2023年山东省淄博市高青县第六中学中考数学模拟试卷

这是一份2023年山东省淄博市高青县第六中学中考数学模拟试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）a6÷a3结果是（ ）
A．a3B．a2C．a9D．a﹣3
2．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤1B．x≥1C．x＜1D．x＞1
3．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）两组数据：8，9，9，10和8.5，9，9，9.5，它们之间不相等的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
5．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，那么sinB的值是（ ）
A．B．C．D．3
6．（4分）下列方程中，有实数根的是（ ）
A．B．C．2x4+3＝0D．
7．（4分）抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣5，﹣3）B．（﹣2，0）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）
8．（4分）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形您看到的资料都源自我们平台，家威鑫 MXSJ663 低至0.3/份 C．对角线相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
9．（4分）已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜4B．k≤4C．k＜4且k≠3D．k≤4且k≠3
10．（4分）某数学小组在研究了函数y1＝x与性质的基础上，进一步探究函数y＝y1+y2的性质，经过讨论得到以下几个结论：
①函数y＝y1+y2的图象与直线y＝3没有交点；
②函数y＝y1+y2的图象与直线y＝a只有一个交点，则a＝±4；
③点（a，b）在函数y＝y1+y2的图象上，则点（﹣a，﹣b）也在函数y＝y1+y2的图象上．
以上结论正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．②③D．①③
11．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，P是AD边上一动点（不含端点A，D），连接PC，E是AB边上一点，设BE＝a，若存在唯一点P，使∠EPC＝90°，则a的值是（ ）
A．B．C．3D．6
12．（4分）对于二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1（a≠0），有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②其图象与直线y＝x﹣1有且只有一个公共点；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题；本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果．
13．（4分）的算术平方根是 ．
14．（4分）颐和园坐落在北京西郊，是第一批全国重点文物保护单位之一．小万去颐和园参加实践活动时发现有的窗户造型是正八边形，如图所示，则∠1＝ °．
15．（4分）若⊙A半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P与⊙A位置关系为 ．
16．（4分）如图，已知点A、B分别在反比例函数y＝﹣（x＜0）与y＝（x＞0）图象上，且OA⊥OB，若AB＝6，则△AOB的面积为 ．
17．（4分）甲地有42吨货物要运到乙地，有大、小两种货车可供选择，具体收费情况如表：
运完这批货物最少要支付运费 元．
三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（4分）（﹣1）2020+（π+1）0﹣4cs30°+．
19．（8分）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．求证：EB＝ED．
20．（8分）今年全市体育中考，我区体育测试抽到了跳绳这一项目．为了进一步了解某校初四学生的身体素质情况，体育老师对初四（1）班50名学生进行一分钟跳绳测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，如图、表所示：
请结合图、表完成下列问题：
（1）表中的a＝ ；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）这组样本数据的中位数落在第 组；
（4）若初四学生一分钟跳绳次数（x）达标要求是：x＜120不合格；120≤x＜140为合格；140≤x＜160为良；x≥160为优．根据以上信息，请你给学校或初四同学提一条合理化建议 ．
21．（8分）如图，在坐标系中，直线y1＝x与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限内交于点A（m，1）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线y1＝x向上平移后与反比例函数的图象在第一象限内交于点B，与y轴交于点C，且△ABO的面积为3，求直线BC的表达式；
（3）设直线BC的解析式为y2，在第一象限内，请直接写出当y1＜y＜y2时，自变量x的取值范围．
