2023-2024学年广东省深圳市南山实验华侨城中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市南山实验华侨城中学高一（上）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−1,0,1}，B={x|x2<1}，则A∩B=( )
A. ⌀B. {0}C. {−1,1}D. {−1,0,1}
2.命题“∀x∈R，x2−x+4=0”的否定是( )
A. ∀x∈R，x2−x+4≠0B. ∀x∈R，x2−x+4>0
C. ∃x∈R，x2x+4<0D. ∃x∈R，x2−x+4≠0
3.设a，b∈R，则下列命题正确的是( )
A. 若x>y，a>b，则a−x>b−yB. 若a>b，则1a<1b
C. 若x>y，a>b，则ax>byD. 若a>|b|，则a2>b2
4.已知幂函数y=f(x)的图像过点(2, 24)，则下列关于f(x)说法正确的是( )
A. 奇函数B. 偶函数
C. 在(0,+∞)单调递减D. 定义域为[0,+∞)
5.函数y=x+2x(x≥2)的最小值为( )
A. 2B. 2 2C. 3D. 2
6.函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，f(3)A. −11或a<−2C. a>1D. a<−2
7.已知函数f(x)=x2−4x+5在[m,n]上的值域是[1,10]，则n−m的最大值是( )
A. 3B. 6C. 4D. 8
二、多选题：本题共5小题，共25分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如[π]=3，[−1.08]=−2，定义函数f(x)=x−[x]，则下列命题中正确的是( )
A. 函数f(x)的最大值为1
B. 函数f(x)的最小值为0
C. 函数y=f(x)的图象与直线y=12有无数个交点
D. 函数f(x)是增函数
9.下列各组函数表示的是同一函数的有( )
A. f(x)= −2x3与g(x)=x⋅ −2x
B. f(x)=|x|与g(x)= x2
C. f(x)=xx与g(x)=x0
D. f(x)= x⋅ x+1与g(x)= x2+x
10.下列函数中，即是奇函数，又是R上的增函数的是( )
A. y=3xB. y=x|x|C. y=x3D. y=x2
11.已知函数f(x)=2x−1，则( )
A. f(x)的定义域是(−∞,1)∪(1,+∞)B. f(x)的值域是R
C. f(x+1)是奇函数D. f(x)在(−∞,1)∪(1,+∞)上单调递减
12.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，且对任意的x1，x2∈(1,2)，且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，则下列结论正确的是( )
A. f(x)是奇函数B. f(1023)=0
C. f(x)的图像关于(1,0)对称D. f(−74)>f(198)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f( x−2)的定义域为______．
14.已知f(x)=2x,x>0f(x+1),x≤0，则f(43)+f(−43)= ______．
15.设函数f(x)=−x2+2ax−7,x≤3ax−1,x>3是定义在R上的增函数，则实数a的的取值范围是 ．
16.已知函数f(x)=a(12)|x|+b的图象过原点，且无限接近直线y=2但又不与该直线相交，则该函数的解析式为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知A={x|a≤x≤a+3}，B={x|−x2+4x+5<0}．
(1)若a=−3，求A∩B；
(2)若x∈A是x∈∁RB的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在(−4,4)上的奇函数，满足f(2)=1，当−4(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)在区间(0,4)上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性；
(3)解关于m的不等式f(m2+1)>1．
19.(本小题12分)
某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图(如图)是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2．
