第17讲　导数与函数的极值、最值-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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1.函数的极值与导数
2.函数的最值
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则 为函数的最小值, 为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则 为函数的最大值, 为函数的最小值.
3.实际应用题
理解题意、建立函数模型,使用导数方法求解函数模型,根据求解结果回答实际问题.
1.极大 极小 x0 x0
2.(2)f(a) f(b) f(a) f(b)
常用结论
导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函数最值的关系如下:
(注:上述的大于、小于分别改为不小于、不大于,相应的与最值关系对应的不等号也改变)
分类训练
探究点一 利用导数解决函数的极值问题
微点1 由图象判断函数极值
例1 设三次函数f(x)的导函数为f'(x),函数y=x·f'(x)的部分图象如图3-17-1所示,则下列说法正确的是( )
图3-17-1
A.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)
B.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3)
C.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)
D.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3)
例1 [思路点拨] 由y=x·f'(x)的图象可以得出y=f'(x)在各区间上的正负情况,然后可得f(x)在各区间上的单调性,进而可得极值.
C [解析] 由图象可知,当x=-3和x=3时,x·f'(x)=0,则f'(-3)=f'(3)=0;当x<-3时,x·f'(x)>0,则f'(x)<0;当-30;当00,则f'(x)>0;当x>3时,x·f'(x)<0,则f'(x)<0.所以f(x)在(-∞,-3)上单调递减;在(-3,0),(0,3)上单调递增;在(3,+∞)上单调递减.所以f(x)的极小值为f(-3),极大值为f(3).故选C.
[总结反思] 可导函数在极值点处的导数一定为零,是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号.
微点2 已知函数求极值
例2 函数f(x)=ln x-x的极大值是 .
例2 [思路点拨] 确定函数f(x)的定义域,求出f'(x),进而得出单调性,即可得到极大值.
-1 [解析] ∵f(x)=ln x-x,∴定义域为(0,+∞),f'(x)=1x-1.令f'(x)=0,解得x=1,
当00,当x>1时,f'(x)<0,∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故f(x)在x=1处取得极大值,极大值为f(1)=ln 1-1=-1.
[总结反思] 求函数极值的一般步骤:①先求函数f(x)的定义域,再求函数f(x)的导函数;②求f'(x)=0的根;③判断在f'(x)=0的根的左、右两侧f'(x)的符号,确定极值点;④求出具体极值.
微点3 已知极值求参数
例3 若函数f(x)=ax22+(1-2a)x-2ln x在区间(12,1)上有极小值,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1e) B.(-∞,-1)
C.(-2,-1)D.(-∞,-2)
例3 [思路点拨] 求出f'(x),根据f(x)在(12,1)上有极小值可得f'(x)的正负情况,从而可求得a的取值范围.
C [解析] f'(x)=ax+1-2a-2x=ax2+(1−2a)x-2x,由题意知f'(x)在区间(12,1)上有零点,且在该零点的左侧附近,有f'(x)<0,在右侧附近,有f'(x)>0,则h(x)=ax2+(1-2a)x-2在区间(12,1)上有零点,且在该零点的左侧附近,有h(x)<0,在右侧附近,有h(x)>0.当a>0时,h(x)的图象为开口向上的抛物线,且h(0)=-2,故h(12)<0,h(1)>0,a>0,无解;当a=0时,在(12,1)上,h(x)=x-2<0,舍去;当a<0时,h(x)的图象为开口向下的抛物线,其对称轴方程为x=-1−2a2a=1-12a>1,故h(12)<0,h(1)>0,a<0,解得-2[总结反思] 根据极值求参数的值(或取值范围)就是根据极值点处的导数等于零、极值点处的函数值即极值列出关于参数的方程组(或不等式组),通过解方程组(或不等式组)求得参数的值(或取值范围).
