福建省福州十九中、延安中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份福建省福州十九中、延安中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，那么数据0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：，
故选：B．
3. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可.
【详解】解： 故A，C，D不符合题意；
是最简二次根式，故B符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是最简二次根式的含义，掌握“最简二次根式的定义判断最简二次根式”是解本题的关键.
4. 下列运算错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘，同底数幂相除，幂乘方，积的乘方的运算法则分别计算，然后判断即可．
【详解】解：A． ，故此选项计算正确，不符合题意；
B． ，故此选项计算正确，不符合题意；
C． ，故此选项计算错误，符合题意；
D． ，故此选项计算正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方，熟知相关运算公式和法则是解题的关键．
5. 点关于轴的对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的对称性，掌握轴对称的性质是解题的关键．点关于轴的对称的点的横坐标变为原来坐标中横坐标的相反数，纵坐标不变，由此即可求解．
【详解】解：根据对称的性质得，点关于轴的对称点的坐标为，
故选：A．
6. 下列命题的逆命题成立的是（ ）
A. 全等三角形的对应角相等B. 如果两个数相等，那么它们的平方相等
C. 两条直线平行，同旁内角互补D. 对顶角相等
【答案】C
【解析】
【分析】先分别写出四个命题的逆命题，根据三角形全等的判定方法对A的逆命题进行判断；根据一对相反数的平方相等对B的逆命题进行判断；根据平行线的判定定理可对C的逆命题进行判断；根据两个角相等，这两个角可为任意相等度数的角对D的逆命题进行判断．
【详解】解：A、“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“三个角分别对应相等的两三角形全等”，此逆命题为假命题，所以A选项错误；
B、“如果两个数相等，那么它们的平方相等”的逆命题为“如果两个数的平方相等，那么它们相等”，此逆命题为假命题，所以B选项错误；
C、“两条直线平行，同旁内角互补”的逆命题为“同旁内角互补，两直线平行”，此逆命题为真命题，所以C选项正确；
D、“对顶角相等”的逆命题为“若两个角相等，那么这两个角是对顶角”，此逆命题为假命题，所以D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等．
7. 下列多项式相乘，能用平方差公式计算是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平方差公式，涉及完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．利用平方差公式、完全平方公式逐一分析即可．
【详解】解： ，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选B
8. 如图，在框中解分式方程的4个步骤中，其中根据等式基本性质的有（ ）
A. ①②B. ②④C. ①③D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等式的性质，利用了等式的性质1，等式的性质2，正确掌握知识点是解题的关键；根据等式的性质1，等式的两边都加或减同一个整式，结果不变，根据等式的性质2，等式的两边都乘或除以同一个不为零的整式，结果不变，可得答案
【详解】①根据等式的性质2，等式的两边都乘同一个不为零的整式，结果不变，
②根据去括号法则，
③根据等式的性质1，等式的两边都同加一个整式，结果不变，
④根据合并同类项法则，
根据等式基本性质的是①③．
故选：C．
9. 平行四边形中，，若一边上的高为4，则该平行四边形的面积为（ ）
A. 20B. 16C. 15D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，平行四边形的性质，求出，进而可得出答案．
【详解】解：如图所示：平行四边形中，，一边上的高为4，
∵，即，
∴，
∴平行四边形的面积为，
故选：D．
10. 数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接．若，则的面积为（ ）
A. 40B. 32C. 24D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．延长，过点E作于点M，证明，得出，根据三角形面积公式求出．
【详解】解：延长，过点E作于点M，如图所示：
则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵为直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 若二次根式有意义，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
12. 分解因式：_______．
【答案】y（x+3）（x-3）
【解析】
【分析】先提取公因式y，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【详解】解：x2y-9y=y（x2-9）=y（x+3）（x-3）．
故答案为：y（x+3）（x-3）．
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
13. 等腰三角形的一个底角度数是，则这个等腰三角形的顶角度数为______．
【答案】##40度
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据等腰三角形两个底角相等，得出等腰三角形的另外一个底角为，再根据三角形内角和定理求出结果即可．
【详解】解：∵等腰三角形的一个底角度数是，
∴这个等腰三角形的顶角度数为。
故答案为：．
14. 如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为______．

【答案】##45度
【解析】
【分析】取格点E，连接、，根据平行线的性质得出，根据勾股定理求出，根据等腰三角形的性质求出，证明为直角三角形，，根据等腰三角形性质求出，即可求出结果．
【详解】解：取格点E，连接、，如图所示：

根据格点特点可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和网格问题，勾股定理逆定理的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟记勾股定理和逆定理．
15. 已知，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了求代数式的的值，因式分解的应用，以及二次根式的性质．把变形为 ，然后把代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：．
16. 如图，中，，点在边上，，若，则长为______．

【答案】
【解析】
【分析】将绕点B逆时针旋转到，连接，、，过点F作于点G，证明，得出，，根据直角三角形性质求出，根据勾股定理求出，，证明，得出．
【详解】解：将绕点B逆时针旋转到，连接，、，过点F作于点G，如图所示：

