第18讲　导数与不等式（I）——导数方法证明不等式--2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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基础知识
构造函数证明不等式:构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时,根据所要证明的不等式,构造与之相关的函数,利用函数的单调性、极值、最值加以证明.
常见的构造方法有:(1)直接构造法,证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)0(或f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x);(2)适当放缩构造法,一是根据已知条件适当放缩,二是利用常见的放缩结论,如ln x≤x-1,ex≥x+1,ln x0),xx+1≤ln(x+1)≤x(x>-1);(3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数,把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式,根据“相同结构”构造辅助函数;(4)构造双函数,若直接构造函数求导,难以判断符号,导函数零点也不易求得,因此函数单调性与极值点都不易获得,则可构造函数f(x)和g(x),利用其最值求解.
提示:在构造函数证明不等式时,常会用到一些放缩技巧:(1)舍去一些正项(或负项);(2)在和或积中换大(或换小)某些项;(3)扩大(或缩小)分式的分子(或分母);(4)构造基本不等式(通常结合代换法,注意对指数的变换).
分类训练
探究点一利用导数证明一元不等式
角度1 直接构造函数证明不等式
例1 已知函数f(x)=mex-ln x-1.
(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当m≥1时,证明:f(x)>1.
[总结反思] 待证不等式的两边含有同一个变量时,一般地,可以直接构造“左减右”的函数,即若证明f(x)>g(x)在区间D上恒成立,则构造函数h(x)=f(x)-g(x),再根据函数h(x)的单调性,证明h(x)>0在区间D上恒成立.
变式题已知函数f(x)=3x2+(6-a)x-aln x(a∈R且a≠0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a=1时,证明:对任意的x>0,都有f(x)+ex>3x2+5x+2.
角度2 放缩后构造函数证明不等式
例2 已知函数f(x)=aln(x-1)+2x−1,其中a为正实数.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)证明:当x>2时,f(x)[总结反思] 导数方法证明不等式时,最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的难题,对于这类问题,可以考虑先对ex和ln x进行放缩,使问题简化,简化后再构建函数进行证明.常见的放缩公式如下:(1)ex≥1+x,当且仅当x=0时取等号;(2)ex≥ex,当且仅当x=1时取等号;(3)ln x≤x-1,当且仅当x=1时取等号.
变式题已知函数f(x)=ln x+1x-1.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)当x∈(0,π)时,证明:ex>(1-ln x)sin x.
角度3 构造双函数证明不等式
例3 已知函数f(x)=ex-2-ax(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当a≤0时,求证:f(x)>ln x.
[总结反思] 当直接求导比较复杂或无从下手时,可将待证不等式进行变形,构造两个都便于求导的函数,即转变为两个函数之间最值的比较,从而找到可以传递的中间量,达到证明的目的.
探究点二双变量不等式的证明
例4 已知函数f(x)=aln x.
(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=e处的切线方程;
(2)设h(x)=f(x)-x,若存在不相等的实数x1,x2,使得h(x1)=h(x2),证明:0[总结反思] 破解含双变量不等式的证明问题的关键:
一是转化,即由已知条件入手,寻找双变量所满足的关系式,并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式;
二是巧构造函数,再借助导数,判断函数的单调性,从而求其最值;
三是回归双变量的不等式的证明,把所求的最值应用到双变量不等式,即可证得结果.
变式题已知函数f(x)=ln x-12mx-1,m∈R.
(1)若函数f(x)的图象在x=1处的切线与直线2x+y+1=0垂直,求m的值.
(2)若函数g(x)=xf(x)在其定义域上有两个极值点x1,x2.
①求m的取值范围;
②证明:x1x2>e2.
探究点三数列型不等式的证明
例5 已知函数f(x)=ln x+ax-1.
(1)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;
(2)设an=1n+1,数列{an}的前n项和为Sn,证明:Sn[总结反思] 用导数方法来证明形如:a1+a2+a3+…+an变式题已知函数f(x)=x-1-aln x.
(1)当a=1时,求f(x)的最小值;
(2)设m为整数,且对于任意正整数n,都有(1+12)(1+122)…(1+12n)同步作业
1.已知f(x)=lnxx,则当0A.[f(x)]2B.f(x2)<[f(x)]2C.f(x)D.f(x2)2.已知函数f(x)=-xlnx1+x在x=x0处取得最大值,则下列选项正确的是( )
A.f(x0)=x0<12
B.f(x0)=x0>12
C.f(x0)=x0=12
D.123.(多选题)下列不等式成立的是( )
A.2ln33>ln 2
B.5ln24C.ln 2<2e
D.25>5
4.已知f(x)是定义在R上的减函数,其导函数f'(x)满足f(x)f'(x)+x<1,则下列结论正确的是( )
A.对于任意x∈R,f(x)<0
B.对于任意x∈R,f(x)>0
C.当且仅当x∈(-∞,1)时,f(x)<0
D.当且仅当x∈(1,+∞)时,f(x)>0
5.(多选题)关于函数f(x)=2x+ln x,下列说法正确的是( )
A.x=2是f(x)的极大值点
B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点
C.存在正实数k,使得f(x)>kx恒成立
D.对任意两个正实数x1,x2,且x1≠x2,若f(x1)=f(x2),则x1+x2>4
6.已知函数f(x)对任意的x∈R都有2021f(x)+f'(x)<0,若f(1)=e-2021,则不等式f(x)>e-2021x的解集为 .
7.已知函数f(x)=x2-2ln x.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:当x>2时,f(x)>3x-4.
8.已知函数f(x)=xln x-xa+3的最小值为2.
(1)求a的值以及f(x)的单调区间;
(2)设an=[ln(1+1n)]2,n∈N*,证明:a1+a2+…+an>n2n+4.
9.已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)=1e2x-1和g(x)=x-2sin x.
(1)若f(x)的最大值为a,g(x)的最小值为b,比较a,b的大小;
(2)证明:f(x)≤g(x).
10.已知函数f(x)=x2-2ax+2ln x(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2(x2>x1),求证:f(x2)-f(x1)<(2-a)(x2-x1).

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