22．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD与经过A，B，C三点的⊙O相切于点A，过点C的切线与AD的延长线相交于点P，连接AC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AB＝4，⊙O的半径为，求PD的长．
23．（8分）已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将△ABC绕点A逆时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜90°），直线BD与CE交于点F．
（1）如图1，当α＝45°时，求证：CF＝EF；
（2）如图2，在旋转过程中，当α为任意锐角时，
①∠CFB的度数是否变化？若不变，请求出它的度数；
②结论“CF＝EF”，是否仍然成立？请说明理由．
24．（8分）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．
（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；
（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．
2023年山东省淄博市高青六中中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）a6÷a3结果是（ ）
A．a3B．a2C．a9D．a﹣3
【解答】解：a6÷a3＝a3，
故选：A．
2．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤1B．x≥1C．x＜1D．x＞1
【解答】解：根据题意得，x﹣1＞0，
解得x＞1．
故选：D．
3．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
4．（4分）两组数据：8，9，9，10和8.5，9，9，9.5，它们之间不相等的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【解答】解：数据8、9、9、10的平均数为＝9、中位数为＝9，众数为9，方差为×[（8﹣9）2+2×（9﹣9）2+（10﹣9）2]＝0.5；
数据8.5，9，9，9.5的平均数为＝9、中位数为、众数为9、方差为×[（8.5﹣9）2+2×（9﹣9）2+（9.5﹣9）2]＝0.125；
由以上计算可知，两组数据的方差不同，
故选：D．
5．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，那么sinB的值是（ ）
A．B．C．D．3
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴csA＝＝＝，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sinB＝csA＝．
故选：A．
6．（4分）下列方程中，有实数根的是（ ）
A．B．C．2x4+3＝0D．
【解答】解：A、由题意＝﹣1＜0，方程没有实数根；
B、去分母得到：x2﹣x+1＝0，Δ＜0，没有实数根；
C、由题意x4＝﹣＜0，没有实数根，
D、去分母得到：x＝﹣1，有实数根，
故选：D．
7．（4分）抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣5，﹣3）B．（﹣2，0）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）
【解答】解：抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（﹣2，﹣3），向右平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是（﹣2+3，﹣3），即（1，﹣3）．
故选：D．
8．（4分）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【解答】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
故选：D．
9．（4分）已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜4B．k≤4C．k＜4且k≠3D．k≤4且k≠3
【解答】解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣3）×1＝﹣4k+16≥0，
k≤4；
②当k﹣3＝0时，y＝2x+1，与x轴有交点．
故选：B．
10．（4分）某数学小组在研究了函数y1＝x与性质的基础上，进一步探究函数y＝y1+y2的性质，经过讨论得到以下几个结论：
①函数y＝y1+y2的图象与直线y＝3没有交点；
②函数y＝y1+y2的图象与直线y＝a只有一个交点，则a＝±4；
③点（a，b）在函数y＝y1+y2的图象上，则点（﹣a，﹣b）也在函数y＝y1+y2的图象上．
以上结论正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．②③D．①③
【解答】解：①由 题意得，y＝x+，
当y＝3时，即：3＝x+，
也就是x2﹣3x+4＝0，
∵△＝9﹣16＜0，
∴此方程无实数根，
故，y＝x+与y＝3无交点，因此①正确，
②由①得，
当y＝a时，即：a＝x+，
也就是x2﹣ax+4＝0，
当△＝a2﹣16＝0时，函数y＝y1+y2的图象与直线y＝a只有一个交点，
