2023-2024学年山西省忻州市高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山西省忻州市高二（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知数列的前4项分别为3−12，5+34，7−58，9+716，则该数列的一个通项公式可以为an=( )
A. 2n+1+(−1)n2n−12nB. 2n+1+(−1)n+12n−12n
C. 2n+1+(−1)n−12n−12nD. 2n+1+(−1)n2n−12n
2.已知直线l1：5x+(a−3)y+10=0，直线l2：(a+1)x+y+a=0.若l1//l2，则a=( )
A. 4B. −2C. 4或−2D. 3
3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=3×2n+1+λ，则λ=( )
A. 3B. −3C. 6D. −6
4.若数列{an}满足a2=11，an+1=11−an，则a985=( )
A. 1110B. 11C. −110D. 1011
5.函数f(x)=x−6ex的极大值为( )
A. e−6B. e−7C. e−8D. e−9
6.过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段AB中点的坐标为(4,2 2)，则p=( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
7.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB=AC=2，PA=3，则直线CP与平面DEF所成角的正弦值为( )
A. 513B. 613C. 3 1313D. 2 1313
8.若函数f(x)，g(x)的导函数都存在，f′(x)[g(x)+1]+f(x)g′(x)>4x3恒成立，且f(1)=g(1)=1，则必有( )
A. f(2)g(2)<16B. f(2)[g(2)+1]<17
C. f(2)g(2)>16D. f(2)[g(2)+1]>17
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7=9，S4=3a4，则( )
A. {an}的公差为1B. {an}的公差为2C. S4=18D. a2023=2025
10.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则( )
A. f(x)在(−3,−1)上单调递减
B. f(x)在(−1,2)上单调递增
C. f(x)有2个极大值点
D. f(x)只有1个极小值点
11.已知mn≠0，在同一个坐标系下，曲线mx2+ny2=mn与直线mx+ny=mn的位置可能是( )
A. B.
C. D.
12.已知函数f(x)=xex，且关于x的方程[f(x)]2+mf(x)+m=0有3个不等实数根，则下列说法正确的是( )
A. 当x>0时，f(x)>0B. f(x)在(1,+∞)上单调递减
C. m的取值范围是(−12,0)D. m的取值范围是(−1e2+e,0)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.物体位移s(单位：m)和时间t(单位：s)满足函数关系s=2t−1t2(014.已知双曲线C：x23−y2=1，直线l：y=x+m被C所截得的弦长为4 6，则m= ______．
15.若直线x+3y−1=0是圆x2+y2−2ax−8=0的一条对称轴，则点P(2, 3)与该圆上任意一点的距离的最小值为______．
16.在数列{an}与{bn}中，已知a1=b1=2，an+1+bn+1=2(an+bn)，an+1bn+1=2anbn，则1a2023+1b2023= ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=3x4−4x3．
(1)求曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线方程；
(2)求f(x)在[−1,2]上的最值．
18.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=3n2+9n2．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=9anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，AB=AA1=2，E，F分别是侧棱AA1，CC1的中点．
(1)证明：四边形EBFD1为菱形．
(2)求点C到平面BDF的距离．
20.(本小题12分)
已知正项数列{an}满足an+1n=ann+1，数列{bn}的前n项和为Sn，且nbn+1=2Sn+2，a1=b1=2．
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)证明：1≤i=1nbiai<112．
