2023-2024学年广东省深圳市桃源重点学校高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市桃源重点学校高一（上）期末数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列元素与集合的关系中，正确的是( )
A. −3∈N*B. 5∈RC. 12∈ZD. 0∉N
2.命题“∃x0>0，2x02−x0−3<0”的否定是( )
A. ∃x0≤0，2x02−x0−3<0B. ∀x≤0，2x2−x−3<0
C. ∃x0>0，2x02−x0−3≥0D. ∀x>0，2x2−x−3≥0
3.不等式−x2+3x+4<0的解集为( )
A. {x|−14或x<−1}
C. {x|x>1或x<−4}D. {x|−44.若角α的终边上一点的坐标为(2,−2)，则csα=( )
A. −1B. 1C. − 22D. 22
5.函数y=lga(x−1)+2过定点( )
A. (1,0)B. (1,1)C. (2,2)D. (2,0)
6.已知函数f(x+2)=x2−3x+4，则f(1)=( )
A. 4B. 6C. 7D. 8
7.已知函数y=f(2x)−x是奇函数，且f(−4)=1，则f(4)=( )
A. 1B. −1C. 5D. −5
8.已知扇形的周长为18cm，面积为14cm2，则该扇形的圆心角的弧度数为( )
A. 7或47B. 74C. 7D. 47
9.已知y=x+4x+2，则y的取值范围为( )
A. (−∞,−6]∪[2,+∞)B. (−∞,−4]∪[4,+∞)
C. (−∞,−2]∪[2,+∞)D. [2,+∞)
10.已知a=(13)12,b=lg1213,c=lg312则( )
A. C>b>aB. b>c>aC. b>a>cD. a>b>c
11.在△ABC中，∠C=120°，tanA+tanB=23 3，则tanAtanB的值为( )
A. 14B. 13C. 12D. 53
12.若存在正实数x，y，使得等式1x+4y=1和不等式x+y4<3m2−m都成立，则实数m的取值范围为( )
A. (−1,43)B. (−∞,−1)∪(43,+∞)
C. (−43,1)D. (−∞,−43)∪(1,+∞)
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.已知函数f(x)=2−x,x≥−1lg2(1−x),x<−1，则f(0)−f(−3)=______．
14.设如tan(π−α)=−2，则sin(α−π)+cs(π−α)sin(π+α)−cs(π+α)= ______．
15.函数f(x)=x2−4,x≤0lnx+x−2,x>0的零点个数是______．
16.若α∈(0,π2)，且3sin2α+4cs2α=0，则csαcs2αsinα+csα=______．
17.若存在x∈[12,3]，使不等式x2−ax+1≥0成立，则实数a取值范围是______．
18.若x>0，y>0，且9x2+y2+xy=4，则3x+y的最大值为______．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
已知全集U=R，集合A={x|−2(1)求A∪B，A∩B；
(2)求A∩(∁UB)，(∁UA)∪B．
20.(本小题12分)
解下列不等式：
(1)x2−2x+3>0．
(2)x(3−x)≤x(x+2)−1．
21.(本小题12分)
已知0≤φ<π，函数f(x)= 32cs(2x+φ)+sin2x．
(Ⅰ)若φ=x6，求f(x)的最小正周期和单调区间：
(Ⅱ)若f(x)的最大值是32，求φ的值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=mx+nx2+1是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1．
(1)求m，n的值：
(2)试判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)求使f(a−1)+f(a2−1)<0成立的实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A，因−3不是正整数，故A错误；
选项B， 5是无理数，故必是实数，故B正确；
选项C，12是分数，故不是整数，故C错误；
选项D，0是自然数，故D错误．
故选：B．
根据元素与集合的关系依次判断选项即得．
本题考查元素与集合的关系，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定，属于容易题．
根据存在量词命题的否定是全称量词命题，即可得到该命题的否定．
【解答】
解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题知，
命题“∃x0>0，2x02−x0−3<0”的否定是“∀x>0，2x2−x−3≥0”．
故选：D．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了转化的数学思想，是一道基础题．
把不等式的左边分解因式后，根据两数相乘的取符号法则：同号得正，异号得负，转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．
【解答】
解：不等式−x2+3x+4<0，
因式分解得：(x−4)(x+1)>0，
可化为：x−4>0x+1>0或x−4<0x+1<0，
解得：x>4或x<−1，
则原不等式的解集为{x|x>4或x<−1}．
故选：B．
4.【答案】D
【解析】解：由题意角α的终边上一点的坐标为(2,−2)，即x=2，y=−2，
则r= x2+y2=2 2，
所以csα=xr=22 2= 22．
故选：D．
根据任意角的三角函数的定义可得结果．
