2025高考数学一轮复习-第16讲-导数与函数的极值、最值【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第16讲-导数与函数的极值、最值【课件】，共60页。PPT课件主要包含了激活思维，聚焦知识，求函数的极值，举题说法，根据极值求参数，求函数的最值，随堂练习，配套精练等内容，欢迎下载使用。

1．(多选)下列四个函数在x＝0处取得极值的是(　　)A．y＝x3B．y＝x2＋1C．y＝|x|D．y＝2x
3．已知函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极大值点是_____，极小值点是_____．
因为x2，x4处的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号，所以x2，x4是函数的极值点．因为当x∈(x1，x2)时，f′(x)＞0，当x∈(x2，x3)时，f′(x)＜0，所以x2是极大值点．因为当x∈(x3，x4)时，f′(x)＜0，当x∈(x4，x5)时，f′(x)＞0，所以x4是极小值点．
4．若函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________________ ____________．
1．极值(1) 设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)______f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0为f(x)的____________；如果对x0附近的所有的点，都有f(x)______f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0为f(x)的____________．极小值点与极大值点统称为__________，极大值与极小值统称为极值．(2) 当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法：如果x＜x0有f′(x)______0，x＞x0有f′(x)______0，那么f(x0)是极大值．如果x＜x0有f′(x)______0，x＞x0有f′(x)______0，那么f(x0)是极小值．
2．最值在闭区间[a，b]上的____________一定存在最大值和最小值，最大值是区间端点值和区间内的极大值中的最大者，最小值是区间端点值和区间内的极小值中的最小者．3．常用结论(1) 在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个(或者没有)；(2) 给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑f′(x0)＝0，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值．
当a≤0时，f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时f(x)在定义域上无极值点；
变式　若x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex-1的极值点，则f(x)的极大值为_________．
因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex-1，所以f′(x)＝ex-1[x2＋(a＋2)x＋a－1]，因为x＝1是函数f(x)的极值点，所以f′(1)＝0，即2a＋2＝0，解得a＝－1.此时f′(x)＝ex-1(x2＋x－2)＝ex-1(x＋2)(x－1).由f′(x)＞0可得x＜－2或x＞1；由f′(x)＜0可得－2＜x＜1，故f(x)的极大值点为x＝－2，则f(x)的极大值为f(－2)＝(4＋2－1)e-3＝5e-3.
f(x)＝(ax2＋x＋a)e－x的导数为f′(x)＝(2ax＋1)e－x－(ax2＋x＋a)e－x＝－e－x[ax2＋(1－2a)·x＋a－1]＝－e－x(x－1)·(ax＋1－a).
1．若x＝1是f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实数a的取值范围是(　　)A．(1，＋∞)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，1)
f′(x)＝[x2－(a＋1)x＋a]ex＝(x－a)(x－1)ex.令f′(x)＝0，得(x－a)(x－1)ex＝0.设g(x)＝(x－1)(x－a).当a＝1时，g(x)≥0，f′(x)≥0，f(x)没有极值．当a＞1时，若x＞a或x＜1，则g(x)＞0，f′(x)＞0，若1＜x＜a，则g(x)＜0，f′(x)＜0，所以x＝1是函数f(x)的极大值点，不合题意．当a＜1时，若x＞1或x＜a，则f′(x)＞0，若a＜x＜1，则f′(x)＜0，所以x＝1是f(x)的极小值点，满足题意．综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1).
3．已知函数f(x)＝ex－e1-x－ax有两个极值点x1与x2，若f(x1)＋f(x2)＝－4，则实数a＝_____．(提示：e1－x1＝a－ex1，e1－x2＝a－ex2)
因为函数f(x)＝ex－e1-x－ax有两个极值点x1与x2，所以f′(x)＝ex＋e1-x－a＝0，即(ex)2－aex＋e＝0有两根x1与x2，所以ex1＋ex2＝a，ex1·ex2＝ex1＋x2＝e，得x1＋x2＝1.因为f(x1)＋f(x2)＝－4，所以(ex1＋ex2)－(e1－x1＋e1－x2)－a(x1＋x2)＝－4，又e1－x1＝a－ex1，e1－x2＝a－ex2，所以2(ex1＋ex2)－2a－a(x1＋x2)＝2a－2a－a＝－4，所以a＝4.
(1) 已知函数f(x)＝ex＋cs x－2，f′(x)为f(x)的导数．当x≥0时，求f′(x)和f(x)的最小值．
f′(x)＝ex－sin x，令g(x)＝ex－sin x，x≥0，则g′(x)＝ex－cs x≥1－cs x≥0，g(x)为增函数，故g(x)min＝g(0)＝1，即f′(x)的最小值为1，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(0)＝0.
