2023-2024学年山东省烟台市莱州市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省烟台市莱州市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，将三棱柱的一个角切割掉，所得几何体的左视图为（ ）
A．B．C．D．
2．若sin（α+20°）＝cs50°，则α的度数是（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
3．若A（2，4）与B（﹣2，a）都是反比例函数y＝（k≠0）图象上的点，则a的值是（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
4．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC＝5，∠BAC＝∠D．则AB的长为（ ）
A．5B．10C．5D．10
5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（﹣2，﹣1），且图象与y轴交于点（0，﹣9）．将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转180°，则旋转后得到的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣2（x+2）2﹣1B．y＝﹣2（x+2）2+1
C．y＝2（x﹣2）2+1D．y＝2（x﹣2）2﹣1
6．如图，是某斜坡横断面示意图，为了防止水土流失，将原来的斜坡AC改造成斜坡AB，过点A作水平面的垂线AD，设斜坡AC的坡度为iAC，坡角为∠ACD，斜坡AB的坡度为iAB，坡角为∠ABD，若iAC＝2iAB，则下列结论正确的是（ ）
A．坡度的单位是度B．∠ACD＝2∠ABD
C．iAC＝D．BD＝2CD
7．如图，六个直角边长均为1和的直角三角形围成两个正六边形，若向该图形内随意投掷一个点，则该点落在小正六边形内部的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知圆锥的母线与高的夹角为30°，则圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为（ ）
A．90°B．120°C．180°D．210°
9．⊙O的半径为1，直线l与⊙O相离，点P是直线l上一动点，过点P作⊙O的一条切线PA（其中点A是切点），圆心O到直线l的距离为3，则PA的最小值是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1＝0；④方程ax2+bx+c＝c有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（本题共6个小题）
11．写出一个经过原点、开口向上且对称轴是直线x＝3的抛物线的解析式： ．
12．如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为 m．
13．5G技术大大促进了农业的发展，某5G智慧农业试验区内，一台无人机正在进行规模化自助施药作业．如图，已知无人机的飞行速度为3m/s，在地面的A点测得B处无人机的仰角为45°，经过4s后，无人机水平飞行至C处，此时在A点测得C处无人机的仰角为30°，则无人机的飞行高度为 m（结果保留根号）．
14．如图所示，点B的坐标是（0，），⊙B与x轴相切于点O，交y轴于点C，双曲线y＝（x＞0）与⊙O的一个交点为A，连接OA，若OA＝，则k＝ ．
15．如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为 ．
16．等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，点O1、O2分别是△ABC的内心和外心，则O1O2＝ ．
三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤）
17．计算：sin30°﹣|﹣tan60°|+（2024﹣π）0﹣2﹣1﹣．
18．我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
19．（1）尺规作图：已知⊙O及圆外一点P，过点P作圆的两条切线PA，PB，切点分别是点A、点B；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD，∠ADB＝70°，求∠APB 的度数．
20．如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a），在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点C坐标为（﹣2，0）．
（1）求k的值；
（2）求AB所在直线的解析式．
21．某广场的旗杆AB旁边有一个半圆的时钟模型，如图所示，时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合，半圆的半径2米，旗杆的底端A到钟面9点刻度C的距离为5米，一天李华同学观察到阳光下旗杆顶端B的影子刚好投到时钟的11点的刻度上，同时测得一米长的标杆的影长1.6米，
（1）计算时钟的9点转到11点时的旋转角是多少度？
（2）求旗杆AB的高度．（精确到0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）
22．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）如果该文具的销售单价高于进价且不超过30元，请你计算最大利润．
23．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC．E为BC的中点，BD平分∠ABC交AE于D．经过B，D两点的⊙O交BC于点G．交AB于点F．FB恰为⊙O的直径．
