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第03讲 等式与不等式-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练
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这是一份第03讲 等式与不等式-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练，文件包含第3讲等式与不等式原卷版docx、第3讲等式与不等式解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
1.等式的性质
(1)如果a=b,则对任意c,都有 或 .
(2)如果a=b,则对任意不为零的c,都有 或 .
2.不等式的性质
性质1:如果a>b,那么 .(加法法则)
性质2:如果a>b,c>0,那么 .(乘法法则)
性质3:如果a>b,c<0,那么 .(可乘性)
性质4:如果a>b,b>c,那么 .(不等式的传递性)
性质5:a>b⇔b推论1:如果a+b>c,那么 .(移项法则)
推论2:如果a>b,c>d,那么 .(同向可加性)
推广:有限个同向不等式的两边分别相加,所得到的不等式与原不等式同向.
推论3:如果a>b>0,c>d>0,那么 .(正数的同向可乘性)
推广:几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘,所得到的不等式与原不等式同向.
推论4:如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n>1).(乘方法则)
推论5:如果a>b>0,那么 .(开方法则)
3.两个实数比较大小的方法
(1)作差法a-b>0⇔a b,a-b=0⇔a b,a-b<0⇔a b.
(2)作商法
ab>1(a∈R,b>0)⇔a b(a∈R,b>0),ab=1⇔a b(a,b≠0),ab<1(a∈R,b>0)⇔a b(a∈R,b>0).
4.证明不等式的常用方法
常用结论
1.大减小,小减大,大的更大,小的更小,即a2.已知a,b,m都是正数,且a>b,则
(1)b-ma-m0),即真分数越加越大,越减越小;
(2)a+mb+m0),即假分数越加越小,越减越大.
分类训练
探究点一 不等式的性质
例1 (1)[2020·韩城模拟] 若bA.1a<1bB.ab>a2
C.|a|+|b|>|a+b|D.3a>3b
(2)(多选题)[2020·长沙期末] 设a,b为正实数,则下列说法中正确的是( )
A.若a2-b2=1,则a-b<1
B.若1b-1a=1,则a-b<1
C.若|a-b|=1,则|a-b|<1
D.若|a3-b3|=1,则|a-b|<1
[总结反思] 解决不等式有关问题常用的三种方法:
(1)直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件;
(2)利用特殊值法排除错误答案;
(3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较.
变式题 (1)[2020·吉林梅河口期末] 设a>b,c<0,则下列结论中正确的是( )
A.ca1bc
C.|a|c<|b|cD.ac2>bc2
(2)(多选题)[2020·徐州一中月考] 下列四个选项中能推出1a<1b的有( )
A.b>0>a
B.0>a>b
C.a>0>b
D.a>b>0
探究点二 比较几个数(式)的大小
例2 (1)已知a>b>c>1,设M=a-c,N=a-b,P=2a+b2-ab,则M,N,P的大小关系为( )
A.P>N>M
B.N>M>P
C.M>N>P
D.P>M>N
(2)(多选题)设a,b是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是( )
A.|a|>|b|
B.a2+aC.|a-b|+1a-b≥2
D.a+3-a+1≤a+2-a
[总结反思] (1)判断两个式子大小关系的常用方法:作差法、作商法、不等式性质法、单调性法、中间量法、特殊值法、综合法、分析法、反证法等.
(2)作差法的一般步骤是:作差,变形,定号,得出结论.
变式题 (1)设13<13b<13a<1,则( )
A.aaB.aaC.abD.ab(2)已知a>0且a≠1,P=lga(a3+1),Q=lga(a2+1),则P与Q的大小关系为 .
探究点三 不等式的综合问题
角度1 不等式在实际问题中的应用
例3 李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;
(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为 .
[总结反思] 解决有关不等关系的实际问题时,应抓住关键字词,例如“要”“必须”“不少于”“大于”等,从而建立相应的方程或不等式模型.
变式题 [2020·广东六校联盟四联] 元旦将近,调查鲜花市场价格得知:购买2枝玫瑰与1枝康乃馨所需费用大于8元,而购买4枝玫瑰与5枝康乃馨所需费用小于22元.设购买2枝玫瑰所需费用为A元,购买3枝康乃馨所需费用为B元,则A,B的大小关系是( )
A.A>B
B.AC.A=B
D.不确定
角度2 利用不等式的性质求代数式的取值范围
例4 已知三个正数a,b,c满足a≤b+c≤2a,b≤a+c≤2b,则ba的取值范围是( )
A.23,32
B.32,+∞
C.[2,3]
D.[1,2]
[总结反思] 运用不等式的性质解决问题时,常用的方法是正确使用不等式的性质直接推导,并注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想,比如减法可以转化为加法,除法可以转化为乘法等.但应注意两点:一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,再通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
变式题 (1)已知1≤a+b≤4,-1≤a-b≤2,则4a-2b的取值范围是( )
A.[-4,10]
B.[-3,6]
C.[-2,14]
D.[-2,10]
(2)若-π2≤α<β≤π2,则α+β2的取值范围是 ,α-β2的取值范围是 .