(1)设总造价为S元，AD的长为xm，试建立S关于x的函数关系式．
(2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？
20.(本小题12分)
已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3
(1)求f(x)的解析式；
(2)若当x∈[−3,−1]时，y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．
21.(本小题12分)
设y=mx2+(1−m)x+m−2．
(1)若不等式y≥−2对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
(2)解关于x的不等式mx2+(1−m)x+m−222.(本小题12分)
定义在R上的函数y=f(x)满足对于任意的x，y∈R有f(x)+f(y)−2=f(x+y)，当x>0时，f(x)>2，其中f(3)=3．
(1)求f(0)；
(2)判断函数f(x)的单调性并证明；
(3)解不等式f(m2−4m−3)−5<0．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={−1,0,1}，
B={x|x2<1}={x|−1则A∩B={0}．
故选：B．
解不等式得集合B，根据交集的定义写出A∩B．
本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：命题“∀x∈R，x2−x+4=0”的否定是：∃x∈R，x2−x+4≠0．
故选：D．
根据全称命题的否定为特称命题即可求解．
本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：对于A，若x>y，a>b，取x=3，y=2，a=1，b=0，可得a−x=b−y，故A不正确；
对于B，若a>0>b，则1a>1b，故B不正确；
对于C，若x>y，a>b，取x=−1，y=−2，a=−2，b=−4，则ax对于D，若a>|b|，则a>|b|>0，所以a2>b2，故D正确．
故选：D．
由不等式的性质逐一判断即可．
本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：设幂函数的解析式为y=f(x)=xα，α∈R，
∵幂函数y=f(x)的图像过点(2, 24)，
∴2α= 24，解得α=−32，
∴f(x)=x−32，定义域为(0,+∞)，故D错误；
∵定义域不关于原点对称，∴y=f(x)是非奇非偶函数，故AB错误；
∵−32<0，∴y=f(x)在(0,+∞)单调递减，故C正确．
故选：C．
设幂函数的解析式为y=f(x)=xα，α∈R，根据图旬上的点坐标求出解析式，由此能求出结果．
本题考查幂函数的定义、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据对勾函数的性质可知，f(x)=x+2x在[2,+∞)上单调递增，
所以当x=2时，函数取得最小值3．
故选：C．
利用对勾函数的单调性即可求解函数的最值．
本题主要考查了利用函数单调性求解函数的最值，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：因为函数f(x)在实数集上是偶函数，
且f(3)又函数f(x)在[0,+∞)上是增函数，
所以3<|2a+1|，解之得a>1或a<−2，
故a的取值范围为：(1,+∞)∪(−∞,−2)．
故选：B．
由f(x)是偶函数，不等式化为f(3)本题主要考査解抽象函数不等式，利用函数的奇偶性和单调性是解题的关键，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：f(x)=x2−4x+5=(x−2)2+1，
因为值域为[1,10]，所以要取到最小值1，必须取到对称轴，
又对称轴两边距离越大，则区间长度越大，
令f(x)=10，得x=−1或x=5，
所以当n=5，m=−1时(n−m)max=6．
故选：B．
根据二次函数图像特点，要使得区间长度最大，则对称轴两边(能取到对称轴的前提下)距离越大，区间长度越大．
本题考查了配方求二次函数的值域的方法，是中档题．
8.【答案】BC
【解析】解：因为[x]=…−2,−2≤x<−1−1,−1≤x<00,0≤x<11,1≤x<2…，
所以f(x)−x−[x]=…x+2,−2≤x<1x+1,−1≤x<1x,0≤x<1x−1,1≤x<2…，
