山东省烟台市牟平区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（五四学制）

这是一份山东省烟台市牟平区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（五四学制），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列投影一定不会改变的形状和大小的是( )
A. 中心投影B. 平行投影
C. 正投影D. 当平行投影面时的平行投影
2.如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4.小明和小凡玩“石头，剪刀，布”游戏，游戏规则：若两人出不同的手势，剪刀胜布；石头胜剪刀；布胜石头.若两人出相同的手势，则两人平局.下列命题中错误的是( )
A. 小明不是胜就是负，所以小明胜的概率为
B. 小明胜或小凡胜的概率相等
C. 两人出相同手势的概率为
D. 小凡胜的概率和两人出相同手势的概率一样
5.已知二次函数和一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
6.现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶4千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东方向，那么B，C两地的距离为( )
A. 千米
B. 千米
C. 千米
D. 5千米
7.以正方形边长为直径作半圆，部分区域加上阴影后形成如图所示的图形，若将飞镖随机投掷到正方形镖盘面上，则飞镖落在阴影区域的概率是( )
A.
B.
C.
D.
8.在如图，中，，，的面积为6，AO与x轴负半轴的夹角为，双曲线经过点A，则k的值为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，是等边的外接圆，点D是弧AC上一动点不与A，C重合，下列结论：①；②；③当DB最长时，；④，其中一定正确的结论有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10.已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若，是抛物线上的两点，则有；④对于任意实数m，关于x的方程有两个不相等的实数根.以上说法正确的是( )
A. ①②③B. ②③④C. ②④D. ②③
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.从线段、等边三角形、平行四边形、圆、双曲线、抛物线中随机抽取两个不放回，得到的图形都是中心对称图形的概率是______.
12.如图，网格中小正方形的边长均为a，点A，B、C都在格点小正方形的顶点上，D是CA延长线上一点，则的值是______.
13.如图，反比例函数的图象与的两边AB、BC分别交于点、，已知轴，点A在y轴上，点C在x轴上，F为BC的中点，则______.
14.已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为______.
15.如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为______.
16.如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.点P的运动路线为，点Q的运动路线为设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为______厘米.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题6分
某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图，已测出树AB的影长AC为12米，并测出此太阳光线与地面成夹角．
求出树高AB；
因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线于地面夹角保持不变用图解答
①求树与地面成角时的影长；
②求树的最大影长．
18.本小题6分
如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点.与反比例函数在第一象限的图象相交于点
求反比例函数的表达式；
若点D在AB上，且点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点连接求的面积.
19.本小题8分
一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于左右.
请你估计箱子里白色小球的个数；
现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率用画树状图或列表的方法
20.本小题8分
如图，四边形ABCD中，，，，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作，交BD于点
试判断CD与的位置关系，并说明理由；
若，，求图中阴影部分的面积.
21.本小题10分
我省某通信公司准备逐步在浮山上建设5G基站.如图，某处斜坡CB的坡度或坡比为：，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为，在D处测得塔顶A的仰角为，斜坡路段CD长26米.
求点D到水平地面CQ的距离.
求通讯塔AB的高度参考数据：，，
22.本小题10分
超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元.