21.(本小题12分)
已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2：x2a2−y2b2=1(a>b>0)的焦距之比为12．
(1)求椭圆C1和双曲线C2的离心率；
(2)设双曲线C2的右焦点为F，过F作FP⊥x轴交双曲线C2于点P(P在第一象限)，A，B分别为椭圆C1的左、右顶点，AP与椭圆C1交于另一点Q，O为坐标原点，证明：kBP⋅kOP=kOQ+kOP．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx+ax,x∈[1,+∞)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)是否存在两个正整数x1，x2，使得当x1>x2时，(x1−x2)x1x2=x1x2x2x1？若存在，求出所有满足条件的x1，x2的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：数列的前4项分别为3−12，5+34，7−58，9+716，
故该数列的一个通项公式可以为an=2n+1+(−1)n2n−12n．
故选：D．
根据已知条件，结合数列的规律，即可求解．
本题主要考查数列的概念，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为l1//l2，所以(a−3)(a+1)=5×1，且5a≠10(a+1)，
解得a=4．
故选：A．
写出两条直线平行的充要条件，进而可得a的值．
本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：等比数列{an}的前n项和为Sn，
则Sn=a1(1−qn)1−q=a11−q−a1qn1−q，
Sn=3×2n+1+λ=6×2n+λ，
故−a11−q=6，即λ=a11−q=−6．
故选：D．
根据已知条件，结合等比数列的前n项和公式，即可求解．
本题主要考查等比数列的前n项和公式，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：∵a2=11，an+1=11−an，∴11=11−a1
∴a1=1011，a3=11−11=−110，a4=11+110=1011，
∴{an}是周期为3的数列，故a985=a1=1011．
故选：D．
{an}是周期为3的数列，由此可得．
本题考查递推数列的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由f(x)=x−6ex，得f′(x)=7−xex，
当x<7时，f′(x)>0；当x>7时，f′(x)<0．
∴f(x)=x−6ex的极大值为f(7)=7−6e7=1e7．
故选：B．
对f(x)求导，判断导函数的符号，再求出极值即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，属基础题．
6.【答案】A
【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
因为点A，B在抛物线上，可得y12=2px1,y22=2px2,，两式作差可得y1−y2x1−x2=2py1+y2．
因为线段AB中点的坐标为(4,2 2)，所以2p4 2=4 2−04−p2，解得p=4．
故选：A．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用作差法可得2p4 2=4 2−04−p2，求解即可．
本题考查抛物线的性质，考查作差法的应用，属基础题．
7.【答案】B
【解析】解：易知AB，AC，AP两两垂直，以A为坐标原点，
AB,AC,AP的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0,2,0)，P(0,0,3)，D(1,0,0)，E(1,1,0)，F(0,1,32)，
CP=(0,−2,3),DE=(0,1,0),DF=(−1,1,32)，
设平面DEF的法向量为m=(x,y,z)，则m⊥DE，m⊥DF，
则有m⋅DE=0m⋅DF=0，即y=0−x+y+32z=0，取z=2，得m=(3,0,2)，
设直线CP与平面DEF所成的角为θ，
则有sinθ=|cs〈CP,m〉|=|CP⋅m||CP||m|=3×2 13× 13=613．
故选：B．
据题意建立空间直角坐标系，求得直线CP的方向向量与平面DEF的法向量，由向量夹角公式求得线面角的正弦值．
本题考查空间直线与平面所成角的求法，属中档题．
8.【答案】D
【解析】解：由f′(x)[g(x)+1]+f(x)g′(x)>4x3，得[f(x)g(x)]′+f′(x)>(x4)′．
设函数h(x)=f(x)g(x)+f(x)−x4，则h′(x)=f′(x)[g(x)+1]+f(x)g′(x)−4x3，
因为f′(x)[g(x)+1]+f(x)g′(x)>4x3恒成立，所以h′(x)>0，所以h(x)单调递增，
