八年级开学摸底考（湖北专用）-2023-2024学年八年级数学下学期开学摸底考试卷.zip

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在代数式，，，，，中，是分式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据分式的定义，即可求解．
【详解】解：分式有，，共3个．
故选：C
【点睛】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握形如（其中均为整式，且分母中必须含有字母，）的式子叫分式是解题的关键．
2．已知，，那么等于（ ）
A．B．abC．a＋bD．a－b
【答案】A
【分析】根据同底数幂的除法法则求解．
【详解】解：，
∵，，
∴原式，
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，解答本题的关键是掌握同底数幂的除法法则．
3．若，则☐表示（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式的化简方法求解即可．
【详解】解：，
∴☐表示，
故选：C．
【点睛】题目主要考查分式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．
4．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝10，则BC＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：∵在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝10，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查30°角所对的直角边等于斜边的一半，掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
5．已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为-4，则b的值为（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
【答案】A
【分析】利用多项式与多项式相乘的法则计算，然后根据常数项为-4列方程求出b即可．
【详解】解：∵，且展开式中不含x的一次项，常数项为−4，
∴2b＝−4，
解得：b＝−2，
故选A．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则．
6．如图，已知△ABC≌△EDF，下列结论正确的是( )
A．∠A＝∠EB．∠B＝∠DFEC．AC＝EDD．BF＝DF
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质对各个选项进行判断即可
【详解】解：∵△ABC≌△EDF，
∴∠A＝∠E，A正确；
∠B＝∠FDE，B错误；
AC＝EF，C错误；
BF＝DC，D错误；
故选A．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键
7．若关于x的不等式组，有且仅有四个整数解，且使关于y的分成方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．−2B．3C．5D．10
【答案】B
【分析】先求出每个不等式的解集，根据不等式组只有四个整数解求出，再解分式方程，根据分式方程有整数解求出是3的整倍数，，据此求解即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴，
∴；
去分母得：，
解得，
∵分式方程有整数解，
∴是3的整倍数，且，即，
∴或0或3，
∴或1或4，
∵，
∴所有满足条件的整数a的值之和是3，
故选B．
【点睛】本题主要考查了根据一元一次不等式组的解集情况求参数，根据分式方程解得情况求参数，熟知解一元一次不等式组和解分式方程的方法是解题的关键．
8．如图，已知直角三角形ABC中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】C
【分析】分三种情况讨论：画出符合题意的图形，从而可得答案.
【详解】解：如图，当时，为等腰三角形，
当时，为等腰三角形，
当时，而
所以是等边三角形，
当时，为等腰三角形，
符合条件的点有6个，
故选C
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，等边三角形的判定，清晰的分类讨论是解本题的关键.
9．如图，中，，D为的中点，，面积为10，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，交于两点M、N，直线上有一动点P，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．10
【答案】B
【分析】根据垂直平分线的性质，得；根据两点之间直线段最短的性质，得最小值等于；再根据等腰三角形三线合一的性质，得AD为的高，从而完成求解．
【详解】连接、AD，如下图：
∵分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，交于两点M、N
∴为AB的垂直平分线
∴
∴
当点A、P、D在一条直线上时，最短，且
∵，D为的中点，
∴
∵，面积为10
∴
∴
∴的最小值为5
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形、两点之间直线段最短、垂直平分线的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一、两点之间直线段最短、垂直平分线的性质，从而完成求解．
10．如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且∠1＝∠2＝22.5°，下列结论正确的有（ ）

①∠1＝∠3；②BD+DH＝AB；③2AH＝BH；④若CD＝，则BH＝3；⑤若DF⊥BE于点F，则AE－DF＝FH．
A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤
【答案】B
【分析】①由直角三角形的性质得出∠1＝∠3，①正确；
②证出△ABD是等腰直角三角形，得出AD＝BD，证明△BDH≌△ADC（ASA），得出DH＝CD，BH＝AC，得出BD＋DH＝AB，②正确；
③由BH＝AC，当AC＝2AH时，2AH＝BH，③错误；
④连接CH，由全等三角形的性质得出DH＝DC＝，得出△CDH是等腰直角三角形，得出CH＝CD＝2，∠CHD＝45°，证出AH＝CH＝2，得出BD＝AD＝2＋，由勾股定理即可得出④错误；
⑤作DK⊥AC于K，则DF＝EK，证明△DFH≌△DKC（AAS），得出FH＝KC，DF＝DK，证出AB＝CB，由等腰三角形的性质得出AE＝CE，即可得出AE−FH＝DF，⑤正确；即可得出结论．
【详解】解：①∵∠1＝∠2＝22.5°，
又∵AD是高，
∴AD⊥BC，
∴∠2＋∠C＝∠3＋∠C，
∴∠1＝∠3，①正确；
②∵∠1＝∠2＝22.5°，
∴∠ABD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD＝BD，
∵AD⊥BC，
∴∠BDH＝∠ADC＝90°，
在△BDH和△ADC中，
∴△BDH≌△ADC（ASA），
∴DH＝CD，BH＝AC，
∵AB＝BC，
∴BD＋DH＝AB，②正确；
③∵BH＝AC，当AC＝2AH时，2AH＝BH，③错误；
④连接CH，如图1所示：

