在BC上时，
过点P作PE⊥AC于点E，
∵∠ABC=90°，AB=3,BC=4，
∴AC=32+42=5，
∴sinC=ABAC=35，

∵AB+BC=3+4=7，
∴PC=7−x，
∴sinC=PEPC=35，
∴PE=357−x，
∵点O是AC的中点，
∴OA=OC=12AC=52，
∴y=12AO·PE=12×52×357−x，
∵AB+BC=3+4=7，
∴y=−34x+2143综上所述，y=x,0≤x≤3−34x+2143（2）∵y=x,0≤x≤3−34x+2143列表如下：
画图如下：

故当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，
故答案为：当0≤x≤3时，y随x的增大而增大．
（3）根据题意，当直线y=kx+2经过点A3,3时，与图像有一个交点，当直线y=kx+2经过点B7,0时，与图像有二个交点，

∴3=3k+2,7k+2=0，
解得k=13,k=−27
根据一次函数的性质，得当−27≤k<13时，直线y=kx+2与该函数图像有且只有2个交点，
故答案为：−27≤k<13．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，三角函数，一次函数的性质，熟练掌握勾股定理，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，三角函数，一次函数的性质是解题的关键．
【题型3梯形中的动点问题】
44．如图1，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=6，BC=2AD=8，点E在边AB上且AE=2．动点P，Q同时从点E出发，点P以每秒1个单位长度沿折线E→A→D方向运动到点D停止，点Q以每秒2个单位长度沿折线E→B→C方向运动到点C停止．设运动时间为t秒，△PQC的面积为y．

(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出△PQC的面积大于15时的t的取值范围 ．
【答案】(1)y=12t(0(2)作图见解析，函数y的最大值是24（答案不唯一）
(3)54【分析】（1）分两种情形：当0（2）利用描点法画出函数图象即可;
（3）利用解析式结合图象判断即可．
【详解】（1）在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，
AB=6，BC=2AD=8，点E在边AB上且AE=2.
∴BE=AB−AE=4，AD=4,
当0y=12PQ⋅BC=12×2+1t×8
=12t
当2
y=12CQ⋅AB=12×4+8−2t×6
=36−6t
综上所述：y=12t(0（2）函数图象如图所示，函数y的最大值是24．

（3）当0解得t=54
当2解得t=72
观察图象可得，5415 ,
故答案为： 54【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了函数的图象，梯形形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
45．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，过点A作AE⊥BC于点E，AB=5，BC=7，BE=3．动点P从点B出发，沿B→A→D运动，到达点D时停止运动．设点P的运动路程为x，△APE的面积为y1．．

(1)请直接写出y1与x之间的函数关系式以及对应的x的取值范围；
(2)请在直角坐标系中画出y1的图象，并写出函数y1的一条性质；
(3)若直线y2的图象如图所示，结合你所画y1的函数图象，直接写出当y1>y2时x的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)y1=−65x+6(0≤x≤5)2x−10(5(2)当0≤x≤5时，y1随x的增大而减小，当5(3)0≤x<3.3或7.1【分析】（1）当点P在AB上运动时，由y1=12×AE×PH，即可求解；当点P在AD上运动时，同理可解；
（2）通过取点描点连线绘制图象即可；再观察函数图象即可求解；
（3）观察函数图象即可求解．
【详解】（1）解：∵∠D=90°，AD∥BC，
则CD⊥CE，
即∠C=90°=∠D=∠AEC，
则四边形AECD为矩形，
在Rt△ABE中，AB=5，BE=3，则AE=4=AD，
则矩形AECD为边长为4的正方形；
当点P在AB上运动时，
过点P作PH⊥AE于点H，

则y1=12×AE×PH=12×4×AP×sin∠BAE=2×(5−x)×35=−65x+6(0≤x≤5)，
当点P在AD上运动时，
同理可得：y1=2x−10(5即y1=−65x+6(0≤x≤5)2x−10(5（2）当x=0时，y1=6，当x=5时，y1=0，当x=9时，y1=8；
将上述坐标描点连线绘制图象如下：