（1）求证：AE与⊙O相切．
（2）当AC＝10，csC＝时，求⊙O的半径．
24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使PA+PC的值最小，此时P的坐标为 ；
（3）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点C、点B重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
参考答案
一、选择题（本题共10个小题，下列每小题均给出四个备选答案，其中只有一个是正确的）。
1．如图，将三棱柱的一个角切割掉，所得几何体的左视图为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
解：从左边看，可得选项B的图形．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
2．若sin（α+20°）＝cs50°，则α的度数是（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
【分析】互余两角三角函数的关系即可得出答案．
解：∵sin（α+20°）＝cs50°，
∴α+20°+50°＝90°，
∴α＝20°．
故选：D．
【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cs（90°﹣∠A）；②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即csA＝sin（90°﹣∠A）；也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝csB或sinB＝csA．
3．若A（2，4）与B（﹣2，a）都是反比例函数y＝（k≠0）图象上的点，则a的值是（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
【分析】反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k，据此可得a的值．
解：∵A（2，4）与B（﹣2，a）都是反比例函数y＝（k≠0）图象上的点，
∴k＝2×4＝﹣2a，
∴a＝﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数y＝（k≠0）图象上的点的横纵坐标的积等于定值k是解答此题的关键．
4．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC＝5，∠BAC＝∠D．则AB的长为（ ）
A．5B．10C．5D．10
【分析】根据圆周角定理得出∠D＝∠B，进而得出△ABC是等腰直角三角形，进而解答即可．
解：∵AC＝AC，
∴∠D＝∠B，
∵∠BAC＝∠D，
∴∠B＝∠BAC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AB是直径，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AC＝5，
∴AB＝5，
故选：C．
【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理得出∠D＝∠B解答．
5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（﹣2，﹣1），且图象与y轴交于点（0，﹣9）．将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转180°，则旋转后得到的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣2（x+2）2﹣1B．y＝﹣2（x+2）2+1
C．y＝2（x﹣2）2+1D．y＝2（x﹣2）2﹣1
【分析】将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°后，顶点为（2，1），与y轴交于点（0，9），据此可得出所求的结论．
解：将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，顶点为（2，1），与y轴交于点（0，9），
∴y＝a（x﹣2）2+1，
把（0，9）代入得，9＝4a+1，
∴a＝2，
∴旋转后得到的函数解析式为y＝2（x﹣2）2+1，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，在绕抛物线顶点旋转过程中，求得二次函数的顶点坐标和与y轴的交点是解题的关键．
6．如图，是某斜坡横断面示意图，为了防止水土流失，将原来的斜坡AC改造成斜坡AB，过点A作水平面的垂线AD，设斜坡AC的坡度为iAC，坡角为∠ACD，斜坡AB的坡度为iAB，坡角为∠ABD，若iAC＝2iAB，则下列结论正确的是（ ）
A．坡度的单位是度B．∠ACD＝2∠ABD
C．iAC＝D．BD＝2CD
【分析】根据坡度的概念判断即可．
解：A、∵坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，
∴坡度没有单位，故本选项结论错误，不符合题意；
B、由题意可知tan∠ACD＝2tan∠ABD，
而∠ACD≠2∠ABD，故本选项结论错误，不符合题意；
C、iAC＝，故本选项结论错误，不符合题意；
D、∵iAC＝2iAB，
∴＝2×，
∴BD＝2CD，本选项结论正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
7．如图，六个直角边长均为1和的直角三角形围成两个正六边形，若向该图形内随意投掷一个点，则该点落在小正六边形内部的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先确定直角三角形斜边长为2，则小正六边形的边长为1，由于正六边形可以化为6个等边三角形，所以小正六边形的面积＝6××12＝，接着计算出大正六边形的面积，然后小正六边形的面积除以大正六边形的面积即可．