∵△BDH≌△ADC，
∴DH＝DC＝，
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴CH＝CD＝2，∠CHD＝45°，
∵∠3＝∠2＝22.5°，
∴∠HCA＝22.5°＝∠3，
∴AH＝CH＝2，
∴BD＝AD＝2＋，
∴BH2＝BD2＋DH2＝（2＋）2＋（）2≠9，
∴BH≠3，④错误；
⑤作DK⊥AC于K，如图2所示：

则DF＝EK，∠DKC＝90°，∠C＋∠CDK＝∠C＋∠3，
∴∠CDK＝∠3，
∵BE⊥AC，DF⊥BE，
∴DF∥AC，∠DFH＝90°＝∠DKC，
∴∠FDH＝∠CDK，
在△DFH和△DKC中，
，
∴△DFH≌△DKC（AAS），
∴FH＝KC，DF＝DK，
∵∠1＝∠2，BE⊥AC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝CB，
∴AE＝CE，
∵CE＝KC＋EK，DF＝EK，
∴AE＝FH＋DF，
∴AE−FH＝DF，⑤正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．电动汽车产业的兴起大力推进了锂离子电池的发展．已知一个锂离子的半径为0.076nm，数据0.076用科学记数法可表示为 ．
【答案】
【分析】将0.076表示成科学记数法的形式即可
【详解】0.076
故答案为：
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，熟记科学记数法的方法是解题的关键．
12．计算： ．
【答案】1
【分析】先根据同分母的分式加减法进行计算，然后再约分即可．
【详解】解：．
故答案为1．
【点睛】本题主要考查的是分式的加减法，掌握同分母分式加减运算法则和约分成为解答本题的关键．
13．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的腰边长为 cm.．
【答案】5或4
【分析】此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
【详解】解：当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13-5）÷2=4（cm），能够组成三角形；
当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13-5×2=3（cm），能够组成三角形．
故答案为：4或5．
【点睛】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质与三角形的三边关系，解题时要注意分类讨论思想的运用．
14．已知x2﹣4x﹣5＝0，则分式的值是 ．
【答案】2
【详解】解：根据分式的特点，可变形为，
然后整体代入可得.
故答案为2.
15．如图，已知ABC中， ∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，若∠A=50°，则∠D= 度．
【答案】25
【详解】根据三角形的外角的性质可得∠ACE=∠ABC+∠A， ∠DCE=∠DBC+∠D，又因为BD，CD是∠ABC的平分线与∠ACE的平分线，所以∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，所以∠D=∠DCE-∠DBC=（∠ACE-∠ABC）=∠A=25°．
16．如图，在锐角中，AC＝10，，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是
【答案】5
【分析】如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为BE，然后根据垂线段最短可得当时，BE取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】如图，在AC上取一点E，使，连接ME，
是的平分线，
，
在和中，，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为BE，
又由垂线段最短得：当时，BE取得最小值，
，
，
解得，
即的最小值为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时BE的位置是解题关键．
三、解答题：本大题共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分．
17．完成下列各题：
(1)计算：
①
②
(2)因式分解：
①
②
【答案】(1)① ②
(2)① ②
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，多项式的因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）①先计算乘方，再计算乘除，即可求解；②先根据平方差公式，完全平方公式计算，再合并，即可求解；
（2）①先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解；②先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．
【详解】（1）解：①
；
②
；
（2）①
；
②
18．已知：如图，点E、F在上，且，，．求证：．