▶ 应用演练
1.【微点1】若f(x)是R上的可导函数,x=-1为函数y=f(x)ex的一个极值点,则下列图象一定不可能为函数f(x)图象的是( )
图3-17-2
1.D [解析] [f(x)ex]'=[f'(x)+f(x)]ex,令g(x)=f'(x)+f(x),则x=-1为函数y=f(x)ex的一个极值点等价于g(-1)=0,且g(x)在x=-1的左右两侧取值可异号.对于选项A,f'(-1)=0,f(-1)=0,g(-1)=0,且g(x)在x=-1的左右两侧取值可异号,符合条件.对于选项B,f'(-1)=0,f(-1)=0,g(-1)=0,且g(x)在x=-1的左右两侧取值可异号,符合条件.对于选项C,f'(-1)>0,f(-1)<0,可能有g(-1)=0,g(x)在x=-1的左右两侧取值可异号,故可能符合条件.对于选项D,f'(-1)>0,f(-1)>0,因此g(-1)≠0,不满足条件.故选D.
2.【微点2】函数f(x)=x2-6x+2ex的极值点所在的区间为( )
A.(0,1)B.(-1,0)
C.(1,2)D.(-2,-1)
2.A [解析] ∵f(x)=x2-6x+2ex,∴f'(x)=2x-6+2ex,且函数f'(x)单调递增.又f'(0)=-6+2e0=-4<0,f'(1)=-4+2e>0,∴函数f'(x)在区间(0,1)内存在唯一的零点,即函数f(x)的极值点在区间(0,1)内.故选A.
3.【微点2】函数f(x)=x6-3x2有( )
A.一个极大值和一个极小值
B.两个极大值和一个极小值
C.一个极大值和两个极小值
D.两个极大值和两个极小值
3.C [解析] 由题意知函数f(x)=x6-3x2,则f'(x)=6x5-6x=6x(x2+1)(x-1)(x+1),令f'(x)>0,即6x(x2+1)(x-1)(x+1)>0,解得-11,令f'(x)<0,即6x(x2+1)(x-1)(x+1)<0,解得x<-1或04.【微点3】若函数f(x)=x3-3bx+3在(-1,2)内有极值,则实数b的取值范围是( )
A.(0,4)B.[0,4)
C.[1,4)D.(1,4)
4.A [解析] f'(x)=3x2-3b,令f'(x)=0,得x2=b.
∵f(x)在(-1,2)内有极值,∴0≤b<4.若b=0,则f(x)=x3+3在R上单调递增,没有极值,故05.【微点3】已知函数f(x)=x ln x - 12(m+1)x2-x有两个极值点,则实数m的取值范围为( )
A.(-1e,0)B.(-1,1e-1)
C.(-∞,1e-1)D.(-1,+∞)
5.B [解析] 因为函数f(x)=x ln x-12(m+1)x2-x,所以f'(x)=ln x-(m+1)x,因为函数f(x)=x ln x-12(m+1)x2-x有两个极值点,所以f'(x)=ln x-(m+1)x有两个变号零点,即m+1=lnxx有两个不同的根,令g(x)=lnxx,则该问题等价于g(x)与y=m+1的图象有两个不同的交点.因为g'(x)=1−lnxx2,所以当00,当x>e时,g'(x)<0,所以g(x)max=g(e)=1e,当x→0时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→0,则0探究点二 利用导数解决函数的最值问题
例4 已知函数f(x)=ax+ln x,其中常数a<0.
(1)当a=-1时,求f(x)的最大值;
(2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值.
例4 [思路点拨] (1)利用导数求出函数f(x)在a=-1时的极大值,此极大值即为函数的最大值;(2)求出函数f(x)的导数f'(x)=ax+1x,对a分-1e≤a<0,a<-1e两种情况讨论.
解:(1)易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),
当a=-1时,f(x)=ln x-x,f'(x)=1x-1=1−xx,
令f'(x)=0,得x=1.
当00;当x>1时,f'(x)<0.
所以函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.
此时,函数f(x)在x=1处取得极大值,亦为最大值.
因此,f(x)max=f(1)=-1.
(2)因为f(x)=ax+ln x,所以f'(x)=a+1x=ax+1x,
令f'(x)=0,得x=-1a>0.
①当0<-1a若00;
若-1a此时,函数f(x)在x=-1a处取得极大值,亦为最大值,即f(x)max=-1+ln(-1a)=-1-ln(-a)=-3,
解得a=-e2,符合题意.