求苹果的进价；
如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出元与购进数量千克之间的函数关系式；
超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价元/千克与一天销售数量千克的关系为在的条件下，要使超市销售苹果利润元最大，求一天购进苹果数量利润=销售收入-购进支出
23.本小题10分
如图，在中，，点D是AB边的中点，点O在AC边上，经过点C且与AB边相切于点E，
求证：AF是的切线；
若，，求的半径及OD的长．
24.本小题14分
如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点其中，，，D是第一象限抛物线上一点，连接DC，交BC于点E，点D的横坐标为
求抛物线的函数关系式；
求线段DE长度的最大值；
是否存在m的值，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：一定不会改变的形状和大小的是当平行投影面时的平行投影，
故选：
根据正投影、平行投影、中心投影的定义即可得答案．
此题主要考查了投影，关键是掌握中心投影、平行投影、正投影的区别．
2.【答案】C
【解析】解：从左边看外边是一个矩形，矩形中间有一条纵向的虚线，
故选：
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到的线用虚线表示．
3.【答案】A
【解析】解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是：
故选：
简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果．
本题主要考查了计算器-三角函数，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握，会根据按键顺序列出所要计算的式子．借助计算器这样的工具做题既锻炼了学生动手能力，又提高了学生学习的兴趣．
4.【答案】A
【解析】解：画树状图为：用A、B、C分别表示石头，剪刀，布
共有9种等可能的结果，小明胜的概率，小凡胜的概率，两人平局的概率，
所以A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意．
故选：
用A、B、C分别表示石头，剪刀，布，画树状图展示所有9种等可能的结果，再计算出小明胜的概率，小凡胜的概率，两人平局的概率，然后对各选项进行判断．
本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．也考查列表法与树状图法．
5.【答案】D
【解析】解：由图象可得，
二次函数的二次项系数，
一次函数中的，，
函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，
故选：
根据题干中的函数图象，可知，，，然后即可得到函数的图象的开口方向，对称轴所在的位置和与y轴的交点位置，从而可以判断哪个选项符合题意．
本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，判断a、b、c的符号，利用一次函数和二次函数的性质解答．
6.【答案】A
【解析】解：如图所示，过点B作于D，
由题意得，，，
，
，
，
，，
千米，，
千米，
千米，
故选：
图所示，过点B作于D，由题意得，，，利用三角形内角和定理求出，再求出，，得到千米，，利用勾股定理求出千米，即可利用勾股定理求出BC的长．
本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的计算，方位角的表示，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：如图，连接AC，BD交于点O，
正方形被均分成4等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中阴影区域的面积占了其中的2等份，
故选：
根据正方形被均分成4等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，由此计算出阴影区域的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
8.【答案】B
【解析】解：如图，过点A作轴于点C，
在中，，，
，
设，则，，
由题意可知，，
，，
∽，
，即，
，
，
故选：
过点A作轴于点C，易得，设，利用含角的直角三角形的性质可得，，易证∽，利用相似三角形的性质可得，进而求得，再利用反比例函数系数k的几何意义即可求解．
本题主要考查含角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、反比例函数系数k的几何意义，利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方求出是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：是等边三角形，
，
，，
，故①正确；
点D是弧AC上一动点，
与不一定相等，
与DC不一定相等，故②错误；
当DB最长时，DB为直径，
，
，
，
，故③正确；
在DB上取一点E，使，连接AE，如图：
，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
≌，
，
，故④正确；
正确的有①③④，共3个，
故选：
由是等边三角形，及同弧所对圆周角相等可得，即可判断①正确；由点D是弧AC上一动点，可判断②错误；根据DB最长时，DB为直径，可判定③正确；在DB上取一点E，使，连接AE，可得是等边三角形，从而≌，有，可判断④正确．
本题考查等边三角形及外接圆，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
10.【答案】C
【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
，
，故①错误；
抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，
抛物线与x轴的另一个交点为，
当时，，
，故②正确；
抛物线开口向下，
离对称轴越近的点，函数值越大，