作出函数f(x)的图象如图所示，
由图象可知，函数f(x)无最大值，故选项A错误；
由图象可知，函数f(x)的最小值为0，故选项B正确；
由图象可知，函数y=f(x)的图象与直线y=12有无数个交点，故选项C正确；
由图象可知，函数f(x)在定义域上没有单调性，故选项D错误．
故选：BC．
由题中的定义，表示出[x]，求出f(x)，作出函数f(x)的图象，由图象分析判断即可．
本题考查了函数的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，因为f(x)= −2x3，所以x≤0，
g(x)=x −2x，所以x≤0，
所以两函数的定义域相同，
又因为g(x)=x −2x=− −2x3，与f(x)的对应关系不一样，
所以f(x)与g(x)不是同一函数；
对于B，因为f(x)=|x|，x∈R，
g(x)= x2，x∈R，
两函数的定义域相同，
且g(x)= x2=|x|=f(x)，
所以f(x)与g(x)是同一函数；
对于C，因为f(x)=xx，x≠0，且f(x)=1，
g(x)=x0，x≠0，且g(x)=1=f(x)，
所以f(x)与g(x)是同一函数；
对于D，因为f(x)= x⋅ x+1，所以x≥0，
g(x)= x2+x，所以x≤−1或x≥0，
两函数的定义域不同，
所以两函数不是同一函数．
故选：BC．
根据函数的三要素逐一判断即可．
本题考查了函数的定义、三要素，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=3x，是指数函数，不是奇函数，不符合题意，
对于B，y=x|x|=x2,x≥0−x2,x<0，即是奇函数，又是R上的增函数，符合题意，
对于C，y=x3，是幂函数，即是奇函数，又是R上的增函数，符合题意，
对于D，y=x2，是二次函数，是偶函数，不符合题意，
故选：BC．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，注意常见函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A，分式中分母不等于0，所以x−1≠0，解得：x≠1
所以f(x)的定义域是(−∞,1)∪(1,+∞)；故A正确；
对于B，f(x)的值域是(−∞,0)∪(0,+∞)，故B错误；
对于C，f(x+1)=2x，令g(x)=2x，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，g(−x)=−2x=−g(x)，
所以g(x)是奇函数，即f(x+1)是奇函数，故C正确；
对于D，多个单调区间可用逗号(或“和”)隔开，
所以f(x)在(−∞,1)，(1,+∞)上单调递减，在(−∞,1)∪(1,+∞)上不是单调递减的，故D错误．
故选：AC．
由分母不为0可求得函数定义域即可判断A；求出函数的值域即可判断B；判断函数f(x+1)的奇偶性即可判断C；求出函数的单调区间即可判断D．
本题主要考查函数的定义域，值域的求法，函数的性质，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：根据题意，函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，
则f(x)的图象关于点(1,0)对称，同时关于直线x=2对称，
则有f(2+x)=−f(−x)，f(−x)=f(4+x)，则有f(x+2)=−f(x)，
故有f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数，
依次分析选项：
对于A，f(x)的图象关于点(1,0)对称，同时关于直线x=2对称，
则x=0即y轴也是函数的对称轴，则f(x)为偶函数，A错误；
对于B，f(x)是周期为4的周期函数，则f(1023)=f(3+4×255)=f(3)=−f(1)=0，B正确；
对于C，f(x+1)为奇函数，f(x)的图象关于点(1,0)对称，C正确；
对于D，对任意的x1，x2∈(1,2)，且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，则f(x)在区间(1,2)上为增函数，
f(x)为偶函数，则f(−74)=f(74)，f(x)的图象关于直线x=2对称，f(198)=f(138)，
又由74>138，故f(74)>f(138)，D正确；
故选：BCD．
根据题意，分析函数的对称性可得函数的周期，进而分析选项，可得答案．
本题考查函数的单调性和对称性的应用，注意分析函数的周期性，属于中档题．