用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m，则当高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积？
1．设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(提示：直接画f(x)的图象) (　　)A．a＜bB．a＞bC．ab＜a2D．ab＞a2
当a＞0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，观察可知b＞a.当a＜0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象如图(2)所示，观察可知a＞b.综上，ab＞a2.
2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝(　　)
当f′(x)＞0时，函数单调递增，当f′(x)＜0时，函数单调递减，根据极小值点的定义并结合导函数f′(x)在(a，b)内的图象知函数f(x)在开区间(a，b)内有1个极小值点.
一、 单项选择题1．若函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点的个数为(　　)A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4
当a∈(0，1)时，由f′(x)＞0，可得0＜x＜a或x＞1，由f′(x)＜0，可得a＜x＜1，函数在x＝a处取得极大值；当a＝1时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值；当a∈(1，＋∞)时，由f′(x)＞0，可得0＜x＜1或x＞a，由f′(x)＜0，可得1＜x＜a，函数在x＝a处取得极小值．综上，a∈(0，1).
二、 多项选择题5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则下列说法正确的是(　　)A．a＋b＝0B．a＋b＝－7C．f(x)一定有两个极值点D．f(x)一定存在单调递减区间
三、 填空题7．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝－1和x＝1处均有极值，且f(－1)＝－1，则a＋b＋c＝_____．
8．函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为_____．
由于f′(x)＝－x2＋1，易知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1，1)上单调递增.
四、 解答题10．已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点(2，f(2))处的切线与直线2x＋3y＝0垂直．(1) 求a；
10．已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点(2，f(2))处的切线与直线2x＋3y＝0垂直．(2) 求f(x)的单调区间和极值．
(2) 设矩形ABCD的一边AB在x轴上，顶点C，D在函数f(x)的图象上．设矩形ABCD的面积为S，求证：0＜S＜1.
练习2A组　夯基精练一、 单项选择题1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论一定成立的是(　　)A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
当x＜－2时，1－x＞0，(1－x)f′(x)＞0，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当－2＜x＜1时，1－x＞0，(1－x)f′(x)＜0，则f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当1＜x＜2时，1－x＜0，(1－x)f′(x)＞0，则f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x＞2时，1－x＜0，(1－x)f′(x)＜0，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的极大值为f(－2)，极小值为f(2).
2．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为(　　)A．2B．4C．6D．2或6
f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)·(3x－c)，则f′(2) ＝(2－c)(6－c)＝0，所以c＝2或c＝6.
4．函数f(x)＝cs x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为(　　)
6．已知函数f(x)＝x3－ax＋2有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则(　　)A．a的取值范围是[0，＋∞)B．x1x2＜0C．f(x1)＞f(x2)D．f(x)的图象关于点(0，2)中心对称
由题可得f′(x)＝3x2－a＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝0＋12a＞0，所以a＞0，故A错误；
因为x1＜x2，且x1，x2为3x2－a＝0的两个根，所以由f′(x)＝3x2－a＞0得x＜x1或x＞x2，由f′(x)＝3x2－a＜0得x1＜x＜x2，所以函数f(x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增，所以f(x1)＞f(x2)成立，故C正确；因为g(x)＝x3－ax为奇函数，所以g(x)＝x3－ax关于(0，0)对称，所以f(x)＝g(x)＋2＝x3－ax＋2关于(0，2)对称，故D正确．
三、 填空题7．若函数f(x)＝(2x＋1)ln x－ax是(0，＋∞)上的增函数，则实数a的最大值为___________．
8．已知函数f(x)＝x2＋a ln (2x＋1)有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题10．将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒．(1) 试把方盒的容积V表示为x的函数；
10．将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒．(2) 当x多大时，方盒的容积V最大？
因为f(e)＝0，f(0)＝0，由(1)知当x∈[0，e]时，－1≤f(x)≤0.因为f′(e)＝1，所以曲线f(x)在点(e，0)处的切线方程为y＝x－e.令g(x)＝x ln x－2x＋e(0＜x≤e)，则g′(x)＝ln x－1≤0，所以g(x)在(0，e]上单调递减，g(x)≥g(e)＝0，所以f(x)≥x－e，所以曲线y＝f(x)(0≤x≤e)在x轴、y轴、y＝－1和y＝x－e之间．
B组　滚动小练12．已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)＋f(x)＞2的解集为_____________．
令g(x)＝f(x)－1＝ex－e－x－2x，定义域为R，且g(－x)＝e－x－ex＋2x＝－g(x)，所以g(x)＝f(x)－1＝ex－e－x－2x为奇函数．
13．设函数f(x)＝2x＋(p－1)·2－x是定义域为R的偶函数．(1) 求p的值；
13．设函数f(x)＝2x＋(p－1)·2－x是定义域为R的偶函数．(2) 若g(x)＝f(2x)－2k·(2x－2－x)在[1，＋∞)上的最小值为－4，求k的值．