此时，a＝±4，因此②正确，
③将点（a，b）代入函数关系式中，得出b＝a+，将x＝﹣a代入函数关系式中，得出﹣a﹣＝﹣（a+）＝﹣b，
则点（﹣a，﹣b）也在函数y＝y1+y2的图象上．
因此③正确，
故选：B．
11．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，P是AD边上一动点（不含端点A，D），连接PC，E是AB边上一点，设BE＝a，若存在唯一点P，使∠EPC＝90°，则a的值是（ ）
A．B．C．3D．6
【解答】解：∵PE⊥PC，
∴∠APE+∠DPC＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠DCP+∠DPC＝90°，
∴∠APE＝∠DCP，又∠A＝∠D＝90°，
∴△APE∽△DCP，
∴＝，
设AP＝x，AE＝y，
可得x（10﹣x）＝6y，
∴x2﹣10x+6y＝0，
由题意Δ＝0，
∴100﹣24y＝0，
∴y＝，
∵BE＝AB﹣AE＝6﹣＝，
故选：B．
12．（4分）对于二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1（a≠0），有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②其图象与直线y＝x﹣1有且只有一个公共点；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①当y＝0，ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝，
则二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1的图象与x轴的交点坐标为（1，0）、（，0），
故①正确，符合题意；
②由题意得：ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1＝x﹣1，化简得：x2﹣2x+1＝0，
△＝22﹣4＝0，故抛物线图象与直线y＝x﹣1有且只有一个公共点，
故②正确，符合题意；
③该抛物线对称轴为x＝1﹣，顶点的纵坐标为y＝﹣，
则y＝（1﹣）﹣，即无论a取何值，抛物线的顶点始终在直线y＝x﹣上，
所以③正确，符合题意；
④由①知，二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1的图象与x轴的交点坐标为（1，0）、（，0），
故无论a取何值，函数图象都经过同一个点（1，0），故④正确，符合题意．
故选：D．
二、填空题；本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果．
13．（4分）的算术平方根是 3 ．
【解答】解：＝9，算术平方根是3．
故答案为：3．
14．（4分）颐和园坐落在北京西郊，是第一批全国重点文物保护单位之一．小万去颐和园参加实践活动时发现有的窗户造型是正八边形，如图所示，则∠1＝ 45 °．
【解答】解：360°÷8＝45°，
故答案为：45．
15．（4分）若⊙A半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P与⊙A位置关系为 点P在⊙A内 ．
【解答】解：∵点A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），
∴PA＝4＜5，
∴点P在圆A内，
故答案为：点P在⊙A内．
16．（4分）如图，已知点A、B分别在反比例函数y＝﹣（x＜0）与y＝（x＞0）图象上，且OA⊥OB，若AB＝6，则△AOB的面积为 6 ．
【解答】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∵∠AOC+∠BOD＝90°，∠AOC+∠CAO＝90°，
∴∠BOD＝∠CAO，
∵∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴△ACO∽△ODB，
∵点A，B分别分别在反比例函数y＝﹣（x＜0）与y＝（x＞0）图象上，
∴S△AOC＝×|﹣3|＝，S△BOD＝×6＝3，即S△AOC：S△BOD＝1：2，
∴OA：OB＝1：，
在Rt△AOB中，设OA＝x，则OB＝x，AB＝6，
根据勾股定理得：AB2＝OA2+OB2，即36＝x2+2x2，
解得：x＝2，
∴OA＝2，OB＝2，
则S△AOB＝OA•OB＝6．
故答案为：6．
17．（4分）甲地有42吨货物要运到乙地，有大、小两种货车可供选择，具体收费情况如表：
运完这批货物最少要支付运费 2400 元．
【解答】解：设租用大货车x辆，小货车y辆，由题意得：
8x+5y＝42，
整数解为：，此时运费为：4×450+2×300＝2400（元），
当x＝6时，y＝0，此时运费为：6×450＝2700（元），
当x＝5时，y＝1（此车没装满），此时运费为：5×450+1×300＝2550（元），
当x＝3时，y＝4（有一辆车没装满），此时运费为：3×450+4×300＝2550（元），
当x＝2时，y＝6（有一辆车没装满），此时运费为：2×450+6×300＝2700（元），
故运完这批货物最少要支付运费是2400元．
故答案为：2400．
三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（4分）（﹣1）2020+（π+1）0﹣4cs30°+．
【解答】解：原式＝1+1﹣4×+3
＝1+1﹣2+3
＝5﹣2．
19．（8分）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．求证：EB＝ED．