13.【答案】[4,9]
【解析】解：因为函数f(x)的定义域为[0,1]，
由0≤ x−2≤1，得： x−2≥0① x−2≤1②，
解①得：x≥4，解②得：x≤9．
所以，函数f( x−2)的定义域为[4,9]．
故答案为[4,9]．
根据函数f(x)的定义域为[0,1]，由 x−2∈[0,1]，求出x的取值集合即可得函数f( x−2)的定义域．
本题考查了函数的定义域及其求法，考查了抽象函数的定义域，给出函数y=f(x)的定义域为[a,b]，求函数y=f[g(x)]的定义域，就是满足a≤g(x)≤b的x的取值集合，此题是基础题．
14.【答案】4
【解析】解：由分段函数可知f(43)=2×43=83．
f(−43)=f(−43+1)=f(−13)=f(−13+1)=f(23)=2×23=43，
∴f(43)+f(−43)=43+83=123=4．
故答案为：4．
根据分段函数直接代入即可求值．
本题主要考查函数值的计算，利用分段函数的表达式直接进行求解，比较基础．
15.【答案】[3,+∞)
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性的判断，涉及分段函数的性质，属于基础题．
根据题意，由函数单调性的定义可得−2a2×(−1)=a≥3a>1a2≥6a−16，解可得a的取值范围，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数f(x)=−x2+2ax−7,x≤3ax−1,x>3是定义在R上的增函数，
则有−2a2×(−1)=a≥3a>1a2≥6a−16，解可得a≥3，
即a的取值范围为[3,+∞)，
故答案为：[3,+∞)．
16.【答案】f(x)=−2⋅(12)|x|+2
【解析】解：因为函数f(x)=a(12)|x|+b的图象过原点，且无限接近直线y=2但又不与该直线相交，
所以f(0)=a+b=0，b=2，
故a=−2，b=2，
所以f(x)=−2⋅(12)|x|+2．
故答案为：f(x)=−2⋅(12)|x|+2．
由已知结合指数函数的性质即可求解函数解析式．
本题主要考查了指数函数的性质在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)根据题意，若a=−3，则A={x|−3≤x≤0}，
B={x|−x2+4x+5<0}={x|x<−1或x>5}，
则A∩B={x|−3≤x<−1}．
(2)由(1)可得∁RB={x|−1≤x≤5}，
由x∈A是x∈∁RB的充分不必要条件，得A⫋∁RB，
所以a≥−1a+3≤5，等号不同时成立，解得−1≤a≤2．
综上所述，实数a的取值范围是[−1,2]．
【解析】本题考查了集合的运算与充分、必要条件的应用，属于基础题．
(1)根据题意，由a的值可得集合A，解不等式−x2+4x+5<0可得集合B，由集合交集的定义计算可得答案；
(2)由x∈A是x∈∁RB的充分不必要条件，得A⫋∁RB，解不等式，可得a的取值范围，即可得答案．
18.【答案】解：(1)由题可知，f(−2)=−2a+b2=−1f(0)=b4=0，
解得a=1b=0；
(2)由(1)可知当x∈(−4,0)时，f(x)=xx+4，
当x∈(0,4)时，−x∈(−4,0)f(x)=−f(−x)=−−x−x+4=x−x+4，
任取x1，x2∈(0,4)，且x1f(x1)−f(x2)=x1−x1+4−x2−x2+4=4(x1−x2)(−x1+4)(−x2+4)
∵x1，x2∈(0,4)，且x10，−x2+4>0，x1−x2<0，
于是f(x1)−f(x2)<0，∴f(x)=x−x+4在x∈(0,4)上单调递增；
(3)∵函数f(x)是定义在(−4,4)上的奇函数，且f(x)在x∈(0,4)上单调递增，则
f(x)在x∈(−4,4)上单调递增，
∴f(m2+1)>1=f(2)的解为m2+1>2，
解得m<−1或m>1，
∴不等式的解集为{m|m<−1或m>1}．
【解析】(1)根据条件可得f(0)=0，f(−2)=−1，解不等式组即可；
(2)将a，b的值代入f(x)中，利用定义证明f(x)的单调性即可；
(3)根据f(x)的单调性和f(2)=1，可得m2+1>2，解不等式即可；
本题考查了函数的奇偶性和单调性以及不等式的解法，关键是利用定义证明单调性，属基础题．
19.【答案】解：(1)设DQ=y，则x2+4xy=200，所以y=200−x24x，
∴S=4 200x2+210×4xy+80×4×12y2=38 000+4 000x2+400000x2，
