第02讲 全称量词与存在量词、充要条件-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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1.全称量词与存在量词
(1)一般地,“ ”“ ”“ ”在陈述中表示所述事物的全体,称为全称量词,用符号“ ”表示.
(2)“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词,用符号“ ”表示.
(3)含有一个量词的命题的否定:
全称量词命题p:∀x∈M,p(x),它的否定是 .
存在量词命题q:∃x∈M,q(x),它的否定是 .
2.充分条件、必要条件与充要条件的概念
常用结论
1.充要条件的两个结论:
(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件;
(2)若p是q的充分不必要条件,则¬q是¬p的充分不必要条件.
2.充分、必要条件与集合的关系
分类训练
探究点一 全称量词与存在量词
角度1 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例1 (1)(多选题)[2020·重庆模拟] 下列命题为真命题的是( )
A.∀x∈R,3x>1B.∀x>1,2x+1x-1>2
C.∃x∈R,cs x=0D.∃x∈R,lg x>1
(2)[2020·海口模拟] 能够说明“∀x∈N*,2x≥x2”是假命题的一个x的值为 .
[总结反思] 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法:
角度2 含有一个量词的命题的否定
例2 (1)[2020·淄博一模] 设m∈R,命题“存在m>0,使方程x2+x-m=0有实根”的否定是( )
A.对任意m>0,方程x2+x-m=0无实根
B.对任意m≤0,方程x2+x-m=0有实根
C.存在m>0,使方程x2+x-m=0无实根
D.存在m≤0,使方程x2+x-m=0有实根
(2)命题“∀n∈N,f(n)∉N且f(n)≤n”的否定是( )
A.∀n∈N,f(n)∈N且f(n)≤n
B.∀n∈N,f(n)∉N且f(n)>n
C.∃n∈N,f(n)∈N或f(n)>n
D.∃n∈N,f(n)∈N且f(n)>n
(3)命题“实数的平方都是正数”的否定是 .
[总结反思] 全称量词命题与存在量词命题的否定:
①改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写.
②否定结论:对原命题的结论进行否定.
探究点二 根据命题的真假求参数的取值范围
例3 (1)[2020·新余模拟] 已知命题p:“∃x∈R,ax2+x+1≤0”是假命题,则a的取值范围为( )
A.a<14B.a≥14
C.a>14D.a>14或a=0
(2)[2020·安徽六安一中月考] 若存在x∈1e,e,使不等式2xln x+x2-mx+3≤0成立,则实数m的最小值为 .
[总结反思] 根据命题的真假求参数的一般步骤:
(1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);
(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;
(3)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.
变式题 (1)[2020·衡阳一模] 若“∃x∈R,sin x-3cs x=a”为真命题,则实数a的取值范围是( )
A.[-2,2]
B.(-2,2)
C.(-∞,-2]∪[2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
(2)[2020·云南师大附中月考] 命题“∀x∈(0,+∞),x2-2x-m≥0”为真命题,则实数m的最大值为 .
探究点三 充分、必要条件的判定
1.[2020·天津卷] 设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.[2020·南昌三模] “k=1”是“函数f(x)=ex-ke-xex+ke-x为奇函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.如果x,y是实数,那么“x≠y”是“cs x≠cs y”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
[总结反思] 充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法.三种不同的方法适用于不同的类型:定义法适用于定义、定理的判断问题;集合法多适用于命题中涉及参数的取值范围的推断问题;等价转化法适用于条件和结论中带有否定性词语的命题.
探究点四 充分、必要条件的应用
例4 (1)[2019·全国卷Ⅱ] 设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( )
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β平行于同一条直线
D.α,β垂直于同一平面
(2)[2020·衡阳三模] 设条件p:|2x+3|<1,条件q:x2-(2a+2)x+a(a+2)≤0,若q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 .
[总结反思] 充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上,解题时通常把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.解题过程中要注意检验区间的端点值.