所以h(2)>h(1)，即f(2)g(2)+f(2)−24>f(1)g(1)+f(1)−14．
因为f(1)=g(1)=1，所以f(2)g(2)+f(2)−16>1，即f(2)[g(2)+1]>17．
故选：D．
由f′(x)[g(x)+1]+f(x)g′(x)>4x3，得[f(x)g(x)]′+f′(x)>(x4)′，设函数h(x)=f(x)g(x)+f(x)−x4，判断h(x)的单调性，再结合选项判断即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数思想，属中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：设{an}的公差为d，
a7=9，S4=3a4，
则a1+6d=9,4a1+6d=3a1+9d,解得a1=3,d=1,
故a2023=a1+2022d=2025，S4=4a1+6d=18．
故选：ACD．
根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质，即可求解．
本题主要考查等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：由图可知，当−3当−10，所以f(x)在(−1,2)上单调递增，A，B均正确．
当x<−3时，f′(x)>0，当−3−1时，f′(x)≥0，
f(x)在(−∞,−3)上单调递增，在(−1,+∞)上单调递增，
所以f(x)的极大值点为−3，f(x)的极小值点为−1，C错误，D正确．
故选：ABD．
f′(x)的图象得f(x)的单调区间，即可判断ABCD．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
11.【答案】CD
【解析】解：因为mn≠0，所以曲线mx2+ny2=mn与直线mx+ny=mn可化为曲线x2n+y2m=1与直线xn+ym=1．
当m=n>0时，曲线表示的是圆，直线的横截距与纵截距相等．A不正确．
当m>n>0时，曲线表示焦点在y轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距小．B不正确．
当n>m>0时，曲线表示焦点在x轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距大．C正确．
当n>0>m时，曲线表示焦点在x轴上的双曲线，直线的横截距为正，纵截距为负．D正确．
故选：CD．
先将方程转化为标准方程，结合直线截距，斜率以及椭圆双曲线中m，n的符号，判断是否对应即可．
本题主要考查图象的识别和判断，结合圆锥曲线中，m，n的符号以及直线斜率和截距的关系是否对应是解决本题的关键．是中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：因为f′(x)=1−xex，
当x>1时，f′(x)<0，当x<1时，f′(x)>0，
所以f(x)=xex在(−∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，且当x>0时，f(x)>0，A，B正确；
令t=xex，则t2+mt+m=0，
若t=0是方程t2+mt+m=0的根，则m=0，显然不符合题意，
则m<0,1e2+me+m>0,，
解得−1e2+e即m的取值范围为(−1e2+e,0)，C错误，D正确．
故选：ABD．
先对函数求导，结合导数分析f(x)的单调性，再利用换元法转化为二次方程根，结合二次方程根的存在条件检验各选项即可．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了由函数零点求解参数范围，属于中档题．
13.【答案】94
【解析】解：s=2t−1t2(0则s′=2+2t3，
所以s′|t=2=2+223=94．
故答案为：94．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
14.【答案】±3 2
【解析】解：设双曲线C与直线l交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=x+mx23−y2=1，消去y整理得2x2+6mx+3m2+3=0，
则Δ=36m2−8(3m2+3)=12m2−24>0，解得m2>2，
且x1+x2=−3m,x1x2=3m2+32，
所以|AB|= 2|x1−x2|= 2 (x1+x2)2−4x1x2= 2× 3m2−6=4 6，
解得m2=18，即m=±3 2．
故答案为：±3 2．
设双曲线与直线交点的坐标，联立直线和双曲线的方程消元得关于x的一元二次方程，由Δ>0可得m的范围，由根与系数的关系，结合弦长公式可求m的值．
本题考查双曲线的性质，考查弦长公式，是中档题．
15.【答案】1
【解析】解：由题可知，该圆的圆心为(a,0)，
因为直线x+3y−1=0过圆心，所以a−1=0，解得a=1，
所以圆的方程为(x−1)2+y2=9，
因为圆心与P(2, 3)的距离为 (2−1)2+( 3)2=2，