②当-1a≥e,即-1e≤a<0时,对任意的x∈(0,e],f'(x)≥0,
此时,函数f(x)在(0,e]上单调递增,
则f(x)max=f(e)=ae+1=-3,得a=-4e,不符合题意.
综上所述,a=-e2.
[总结反思] (1)函数在闭区间上的最值在端点处或区间内的极值点处取得,上述值中最大的即为最大值、最小的即为最小值.如果函数在一个区间上(不论区间的类型)有唯一的极值点,则该点也是最值点.
(2)注意把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题.
变式题 (1)已知函数f(x)=x2-2ln x+a的最小值为3,则a= .
(2)若函数f(x)=alnx-x2-2,x>0,x+1x+a,x<0的最大值为f(-1),则实数a的取值范围为( )
A.[0,2e2]B.[0,2e3]
C.(0,2e2]D.(0,2e3]
变式题 (1)2 (2)B [解析] (1)∵函数f(x)=x2-2ln x+a,∴x>0,f'(x)=2x-2x=2x2-2x.令f'(x)=0得x=1或x=-1(舍去),∴当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.∴当x=1时,f(x)取得极小值,也是最小值,
∴f(x)min=f(1)=1+a.∵f(x)的最小值为3,
∴1+a=3,解得a=2.
(2)f(-1)=-2+a,由题意可得aln x-x2-2≤-2+a在x>0时恒成立,即a(1-ln x)≥-x2在x>0时恒成立.当x=e时,0>-e2显然成立.
当00,可得a≥x2lnx-1,
设g(x)=x2lnx-1(0则g'(x)=2x(lnx-1)-x(lnx-1)2=x(2lnx-3)(lnx-1)2,当0e时,有1-ln x<0,可得a≤x2lnx-1,设h(x)=x2lnx-1(x>e),则h'(x)=x(2lnx-3)(lnx-1)2,当ee32时,h'(x)>0,h(x)在(e32,+∞)上单调递增,故h(x)在x=e32处取得极小值,且为最小值2e3,
可得a≤2e3.综上可得0≤a≤2e3.故选B.
例5 已知函数f(x)=ax+ex-xln a(a>0,a≠1),对任意x1,x2∈[0,1],不等式|f(x2)-f(x1)|≤a-2恒成立,则a的取值范围为( )
A.12,e2B.[ee,+∞)
C.12,+∞ D.[e2,ee]
例5 [思路点拨] 对任意x1,x2∈[0,1],不等式|f(x1)-f(x2)|≤a-2恒成立即为f(x)max-f(x)min≤a-2,因此需求得f(x)在[0,1]上的最值,由导数可得f(x)在[0,1]上单调递增,得出a-2≥a+e-ln a-2,解出a即可.
B [解析] 因为f(x)=ax+ex-xln a,所以f'(x)=axln a+ex-ln a=(ax-1)ln a+ex.当a>1时,对任意的x∈[0,1],ax-1≥0,ln a>0,恒有f'(x)>0;当00.所以f(x)在[0,1]上单调递增.对任意的x1,x2∈[0,1],不等式|f(x2)-f(x1)|≤a-2恒成立,则f(x)max-f(x)min≤a-2,f(x)max=f(1)=a+e-ln a,f(x)min=f(0)=1+1=2,所以a-2≥a+e-ln a-2,即ln a≥e,得a≥ee.故选B.
变式题 (1)已知函数f(x)=aex-x+2a2-3的值域为M,集合I=(0,+∞),若I⊆M,则实数a的取值范围是 .
(2)若关于x的不等式ax-2a>2x-ln x-4有且只有两个整数解,则实数a的取值范围是( )
A.(2-ln 3,2-ln 2]B.(-∞,2-ln 2)
C.(-∞,2-ln 3]D.(-∞,2-ln 3)
变式题 (1)(-∞,1] (2)C [解析] (1)由题意可得f(x)的最小值小于或等于0.f'(x)=aex-1,若a≤0,则f'(x)<0,f(x)在R上单调递减,当x→-∞时,f(x)→+∞,当x→+∞时,f(x)→-∞,故f(x)的值域为R,满足题意;若a>0,则易得函数f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增,所以当x=-ln a时,函数f(x)取得极小值f(-ln a)=ln a-2+2a2,令g(a)=ln a-2+2a2,则g'(a)=4a+1a>0恒成立,故g(a)在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0,要使得g(a)≤0,则a≤1,故0(2)由题意可知,ax-2a>2x-ln x-4有且只有两个整数解.设g(x)=2x-ln x-4,h(x)=ax-2a,由g'(x)=2-1x=2x-1x,可知g(x)=2x-ln x-4在（0,12）上为减函数,在（12,+∞）上为增函数,h(x)=ax-2a的图象恒过点(2,0),在同一坐标系中作出g(x),h(x)的图象,如图.
