2023-2024学年山东省菏泽市成武县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省菏泽市成武县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.篆体是我国汉字古代书体之一．下列篆体字“美”，“丽”，“北”，“京”中，不是轴对称图形的为( )
A. B. C. D.
2.如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC=65°，∠ACB=30°，然后在M处立了标杆，使∠CBM=65°，∠MCB=30°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是( )
A. SASB. AAAC. ASAD. SSS
3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是( )
A. ∠ADC=90°
B. DE=DF
C. AD=BC
D. BD=CD
4.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接CP，若∠A=75°，∠ACP=12°，则∠ABP的度数为( )
A. 12°
B. 31°
C. 53°
D. 75°
5.下列判断中，正确的是( )
A. 分式的分子中一定含有字母
B. 对于任意有理数x，分式52+x2总有意义
C. 分数一定是分式
D. 当A=0时，分式AB的值为0(A、B为整式)
6.若干名工人某天生产同一种零件，生产的零件数整理成条形图(如图所示).设他们生产零件的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有．( )
A. b>a>cB. c>a>bC. a>b>cD. b>c>a
7.甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字个数的统计结果如下表：
某同学分析上表后得出如下结论：
(1)甲、乙两班学生的平均成绩相同；
(2)乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字的个数≥150为优秀)；
(3)甲班成绩的波动比乙班大．
上述结论中，正确的是( )
A. (1)(2)B. (2)(3)C. (1)(3)D. (1)(2)(3)
8.对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=1a−b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=11−32=−18.则方程x⊗(−2)=2x−4−1的解是( )
A. x=4B. x=5C. x=6D. x=7
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.已知点A(a,5)与点B(−2,b−1)关于x轴对称，则ab= ______．
10.如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=______．
11.若x：y=2：3，y：z=2：3，则代数式x+yz的值是______．
12.光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB=20°，∠FED=45°，则∠GFH的度数为______．
13.某公司招聘英语翻译，听、说、写成绩按3：3：4计入总成绩.某应聘者的听、说、写成绩分别为80分，90分，95分(单项成绩和总成绩，均为百分制)，则他的总成绩为______分.
14.小明将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起.当∠ACE<180°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE= ______，则三角尺BCE有一条边与斜边AD平行(写出所有可能情况)．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题10分)
(1)化简：12m2−9−2m−3；
(2)先化简，再求值：a2−1a2−2a+1−3a+3a−1÷(a+1)，其中a在−1，1，2中选取一个．
16.(本小题5分)
求解：xx−2−1=3x2−4．
17.(本小题7分)
(1)若方程3xx−3+5=m3−x有增根，则增根是______；
(2)若方程3xx−3+5=m3−x有增根，求m的值．
18.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，A(−1,4)，B(−3,3)，C(−2,1)．
(1)画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
(2)求△ABC的面积；
(3)在y轴上找一点P，使得△PBC的周长最小．
19.(本小题8分)
已知：AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，
(1)如图1，求证：BE=CD．
(2)如图2，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的全等三角形．
20.(本小题7分)
证明：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
21.(本小题8分)
如图，△ABC中，∠B=2∠C．
(1)请完成尺规作图：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
(要求：不写作法，保留作图痕迹.)