同步作业
1.已知M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则M,N的大小关系是( )
A.M>NB.M≥N
C.M2.对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,例如[1.2]=1,[-2.5]=-3.若[x-2]=-1,则x的取值范围为( )
A.0C.13.[2020·赤峰模拟] 若a>b,则下列不等式中恒成立的是( )
A.1a-b>1bB.a>|b|
C.a|a|>b|b|D.a2>ab
4.[2020·西安二模] 已知a,b为非零实数,且a<0A.a2B.1ab2<1a2b
C.a2bD.ba5.(多选题)[2020·山东、海南高三联考] 对于实数a,b,c,下列说法正确的是( )
A.若a>b,则1a<1b
B.若a>b,则ac2≥bc2
C.若a>0>b,则a2<-ab
D.若c>a>b>0,则ac-a>bc-b
6.已知27.[2020·天水二模] 已知实数a>b>0,m∈R,则下列不等式中恒成立的是( )
A.b+ma+m>ba
B.12a<12b
C.ma>mb
D.a-2>b-2
8.设a,b,c∈R,且a>1,b>c,则( )
A.b2>c2
B.lga|b|>lga|c|
C.ab>ac
D.ab9.下列不等式恒成立的是( )
A.x2+1x2≥x+1x
B.|x-y|+1x-y≥2
C.x+yD.x+3-x+1≥x+2-x
10.已知2a=3·2b-1,c-b=lg12(x2+2x+3),则实数a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>b>a
D.a>c>b
11.设a=lg0.12,b=lg302,则( )
A.4ab>2(a+b)>3ab
B.4ab<2(a+b)<3ab
C.2ab<3(a+b)<4ab
D.2ab>3(a+b)>4ab
12.(多选题)若-1<1a<1b<0,则( )
A.1a+b<1ab
B.ln a2>ln b2
C.a-1a>b-1b
D.1a+1b>-1
13.(多选题)[2020·山东泰安模拟] 已知a>b>0,且a+b=2,则下列说法中正确的是( )
A.ln (a-b)>0
B.∃x∈R,x2+2bx+a≤0
C.ab>ba
D.21+a+b14.已知a>b,给出下列不等式:
①1a<1b;②a3>b3;③a2>b2;
④2ac2>2bc2;⑤ab>1;⑥a2+b2+1>ab+a+b.
其中一定成立的不等式的序号是 .
15.已知-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,则8x·12y的取值范围是( )
A.[2,28]B.12,28
C.[2,27]D.12,27
16.已知a,b,c为正实数,且a2+b2=c2,当n∈N,n>2时,cn与an+bn的大小关系为 .(用“>”连接)
证明不等式的方法
定义
作差法
通过比较两式之差的符号来判断两式大小的方法
综合法
利用已知条件和已证明的不等式等,借助不等式的性质和有关定理,经过推理,得到所要证明的结论
反证法
首先假设命题结论不成立,然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证
分析法
从需要证明的不等式出发,分析这个不等式成立的条件,进而转化为判定那个条件是否成立
1.等式的性质
(1)如果a=b,则对任意c,都有 或 .
(2)如果a=b,则对任意不为零的c,都有 或 .
2.不等式的性质
性质1:如果a>b,那么 .(加法法则)
性质2:如果a>b,c>0,那么 .(乘法法则)
性质3:如果a>b,c<0,那么 .(可乘性)
性质4:如果a>b,b>c,那么 .(不等式的传递性)
性质5:a>b⇔b
推论2:如果a>b,c>d,那么 .(同向可加性)
推广:有限个同向不等式的两边分别相加,所得到的不等式与原不等式同向.
推论3:如果a>b>0,c>d>0,那么 .(正数的同向可乘性)
推广:几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘,所得到的不等式与原不等式同向.
推论4:如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n>1).(乘方法则)
推论5:如果a>b>0,那么 .(开方法则)
3.两个实数比较大小的方法
(1)作差法a-b>0⇔a b,a-b=0⇔a b,a-b<0⇔a b.
(2)作商法
ab>1(a∈R,b>0)⇔a b(a∈R,b>0),ab=1⇔a b(a,b≠0),ab<1(a∈R,b>0)⇔a b(a∈R,b>0).
4.证明不等式的常用方法
常用结论
1.大减小,小减大,大的更大,小的更小,即a
(1)b-ma-m
(2)a+mb+m
分类训练
探究点一 不等式的性质
例1 (1)[2020·韩城模拟] 若b
C.|a|+|b|>|a+b|D.3a>3b
(2)(多选题)[2020·长沙期末] 设a,b为正实数,则下列说法中正确的是( )
A.若a2-b2=1,则a-b<1
B.若1b-1a=1,则a-b<1
C.若|a-b|=1,则|a-b|<1
D.若|a3-b3|=1,则|a-b|<1
[总结反思] 解决不等式有关问题常用的三种方法:
(1)直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件;
(2)利用特殊值法排除错误答案;
(3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较.