即S=38 000+4 000x2+400000x2 (0(2)S=38 000+4 000x2+400000x2≥38 000+2 16×108=118 000，
当且仅当4 000x2=400000x2，即x= 10时，Smin=118 000(元)．
故计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．
【解析】(1)设DQ=y，则x2+4xy=200，所以y=200−x24x，代入S=4 200x2+210×4xy+80×4×12y2，化简即可得到结果．
(2)利用基本不等式即可求出S的最小值．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了基本不等式的应用，是中档题．
20.【答案】解：(1)设f(x)=a(x−0)(x−2)+3，
则f(x)=ax2−2ax+3，二次函数f(x)的最小值为1，
∴f(1)=3−a=1，∴a=2，∴f(x)=2x2−4x+3；
(2)x∈[−3,−1]时，y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，
可得2x2−4x+3>2x+2m+1恒成立，
即m所以m<(x2−3x+1)min=f(−1)=5
即m<5．
【解析】本题考查二次函数的简单性质的应用，解析式的求法，函数恒成立的应用，考查转化思想以及计算能力．
(1)利用f(0)=f(2)=3设出二次函数，结合二次函数f(x)的最小值为1，求解即可．
(2)当x∈[−3,−1]时，y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，得到不等式，分离变量，利用二次函数的最值求解即可．
21.【答案】解：(1)由题设mx2+(1−m)x+m−2≥−2，即mx2+(1−m)x+m≥0对一切实数x恒成立，
当m=0时，mx2+(1−m)x+m=x≥0不恒成立；
当m≠0时，只需m>0Δ=(1−m)2−4m2≤0，可得m≥13；
综上，实数m的取值范围为[13,+∞)；
(2)当m=0时，mx2+(1−m)x+m−2当m≠0时，mx2+(1−m)x−1=m(x+1m)(x−1)<0，
若m<0，则(x+1m)(x−1)>0，
若−1m>1，即−1−1m或x<1，解集为(−∞,1)∪(−1m,+∞)；
若−1m=1，即m=−1时，可得x≠1，解集为(−∞,1)∪(1,+∞)；
若−1m<1，即m<−1时，可得x>1或x<−1m，解集为(−∞,−1m)∪(1,+∞)；
若m>0，则(x+1m)(x−1)<0，可得−1m综上，当m=0时，解集为(−∞,1)；
当−1当m=−1时，解集为(−∞,1)∪(1,+∞)；
当m<−1时，解集为(−∞,−1m)∪(1,+∞)；
当m>0时，解集为(−1m,1)．
【解析】(1)由题设mx2+(1−m)x+m≥0对一切实数x恒成立，讨论参数m，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求范围即可．
(2)讨论m=0、m≠0，结合一元二次不等式的解法求解集．
本题考查了二次函数的性质、分类讨论思想及一元二次不等式的解法，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为对于任意的x，y∈R有f(x)+f(y)−2=f(x+y)，
所以令x=y=0，可得f(0)+f(0)−2=f(0)，
解得f(0)=2．
(2)f(x)在R上是增函数．
证明：任取x10，
则f(x2)−f(x1)=f(x2−x1+x1)−f(x1)=f(x2−x1)+f(x1)−2−f(x1)=f(x2−x1)−2，
因为当x>0时，f(x)>2，
所以当x2−x1>0时，f(x2−x1)>2，
即f(x2)−f(x1)=f(x2−x1)−2>0，
则f(x2)>f(x1)，
所以f(x)在R上是增函数．
(3)因为f(3)=3，
所以f(3)+f(3)−2=f(6)，
即f(6)=3+3−2=4，
因为f(3)+f(6)−2=f(9)，
所以f(9)=3+4−2=5，
即不等式f(m2−4m−3)−5<0等价为f(m2−4m−3)因为f(x)在R上是增函数．
所以不等式等价为m2−4m−3<9，即m2−4m−12<0，
得−2即不等式的解集为(−2,6)．
【解析】(1)令x=y=0，即可求解f(0)；
(2)由抽象函数关系式，结合函数单调性的定义进行证明即可；
(3)利用赋值法求出f(9)=5，根据函数的单调性将不等式进行转化求解即可．
本题主要考查抽象函数的应用，利用函数单调性的定义结合赋值法将不等式进行转化是解决本题的关键，属于中档题．