【答案】见详解
【分析】证明即可作答．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用“”证明三角形全等，是解答本题的关键．
19．先化简： , 再从-1，0，1中选一个你认为合适的数作为a的值代入求值．
【答案】原式＝.
【详解】试题分析：先算除法，再算减法，最后把a=0代入计算即可．
试题解析：
=
=
=，
根据分式的意义可知，a≠±1，
∴当a=0时，原式= =-2．
20．如图，四边形中，，点O为的中点，且平分，，垂足为E．
(1)求证：平分；
(2)若，求四边形的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据角平分线的性质得到，再由点O为的中点，得到，则，由此即可证明结论；
（2）先利用证明，的，同理可证，得到，则四边形的周长．
【详解】（1）证明；∵平分，
∴，
∵点O为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴平分；
（2）解：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∴，
∴四边形的周长．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键．
21．你能化简(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x＋1）吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情形入手：
分别计算下列各式的值：
①(x－1)(x＋1)＝x2－1；
②(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1；
③(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1；…
由此我们可以得到：(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x＋1）＝________________；
请你利用上面的结论，完成下面三题的计算：
⑴299＋298＋297＋…＋2＋1；
⑵(－2)50＋(－2)49＋(－2)48＋…＋(－2)＋1
⑶已知，求的值．
【答案】x100﹣1；（1）2100﹣1；（2） ;（3）1.
【详解】试题分析：根据所给出的式子找出规律，根据规律得出答案；(1)、在式子的前面添加(2－1)，从而根据规律得出答案；(2)、在等式的前面添加×(﹣2﹣1)，然后利用简便方法进行计算得出答案；(3)、根据题意得出（x﹣1）（x3+x2+x+1）=0，即x4﹣1=0，从而求出x的值，然后代入进行计算得出答案．
试题解析：观察所给等式可得（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）=x100﹣1，
(1)、299+298+297+…+2+1=（2﹣1）（299+298+297+…+2+1）=2100﹣1；
(2)、∵原式=×(﹣2﹣1)[+(﹣2)50+(﹣2)49+…+(﹣2)+1]=×[ (﹣2)51﹣1]=，
(3)、∵x3+x2+x+1=0， ∴（x﹣1）（x3+x2+x+1）=0，即x4﹣1=0，
解得：x=1（不合题意，舍去）或x=﹣1，
则x2008=（﹣1）2008=1．
点睛：本题主要考查你对整式的定义、整式的加减、单项式、多项式、同类项等考点的理解以及多项式乘法的简便计算法则、规律的整理与发现，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是根据所给出的几个式子，从而找出多项式乘法的一般性规律，从而根据规律来进行简便计算．
22．六•一前夕，某幼儿园园长到厂家选购、两种品牌的儿童服装，每套品牌服装进价比品牌服装每套进价多元，已知用元购进种服装的数量是用元购进种服装数量的倍．
(1)求、两种品牌服装每套进价分别为多少元？
(2)该服装品牌每套售价为元，品牌每套售价为元，服装店老板决定，购进品牌服装的数量比购进品牌服装的数量的倍还多套，两种服装全部售出后，可使总的获利不少于元，则最少购进品牌的服装多少套？
【答案】(1)、两种品牌服装的进价分别为元和元
(2)最少购进品牌的服装套．
【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，读懂题意，根据已知条件找到等量关系，列出方程，是解答本题的关键．
（1）设品牌服装每套进价为元，根据题意列出方程，解出方程，得到答案．
（2）设购买种品牌服装件，则购买种品牌服装件，根据题意，列出不等式，解不等式，得到答案．
【详解】（1）解：设品牌服装每套进价为元，
则品牌服装每套进价为元，
根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，，
答：、两种品牌服装的进价分别为元和元．
（2）设购买种品牌服装件，则购买种品牌服装件，
根据题意得：
解得：，
取最小值是，
答：最少购进品牌的服装套．
23．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，、、三点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，画出的中线和高线；
(2)在图2中，点是上的一个格点，在边上取一点，使得线段平分的面积；
(3)在图3中，点是线段上的任意一点，在线段上取一点，使得．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征、等腰三角形的性质及轴对称图形的性质是解题的关键．
（1）根据网格线的特征即可得出的中线和高线；
（2） 在上取，交格线为点，连接和，根据网格线的特征即可；
（3）取格点连接，连接交格线于点，连接并延长交于点，证明即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，根据格点知识， ，即为的中线和高线．
（2）解：如图，在上取，交格线为点，连接和，
由格点知识可知， ，，
∴，
又∵，
∴，
∴线段平分的面积．
（3）解：取格点连接，连接交格线于点，连接并延长交于点，
由题意得：垂直平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点即为所求的点．
24．如图所示，直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，且，是轴负半轴上一点，连接．
(1)如图1，若于点，且交于点，求证：；
(2)如图2，在（1）的基础上，连接，求证：；
(3)若，点为的中点，点为轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴上运动的过程中，，，之间有何数量关系？为什么？
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)当M在y轴正半轴上时， ；当M在线段OB上时， ；当M在射线BO的反向延长线上时， ．理由见解析
【分析】（1）根据题意得到，然后再，，依据即可求解；
（2）要证，只需证明平分，只需证到，只需证明即可；
（3）根据题意，分三种情况讨论求解，当在轴正半轴上时， ；当在线段上时， ；当在射线的反向延长线上时， ．
【详解】（1）证明：点，交轴负半轴于点，且，
则．
即，
，
．
在与中，
，
；
（2）证明：过分别作于点，作于点．
在四边形中，，
．
在与中，
，
，
，
，，
平分，
；
（3）解：当在轴正半轴上时， ；当在线段上时， ；当在射线的反向延长线上时， ．
理由如下：
∵，即，
∴，即，
①当在轴正半轴上时，连接，如图所示：
∵，是中点，，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
②当在线段上时，如图所示：
同理可得；
③当在射线的反向延长线上时，如图所示：
同理可得．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形面积等知识，在解决第（3）小题的过程中还用到了等积变换，而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键．