本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由于函数y=lgax恒过点(1,0)，
令x−1=1，则x=2，y=lga1+2=2，
故函数恒过定点(2,2)．
故选：C．
根据函数y=lgax恒过点(1,0)，令x−1=1，即得解．
本题主要考查了对数函数的性质的简单应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由x+2=1得x=−1，
依题意，f(x+2)=x2−3x+4，
令x=−1得f(1)=(−1)2−3×(−1)+4=1+3+4=8．
故选：D．
根据函数解析式求得正确答案．
本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
由奇函数的定义可得f(−2x)=−f(2x)，再令x=2，可得所求值．
【解答】
解：函数y=f(2x)−x是奇函数，
可得f(−2x)+x=−f(2x)+x，
即f(−2x)=−f(2x)，
所以f(4)=−f(−4)=−1．
故选B．
8.【答案】D
【解析】解：设扇形的半径为rcm，圆心角的弧度数为θ，
则扇形的弧长为θr，故θr+2r=18，
又12θr2=14，解得θ=7>2π(舍去)或47，
故选：D．
设扇形的半径为rcm，圆心角的弧度数为θ，从而根据周长和面积得到方程组，检验后求出答案．
本题考查扇形面积公式的综合应用，属中档题．
9.【答案】A
【解析】解：由题意得x≠−2，
当x>−2时，x+2>0，y=x+4x+2=x+2+4x+2−2≥2 (x+2)⋅4x+2−2=2，当且仅当x+2=4x+2，即x=0时取等号，
当x<−2时，x+2<0，y=x+4x+2=x+2+4x+2−2=−[(−x−2)−4x+2]+2≤−2 (x+2)⋅4x+2−2=−6，当且仅当x+2=4x+2，即x=−4时取等号，
故y≥2或y≤−6．
故选：A．
由已知结合基本不等式对x+2的正负进行分类讨论，即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了对数函数性质，将a、b、c分别与0、1比较，即可得出结论．
【解答】
解：由题意，a=1312= 33∈0,1，
b=lg1213>lg1212，b>1，
c=lg312∴b>a>c．
故选C．
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查两角和与差的正切公式以及综合法的证明思想．属基础题．
根据A+B=180°−C=60°，先求出tan(A+B)的值，再求tanAtanB．
【解答】
解：tan(A+B)=tan(180°−120°)= 3=tanA+tanB1−tanAtanB=23 31−tanAtanB，
故1−tanAtanB=23，即tanAtanB=13．
故选：B．
12.【答案】B
【解析】解：∵x，y为正实数，则x+y4=(x+y4)(1x+4y)=y4x+4xy+2≥2 y4x×4xy+2=4，
当且仅当y4x=4xy，即y=4x=8时等号成立，
若存在正实数x，y，使得不等式x+y4<3m2−m成立，则3m2−m>4，解得m>43或m<−1，
故实数m的取值范围为(−∞,−1)∪(43,+∞)．
故选：B．
先根据基本不等式求得x+y4≥4，再由存在性问题可得3m2−m>4，运算求解即可．
本题主要考查函数恒成立问题，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】3
【解析】解：函数f(x)=2−x,x≥−1lg2(1−x),x<−1，
则f(0)−f(−3)=20+lg24=1+2=3．
故答案为：3．
利用分段函数求解函数值即可．
本题考查分段函数的应用，函数值的求法，是基础题．
14.【答案】3
【解析】解：tan(π−α)=−tanα=−2，可得tanα=2，
则sin(α−π)+cs(π−α)sin(π+α)−cs(π+α)=−sinα−csα−sinα+csα=sinα+csαsinα−csα=tanα+1tanα−1=3．
故答案为：3．
利用诱导公式化简已知条件以及所求表达式，然后弦切互化，求解即可．
本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力，属于基础题．
15.【答案】2
【解析】解：由x2−4=0x≤0解得x=−2，
函数f(x)=lnx+x−2(x>0)在(0,+∞)上单调递增，
f(1)=−1，f(2)=ln2>0，所以f(x)在(0,+∞)上有唯一零点，
综上所述，f(x)的零点个数是2个．
故答案为：2．
通过解方程、函数的单调性、零点存在性定理求得正确答案．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】−15
【解析】解：因为3sin2α+4cs2α=0，α∈(0,π2)，
所以tan2α=−43=2tanα1−tan2α，
解得tanα=2或tanα=−12(舍)，
则csαcs2αsinα+csα=csα(csα+sinα)(csα−sinα)csα+sinα=csα(csα−sinα)cs2α+sin2α=1−tanα1+tan2α=1−21+4=−15．
故答案为：−15．
由已知心求出tan2α，然后结合二倍角公式求出tanα，然后结合同角基本关系进行化简即可求解．
本题主要考查了二倍角公式，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于基础题．
17.【答案】(−∞,103]
【解析】解：由题意，可知：
∵x∈[12,3]，∴x>0，
对不等式进行参变量分离，可得：
a≤x+1x，
令f(x)=x+1x，x∈[12,3]．
则f(x)图象如下：
根据图象，可知：
只要使x存在于区间[12,3]即可，
∴a≤f(x)max=f(3)=103．
故答案为：(−∞,103].
