河南省鹤壁市2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题

这是一份河南省鹤壁市2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列式子中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．可能性很大的事情是必然发生的
B．投掷一枚普通的正方体骰子，结果恰好是“3”是不可能发生的
C．打开电视机，它正在播广告是随机事件
D．爸爸买彩票又没中奖，我劝他坚持，因为他从未中过奖，所以他现在中奖的机会比以前大了
3．如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD=30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC=5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB=8m，则池塘的宽DE为（ ）
A．32mB．36mC．48mD．56m
4．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．B．C．D．
5．用配方法解方程时，配方后得到方程是( )
A．B．C．D．
6．如图所示，是的中位线，若，则等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．若、、为的三边，且、满足，第三边是整数，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
8．我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为6万件和8.64万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．6（1+x）＝8.64
B．6（1+2x）＝8.64
C．6（1+x）2＝8.64
D．6+6（1+x）+6（1+x）2＝8.64
9．如图，在矩形中，，分别是，上的点，，分别是，的中点，当点在上从点向点移动，而点保持不动时，下列结论成立的是( )

A．线段的长逐渐增大B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变D．线段的长先增大后减小
10．如图，矩形 的顶点A，B分别在x轴、y轴上，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时， 点C的坐标为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
11．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA＝
13．在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是 ．
14．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上，若线段AB=4 cm，则线段BC= cm
15．已知实数满足，试求的值．
解：设．
原方程可化为，即，解得．
∵．
上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决问题．
已知实数满足，则的值为 ．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．已知关于的方程．
(1)若此方程的一个根为，则的值为______；
(2)求证：对于任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
18．如图，在中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点分别从点同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为．
(1)填空：____________，____________（用含的代数式表示）．
(2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
19．【阅读理解】
爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
∵，
．
∴，即．
∴．
∴．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：______；
(2)计算：______；
(3)若，求的值．
20．在学习过“解直角三角形”一章的知识后，九年级某班的同学们为了巩固学习成果，就地取材，利用所学的数学知识解决身边问题．如图1所示是教室内一只酒精消毒用的喷雾瓶的实物图，其示意图如图2所示，．求按压柄下端到导管的距离．（结果保留一位小数，参考数据：，）
21．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．