解：∵直角三角形的直角边边长均为1和，
∴直角三角形斜边长为2，
∴小正六边形的边长为2﹣1＝1，
∴小正六边形的面积＝6××12＝，
∴大正六边形的面积＝6××1×+＝，
∴该点落在小正六边形内部的概率＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了几何概率：某事件的概率＝这个事件所占的面积与总面积之比．熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．
8．如图，已知圆锥的母线与高的夹角为30°，则圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为（ ）
A．90°B．120°C．180°D．210°
【分析】设圆锥底面圆的半径OB＝r，求出圆锥的底面圆的周长为2πr，关键含30°角的直角三角形的性质求出BC＝2r，设展开后扇形的圆心角的度数为n°，根据弧长公式得出＝2πr，求出n即可．
解：设圆锥底面圆的半径OB＝r，则圆锥的底面圆的周长为2πr，
∵∠COB＝90°，∠OCB＝30°，
∴BC＝2OB＝2r，
设展开后扇形的圆心角的度数为n°，
则＝2πr，
解得：n＝180，
即圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为180°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算，弧长公式和直角三角形性质等知识点，能根据弧长公式得出＝2πr是解此题的关键．
9．⊙O的半径为1，直线l与⊙O相离，点P是直线l上一动点，过点P作⊙O的一条切线PA（其中点A是切点），圆心O到直线l的距离为3，则PA的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接OA，由切线的性质得到∠OAP＝90°，由勾股定理得到PA＝＝，因此当PO⊥l时，PA最小，由圆心O到直线l的距离为3，得到PO的最小值是3，即可求出PA的最小值是2．
解：连接OA，
∵PA切圆于A，
∴半径OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∵圆的半径OA＝1，
∴PA＝＝，
∴当PO最小时，PA最小，当PO⊥l时，PO最小，
∵圆心O到直线l的距离为3，
∴PO的最小值是3，
∴PA＝＝2，
∴PA的最小值是2．
故选：B．
【点评】本题考查切线的性质，垂线段最短，关键是由勾股定理得到PA＝＝，由此得到当PO⊥l时，PA最小．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1＝0；④方程ax2+bx+c＝c有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】通过抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与x轴交点位置可判断①，由抛物线顶点在x轴上方可判断＞0，从而判断②，由OA＝OC可得点A坐标为（﹣c，0），进而判断③，抛物线与直线y＝c有两个交点可判断④．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在x轴右侧，
∴a，b异号，即b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正确，符合题意．
∵抛物线顶点纵坐标大于0，
∴＞0，即＜0，②错误，不符合题意．
∵抛物线与x轴有2个交点，
把x＝0代入y＝ax2+bx+c得y＝c，
∴点C坐标为（0，c），OC＝c，
∵OA＝OC，
∴点A坐标为（﹣c，0），
∴ac2﹣bc+c＝0，
∴ac﹣b+1＝0，③正确，符合题意．
由图象可知，抛物线与直线y＝c有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝c有两个不相等的实数根，④正确，符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数图象的性质，掌握二次函数与方程的关系．
二、填空题（本题共6个小题）
11．写出一个经过原点、开口向上且对称轴是直线x＝3的抛物线的解析式： y＝x2﹣6x（答案不唯一） ．
【分析】经过原点则c＝0，开口向上则a为正，据此写出一个对称轴是直线x＝3的抛物线的解析式即可．
解：经过原点、开口向上且对称轴是直线x＝3的抛物线的解析式可以是y＝（x﹣3）2﹣9＝x2﹣6x；
故答案为：y＝x2﹣6x（答案不唯一）．
【点评】本题考查求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的性质．
12．如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为 m．
【分析】利用中心投影的特点得到AB∥OP，则可判断△ABC∽△OPC，然后利用相似比求OP的长．
解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴＝，即＝，
∴OP＝（m）．
故答案为．
【点评】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．也考查了相似三角形的判定与性质．
13．5G技术大大促进了农业的发展，某5G智慧农业试验区内，一台无人机正在进行规模化自助施药作业．如图，已知无人机的飞行速度为3m/s，在地面的A点测得B处无人机的仰角为45°，经过4s后，无人机水平飞行至C处，此时在A点测得C处无人机的仰角为30°，则无人机的飞行高度为 （6﹣6） m（结果保留根号）．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D．由题意可得BC＝4×3＝12（m），∠DBA＝45°，∠ACD＝30°，在Rt△ABD中，设AD＝x m，则BD＝x m，CD＝（12﹣x）m，在Rt△ACD中，tan30°＝，解方程即可．