当a≤0时,原不等式有且只有两个整数解;当a>0时,若原不等式有且只有两个整数解,则满足a>0,h(1)>g(1),h(3)≤g(3)或a>0,h(1)≤g(1),h(3)>g(3),h(4)≤g(4),即a>0,-a>-2,a≤2-ln3或a>0,-a≤-2,a>2-ln3,2a≤4-ln4,
解得0探究点三 利用导数解决实际问题
例6 某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图3-17-3所示.谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(O'在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO'的距离a(米)之间满足关系式h1=140a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO'的距离b(米)之间满足关系式h2=-1800b3+6b.已知点B到OO'的距离为40米.
(1)求桥AB的长度.
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价32k(万元)(k>0),问O'E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?
图3-17-3
例6 解:(1)如图,设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足.
由条件知,当O'B=40时,
BB1=-1800×403+6×40=160,则AA1=160.
由140O'A2=160,得O'A=80.
所以AB=O'A+O'B=80+40=120(米).
(2)以O为原点,OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).
设F(x,y2),x∈(0,40),则y2=-1800x3+6x,
EF=160-y2=160+1800x3-6x.
因为CE=80,所以O'C=80-x.
设D(x-80,y1),则y1=140(80-x)2,
所以CD=160-y1=160-140(80-x)2=-140x2+4x.
记桥墩CD和EF的总造价为f(x),
则f(x)=k（160+1800x3-6x）+32k（-140x2+4x）=k（1800x3-380x2+160）(0f'(x)=k（3800x2-340x）=3k800x(x-20),
令f'(x)=0,得x=20.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下:
所以当x=20时,f(x)取得最小值.
答:(1)桥AB的长度为120米;
(2)当O'E为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.
[总结反思] (1)利用导数研究生活中的优化问题的关键:理清数量关系、选取合适的自变量建立函数模型.
(2)注意:函数的定义域由实际问题确定,最后要把求解的数量结果“翻译”为实际问题的答案.
变式题 如图3-17-4所示,正方形ABCD的边长为2,切去阴影部分后围成一个正四棱锥,则当正四棱锥的体积最大时,该正四棱锥外接球的表面积为( )
图3-17-4
A.22π3
B.52π25
C.169π25
D.338π125
变式题 D [解析] 由题意,正方形ABCD的边长为2,可得对角线长的一半为2,折成正四棱锥后,
设正四棱锥的底面边长为a,高为h,可得h2=2-2a(0正四棱锥的体积V=13a2·h=132a4-2a5.
设y=2a4-2a5,则y'=8a3-52a4,令y'=0,可得a=852.由y'>0,得0故当a=852时,正四棱锥的体积取得最大值,此时h=105,正四棱锥底面正方形的对角线长的一半为45.
设正四棱锥外接球的半径为R,得（105-R）2+（45）2=R2,解得R2=169250,
所以正四棱锥外接球的表面积S=4πR2=338125π.故选D.
同步作业
1.函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图K17-1所示,则( )
图K17-1
A.12为f(x)的极大值点
B.-2为f(x)的极大值点
C.2为f(x)的极大值点
D.45为f(x)的极小值点
1.A [解析] 当x<-2时,f'(x)<0,当-20,当122时,f'(x)>0,所以-2为f(x)的极小值点,12为f(x)的极大值点,2为f(x)的极小值点,所以只有A正确.
2.对于函数f(x)=lnxx,下列说法正确的是( )
A.有极小值-1eB.有最大值e
C.有最小值1eD.有最大值1e
2.D [解析] 由题意得f'(x)=1−lnxx2,令f'(x)>0得0e,故f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以当x=e时,f(x)取得极大值,也是最大值,最大值为f(e)=1e,无极小值和最小值,故选D.