(2)在(1)的基础上，求证：DC=AB+BD．
22.(本小题7分)
随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？
23.(本小题10分)
“六一”儿童节前夕，薪黄县教育局准备给留守儿童赠送一批学习用品，先对浠泉镇浠泉小学的留守儿童人数进行抽样统计，发现各班留守儿童人数分别为6名，7名，8名，10名，12名这五种情形，并将统计结果绘制成了如图所示的两份不完整的统计图：
请根据上述统计图，解答下列问题：
(1)该校有多少个班级？并补充条形统计图；
(2)该校平均每班有多少名留守儿童？留守儿童人数的众数是多少？
(3)若该镇所有小学共有60个教学班，请根据样本数据，估计该镇小学生中，共有多少名留守儿童．
24.(本小题10分)
已知△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β．
(1)如图1，若∠ABC=60°，∠ADE=80°，求α，β的值；
(2)如图2，若点D是BC边上任意一点，则α，β之间有什么数量关系？说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不合题意；
故选：B．
根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．
此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．
2.【答案】C
【解析】解：∵∠ABC=65°，∠ACB=30°，∠CBM=65°，∠MCB=30°，
∠ABC=∠CBMBC=BC∠MCB=∠ACB，
∴△MBC≌△ABC(ASA)，
即MB=AB，
故选：C．
通过∠ABC=65°，∠ACB=30°，∠CBM=65°，∠MCB=30°，以及公共边BC，通过ASA证明△MBC≌△ABC，即可作答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正确记忆相关内容是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，∠B=∠C，
∴∠ADC=90°，
在△BDE和△CDF中，
∠B=∠C∠BED=∠CFDBD=CD，
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE=DF，
故选：C．
由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD=CD，∠B=∠C，由“AAS”可证△BDE≌△CDF，可得DE=DF．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP=∠CBP，
∵PE是线段BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABP=∠CBP=∠PCB，
∴∠ABP+∠ABP+∠ABP+12°+75°=180°，
解得，∠ABP=31°，
故选：B．
根据线段的垂直平分线的性质得到PB=PC，得到∠PBC=∠PCB，根据角平分线的定义、三角形内角和定理列式计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、分式的分子中不一定含有字母，故A错误；
B、由分式有意义的条件可知对于任意有理数x，分式52+x2总有意义，故B正确；
C、分数不一定是分式，故C错误；
D、当A=0，B≠0时，分式AB的值为0(A、B为整式)，故D错误．
故选：B．
根据分式的定义，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，就可以求解．
本题考查了分式的定义，分式有意义的条件，分式的值为0的条件．
整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0．
分式有意义的条件：分母不等于0．
分式值为零的条件是：分子等于零，分母不为零．两者缺一不可．
6.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了条形统计图，平均数、中位数和众数的定义，解题时要细心，解题的关键是通过统计图获取信息．
解读统计图，获取信息，根据定义求解．
【解答】
解：a=(4×4+5×3+6×3)÷(4+3+3)=4.9；
b=5，c=4．
∴b>a>c．
故选A．
7.【答案】D
【解析】解：由表格可知，甲、乙两班学生的成绩平均成绩相同；
根据中位数可以确定，乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；
根据方差可知，甲班成绩的波动比乙班大．
故(1)(2)(3)正确，
故选：D．
本题考查平均数、中位数、方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
根据平均数、中位数、方差的定义即可判断；
8.【答案】B
【解析】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．
解：根据题意，得x⊗(−2)=1x−(−2)2=1x−4，
即1x−4=2x−4−1，
去分母得：1=2−(x−4)，
解得：x=5，
经检验，x=5是分式方程的解．
故选：B．
9.【答案】8
【解析】解：由点A(a,5)与点B(−2,b−1)关于x轴对称，得：a=−2，b−1=−5．
∴a=−2，b=−5=−4．
∴ab=−2×(−4)=8，
故答案为：8．
根据关于x轴对称的点的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a、b的值，根据有理数的乘法，可得答案．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，关于x轴对称的点的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同．