解：过点A作AD⊥BC于点D．
由题意可得BC＝4×3＝12（m），∠DBA＝45°，∠ACD＝30°，
在Rt△ABD中，设AD＝x m，则BD＝x m，
∴CD＝（12﹣x）m，
在Rt△ACD中，
tan30°＝，
解得AD＝6﹣6．
∴无人机的飞行高度为（6﹣6）m．
故答案为：（6﹣6）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
14．如图所示，点B的坐标是（0，），⊙B与x轴相切于点O，交y轴于点C，双曲线y＝（x＞0）与⊙O的一个交点为A，连接OA，若OA＝，则k＝ 2 ．
【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥OA于E，根据垂径定理得出OE＝AE＝＝，利用勾股定理求得BE，然后通过证得△BOE∽△OAD，求得OD和AD的长度，即可求得点A的坐标，代入y＝（x＞0）即可求得k的值．
解：作AD⊥x轴于D，BE⊥OA于E，
∴OE＝AE＝＝，
∵点B的坐标是（0，），⊙B与x轴相切于点O，
∴OB＝，BO⊥OD，
∴BE＝＝＝，
∵∠AOD+∠BOE＝90°＝∠AOD+∠OAD，
∴∠BOE＝∠OAD，
∵∠BEO＝∠ADO＝90°，
∴△BOE∽△OAD，
∴，
∴，
∴OD＝2，AD＝1，
∴A（2，1），
∵双曲线y＝（x＞0）与⊙O的一个交点为A，
∴1＝，
∴k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，切线的性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，求得点A的坐标是解题的关键．
15．如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为 π﹣2 ．
【分析】根据勾股定理分别求出OC、OD，根据勾股定理的逆定理得到∠COD＝90°，根据弧长公式计算，得到答案．
解：由勾股定理得，，
则OC2+OD2＝CD2，
∴∠COD＝90°，
∵四边形OACB是正方形，
∴∠COB＝45°，
∴，，，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形面积公式，求出对应的圆心角和半径是解题的关键．
16．等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，点O1、O2分别是△ABC的内心和外心，则O1O2＝ ．
【分析】连接O2B，如图，设△ABC的内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，利用等腰三角形的性质得到BD＝CD＝BC＝3，∠ADB＝90°，AD平分∠BAC，则根据三角形外心与内心的定义可判断点O1、O2在AD上，
再利用勾股定理计算出AD＝4，由于O2A＝O2B＝R，则O2D＝4﹣R，所以利用勾股定理得到（4﹣R）2+32＝R2，解方程得R＝，则O2D＝，接着利用三角形内心的性质得到点O1到△ABC各边的距离都等于r，利用三角形面积公式得到S△ABC＝（AB+BC+AC）r＝8r，而S△ABC＝12，则8r＝12，解得r＝，即O1D＝，然后计算O1D﹣O2D即可．
解：连接O2B，如图，设△ABC的内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，
∵AB＝AC＝5，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC＝3，∠ADB＝90°，AD平分∠BAC，
∴点O1、O2在AD上，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝4，
∵点O2分别是△ABC的外心，
∴O2A＝O2B＝R，
∴O2D＝4﹣R，
在Rt△BDO2中，（4﹣R）2+32＝R2，
解得R＝，
∴O2D＝4﹣＝，
∵点O1是△ABC的内心，
∴点O1到△ABC各边的距离都等于r，
∴S△ABC＝（AB+BC+AC）r＝×（5+6+5）r＝8r，
∵S△ABC＝BC•AD＝×6×4＝12，
∴8r＝12，
解得r＝，
即O1D＝，
∴O1O2＝O1D﹣O2D＝﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形外接圆与外心、等腰三角形的性质和三角形的面积．
三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤）
17．计算：sin30°﹣|﹣tan60°|+（2024﹣π）0﹣2﹣1﹣．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
解：sin30°﹣|﹣tan60°|+（2024﹣π）0﹣2﹣1﹣
＝﹣+1﹣﹣
＝﹣+1﹣﹣（1﹣）
＝﹣+1﹣﹣1+
＝﹣．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）参加比赛的学生人数共有 20 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 72 度，图中m的值为 40 ；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，用360°乘以D等级对应比例可得其圆心角度数，根据百分比的概念可得m的值；
（2）求出等级B的人数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】（1）解：根据题意得：总人数为：3÷15%＝20（人），