3.函数f(x)=x+2cs x在[0,π]上的极小值点为( )
A.0B.π6C.5π6D.π
3.C [解析] f'(x)=1-2sin x,令f'(x)=0,得x=π6或x=5π6,所以f(x)=x+2cs x在区间[0,π6)上是增函数,在区间[π6,5π6)上是减函数,在[5π6,π)上是增函数.故x=5π6是函数f(x)的极小值点,故选C.
4.函数f(x)=kx-ln x的极值点为x=2,则k的值为( )
A.2B.1
C.12D.-12
4.C [解析] 因为f(x)=kx-ln x,所以f'(x)=k-1x,又f(x)=kx-ln x的极值点为x=2,所以f'(2)=0,即k=12.经验证,可知k=12符合题意,故选C.
5.若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c为( )
A.2B.6
C.2或6D.-2或-6
5.B [解析] ∵函数f(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x,∴f'(x)=3x2-4cx+c2,由题意知,f'(2)=12-8c+c2=0,∴c=6或c=2,又函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,故导数值在x=2处左侧为正数,右侧为负数.当c=2时,f'(x)=3x2-8x+4=3(x-23)(x-2),不满足导数值在x=2处左侧为正数,右侧为负数.当c=6时,f'(x)=3x2-24x+36=3(x2-8x+12)=3(x-2)(x-6),满足导数值在x=2处左侧为正数,右侧为负数.故c=6.故选B.
6.函数f(x)=ex-2x的最小值为 .
6.2-2ln 2 [解析] f'(x)=ex-2,令f'(x)=0,得x=ln 2,所以f(x)在(-∞,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(ln 2)=2-2ln 2.
7.从一张圆形铁板上剪下一个扇形,将其制成一个无底圆锥容器,当容器的体积最大时,该扇形的圆心角是 .
7.263π [解析]设圆锥底面半径为r,高为h,扇形的半径为R,则r2+h2=R2,
圆锥的体积V=f(h)=13πr2h=13π(R2-h2)h=13π(R2h-h3),
由f'(h)=13π(R2-3h2)=0,得h2=13R2,此时圆锥体积最大,r=63R.设圆心角为α,则α=2πrR=263π.
8.已知函数f(x)的导函数f'(x)=x4(x-1)3(x-2)2(x-3),则下列结论正确的是( )
A.f(x)在x=0处有极大值
B.f(x)在x=2处有极小值
C.f(x)在[1,3]上单调递减
D.f(x)有3个零点
8.C [解析] 令f'(x)>0,解得x>3或x<1,令f'(x)<0,解得19.若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为( )
A.-1B.-2e-3
C.5e-3D.1
9.A [解析] 由题可得f'(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1,因为f'(-2)=0,所以a=-1,f(x)=(x2-x-1)ex-1,故f'(x)=(x2+x-2)ex-1,令f'(x)>0,解得x<-2或x>1,令f'(x)<0,解得-210.函数f(x)=xex-2ln x-2x的最小值为( )
A.-2ln 2B.ln 2
C.2-2ln 2D.2+ln 2
10.C [解析] f(x)=xex-2ln x-2x,设t=ln x+x,则t∈R,且f(x)化为g(t)=et-2t,则g'(t)=et-2,所以g(t)在(-∞,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增,所以g(t)≥g(ln 2)=2-2ln 2,所以g(t)的最小值为2-2ln 2,即f(x)的最小值为2-2ln 2.故选C.
11.设函数f(x)=ln(x+k)+2,g(x)=ex2+1.若实数x1,x2满足f(x1)=g(x2),且2x1-x2有极小值-2,则实数k的值是( )
A.3B.2
C.1D.-1
11.B [解析] 依题意,令f(x1)=g(x2)=t,则ln(x1+k)+2=t,ex22+1=t,且t>1,则x1=et-2-k,x2=2ln(t-1),所以2x1-x2=2et-2-2k-2ln(t-1).构造函数h(t)=2et-2-2k-2ln(t-1),t>1,则h'(t)=2et-2-2t−1,设m(t)=h'(t),则m'(t)=2et-2+2(t-1)2>0,所以h'(t)在(1,+∞)上单调递增,又h'(2)=0,所以h(t)在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以h(t)在t=2处取得极小值,则h(2)=2-2k=-2,得k=2.故选B.