10.【答案】55°
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△BAD≌△CAE．
求出∠BAD=∠EAC，证△BAD≌△CAE，推出∠2=∠ABD=30°，根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】
解：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△BAD和△CAE中，
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠2=∠ABD=30°．
∵∠1=25°，
∴∠3=∠1+∠ABD=25°+30°=55°．
故答案为：55°．
11.【答案】109
【解析】解：∵x：y=2：3，y：z=2：3，
∴x=23y，z=32y，
∴x+yz=23y+y32y=109．
故答案为：109．
根据比例的性质得x=23y，z=32y，代入所求的式子计算即可．
本题主要考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的性质．
12.【答案】25°
【解析】解：∵AB/​/CD，
∴∠GFB=∠FED=45°．
∵∠HFB=20°，
∴∠GFH=∠GFB−∠HFB=45°−20°=25°．
故答案为：25°．
根据平行线的性质知∠GFB=∠FED=45°，结合图形求得∠GFH的度数．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
13.【答案】89
【解析】解：由题意知，总成绩=(80×3+90×3+95×4)÷(3+3+4)=89(分)．
故答案为：89．
运用加权平均数的公式直接计算．用80分，90分，95分，分别乘以3，3，4，再用它们的和除以10即可．
本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是直接求出80，90，95的平均数．
14.【答案】15°或60°或150°
【解析】解：有三种情形：①如图1中，当AD/​/BE时，延长BE交AC于点F，
∵AD/​/BE，
∴∠BFC=∠A=30°
∴∠ACE=∠CEB−∠EFC=45°−30°=15°；
②如图2中，当AD//BC时，延长CE交AD于点G
∵AD/​/BC
∴∠AGC=∠BCE=90°
∴∠ACE=90°−∠A=60°；
③如图3中，当AD/​/CE时，
∵AD/​/CE，
∴∠ACE=180°−∠A=150°，
综上所述，满足条件的∠ACE的度数为15°或60°或150°．
故答案为：15°或60°或150°．
分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．
本题考查旋转变换、平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
15.【答案】解：(1)12m2−9−2m−3
=12(m+3)(m−3)−2(m+3)(m+3)(m−3)
=12−(2m+6)(m+3)(m−3)
=−2m+6(m+3)(m−3)
=−2(m−3)(m+3)(m−3)
=−2m+3；
(2)a2−1a2−2a+1−3a+3a−1÷(a+1)
=(a+1)(a−1)(a−1)2−3(a+1)a−1⋅1a+1
=a+1a−1−3a−1
=a+1−3a−1
=a−2a−1，
要使分式有意义，必须a−1≠0且a+1≠0，
所以a不能为1和−1，
取a=2，
原式=2−22−1=01=0．
【解析】(1)先通分，再根据分式的减法法则进行计算即可；
(2)先分解因式和根据分式的除法法则进行计算，再约分和根据分式的乘法法则进行计算，算减法，根据分式有意义的条件求出a不能为1和−1，取a=2，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
16.【答案】解：原方程可化为：xx−2−1=3(x+2)(x−2)，
方程的两边同乘(x+2)(x−2)，得
x(x+2)−x2+4=3，
解得x=−12．
检验：把x=−12代入(x+2)(x−2)=−154≠0．
∴原方程的解为：x=−12．
【解析】观察可得最简公分母是(x+2)(x−2)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
本题考查了解分式方程，注意：
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
(2)解分式方程一定注意要验根．
(3)分式中有常数项的注意不要漏乘常数项．
17.【答案】x=3
【解析】解：(1)∵方程3xx−3+5=m3−x有增根，
∴x−3=0，
解得：x=3，
∴增根是x=3，
故答案为：x=3；
(2)3xx−3+5=m3−x，
3x+5(x−3)=−m，
由(1)可得：x=3，
把x=3代入方程3x+5(x−3)=−m中得：
3×3+0=−m，
解得：m=−9，
(1)根据题意可得：x−3=0，然后进行计算即可解答；
(2)利用(1)的结论，把x的值代入整式方程中进行计算，即可解答．
本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图1，△A1B1C1即为所求作的三角形；

(2)S△ABC=2×3−12×1×2−12×1×2−12×3×1=52；
(3)先作出点B关于y轴的对称点B′，连接CB′交y轴于一点，该点即为所求作的点P，如图2所示：

∵点B关于y轴的对称点B′，
∴BP=B′P，
∴BP+PC+BC=B′P+PC+BC，
∵两点之间线段最短，
∴此时△PAC的周长最小．
【解析】(1)先作出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；