，
，故③错误；
，
，
，，
，
，
，
，
关于x的方程有两个不相等的实数根，故④正确．
说法正确的有②④．
故选：
利用抛物线的开口方向、对称轴的位置、抛物线与y轴交点的位置即可判断a，b，c的符号；根据抛物线的对称轴和与x轴的一个交点坐标可算出另一个交点的坐标为，则当时，根据函数图象即可判断；利用二次函数的性质即可判断，的大小关系；把整理成一元二次方程的一般形式，利用判别式即可判断．
本题主要考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特征．二次函数，①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；还可以决定开口大小，越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时即，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时即，对称轴在y轴右侧．简称：左同右异③常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于④抛物线与x轴交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
11.【答案】
【解析】解：6种图形中，属于中心对称图形的有：线段、平行四边形、圆、双曲线，
将线段、等边三角形、平行四边形、圆、双曲线、抛物线分别记作A，B，C，D，E，F，
画树状图如图：
共有30个等可能的结果，得到的图形都是中心对称图形的结果有12个，
得到的图形都是中心对称图形的概率为，
故答案为：
由题意得6种图形中，属于中心对称图形的有：线段、平行四边形、圆、双曲线，画树状图，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及中心对称图形．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12.【答案】1
【解析】解：连接AM，
由勾股定理得：，
，，
：：，AB：：：，
：：BC，
，
∽，
，
，
，
，
故答案为：
连接AM，由勾股定理得：，而，，求出BM：：，AB：：：，得到BM：：BC，又，即可证明∽，得到，由三角形外角的性质求出，即可得到
本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是由∽，推出由三角形外角的性质求出
13.【答案】10
【解析】【分析】
此题主要考查了反比例函数的解析式求法，三角形的中位线定理有关知识，过点F作轴于G，过点B作轴于H，先证FG为的中位线，则，从而得点E的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，然后再把点F的坐标代入反比例函数的解析式可求出n，据此可得出此题的答案．
【解答】
解：过点F作轴于G，过点B作轴于H，
点F的坐标为，
，
轴，轴，
，
又点F为BC的中点，
为的中位线，
，
轴，
点E的纵坐标为4，
即：点E的坐标为，
，
将点代入，得：，
反比例函数的解析式为：，
将点代入，得：，
14.【答案】
【解析】【分析】
先利用三视图得到底面圆的半径为3，圆锥的高为4，再根据勾股定理计算出母线长l为5，然后根据圆锥的侧面积公式：代入计算即可．
本题考查了圆锥的计算，连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．掌握圆锥的侧面积公式：是解题的关键．也考查了三视图．
【解答】
解：根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为6，即底面圆的半径r为3，圆锥的高为4，
所以圆锥的母线长，
所以这个圆锥的侧面积是，
故答案为：
15.【答案】12
【解析】解：连接OP，
，
，
，
，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交于点，当点P位于位置时，取得最小值，
过点M作轴于点Q，
圆心M的坐标为，
，，
，
又，
，
，
故答案是：
连接OP，由中知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交于点，当点P位于位置时，取得最小值，据此求解可得．
本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，得出AB取得最小值时点P的位置．
16.【答案】
【解析】解：由图分析易知：当点P从运动时，点Q从运动时，y不断增大，
当点P运动到A点，点Q运动到C点时，由图象知此时，
，
四边形ABCD为菱形，
，，
当点P运动到D点，Q运动到B点，结合图象，易知此时，，
，
在中，，
，
如图，过点O作AD的垂线，交AD于E，交BC于F，
当点P在段上运动，点P运动到点E处，点Q在段上运动，点Q运动到点F处时，P、Q两点的最短，
此时，，
，
当点P在段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为：
故答案为：
本题考查动点问题的函数图象以及菱形的基本性质和特征，能结合动点的函数图象分析出菱形的两条对角线长，结合图象找到当点P在段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q的位置关系是解题的关键．
结合图象当点P运动到A点，点Q运动到C点时，即，同理求出，利用菱形性质即可求出，过点O作AD的垂线，交AD于E，交BC于F，当点P在段上运动，点P运动到点E处，点Q在段上运动，点Q运动到点F处时，P、Q两点的最短，求出此时P、Q两点的运动路程之和即可．
17.【答案】解：米
答：树高约为米．
作于
①如图，米
米
米
答：树与地面成角时的影长约为米．
②如图，当树与地面成角时影长最大或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB的相切时影长最大
答：树的最大影长约为14米．
【解析】在直角中，已知，米．利用三角函数即可求得AB的长；
①在中，已知的长，即AB的长，，过作的垂线，在直角中根据三角函数求得AN，BN；再在直角中，根据三角函数求得的长．即可求解；
②当树与地面成角时影长最大，根据三角函数即可求解．
一般三角形的计算可以通过作高线转化为直角三角形的问题．