从图象看，当0≤x≤5时，y1随x的增大而减小，当5（3）从图象看，当y1>y2时x的取值范围为：0≤x<3.3或7.1【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形的判别和性质、面积的计算等，其中（1），要注意分类求解，避免遗漏．
46．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=3，BC=2AD=4．点P从C出发，沿着折线CB→BA运动，到达点A停止运动．设点P运动的路程为x，连接DP，记△DPC的面积为y，请解答下列问题：
(1)直接写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合图象，当△DPC的面积大于四边形ABCD面积的49时，直接写出x的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)y=32x(0(2)图象见解析，性质答案不唯一，比如：①当0≤x≤4时，y随x的增大而增大，②当4(3)2.7≤x＜6（答案不唯一，只要误差不超过0.2即可）
【分析】（1）分当0≤x≤4时，当4（2）根据函数解析式，画出函数图象，可从增减性方面写出一条性质即可；
（3）先求出四边形ABCD面积的49是4，再根据图象中y>4时，自变量的取值范围写出即可．
【详解】（1）解：当0≤x≤4时，
y=12PC⋅AB=12x×3=32x，
当4PB=x−4，AP=7−x，
∵BC=2AD=4．
∴AD=2，
∴y=S四边形ABCD−SΔPBC−SΔPAD
=12(AD+BC)⋅AB−12BC⋅PB−12AD⋅PA
=12(2+4)×3−12×4×(x−4)−12×2×(7−x)
=−x+10，
∴y关于x的函数关系式为：y=32x,0≤x≤4,−x+10,4（2）解：列表：
画该函数的图象如下：
函数性质：答案不唯一，比如：
①当0≤x≤4时，y随x的增大而增大，
②当4（3）解：∵四边形ABCD面积=12(AD+BC)⋅AB=12(2+4)×3=9，
∴四边形ABCD面积的49=4，
观察图象，y>4时，自变量的取值为：2.7（答案不唯一，只要误差不超过0.2即可）．
【点睛】本题考查研究函数的一般方法，解答时涉及分段函数，一次函数，图形面积计算，代数式运算，掌握研究函数的一般方法是解题的关键．
47．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=6，BC=10，E是线段AB上从点A向点B运动的一个动点（不含A、B），F是线段BC上从点B向点C运动的一个动点（不含B、C），点E、F同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动．连接EF，DF．已知点E在其运动路径上的速度始终为每秒1个单位长度，点F在其运动路径上的速度始终为每秒2个单位长度，设点E的运动时间为x秒，△BEF的面积为y1，△DFC的面积为y2

(1)请求出y1和y2关于x的函数解析式，并说明x的取值范围；
(2)在图2中画出y1关于x的函数图象，并写出一条这一函数的性质：______；
(3)若y1−13y2≥0，请结合函数图象直接写出x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)y1=−x2+6x，y2=−6x+30，0(2)当x=3时，函数有最大值9（答案不唯一）
(3)1.5≤x<5
【分析】（1）作DG⊥BC于G，可得四边形ABGD为矩形，DG=AB=6，由题意可知：AE=x，则BE=6−x，BF=2x，CF=10−2x，再根据y1=12BE⋅BF，y2=12CF⋅DG，可得函数解析式，由其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动，可得x的取值范围；
（2）利用描点法画出图形即可，由y1=−x2+6x=−(x−3)2+9，根据最值或增减性可得函数性质；
（3）由y1−13y2≥0，可得y1≥−2x+10，结合图象只需在图象中找到y1=−x2+6x在y=−2x+10上方部分对应的x的值即可．
【详解】（1）作DG⊥BC于G，

∵AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC，
∴∠DGC=∠ABC=90°，
∴AB∥DG，
∴四边形ABGD为矩形，
∴DG=AB=6，
由题意可知：AE＝x，则BE=6−x，BF=2x，CF=10−2x，
∴△BEF的面积y1=12BE⋅BF=12(6−x)⋅2x=−x2+6x，
△DFC的面积：y2=12CF⋅DG=12(10−2x)×6=−6x+30，
∵当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动，
则点E运动时间最多为：6÷1=6秒，点F运动时间最多为：10÷2=5秒，
∴y1=−x2+6x，y2=−6x+30，0（2）列表：
描点(1，5)，(2，8)，(3，9)，(4，8)，(5，5)（用空心圆圈），
画出y1关于x的函数图象如图所示：