【解答】证明：由折叠可知：∠CBD＝∠EBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴EB＝ED．
20．（8分）今年全市体育中考，我区体育测试抽到了跳绳这一项目．为了进一步了解某校初四学生的身体素质情况，体育老师对初四（1）班50名学生进行一分钟跳绳测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，如图、表所示：
请结合图、表完成下列问题：
（1）表中的a＝ 12 ；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）这组样本数据的中位数落在第 3 组；
（4）若初四学生一分钟跳绳次数（x）达标要求是：x＜120不合格；120≤x＜140为合格；140≤x＜160为良；x≥160为优．根据以上信息，请你给学校或初四同学提一条合理化建议 加强锻炼，增强体质（答案不唯一，合情合理即可） ．
【解答】解：（1）a＝50﹣（6+8+18+6）＝50﹣38＝12，
故答案为：12；
（2）由（1）得a＝12，
完整的频率分布直方图如图所示：
（3）因为总人数为50，所以由50个数据而处于中间的是第25和26个数据的和的平均数所以应在第3组，
故答案为：3；
（4）建议加强锻炼，增强体质（答案不唯一，合情合理即可）．
故答案为：加强锻炼，增强体质（答案不唯一，合情合理即可）．
21．（8分）如图，在坐标系中，直线y1＝x与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限内交于点A（m，1）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线y1＝x向上平移后与反比例函数的图象在第一象限内交于点B，与y轴交于点C，且△ABO的面积为3，求直线BC的表达式；
（3）设直线BC的解析式为y2，在第一象限内，请直接写出当y1＜y＜y2时，自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）把A（m，1）代入y1＝x，
得m＝2，
∴A（2，1），
将A（2，1）代入y＝，
得k＝2，
∴反比例函数的解析式为：．
（2）根据题意，BC∥OA，
∴S△ACO＝S△ABO＝3∵B
∵A（2，1），
∴，
∴CO＝3，
∴C（0，3），
∴BC的解析式为：．
（3）联立，
解得，x＝，
∵在第一象限，
∴x＝，
根据图象，当y1＜y＜y2时，
自变量x的取值范围是：．
22．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD与经过A，B，C三点的⊙O相切于点A，过点C的切线与AD的延长线相交于点P，连接AC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AB＝4，⊙O的半径为，求PD的长．
【解答】（1）证明：连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F，
∵AP是⊙O的切线，AF是⊙O的直径，
∴AF⊥AP，
∴∠FAP＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠FAP＝90°，
∴AF⊥BC，
∵AF是⊙O的直径，AF⊥BC，
∴BE＝CE．
∵AF⊥BC，BE＝CE，
∴AB＝AC；
（2）解：连接FC，OC，
设OE＝x，则EF＝﹣x．
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ACF＝90°．
∵AC＝AB＝4，AF＝2，
在Rt△ACF中，∠ACF＝90°，
∴CF＝＝2．
∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，
∴CE2＝OC2﹣OE2．
∵在Rt△FEC中，∠FEC＝90°，
∴CE2＝CF2﹣EF2．
∴OC2﹣OE2＝CF2﹣EF2，即（）2﹣x2＝22﹣（﹣x）2．
解得，x＝．
∴EC＝＝，
∴BC＝2EC＝．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝，
∵AD∥BC，
∴∠PAC＝∠ACB．
∵PA，PC是⊙O的切线，
∴PA＝PC．
∴∠PAC＝∠PCA．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∴∠PAC＝∠ABC，∠PCA＝∠ACB，
∴△PAC∽△ABC，
∴＝．
∴AP＝•AB＝2．
∴PD＝AP﹣AD＝．
23．（8分）已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将△ABC绕点A逆时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜90°），直线BD与CE交于点F．
（1）如图1，当α＝45°时，求证：CF＝EF；
（2）如图2，在旋转过程中，当α为任意锐角时，
①∠CFB的度数是否变化？若不变，请求出它的度数；
②结论“CF＝EF”，是否仍然成立？请说明理由．
【解答】解：（1）当α＝45°时，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵由旋转知，∠AED＝∠ACB＝45°，∠ADE＝∠ABC＝90°，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝67.5°，
∴∠CDF＝∠ADB＝67.5°，
同理，∠ACE＝67.5°，
∴∠ACE＝∠CDF＝67.5°，