12.关于函数f(x)=|x-1|-ln x,下列说法正确的是( )
A.f(x)在(1e,+∞)上单调递增
B.f(x)有极小值0,无极大值
C.f(x)的值域为(-1,+∞)
D.f(x)的图象关于直线x=1对称
12.B [解析] f(x)=|x-1|-ln x=x-1-lnx,x≥1,1-x-lnx,0∴当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当0f(x)在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,则当x=1时,f(x)有极小值f(1)=0,无极大值,故B正确;
∵f(x)≥f(1)=0,∴f(x)∈[0,+∞),故C错误;f(12)=|12-1|-ln 12=12+ln 2,f(32)=|32-1|-ln 32=12+ln 23≠f(12),故D错误.故选B.
13.(多选题)已知函数f(x)=xln x-12ax2-1,当a>0时,函数f(x)的极值点的个数可能是( )
A.0B.1
C.2D.3
13.AC [解析] 由题意,令f'(x)=1+ln x-ax=0可得a=1+lnxx,令g(x)=1+lnxx,则g'(x)=-lnxx2,易得函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故当x=1时函数g(x)取得最大值g(1)=1,又当x→0时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→0,所以当014.函数f(x)=sin 3x-2sin xcs2x(x∈[0,π2])的最大值为 .
14.69 [解析] 函数f(x)=sin 3x-sin 2xcs x=sin 2xcs x+cs 2xsin x-sin 2xcs x=cs 2xsin x=sin x-2sin3x,
令sin x=t,则t∈[0,1],则y=t-2t3,
y'=1-6t2,令y'=0可得t=66,当t∈[0,66)时,y'>0,当t∈(66,1]时,y'<0,所以当t=66时,y取得最大值69,即f(x)的最大值为69.
15.若函数f(x)=2x2-ln x+3在其定义域内的一个子区间(a-1,a+1)内存在极值,则实数a的取值范围是 .
15.[1,32) [解析] 函数f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=4x-1x=4x2-1x=4(x+12)(x−12)x,当012时,f'(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)只有一个极小值点12.由12∈(a-1,a+1),得a-1<12,a+1>12,解得1216.已知函数f(x)=a(x+1)ex(a≠0).
(1)求f(x)的最值;
(2)若x>0时,恒有f(x)≥x2-x-2,求实数a的取值范围.
16.解:(1)f'(x)=a(x+2)ex,
当a>0时,f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,
所以f(x)min=f(-2)=-ae2,没有最大值;
当a<0时,f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,
所以f(x)max=f(-2)=-ae2,没有最小值.
(2)由题意知,当x>0时,恒有f(x)≥x2-x-2,
即a(x+1)ex≥x2-x-2,
即a≥x2-x-2(x+1)ex=x−2ex,所以a≥(x−2ex)max.
构造函数h(x)=x−2ex(x>0),则h'(x)=3−xex,
则h(x)在(0,3)上单调递增,在(3,+∞)上单调递减,
所以h(x)max=h(3)=1e3,故a≥1e3,
故实数a的取值范围是[1e3,+∞).
17.已知函数f(x)=x2(ln x+ln a)(a>0).
(1)当a=1时,设函数g(x)=f(x)x,求函数g(x)的单调区间和极值;
(2)设f'(x)是f(x)的导函数,若f'(x)x2≤1对任意的x>0恒成立,求a的取值范围.
17.解:(1)当a=1时,g(x)=f(x)x=xln x,可得g'(x)=1+ln x,
令g'(x)=0,可得x=1e.
当x∈(0,1e)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
∴g(x)的单调递减区间为(0,1e);
当x∈(1e,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
∴g(x)的单调递增区间为(1e,+∞).
∴当x=1e时,g(x)取得极小值-1e,无极大值.
(2)f'(x)=2x(ln x+ln a)+x,f'(x)x2=2x(lnx+lna)+xx2≤1,
即2ln x+2ln a+1≤x,即2ln a≤x-2ln x-1对任意的x>0恒成立.