所以点P(2, 3)与该圆上任意一点的距离的最小值为3−2=1．
故答案为：1．
根据题意求出圆的方程，求出圆心到点P的距离与半径的差即可．
本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．
16.【答案】1
【解析】解：因为1an+1+1bn+1=an+1+bn+1an+1bn+1=2(an+bn)2anbn=1an+1bn，
所以1a2023+1b2023=1a2022+1b2022=…=1a1+1b1=1．
故答案为：1．
由已知可得1a2023+1b2023=1a1+1b1，从而求值．
本题考查递推数列的性质，属于基础题．
17.【答案】解：(1)∵f(x)=3x4−4x3，f′(x)=12x3−12x2，
f(−1)=3+4=7，f′(−1)=−12−12=−24，
∴曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线方程为y−7=−24(x+1)，
即24x+y+17=0．
(2)∵f′(x)=12x3−12x2>0，解得x>1，
∴f(x)在[−1,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，
又f(−1)=7，f(1)=−1，f(2)=16，
∴f(x)在[−1,2]上的最大值为16，最小值为−1．
【解析】(1)利用导数的几何意义即可求解；
(2)求出函数的单调区间即可求解．
本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，属于中档题．
18.【答案】解：(1)当n≥2时，an=Sn−Sn−1=3n2+9n2−3(n−1)2+9(n−1)2=3n+3．
当n=1时，a1=S1=6，符合an=3n+3，
所以{an}的通项公式为an=3n+3．
(2)由(1)可得an+1=3n+6，
bn=9anan+1=9(3n+3)(3n+6)=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，
则Tn=(12−13)+(13−14)+⋯+(1n+1−1n+2)=12−1n+2=n2n+4．
【解析】(1)由n=1时，a1=S1，n≥2时，an=Sn−Sn−1，求得an；
(2)由数列的裂项相消求和，可得所求和．
本题考查数列的通项与求和的关系，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
19.【答案】(1)证明：取CD的中点G，连接AC，AG.因为底面ABCD是菱形且∠ABC=60°，所以AG⊥AB，
易知AB，AG，AA1两两垂直．
以A为坐标原点，AB，AG，AA1的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

由AB=AA1=2，可得B(2,0,0)，C(1, 3,0)，D(−1, 3,0)，E(0,0,1)，F(1, 3,1)，D1(−1, 3,2)．
则BF=(−1, 3,1)=ED1，BE=(−2,0,1)=FD1，
所以BF//ED1，BE/​/FD1，且BF|= 5=|BE|，
所以四边形EBFD1为菱形．
(2)解：设平面BDF的法向量为n=(x,y,z)，
因为BF=(−1, 3,1)，BD=(−3, 3,0)，
所以BF⋅n=0BD⋅n=0，即−x+ 3y+z=0−3x+ 3y=0，x=1，得n=(1, 3,−2)，
又BC=(−1, 3,0)，
所以点C到平面BDF的距离d=|BC⋅nn|=22 2= 22．
【解析】(1)取CD的中点G，连接AC，AG.推出AB，AG，AA1两两垂直，以A为坐标原点，AB，AG，AA1的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法即可得证；
(2)求出平面BDF的法向量，利用向量的点到平面距离公式求解即可．
本题主要考查点到平面距离的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
20.【答案】(1)解：正项数列{an}，∵an+1n=ann+1(an>0)，
∴lgan+1n=lgann+1，∴nlgan+1=(n+1)lgan，∴lgan+1lgan=n+1n．
n≥2时，lganlgan−1⋅lgan−1lgan−2⋅⋯⋅lga3lga2⋅lga2lga1=nn−1⋅n−1n−2⋅n−2n−3⋅⋯⋅32⋅21，∴lganlga1=n．
∵a1=2，∴lgan=nlg2=lg2n，∴an=2n.a1=2符合上式，∴an=2n．
由于b1=2，令n=1，b2=2S1+2=2b1+2=6．
∵nbn+1=2Sn+2，∴当n≥2时，(n−1)bn=2Sn−1+2，
∴两式相减：nbn+1−(n−1)bn=2bn，nbn+1=(n+1)bn，∴bn+1n+1=bnn，
∴当n≥2时，数列{bnn}是以b22=3为首项的常数列，
即bnn=3(n≥2)，∴bn=3n(n≥2)，又b1=2，
∴{bn}的通项公式为bn=2,n=1,3n,n≥2.