表示“D等级”的扇形的圆心角为；
C等级所占的百分比为，
所以m＝40，
故答案为：20，72，40．
（2）解：等级B的人数为20﹣（3+8+4）＝5（人），
补全统计图，如图所示：
（3）解：根据题意，列出表格，如下：
共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，
所以恰是一男一女的概率为．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图以及列表法与树状图法，弄清题意，从条形图和扇形图得到解题所需数据是解本题的关键．
19．（1）尺规作图：已知⊙O及圆外一点P，过点P作圆的两条切线PA，PB，切点分别是点A、点B；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD，∠ADB＝70°，求∠APB 的度数．
【分析】（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点M，再以点M为圆心，PM的长为半径画圆，分别交⊙O于点A，B，连接PA，PB即可．
（2）连接OA，OB，由切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP＝∠OBP＝90°，由圆周角定理得到∠AOB＝2∠ACD＝140°，根据四边形内角和为360°即可得的答案．
解：（1）如图，连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点M，
再以点M为圆心，PM的长为半径画圆，分别交⊙O于点A，B，连接PA，PB．
由圆周角定理可得，∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴PA，PB为⊙O的切线．
则PA，PB即为所求；
（2）连接OB，
∵PA，PB为⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠ADB＝70°，
∴∠AOB＝2∠ACD＝140°，
∴∠APB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠AOB＝40°．
【点评】本题考查作图—复杂作图、圆周角定理、切线的判定与性质，熟练掌握圆周角定理、切线的判定与性质是解答本题的关键．
20．如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a），在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点C坐标为（﹣2，0）．
（1）求k的值；
（2）求AB所在直线的解析式．
【分析】（1）先求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值；
（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，通过证得△BCE≌△CAD，求得B（﹣3，3），然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式．
解：（1）∵正比例函数y＝x的图象经过点A（1，a），
∴a＝1，
∴A（1，1），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝1×1＝1；
（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，
∵A（1，1），C（﹣2，0），
∴AD＝1，CD＝3，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△BCE和△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD（AAS），
∴CE＝AD＝1，BE＝CD＝3，
∴B（﹣3，3），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣+．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，求得B的坐标是解题的关键．
21．某广场的旗杆AB旁边有一个半圆的时钟模型，如图所示，时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合，半圆的半径2米，旗杆的底端A到钟面9点刻度C的距离为5米，一天李华同学观察到阳光下旗杆顶端B的影子刚好投到时钟的11点的刻度上，同时测得一米长的标杆的影长1.6米，
（1）计算时钟的9点转到11点时的旋转角是多少度？
（2）求旗杆AB的高度．（精确到0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）
【分析】（1）根据钟表的一个大格是30°，从9点转到11点时针转过2个大格，列式计算即可得解．
（2）过点D作DE⊥AC于E，作DF⊥AB于F，设半圆圆心为O，连接OD，解直角三角形求出DE，OE，然后求出DF，再根据同时同地的物高与影长成比例列式求出DF，然后根据AB＝AF+DE计算即可得解．
解：（1）从时钟的9点转到11点时时针转过2个大格，
所以，2×30°＝60°；
（2）如图，过点D作DE⊥AC于E，作DF⊥AB于F，设半圆圆心为O，连接OD，
∵点D在11点的刻度上，
∴∠COD＝60°，
∴DE＝OD•sin60°＝2×＝，
OE＝OD•cs60°＝2×＝1，
∴CE＝2﹣1＝1，
∴DF＝AE＝5+1＝6，
∵同时测得一米长的标杆的影长1.6米，
∴＝，
∴BF＝＝，
∴AB＝BF+DE＝（+）≈5.5（米）．
答：旗杆AB的高度约为5.5米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形，作辅助线构造出直角三角形和矩形是解题的关键．