设m(x)=x-2ln x-1(x>0),可得m'(x)=x-2x,
令m'(x)=0,可得x=2,
当0当x>2时,m'(x)>0,函数m(x)单调递增,
∴当x=2时,m(x)有最小值,且最小值为m(2)=1-2ln 2,
∴2ln a≤1-2ln 2,得0∴a的取值范围为(0,e2].
18.已知函数f(x)=aex-sin x,其中a∈R,e为自然对数的底数.
(1)当a=1时,证明:对任意x∈[0,+∞),都有f(x)≥1;
(2)若函数f(x)在(0,π2)上存在极值,求实数a的取值范围.
18.解:(1)证明:当a=1时,f(x)=ex-sin x,于是f'(x)=ex-cs x.
又当x∈(0,+∞)时,ex>1且cs x≤1,
故当x∈(0,+∞)时,ex-cs x>0,即f'(x)>0,
所以函数f(x)=ex-sin x为(0,+∞)上的增函数,
因此,对任意x∈[0,+∞),都有f(x)≥f(0)=1.
(2)方法一:由f(x)在0,π2上存在极值,得f'(x)=aex-cs x在(0,π2)上存在零点,
①当0又f'(0)=a-1<0,f'(π2)=a·eπ2>0,
所以存在唯一实数x0∈(0,π2),使得f'(x0)=0成立.
于是,当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,f(x)为(0,x0)上的减函数;
当x∈(x0,π2)时,f'(x)>0,f(x)为(x0,π2)上的增函数.
所以x0(x0∈(0,π2))为函数f(x)的极小值点.
②当a≥1时,f'(x)=aex-cs x≥ex-cs x>0在(0,π2)上恒成立,
所以f(x)在(0,π2)上单调递增,所以f(x)在(0,π2)上没有极值.
③当a≤0时,f'(x)=aex-cs x<0在(0,π2)上恒成立,
所以f(x)在(0,π2)上单调递减,所以f(x)在(0,π2)上没有极值.
综上所述,若f(x)在(0,π2)上存在极值,则a的取值范围是(0,1).
方法二:由函数f(x)在(0,π2)上存在极值,得f'(x)=aex-cs x在(0,π2)上存在零点,
即方程a=csxex在(0,π2)上有解.
设g(x)=csxex,x∈(0,π2),则易得g(x)为(0,π2)上的减函数,
故g(x)的值域为(0,1),所以,当实数a∈(0,1)时,f'(x)=aex-cs x在（0,π2）上存在零点.
下面证明,当a∈(0,1)时,函数f(x)在（0,π2）上存在极值.
当a∈(0,1)时,f'(x)=aex-cs x为(0,π2)上的增函数,
因为f'(0)=a-1<0,f'(π2)=a·eπ2>0,所以存在唯一实数x0∈(0,π2),使得f'(x0)=0成立.
于是,当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,f(x)为(0,x0)上的减函数;
当x∈(x0,π2)时,f'(x)>0,f(x)为(x0,π2)上的增函数.
所以x0(x0∈(0,π2))为函数f(x)的极小值点.
综上所述,当a∈(0,1)时,函数f (x)在(0,π2)上存在极值.
条件
f(x)在x0处可导,f'(x0)=0
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x,都有
f(x)f(x)>f(x0)
极值
f(x)在x0处取 值
f(x)在x0处取 值
极值点
为极大值点
为极小值点
不等式类型
与最值的关系
∀x∈D,f(x)>M
∀x∈D,f(x)min>M
∀x∈D,f(x)∀x∈D,f(x)max∃x0∈D,f(x0)>M
∀x∈D,f(x)max>M
∃x0∈D,f(x0)∀x∈D,f(x)min∀x∈D,f(x)>g(x)
∀x∈D,[f(x)-g(x)]min>0
∀x∈D,f(x)∀x∈D,[f(x)-g(x)]max<0
∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)>g(x2)
∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)min>g(x2)max
∀x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)>g(x2)
∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)min>g(x2)min
∃x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)>g(x2)
∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)max>g(x2)max
∃x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)>g(x2)
∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)max>g(x2)min
x
(0,20)
20
(20,40)
f'(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