(2)证明：∵an>0，bn>0，∴i=1nbiai≥b1a1=1，
∵i=1nbiai=b1a1+b2a2+b3a3+⋯+bnan=1+622+923+⋯+3n2n，
∴12i=1nbiai=12+623+924+⋯+3n2n+1，
两式相减得12i=1nbiai=12+64+323+⋯+32n−3n2n+1=2+3×123(1−12n−2)1−12−3n2n+1
=114−3n+62n+1，∴i=1nbiai=112−3n+62n<112．
故1≤i=1nbiai<112．
【解析】(1)利用已知可得lganlga1=n，bn+1n+1=bnn，分别确定{an}，{bn}的通项公式；(2)利用错位相减法求和计算判断即可．
本题考查递推式，考查错位相减法，属于中档题．
21.【答案】解：(1)易知椭圆C1的焦距2c1=2 a2−b2，双曲线C2的焦距2c2=2 a2+b2，
因为椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2：x2a2−y2b2=1(a>b>0)的焦距之比为12，
所以2 a2−b22 a2+b2=12，
整理得b2=35a2，
此时c12=a2−b2=25a2，c22=a2+b2=85a2，
则椭圆C1的离心率e1=c1a= 105，双曲线C2的离心率e2=c2a=2 105，
(2)证明：由(1)知P(2 105a,35a)，
因为A(−a,0)，
此时直线AP的方程为y=2 10−55(x+a)，
联立y=2 10−55(x+a)x2a2+5y23a2=1，消去y并整理得(8−2 10)x2+(13−4 10)ax+(5−2 10)a2=0，
由韦达定理得−axQ=5−2 108−2 10a2，
解得xQ=2 10−58−2 10a，
则yQ=2 10−55(xQ+a)=3(2 10−5)5(8−2 10)a，
因为kBP=35a2 105a−a=32 10−5，kOP=35a2 105a=32 10，kOQ=yQxQ=35，
所以kBP⋅kOP=940−10 10=12+3 1020，kOQ+kOP=35+32 10=12+3 1020，
故kBP⋅kOP=kOQ+kOP．
【解析】(1)由题意，根据题目所给信息以及椭圆和双曲线的性质，列出等式进行求解即可；
(2)结合(1)中信息得到点P的坐标，将直线AP的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出点Q的坐标，根据斜率公式再进行求证即可．
本题考查椭圆的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由f(x)=lnx+ax,x∈[1,+∞)，得f′(x)=1−a−lnxx2，
当a≥1时，f′(x)≤0对x∈[1,+∞)时恒成立，则f(x)单调递减；
当a<1时，x∈[1,e1−a)，f′(x)>0，则f(x)在[1,e1−a)上单调递增；
x∈(e1−a,+∞)，f′(x)<0，则f(x)在(e1−a,+∞)上单调递减．
综上，当a≥1时，f(x)在[1,+∞)上单调递减；
当a<1时，f(x)在[1,e1−a)上单调递增，在(e1−a,+∞)上单调递减．
(2)由(1)知，令a=0，得f(x)=lnxx在[1,e)上单调递增，
在(e,+∞)上单调递减，则f(x)≤f(e)=1e<12．
因为x1>x2≥1，所以(x1−x2)x1x2=x1x2x2x1，
即x1x2ln(x1−x2)=x2lnx1+x1lnx2，即ln(x1−x2)=lnx1x1+lnx2x2，
因为x1，x2为正整数，所以x1−x2≥1．
当x1−x2=1时，x1x2x2x1=1，
因为x2≥1，x1≥2，所以x1x2x2x1>1，这与x1x2x2x1=1矛盾，不符合题意．
当x1−x2>1时，因为lnx1x1<12,lnx2x2<12，所以ln(x1−x2)=lnx1x1+lnx2x2<1，
所以x1−x2经检验，当x2=1，x1=3时，不符合题意，
当x2=2，x1=4时，符合题意，
当x2=3，x1=5时，因为35×53<215，所以ln33+ln55当x2≥4时，lnx1x1≤ln66所以lnx1x1+lnx2x2综上，仅存在x1=4，x2=2满足条件．
【解析】(1)对f(x)求导，分a≥1和a<1两种情况，判断f(x)的单调性即可；
(2)令a=0，判断f(x)的单调性，再判断是否存在两个正整数x1，x2，使得当x1>x2时，(x1−x2)x1x2=x1x2x2x1即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数与方程的综合，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．