y1=−x2+6x=−(x−3)2+9，
由此可知：①当x=3时，函数有最大值9；
②当0故答案为：当x=3时，函数有最大值9（答案不唯一）；
（3）∵y1−13y2≥0，
∴y1−13(−6x+30)≥0，即y1+2x−10≥0，即：y1≥−2x+10，
只需在图象中找到y1=−x2+6x在y=−2x+10上方部分对应的x的值即可，
由图可知两函数的交点横坐标约为1.5，其右侧部分y1=−x2+6x在y=−2x+10上方，
∴当y1−13y2≥0时，x的取值范围为1.5≤x＜5．
【点睛】本题考查二次函数函数的图象与性质，涉及根据函数图象解不等式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质．
48．如图，四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°,AB=3,BC=2AD=4．点P从C出发，沿着折线CB→BA运动，到达点A停止运动．设点P运动速度为2，时间为x，连接DP，记△DPC的面积为y，请解答下列问题：

(1)直接写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合图象，当△DPC的面积不大于四边形ABCD面积的49时，直接写出x的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)y=3x0≤x≤2y=−2x+102(2)图见详解，在0≤x≤2，y随x的增大而增大（有理即可）
(3)当△DPC的面积不大于四边形ABCD面积的49时，x的取值范围为0≤x≤1.3或3≤x≤3.5．
【分析】（1）当点P在BC上时，y=12AB⋅CP=12×3×2x=3x，当点P在AB上时，y=12AD+BC×AB−12AD⋅AP+12BC⋅BP，进而可求解；
（2）根据（1）中表达式画函数图象即可，在0≤x≤2，y随x的增大而增大（有理即可）．
（3）S△DPC≤49S四边形ABCD=49×122+4×3=4，当点P在BC上时，y=3x≤4，当点P在AB上时，y=−2x+10≤4，进而可解答；
【详解】（1）解：当点P在BC上时，y=12AB⋅CP=12×3×2x=3x，
当点P在AB上时，y=12AD+BC×AB−12AD⋅AP+12BC⋅BP，
即y=122+4×3−12×4⋅2x−4+12×2⋅3−2x+4=−2x+10，
∴y=3x0≤x≤2y=−2x+102（2）根据（1）中表达式画函数图象如下：

在0≤x≤2，y随x的增大而增大．
（3）S△DPC≤49S四边形ABCD=49×122+4×3=4，
当点P在BC上时，y=3x≤4，即x≤43，
∴0≤x≤43，
当点P在AB上时，y=−2x+10≤4，即x≥3，
∴3≤x≤72，
∴当△DPC的面积不大于四边形ABCD面积的49时，x的取值范围为0≤x≤1.3或3≤x≤3.5．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，正确写出函数关系式是解本题的关键．
49．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=CD=5，tan∠ADC=43．点P从C出发，沿着折线CD→DA运动，到达点A停止运动．设点P运动的路程为x，连接AP、BP，记△ABP的面积为y，请解答下列问题：

(1)直接写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围______；
(2)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出函数的其中一条性质______；
(3)已知y1=−12x+6图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出y≤y1时x的取值范围______．
【答案】(1)y=65x+40≤x≤5−2x+205(2)0(3)0≤x≤2017或283≤x<10
【分析】（1）如图，作PG⊥AD,PH⊥AB，垂足分别为G,H，PG交BC延长线于点J，则四边形PGAH是矩形，得PH=AG,PG=AH；四边形BJGA是矩形，得AB=JG．Rt△CPJ中，PC=x，(34PJ)2+PJ2=x2，解得PJ=45x；Rt△PDG中，PD=5−x， DG2+(43DG)2=(5−x)2，得DG=35(5−x),PG=45(5−x)，于是PH=AG=35x+2，AB=JG=4．分情况讨论：当点P在CD上时，0≤x≤5，△ABP的面积12AB⋅PH=65x+4；当点P在AD上时，5（2）在平面直角坐标系内画出分段函数的图象，注意端点，根据一次函数性质得0（3）联立方程组，y=65x+4y=−12x+6，y=−2x+20y=−12x+6，分别求得点D，E的坐标，结合图形求解；
【详解】（1）解：如图，作PG⊥AD,PH⊥AB，垂足分别为G,H，PG交BC延长线于点J，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠HAG=180°−∠ABC=90°，
∴∠PHA=∠PGA=∠HAG=90°．
∴四边形PGAH是矩形．
∴PH=AG,PG=AH．
∵∠ABC=∠BJP=∠JGA=90°，
∴四边形BJGA是矩形．
∴AB=JG．
Rt△CPJ中，∠PCJ=∠ADC，PC=x，
∵tan∠ADC=43，
∴tan∠PCJ=43=PJCJ，
∴(34PJ)2+PJ2=x2，解得PJ=45x；
Rt△PDG中，PD=5−x，tan∠ADC=43=PGDG，
∴DG2+(43DG)2=(5−x)2，
解得DG=35(5−x),PG=45(5−x)．
∴PH=AG=AD−DG=5−35(5−x)=35x+2，
AB=JG=PJ+PG=45x+45(5−x)=4．
当点P在CD上时，0≤x≤5，△ABP的面积12AB⋅PH=12×4×(35x+2)=65x+4；