22．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）如果该文具的销售单价高于进价且不超过30元，请你计算最大利润．
【分析】（1）根据利润＝（单价﹣进价）×销售量，列出函数关系式即可；
（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；
（3）利用二次函数增减性直接求出最值即可．
解：（1）由题意得，销售量＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500，
则w＝（x﹣20）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+700x﹣10000；
（2）w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x＝35时，wmax＝2250，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
（3）20＜x≤30，对称轴左侧w随x的增大而增大，
故当x＝30时，w有最大值，此时w＝2000．
【点评】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝﹣时取得．
23．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC．E为BC的中点，BD平分∠ABC交AE于D．经过B，D两点的⊙O交BC于点G．交AB于点F．FB恰为⊙O的直径．
（1）求证：AE与⊙O相切．
（2）当AC＝10，csC＝时，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，可得∠ODB＝∠OBD＝∠DBE，进而推出OD∥BE，由平行线的性质得到∠ADO＝∠AEB，由等腰三角形的性质得到AE⊥BC，得到∠AMO＝∠AEB＝90°，由圆的切线的判定即可证得结论；
（2）首先证得△AOD∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠OBD＝∠OMB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠EBD，
∴∠ODB＝∠EBD，
∴OD∥BE，
∴∠ADO＝∠AEB，
在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC，
∴∠ADO＝∠AEB＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴AE与⊙O相切；
（2）解：在△ABC中，AB＝AC＝10，E为BC的中点，
∴BE＝BC，
∴在Rt△ABE中，csC＝＝＝，
∴BE＝6，
设⊙O的半径为r，则AO＝10﹣r，
∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABE，
∴＝，
即＝，
∴r＝，
即⊙O的半径为．
【点评】本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线进行证明．
24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使PA+PC的值最小，此时P的坐标为 （2，3） ；
（3）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点C、点B重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，则BC交抛物线对称轴于点P，点P为所求点，即可求解；
（3）当直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分时，即EF＝或DF，即可求解；
（4）当BC是斜边时，由勾股定理列出等式，即可求解；当MB或MC为斜边时，同理可解．
解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x2﹣4x﹣5），
则﹣5a＝5，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；
（2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线x＝2，
点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，则BC交抛物线对称轴于点P，点P为所求点，理由：
PA+PC＝PB+PC＝BC为最小，
由点B、C（0，5）的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+5，
当x＝2时，y＝3，
即点P（2，3），
故答案为：（2，3）；
（3）能，理由：
当直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分时，即EF＝或DF，
设点D（m，﹣m2+4m+5），点E（m，﹣m+5），
则﹣m+5＝（﹣m2+4m+5）或﹣m+5＝（﹣m2+4m+5），
解得：m＝或，
则点D（，）或（，）；
（4）设点M（2，m），
由点M、B、C的坐标得，BC2＝50，BM2＝9+m2，CM2＝4+（m﹣5）2，
当BC是斜边时，
则50＝9+m2+4+（m﹣5）2，
解得：m＝6或﹣1，
即点M（2，6）或（2，﹣1）；
当MB或MC为斜边时，同理可得：
9+m2＝4+（m﹣5）2+50或4+（m﹣5）2＝50+9+m2，
解得：m＝7或﹣3，
即点M（2，7）或（2，﹣3），
综上，点M的坐标为：（2，6）或（2，﹣1）或（2，7）或（2，﹣3）．
【点评】本题考查的是二次函数的综合运用，涉及到面积的计算，直角三角形的性质、点的对称性等，分类求解是解题的关键．
男
女1
女2
男
女1、男
女2、男
女1
男、女1
女2、女1
女2
男、女2
女1、女2