18.【答案】解：将代入得，
点坐标为，
点A在反比例函数的图象上，
反比例函数的表达式为：；
点D的横坐标为4，
将代入一次函数得，
点D的坐标为，
点坐标为，
，

【解析】将A点坐标代入函数表达式，可得，代入反比例函数解析式求出k值即可；
先把D点代入直线表达式求出点D坐标，进而根据DE两点横坐标一直代入反比例函数表达式求出E点坐标，根据可求出答案．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
19.【答案】解：通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，
估计摸到红球的概率为，
设白球有x个，
根据题意，得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
估计箱子里白色小球的个数为1；
画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，
两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为
【解析】设白球有x个，根据多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右可估计摸到红球的概率为，据此利用概率公式列出关于x的方程，解之即可；
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
20.【答案】解：过点B作，垂足为F，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，则点F在圆B上，
与相切；
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积

【解析】过点B作，证明≌，得到，即可证明CD与圆B相切；
先证明是等边三角形，根据三线合一得到，求出AD，再利用求出阴影部分面积．
本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确作出辅助线．
21.【答案】解：过点D作，垂足为F，
斜坡CB的坡度或坡比为：，
，
设米，则米，
在中，米，
，
，
解得：或舍去，
米，米，
点D到水平地面CQ的距离为10米；
延长AB交CQ于点E，过点D作，垂足为H，
由题意得：米，，
设米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
在中，，
，
，
，
解得：，
米，米，
斜坡CB的坡度或坡比为：，
，
米，
米，
通讯塔AB的高度约为米．
【解析】过点D作，垂足为F，根据已知可得，从而设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
延长AB交CQ于点E，过点D作，垂足为H，根据题意得：米，设米，则米，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得AH的长，从而可求出米，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而列出关于x的方程，进行计算可求出DH，AH的长，最后再根据斜坡CB的坡度求出BH的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：设苹果的进价为x元/千克，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的根，且符合题意，
答：苹果的进价为10元/千克．
解：当时，；
当时，；
解：当时，
，
当时，w有最大值为100；
当时，
，
当时，w有最大值为200；
，
一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大为200元．
答：一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大．
【解析】设苹果的进价为x元/千克，根据题意列出方式方程，解出即可得出结果；
根据自变量的不同取值范围：和，得出两个函数关系式即可；
根据自变量的不同取值范围：和，得出两个二次函数关系式，分别求出最大值比较后即可得出结果．
本题考查了分式方程的应用，一次函数及二次函数的应用，能够正确地根据自变量不同的取值范围，列出不同的函数关系式是解决本题的关键．
23.【答案】证明：如图，作，垂足为H，连接OE，
，D是AB的中点，
，
，
，
又，
，
即AC是的平分线，
点O在AC上，与AB相切于点E，
，且OE是的半径，
，OH是的半径，
是的切线；
解：如图，在中，，，，
可设，，
，
，
则，，
设的半径为r，则，
∽，
，
即，
，
，
又，
，
在中，由勾股定理得：
【解析】作，垂足为H，连接OE，利用直角三角形斜边上中线的性质得，再通过导角得出AC是的平分线，再利用角平分线的性质可得，从而证明结论；
根据，，可得，，设的半径为r，则，利用∽，可得r的值，再利用勾股定理求出OD的长．
本题主要考查了圆的切线的性质和判定，直角三角形的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：，
，
，
∽，
，
，，
，，，
，
，
把，，代入线得：
，
解得，
抛物线的函数关系式为；
由，得直线BC函数关系式为，
点D的横坐标为m，
，，
，
，
当时，DE取最大值4，
线段DE长度的最大值为4；
存在m的值，使是等腰三角形，理由如下：
延长DE交OB于G，如图：
点D的坐标为，点E的坐标为，
点G的坐标为，
则，，
，，
，
，
，即，
；
①若，则，
解得舍去或，
②当时，如图，过点C作于点H，
，
，
，
解得：或舍去；
③当时，如图，过点D作于点K，
则，
，，
，
，
即，
，
解得：或舍去，
综上所述，满足条件的m的值为或4或
【解析】证明∽，可得，故，再用待定系数法可得抛物线的函数关系式为；
由，得直线BC函数关系式为，求出，，知，即可得线段DE长度的最大值为4；
延长DE交OB于G，可得，，由，得，；分三种情况：①若，则，可得舍去或，②当时，过点C作于点H，可得，即得，解得：或舍去；③当时，过点D作于点K，则，由，，知，故，即，解得：或舍去
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．