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，旋转的性质，解题的关键是作出发现，构造全等三角形，证明，．
三、解答题：本题共9小题，共86分．
17. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算：
（1）先根据零指数幂，负整数指数幂立方根的性质化简，再计算，即可求解；
（2）先计算乘除，再合并，即可求解．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
18. 如图，四边形中，，对角线交于点，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明是解题的关键．证明，得，即可得出结论．
【详解】证明： ∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
19. 先化简：，并从0，，2中选一个合适的数作为的值代入并求值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握运算顺序是解题的关键．先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴当时，
原式．
20. 进入防汛期后，某地驻军在河堤加固的工程中出色完成任务，下面是记者与驻军工程指挥官的对话：记者：“你们是用11天时间完成5400米长的大坝加固任务的？”驻军指挥官：“是的，我们加固1200米后，采用新的加固模式，这样每天加固长度是原来的2倍．”根据对话，求该驻军原来每天加固河堤多少米？
【答案】该地驻军原来每天加固米
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关键．设该地驻军原来每天加固米，根据“用11天完成米长的大坝加固任务”，列出分式方程，即可求解．
【详解】解：设该地驻军原来每天加固米，根据题意，得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，符合题意．
答：该地驻军原来每天加固米．
21. 如图，正方形网格每个小正方形的边长为1，的三个顶点均在格点上．
（1）画出关于直线对称的；
（2）求点到直线的距离．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了作轴对称图形，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出对应点的位置．
（1）先作出点A、B、C关于的对称点、、，然后顺次连接即可；
（2）连接，过点C作于点D，求出，，在求出．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作的三角形．
【小问2详解】
解：连接，过点C作于点D，如图所示：
∵，，
∴，
即点到直线的距离为．
22. 如图，平行四边形中，，将四边形平行沿对角线折叠，点时应点，线段交于点．
（1）用尺规补全图形；
（2）若，求．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据折叠性质，对称点到对称轴的距离相等作出点的对称轴点，连接、即可解答，
（2）先证明，再利用勾股定理即可解答。
【小问1详解】
解：如图，
【小问2详解】
由折叠可得，，
∵在平行四边形中，，
∴，
∴，
∴，
设，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，，
∵，
∴中，，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查作图、折叠问题，涉及了对称图形的作法，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理．解题的关键是通过设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
23. 如图，是等腰直角三角形，，与关于对称，为边上一点，连接并延长交于点，作交于点．
（1）求证：；
（2）探究：当为何值时，点与点关于对称．
【答案】（1）见解析 （2）当时，点与点关于对称．
【解析】
【分析】（1）先证明四边形是正方形，利用等角的余角相等，得到，推出，即可证明；
（2）证明当点与点关于对称时，，由，推出，利用等腰直角三角形的性质及勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：∵是等腰直角三角形，，与关于对称，
∴，且，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵与关于对称，又点与点关于对称，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
设，则，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
24. 图1是一种长为，宽为的长方形，对角线长为，将这样四个形状和大小完全相同的长方形拼成如图2所示的大正方形，设中间阴影部分的面积为．
（1）请用含的代数式表示；
（2）若图2中的正方形面积面积为24，，求图1中长方形的周长；
（3）将7个这样的长方形按图3形式摆放，形成一个大长方形，设图中阴影部分的面积为，若，求图1中长方形的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）14
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的算术平方根，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
（1）先根据图形得出正方形的边长为，然后求出面积即可；
（2）根据勾股定理得出，根据，利用完全平方公式变形求出，求出，得出，即可求出结果；
（3）根据图中阴影部分面积得出，求出，根据，得出，把代入求出即可得出答案．
【小问1详解】
解：中间阴影部分正方形的边长为，则面积为：．
【小问2详解】
解：正方形面积面积为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴图1中长方形的周长为．
【小问3详解】
解：图3中大长方形的长为，宽为，则面积为，
∴阴影部分的面积为，
即，
∵，
即，
∴，
把代入得：
，
解得：，
∴图1中长方形的面积为14．
25. 如图，在等边中，为角平分线，点为边上一点，连接．
（1）当为中点时，求长；
（2）如图1，连接，求的最小值；
（3）如图2，过点的直线与的边分别交于点，当直线绕点旋转时，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）的最小值为；
（3）是定值，该定值为．
【解析】
【分析】（1）利用等边三角形性质得到是斜边的中线，据此求解即可；
（2）设，作，求得关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）作，，求得，证明和，推出和，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵在等边中，为角平分线，
∴，
∵为中点，
∴，即，
∴；
【小问2详解】
解：设，作，垂足为，
∵是等边三角形，
∴，则，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴有最小值，最小值；
【小问3详解】
解：是定值，该定值为．
作，，如图，
∵在等边中，为角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，同理，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
∴是定值，该定值为．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，二次函数的应用．解题关键是恰当作辅助线，利用相似三角形的判定与性质进行推理计算．
解分式方程：．
解：…①
……②
…③
… ④