对不等式进行参变量分离得到a≤x+，然后令f(x)=x+1x，x∈[12,3].再根据图形分析f(x)的最值问题，根据题意只要使a≤f(x)max就可以得到a的取值范围．
本题主要考查参变量分离方法、数形结合方法，函数最值问题，以及存在型命题的含义．本题属中档题．
18.【答案】4 217
【解析】解：x>0，y>0，由基本不等式，3x+y≥2 3xy，即xy≤13(3x+y2)2，当且仅当y=3x时等号成立，(3x+y)2=9x2+6xy+y2=9x2+y2+xy+5xy=4+5xy≤4+53(3x+y2)2，
即7(3x+y)212≤4，解得3x+y≤4 217，当y=3x，即x=2 2121，y=2 217时，3x+y有最大值4 217．
故答案为：4 217．
利用基本不等式的性质，求解和的最小值．
本题考查基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为A={x|−2则A∪B={x|−3≤x<3}，A∩B={x|2(2)依题意：∁UA={x|x≤−2或x≥3}，∁UB={x|x<−3或x>2}，
所以A∩(∁UB)={x|2【解析】(1)根据交集及并集运算即可求解；
(2)根据补集及交集，并集运算即可求解．
本题主要考查了集合交集，并集及补集运算，属于基础题．
20.【答案】解：(1)不等式x2−2x+3>0可化为(x−1)2+2>0，所以不等式的解集为R．
(2)不等式可化为2x2−x−1≥0，即(2x+1)(x−1)≥0，解得x≥1或x≤−12，
所以不等式的解集为(−∞,−12]∪[1,+∞)．
【解析】(1)利用配方法求解即可；
(2)利用因式分解可求答案．
本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．
21.【答案】解：(Ⅰ)当φ=π6时，f(x)= 32cs2xcsπ6− 32sin2xsinπ6+1−cs2x2
=14cs2x− 34sin2x+12
=12cs(2x+π3)+12，
其最小正周期T=π；
由2kπ−π≤2x+π3≤2kπ，得kπ−2π3≤x≤kπ−π6．
所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−2π3,kπ−π6]，k∈Z．
由2kπ≤2x+π3≤2kπ+π，得kπ−π6≤x≤kπ+π3，
所以f(x)的单调递减区间为[kπ−π6,kπ+π3](k∈Z)．
(Ⅱ)由题意f(x)=( 32csφ−12)cs2x− 32sinφsin2x+12，
由于函数f(x)的最大值为32，即( 32csφ−12)2+( 32sinφ)2=1，
解得csφ=0，
又0≤φ<π，
故φ=π2．
【解析】(Ⅰ)利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过正弦函数的单调性求解即可．
(Ⅱ)利用函数f(x)的最大值为32，通过求解方程求解即可．
本题考查两角和与差的三角函数，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)函数f(x)=mx+nx2+1是定义在[−1,1]上的奇函数，
且f(1)=1，可得f(0)=0即n=0；
又12(m+n)=1，则m=2，所以m=2，n=0；
(2)f(x)=2xx2+1在[−1,1]上为增函数．
证明：设−1≤x1=2(x1−x2)(1−x1x2)(x12+1)(x22+1)，
由−1≤x1则f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在[−1,1]上为增函数；
(3)由f(x)为奇函数，
可得f(a−1)+f(a2−1)<0即为f(a−1)<−f(a2−1)=f(1−a2)，
由f(x)在[−1,1]上为增函数，可得−1≤a−1<1−a2≤1，
解得0≤a<1，即a的取值范围是[0,1)．
【解析】(1)由奇函数的性质可得f(0)=0，结合f(1)=1，解方程可得m，n的值；
(2)f(x)在[−1,1]上为增函数，再由单调性的定义证明，注意运用因式分解和不等式的性质；
(3)由奇函数f(x)在[−1,1]上为增函数，可将不等式的两边的“f”去掉，解不等式可得所求取值范围．
本题考查函数的奇欧旭和单调性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．