∴CF＝DF，
在Rt△CDE中，∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝22.5°，∠EDF＝∠CDE﹣∠CDF＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠CED＝∠EDF，
∴EF＝DF，
∴CF＝EF；
（2）①∠CFB的度数不变，∠CFB＝45°，
理由：如图2，由旋转知，AD＝AB，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD与△ACE均为顶角为α的等腰三角形，
∴底角相等，
即∠ABD＝∠ACE，
设AC与BF的交点为O，则∠AOB＝∠COF，
∵∠ABD+∠AOB+∠CAB＝∠ACE+∠COF+∠CFB＝180°，
∴∠CFB＝∠CAB＝45°；
②结论“CF＝EF”，仍然成立．
理由：如图2，作EG∥CB交BF延长线于点G，
由旋转知DE＝BC，∠ADE＝∠ABC＝90°，AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB，
又∵∠ADE＝90°，
∴∠EDG+∠ADB＝∠CBF+∠ABD＝90°，
∴∠EDG＝∠CBF，
∵EG∥CB，
∴∠G＝∠CBF＝∠EDG，
∴EG＝ED，
又∵ED＝BC，
∴EG＝BC，
∴△FEG≌FCB（AAS），
∴EF＝CF．
24．（8分）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．
（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；
（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．
【解答】方法一：
解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示．
∵PH∥OA，
∴△CHP∽△COA．
∴＝＝．
∵点P是AC中点，
∴CP＝CA．
∴HP＝OA，CH＝CO．
∵A（3，0）、C（0，4），
∴OA＝3，OC＝4．
∴HP＝，CH＝2．
∴OH＝2．
∵PH∥OA，∠COA＝90°，
∴∠CHP＝∠COA＝90°．
∴点P的坐标为（，2）．
设直线DP的解析式为y＝kx+b，
∵D（0，﹣5），P（，2）在直线DP上，
∴
∴
∴直线DP的解析式为y＝x﹣5．
（2）①若△DOM∽△ABC，图2（1）所示，
∵△DOM∽△ABC，
∴＝．
∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0，﹣5），
∴BC＝3，AB＝4，OD＝5．
∴＝．
∴OM＝．
∵点M在x轴的正半轴上，
∴点M的坐标为（，0）
②若△DOM∽△CBA，如图2（2）所示，
∵△DOM∽△CBA，
∴＝．
∵BC＝3，AB＝4，OD＝5，
∴＝．
∴OM＝．
∵点M在x轴的正半轴上，
∴点M的坐标为（，0）．
综上所述：若△DOM与△CBA相似，则点M的坐标为（，0）或（，0）．
（3）∵OA＝3，OC＝4，∠AOC＝90°，
∴AC＝5．
∴PE＝PF＝AC＝．
∵DE、DF都与⊙P相切，
∴DE＝DF，∠DEP＝∠DFP＝90°．
∴S△PED＝S△PFD．
∴S四边形DEPF＝2S△PED
＝2×PE•DE
＝PE•DE
＝DE．
∵∠DEP＝90°，
∴DE2＝DP2﹣PE2．
＝DP2﹣．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
当DP⊥AC时，DP最短，
此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小．
∵DP⊥AC，
∴∠DPC＝90°．
∴∠AOC＝∠DPC．
∵∠OCA＝∠PCD，∠AOC＝∠DPC，
∴△AOC∽△DPC．
∴＝．
∵AO＝3，AC＝5，DC＝4﹣（﹣5）＝9，
∴＝．
∴DP＝．
∴DE2＝DP2﹣
＝（）2﹣
＝．
∴DE＝，
∴S四边形DEPF＝DE
＝．
∴四边形DEPF面积的最小值为．
方法二：
（1）A（3，0），C（0，4），
∵P为AC的中点，∴PX＝＝，PY＝＝2，
∴P（，2），
∵D（0，﹣5），
∴直线DP的解析式为y＝x﹣5．
（2）若△DOM与△ABC相似，则∠ODM＝∠OCA或∠ODM+∠OCA＝90°，
①当∠ODM＝∠OCA时，则KAC+KDM＝0，
∵A（3，0）、C（0，4），
∴KAC＝﹣，KDM＝，
∵D（0，﹣5），
∴lDM：y＝x﹣5，
当y＝0时，x＝，
∴M1（，0），
②当∠ODM+∠OCA＝90°时，DM⊥AC，
∴KDM×KAC＝﹣1，
∵KAC＝﹣，∴KDM＝，
∵D（0，﹣5），
∴lDM：y＝x﹣5，
当y＝0时，x＝，
∴M2（，0）．
（3）易知lAC：y＝﹣x+4，
∵点P在直线AC上，设P（t，﹣t+4），
∵D（0，﹣5），
∴DP＝＝，
∵PE＝AC＝，
∴DE＝，
当t＝时，S四边形DEPF有最小值，
∴S四边形DEPF＝DE＝．
类型
载重量（吨）
运费（元/车）
大货车
8
450
小货车
5
300
组别
次数
频数（人数）
第1组
80≤x＜100
6
第2组
100≤x＜120
8
第3组
120≤x＜140
a
第4组
140≤x＜160
18
第5组
160≤x＜180
6
类型
载重量（吨）
运费（元/车）
大货车
8
450
小货车
5
300
组别
次数
频数（人数）
第1组
80≤x＜100
6
第2组
100≤x＜120
8
第3组
120≤x＜140
a
第4组
140≤x＜160
18
第5组
160≤x＜180
6