变式题 (1)[2020·吉林梅河口期末] 设a>b,c<0,则下列结论中正确的是( )
A.ca
C.|a|c<|b|cD.ac2>bc2
(2)(多选题)[2020·徐州一中月考] 下列四个选项中能推出1a<1b的有( )
A.b>0>a
B.0>a>b
C.a>0>b
D.a>b>0
探究点二 比较几个数(式)的大小
例2 (1)已知a>b>c>1,设M=a-c,N=a-b,P=2a+b2-ab,则M,N,P的大小关系为( )
A.P>N>M
B.N>M>P
C.M>N>P
D.P>M>N
(2)(多选题)设a,b是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是( )
A.|a|>|b|
B.a2+a
D.a+3-a+1≤a+2-a
[总结反思] (1)判断两个式子大小关系的常用方法:作差法、作商法、不等式性质法、单调性法、中间量法、特殊值法、综合法、分析法、反证法等.
(2)作差法的一般步骤是:作差,变形,定号,得出结论.
变式题 (1)设13<13b<13a<1,则( )
A.aa
探究点三 不等式的综合问题
角度1 不等式在实际问题中的应用
例3 李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;
(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为 .
[总结反思] 解决有关不等关系的实际问题时,应抓住关键字词,例如“要”“必须”“不少于”“大于”等,从而建立相应的方程或不等式模型.
变式题 [2020·广东六校联盟四联] 元旦将近,调查鲜花市场价格得知:购买2枝玫瑰与1枝康乃馨所需费用大于8元,而购买4枝玫瑰与5枝康乃馨所需费用小于22元.设购买2枝玫瑰所需费用为A元,购买3枝康乃馨所需费用为B元,则A,B的大小关系是( )
A.A>B
B.A
D.不确定
角度2 利用不等式的性质求代数式的取值范围
例4 已知三个正数a,b,c满足a≤b+c≤2a,b≤a+c≤2b,则ba的取值范围是( )
A.23,32
B.32,+∞
C.[2,3]
D.[1,2]
[总结反思] 运用不等式的性质解决问题时,常用的方法是正确使用不等式的性质直接推导,并注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想,比如减法可以转化为加法,除法可以转化为乘法等.但应注意两点:一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,再通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
变式题 (1)已知1≤a+b≤4,-1≤a-b≤2,则4a-2b的取值范围是( )
A.[-4,10]
B.[-3,6]
C.[-2,14]
D.[-2,10]
(2)若-π2≤α<β≤π2,则α+β2的取值范围是 ,α-β2的取值范围是 .
同步作业
1.已知M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则M,N的大小关系是( )
A.M>NB.M≥N
C.M
A.0
A.1a-b>1bB.a>|b|
C.a|a|>b|b|D.a2>ab
4.[2020·西安二模] 已知a,b为非零实数,且a<0
C.a2b
A.若a>b,则1a<1b
B.若a>b,则ac2≥bc2
C.若a>0>b,则a2<-ab
D.若c>a>b>0,则ac-a>bc-b
6.已知2
A.b+ma+m>ba
B.12a<12b
C.ma>mb
D.a-2>b-2
8.设a,b,c∈R,且a>1,b>c,则( )
A.b2>c2
B.lga|b|>lga|c|
C.ab>ac
D.ab
A.x2+1x2≥x+1x
B.|x-y|+1x-y≥2
C.x+y
10.已知2a=3·2b-1,c-b=lg12(x2+2x+3),则实数a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>b>a
D.a>c>b
11.设a=lg0.12,b=lg302,则( )
A.4ab>2(a+b)>3ab
B.4ab<2(a+b)<3ab
C.2ab<3(a+b)<4ab
D.2ab>3(a+b)>4ab
12.(多选题)若-1<1a<1b<0,则( )
A.1a+b<1ab
B.ln a2>ln b2
C.a-1a>b-1b
D.1a+1b>-1
13.(多选题)[2020·山东泰安模拟] 已知a>b>0,且a+b=2,则下列说法中正确的是( )
A.ln (a-b)>0
B.∃x∈R,x2+2bx+a≤0
C.ab>ba
D.21+a+b
①1a<1b;②a3>b3;③a2>b2;
④2ac2>2bc2;⑤ab>1;⑥a2+b2+1>ab+a+b.
其中一定成立的不等式的序号是 .
15.已知-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,则8x·12y的取值范围是( )
A.[2,28]B.12,28
C.[2,27]D.12,27
16.已知a,b,c为正实数,且a2+b2=c2,当n∈N,n>2时,cn与an+bn的大小关系为 .(用“>”连接)
证明不等式的方法
定义
作差法
通过比较两式之差的符号来判断两式大小的方法
综合法
利用已知条件和已证明的不等式等,借助不等式的性质和有关定理,经过推理,得到所要证明的结论
反证法
首先假设命题结论不成立,然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证
分析法
从需要证明的不等式出发,分析这个不等式成立的条件,进而转化为判定那个条件是否成立
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