当点P在AD上时，5∴y=65x+40≤x≤5−2x+205
（2）函数图象如下，

函数的一条性质：0≤x≤5时y随x的增大而增大，5（3）如图，联立方程组，y=65x+4y=−12x+6，解得x=2017y=9217，
联立方程组，y=−2x+20y=−12x+6，解得x=283y=43，
∴y≤y1时0≤x≤2017或283≤x<10．
，
【点睛】本题考查确定分段函数解析式，函数图象交点求解，一次函数图象性质；运用方程的思想解决函数问题是解题的关键．
50．如图1．在四边形ABCD中，AB∥DC ，AD=BC=5， DC=4，AB=10，点P在四边形的边上，且沿着点B→C→D→A运动．设点P的运动路程为x，记AB、BP、PA围成的图形面积为S，y1=S, y2=40x x≠0

(1)请直接写出y1与x的函数关系式，并写出x的取值范围
(2)如图2，平面直角坐标系中已画出函数y2的图像，请在同一坐标系中画出函数y1的图像；
(3)结合y1与y2的函数图像，直接写出当y1>y2时，x的取值范围．(结果取精确值)
【答案】(1)y1=4x,0≤x≤520,5(2)见解析
(3)10【分析】（1）分“点P在BC上运动，点P在BC上运动，点P在AD上运动”三种情况，利用三角形面积公式分别计算即可；
（2）根据（1）中所求关系式描点、连线即可；
（3）求出两个函数图象的交点的横坐标，结合函数图象即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知：当0≤x≤5时，点P在BC上运动，如图，过点P作PH⊥AB于点H，过点C作CN⊥AB于点N，

由题意得：BN=12AB−CD=12×10−4=3，
则CN=BC2−BN2=52−32=4，
∴ sin∠B=CNBC=45，
∴ y1=12AB⋅PH=12×10⋅x⋅sin∠B=4x；
当5
则y1=12AB⋅PT=12×10×4=20；
当9≤x≤14时，点P在AD上运动，
同理可得y1=56−4x，
综上可得：y1=4x,0≤x≤520,5（2）解：函数y1的图象如图所示．

（3）解：将y=4x与y=40x联立，得4x=40x，
解得x=10或x=−10（舍去）；
将y=56−4x与y=40x联立，得56−4x=40x，
解得x=7+39或x=7−39（舍去）；
由图可知，当y1>y2时，x的取值范围是10【点睛】本题考查动点问题的函数图象，三角形面积公式，画一次函数图象，一次函数与反比例函数的交点问题等，解题的关键是熟练运用数形结合思想．
x
0
1
2
3
4
y
0
1
0
2
4
x
0
2
4
6
8
y1
0
3
6
9
12
x
0
2
4
6
8
y2
12
6
0
6
12
x（s）
0
1
2
3
4
5
6
7
y（cm）
0
1.0
2.0
3.0
2.7
2.7
m
3.6
x
0
3
8
y
0
6
0
函数
0
5
10
y=35t,0≤t≤5
0
3
y=−35t+653
0
x
0
3
8
y
3
0
5
x
0
4
8
y
0
4
0
x
12
1
32
2
52
3
y1
x
0
3
7
y=x,0≤x≤3
0
3
y=−34x+21433
0
x
0
4
7
y
0
6
3
x
1
2
3
4
5
y1
5
8
9
8
5