(1)画出关于x轴对称的；
(2)以点O为位似中心，在网格中画出在第一象限内的位似图形，使与的相似比为；
(3)设点为内一点，则依上述两次变换后点P在内的对应点的坐标是___________．
22．某班级活动角有，两个不透明的盒子，各装有三个小球，盒子中的三个小球上分别标记数字，，；盒子中的三个小球分别标记数字，，．这六个小球除标记的数字外，其余完全相同．
(1)将盒子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球标记的数字是偶数的概率为______；
(2)分别将两个盒子中的小球摇匀，然后从、盒子中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为15的概率．
23．已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接．
(1)问题发现：如图1所示，若和均为等边三角形，则线段与线段的数量关系是______；
(2)类比探究：如图2所示，若，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用：如图3所示，若，，，，当点三点共线时，请直接写出的长．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【详解】解：A． 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
B． 属于最简二次根式，故本选项符合题意；
C． 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
D． 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了随机事件可能性大小的判断，可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．根据随机事件可能性大小判断即可．
【详解】解：A．可能性很大也不一定确定发生，故原说法错误；可能性很小的事情也有可能发生，故原说法错误；
B．投掷一枚普通的正方体骰子，结果恰好是“3”是可能发生的，故原说法错误；
C．打开电视机，它正在播广告是随机事件，说法正确；
D．爸爸买彩票又没有中奖，我劝他要坚持，无论他是否中过奖，他现在中奖的概率和以前中奖的概率是一样的，故原说法错误．
3．C
【分析】根据相似三角形的性质解答即可；
【详解】∵AB∥DE，
∴△ABC∽△DEC，
∴，
∴，
∴DE=48m，
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
4．B
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】∵的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故选：．
5．A
【分析】根据配方法解方程的步骤求解即可．
【详解】解：用配方法解方程时，
移项可得：，
配方，得，
即为．
故选：A．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法求解的步骤和方法是关键．
6．D
【分析】本题考查三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据是的中位线，可得，，可得，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出．
【详解】解：∵是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选D
7．B
【分析】本题考查了非负数的性质，三角形的三边关系．根据非负数的性质列式求出、，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可．
【详解】解：=0，
，，
解得：，，
，，
．
故选B．
8．C
【分析】设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，根据今年8月份与10月份完成投递的快递总件数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，
根据题意得：6（1+x）2＝8.64．
故选C．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知增长率的问题.
9．C
【分析】本题考查了三角形中位线定理、矩形的性质、勾股定理，连接，由三角形中位线定理可得，由矩形的性质结合勾股定理可得，由点保持不动可得长度不变，从而可得线段的长不变，熟练掌握三角形中位线定理是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
四边形为矩形，
，
，
点保持不动，
的长度始终不变，
的长不变，
故选：C．
10．B
【详解】解：如图，过点作轴于点E，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，
则第次旋转结束时，点C的坐标为；
则第次旋转结束时，点C的坐标为；
则第次旋转结束时，点C的坐标为；
则第次旋转结束时，点C的坐标为；
…，
发现规律：旋转次一个循环，
∴，
则第次旋转结束时，点C的坐标为．
故选：B．
【分析】本题考查图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第次旋转后矩形的位置是解题的关键．
11．
【分析】根据被开方数即可求解．
【详解】解：由题意可得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的意义：熟练掌握二次根式中被开方数是非负数的条件是解题的关键．
12．
【分析】根据正弦的定义解得即可．
【详解】∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴sinA=，
故答案为：．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
13．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：设两名男生分别记为，，两名女生分别记为，，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有种，
抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，解题时要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率．
14．12
【分析】过点作于点，交于点，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．
【详解】解：如图，过点作于点，交于点，
练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
，
即，
．
故答案为：12
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据换元法解一元二次方程是解题的关键．令，则原方程为，结合可得答案．
【详解】解：令；
则原方程为；
解得：或；
∵；
∴；
∴；
故答案为：．
16．(1)；
(2)．
【分析】（）将特殊角的三角函数值代入，然后计算即可；
（）分别计算零指数幂，化简绝对值，二次根式的化简，最后计算加减法即可，
本题主要考查特殊三角函数值和二次根式的混合运算，熟练掌握特殊三角函数值的运算和掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）原式，
，
；
（2）原式，
．
17．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）把代入原方程求得m的值，进一步求得方程的另一个根即可；
（2）只要证明即可；
【详解】（1）解：把代入
得，，
解得，，
故答案为：．
（2）证明：
．
因为对于任何实数，总有，所以方程总有两个不相等的实数根．
18．(1)，
(2)当时，使得的面积为
【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、三角形面积公式，理解题意，正确列出代数式和一元二次方程是解此题的关键．
（1）根据路程速度时间表示出、，再由即可得到答案；
（2）利用三角形的面积公式得出方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得：，，
，
故答案为：，；
（2）解：由题意得：，
解得：，，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，舍去，
当时，使得的面积为．
19．(1)
(2)9
(3)2
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值；
（1）仿照题的方法化简即可；
（2）把每项按照题中方法化简，再相加减即可；
（3）仿照题中方法求代数式值的方法求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
，
故答案为：9；
（3）解：∵，
∴，
∴，即，
∴．
20．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形．根据题先利用平角定义求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用平角定义求出，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形．
由题意得，．
在Rt中，，
∴．
∵，
∴．
在Rt中，，
∴．
∴．
答：按压柄下端到导管的距离约为．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查作图—位似变换，轴对称变换，坐标与图形．
（1）根据题意分别画点A、B、C关于x轴对称的点，连接即可得到；
（2）相似比为，即对应点到位似中心的距离比也是，据此画图；
（3）利用（2）中的坐标变换规律求解．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）解：如图，为所作；
；
（3）解：点P关于x轴的对称点坐标为：，
的坐标是．
故答案为：．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查求简单事件的概率；
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图得出共有9种等可能的结果，其中摸出的这两个小球标记的数字之和为15的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：盒子中的三个小球上分别标记数字，，，有两个偶数，所以摸出的这个小球标记的数字是偶数的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下，
共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为15的结果有3种，摸出的这两个小球标记的数字之和为15的概率为．
23．(1)
(2)，见解析
(3)或
【分析】（1）由等边三角形的性质可得出，，，进而可求出，即可证，从而得出结论；
（2）由题意易证，得出，，进而可证，得出，即；
（3）分类讨论：当点落在线段上时和当点落在线段上时，分别画出图形，根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：和都是等边三角形，
，，，
，
，
．
故答案为：．
（2）解：；理由如下：
，，
∴，
，
∵，
∴，
，
，
．
（3）解：的长为或．
当点落在线段上时，如图所示：
，，，
，，
，，
，
，
；
如图，当点落在线段上时，同理可得，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识．正确作出辅助线构造全等或相似三角形是解题关键．