(2)利用割补法求出△ABC的面积即可；
(3)先作出点B关于y轴的对称点B′，连接CB′交y轴于一点，即为点P．
本题主要考查了作轴对称图形，三角形面积计算，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
19.【答案】证明：(1)∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在△ABD与△ACE中，
∠A=∠A∠ADB=∠AEC=90°AC=AB，
∴△ABD≌△ACE(AAS)，
∴AE=AD，
∵AC=AB，
∴AC−AD=AB−AE，
即BE=DC；
(2)由(1)可知△ABD≌△ACE，BE=DC，
∴∠B=∠C，AE=AD，
∴△BEF≌△DCF(ASA)，
∴BF=CF，EF=DF，
∴△AEF≌△ADF(SAS)，△ABF≌△ACF(SAS)．
【解析】(1)根据AAS证明△ABD与△ACE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
(2)根据全等三角形的判定方法解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据据AAS证明△ABD与△ACE全等解答．
20.【答案】已知：
线段AB外一点P，且PA=PB，
求证：P在线段AB的垂直平分线上
证明：
过P作PD⊥AB于D，
则∠PDA=∠PDB=90°，
∵在Rt△PDA和Rt△PDB中
PA=PBPD=PD
∴Rt△PDA≌Rt△PDB(HL)，
∴AD=BD，
∵PD⊥AB，
即P在线段AB的垂直平分线上．
【解析】先画出图形，写出已知、求证，过P作PD⊥AB于D，推出∠PDA=∠PDB=90°，根据HL推出Rt△PDA≌Rt△PDB，根据全等三角形的性质得出AD=BD，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是能画出图形，并能正确作出辅助线，难度适中．
21.【答案】(1)解：如图，AD为所作；

(2)证明：在DC上截取DE=BD，连接AE，
∵AD⊥BE，DB=DE，
即AD垂直平分BE，
∴AE=AB，
∴∠AEB=∠B，
∵∠AEB=∠C+∠EAC，∠B=2∠C，
∴∠C=∠EAC，
∴AE=CE，
∴CD=CE+DE=AE+BD=AB+BD．
【解析】(1)利用基本作图，过A点作BC的垂线即可；
(2)在DC上截取DE=BD，连接AE，则AD垂直平分BE，所以AE=AB，则∠AEB=∠B，接着证明∠C=∠EAC得到AE=CE，然后利用等线段代换得到CD=AB+BD．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质．
22.【答案】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件(x+80)件，
依题意，得：3000x=4200x+80．
解得：x=200，
经检验，x=200是原方程的解，且符合题意，
答：原来平均每人每周投递快件200件．
【解析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件(x+80)件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
23.【答案】解：(1)该校的班级数是：2÷12.5%=16(个)．
则人数是8名的班级数是：16−1−2−6−2=5(个)．
；
(2)每班的留守儿童的平均数是：116(1×6+2×7+5×8+6×10+12×2)=9(人)，众数是10名；
(3)该镇小学生中，共有留守儿童60×9=540(人)．
答：该镇小学生中共有留守儿童540人．
【解析】(1)根据有7名留守儿童班级有2个，所占的百分比是12.5%，即可求得班级的总个数；
(2)利用平均数的计算公式求得每班的留守儿童数，然后根据众数的定义，就是出现次数最多的数确定留守儿童的众数；
(3)利用班级数60乘以(2)中求得的平均数即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24.【答案】解：(1)∵AB=AC，
∴∠B=∠C=60°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=80°，
∵∠AED是△DEC的一个外角，
∴∠CDE=β=∠AED−∠C=20°，
∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=100°，
∵∠ADC是△ABD的一个外角，
∴∠BAD=α=∠ADC−∠B=40°，
∴α的值为40°，β的值为20°；
(2)α=2β，
理由：设∠B=x°，∠ADE=y°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=x°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=y°，
∵∠AED是△DEC的一个外角，
∴∠AED=∠CDE+∠C，
∴y=β+x，
∵∠ADC是△ABD的一个外角，
∴∠ADC=∠BAD+∠B，
∴∠ADE+∠EDC=∠BAD+∠B，
∴y+β=x+α，
∴β+x+β=x+α，
∴α=2β．
【解析】(1)利用等腰三角形的性质可得∠B=∠C=60°，∠ADE=∠AED=80°，然后利用三角形的外角性质可得∠CDE=β=20°，从而可得∠ADC=100°，最后再利用三角形的外角性质进行计算，即可解答；
(2)利用(1)的解题思路进行计算，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．班级
参加人数
平均数
中位数
方差
甲班
55
135
149
191
乙班
55
135
151
110