变式题 (1)(多选题)[2020·烟台模拟] “关于x的不等式x2-2ax+a>0对任意x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A.0C.0(2)已知“x>k”是“3x+1<1”的充分不必要条件,则k的取值范围为( )
A.(-∞,1]B.[1,+∞)
C.[2,+∞)D.(2,+∞)
同步作业
1.[2020·开封二模] 已知p:∀x>0,x-1x≥0,则¬p为( )
A.∃x>0,x-1x<0
B.∃x≤0,x-1x<0
C.∀x>0,x-1x<0
D.∀x≤0,x-1x≥0
2.下列命题中为假命题的是( )
A.∃x∈R,ln x<0
B.∀x∈(-∞,0),ex>0
C.∀x>0,5x>3x
D.∃x∈(0,+∞),12x<13x
3.[2020·安徽淮北一中月考] 已知非零向量a,b满足|a|=|b|,则“|a+2b|=|2a-b|”是“a⊥b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知a,b都是实数,那么“a>b”是“ln a>ln b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.对于常数m,n,“方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆”是“mn>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.设n∈N*,则一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n= .
7.[2020·浙江杭州二中模拟] 在△ABC中,“cs Atan B”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
8.[2020·广东茂名模拟] 已知p:∃x∈[0,+∞),a<12x+1,若p为真命题,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,2)B.(2,+∞)
C.(-2,2)D.[-2,2]
9.[2020·绵阳南山中学模拟] 若|x-a|<1成立的充分不必要条件是1A.12C.a≤12或a≥2D.a<12或a>2
10.[2020·南昌一模] 已知r>0,x,y∈R,p:|x|+|y|2≤1,q:x2+y2≤r2,若p是q的必要不充分条件,则实数r的取值范围是( )
A.0,255B.(0,1]
C.255,+∞D.[2,+∞)
11.(多选题)[2020·登州模拟] 下列命题中是真命题的是( )
A.∃x∈R,x-2>ln x
B.∀x,y∈R,x2+y2>2x-2y-3
C.命题“∀x>0,x2+x>0”的否定是“∃x>0,x2+x≤0”
D.“-2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0无实根”的充分不必要条件
12.(多选题)[2020·青岛模拟] 下面四个说法中正确的是( )
A.“直线a∥直线b”的充要条件是“直线a平行于直线b所在的平面”
B.“直线l垂直于平面α内的所有直线”的充要条件是“直线l⊥平面α”
C.“直线a,b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a,b不相交”
D.“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线的三点到β的距离相等”
13.(多选题)[2020·泰州模拟] 定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f'(x)A.-1C.414.[2020·南通模拟] 若命题“∀x∈R,mx2+mx+1≥0”是真命题,则m的取值范围是 .
15.[2020·南京师大附中月考] 若对于任意x1∈(1,2),存在x2∈(1,2),使得4x12-8x1+5x1-1=mx2-m+2x2-1成立,则实数m的取值范围是( )
A.[0,2]B.(-∞,2]
C.(0,2)D.(-∞,2)
16.已知集合A=y|y=x2-32x+1,0≤x≤2,B={x|x+m2≥2},p:x∈A,q:x∈B,若p是q的充分条件,则实数m的取值范围是 .
若p⇒q,则p是q的 条件,q是p的 条件
p是q的 条件
p⇒q且q⇒/p
p是q的 条件
p⇒/q且q⇒p
p是q的 条件
p⇔q
p是q的 条件
p⇒/q且q⇒/p
使p成立的对象构成的集合
为A,使q成立的对象构成的集合为B
p是q的充分条件
A⊆B
p是q的必要条件
B⊆A
p是q的充分不必要条件
A⫋B
p是q的必要不充分条件
B⫋A
p是q的充要条件
A=B
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称量词命题
真
所有对象使命题为真
否定为假
假
存在一个对象使命题为假
否定为真
存在量词命题
真
存在一个对象使命题为真
否定为假