福建省福州十八中学2023-2024学年八年级上学期期末考数学试题

这是一份福建省福州十八中学2023-2024学年八年级上学期期末考数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列各组线段能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．6，8，10C．5，5，6D．3，4，6
3．下列式子从左至右变形不正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，四边形中，对角线、相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）

A．B．
C．D．
5．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（ ）
A．a＝1B．a＝－1C．a＝2D．a＝－2
6．下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
7．下列命题中，为真命题的是（ ）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（2）对角线互相垂直的四边形是矩形；（3）对角线相等的平行四边形是菱形；（4）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（1）（4）D．（3）（4）
8．已知，则化简二次根式的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．2B．C．4D．6
10．按一定规律排列的代数式：2，，……，第n个单项式是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．如图，菱形的一边中点为M，对角线交于点O，，则菱形的周长为 ．
13．若，则 ．
14．直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm，则斜边上的中线长等于 ．
15．如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A，B，C，D的面积之和为 .

16．如图，长方形两边长，两顶点A、B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上运动，则顶点D到原点O的距离最大值是 ．

三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．（1）化简：；
（2）解方程：．
19．已知，如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且∠BAF=∠DCE．求证：
(1)△ABF≌△CDE
(2)四边形AECF是平行四边形．
20．先化简，再求值：，其中
21．为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地，如图所示，经测量，．

(1)求出空地的面积．
(2)若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
22．某超市购进和两种商品，已知每件商品的进货价格比每件商品的进货价格贵2元，用200元购买商品的数量恰好与用150元购买商品的数量相等．
（1）求商品的进货价格；
（2）计划购进这两种商品共30件，且投入的成本不超过200元，那么最多购进多少件商品？
23．如图，四边形是矩形，E、F分别是线段、上的点，点O是与的交点．若将沿直线折叠，则点与点重合．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的值．
24．【提出问题】求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和．
【探究问题】小红在探究该问题时从特殊的矩形和菱形开始，请你跟随小红的思路，帮她完成下列问题：

（1）①如图①，在矩形中，，，则__________；
②若边长为5的菱形中，两条对角线的平方和__________；
【解决问题】（2）如图②，已知，求证：；
【知识应用】（3）如图③，在中，的长分别为7、10、5，是边上的中线，利用（2）的结论求的长．
25．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题：
【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析1】已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，
当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．
如：；．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
(1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________；
(2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个；
(3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了二次根式的化简及加减运算，熟练掌握二次根式的化简及加减运算法则是解题的关键．根据二次根式的化简及加减运算即可求解．
【详解】解：A、不是同类二次根式，不能进行运算，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项正确；
D、，故D选项错误，
故选C．
2．B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此进行判断即可．
【详解】解：A、，正确，故本选项不符合题意；
B、，正确，故本选项不符合题意；
C、，正确，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
4．D
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：由，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，故A不符合题意；
由，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，故B不符合题意；
由，可以根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，故C不符合题意；
由，不能说明四边形是平行四边形，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键．
5．A
【分析】两个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则称它们是同类二次根式，根据此定义即可得到关于a的方程，从而可求得a的值．
【详解】∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式
∴a+1=2a
解得：a=1
故选：A
【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的概念是关键．
6．B
【分析】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐个判断即可．
【详解】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、，是最简分式，故本选项符合题意；
C、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
故选：B．
7．C
【分析】此题考查真命题的定义，熟记定义并正确掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理是解题的关键．正确的命题叫真命题，根据定义解答．
【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故（1）是真命题；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故（2）不是真命题；
对角线相等的平行四边形是矩形，故（3）不是真命题；
对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故（4）是真命题；
故选：C．
8．A
【分析】此题考查二次根式的性质及化简．首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
∵，
∴，
，
故选：A
9．A
【分析】先求出大、小正方形的边长，进而求出整个图形面积，最后根据阴影部分的面积=大矩形面积-两个正方形面积，本题得以解决．
【详解】解：由题意可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴图中阴影部分的面积为：，
故选：A．
【点睛】本题考查算术平方根，二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
10．B
【分析】不难看出奇数项为正，偶数项为负，分母为x2n-2，分子的指数为由1开始的自然数，据此即可求解．
【详解】解：∵2=，
∴按一定规律排列的代数式为：，，，，，…，
∴第n个单项式是(-1)n-1，
故选：B．
【点睛】本题考查单项式的规律，根据所给单项式的系数与次数的特点，确定单项式的规律是解题的关键．
11．
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键．
12．24
【分析】由菱形的性质可得，，再由三角形的中位线定理可得，即可求解．
【详解】解：四边形是菱形，
，，
又点是的中点，
是的中位线，
，
菱形的周长，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，掌握菱形的的对角线互相平分是解题的关键．
13．
【分析】根据绝对值与算术平方根的非负性，可得 ，，计算求解的值，进而可得的值．
【详解】解：由题意知， ，，
解得，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值与算术平方根的非负性．解题的关键在于根据非负性求解的值．
14．5cm/5厘米
【分析】先利用勾股定理求解斜边，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm，
∴斜边为：，
∴斜边上的中线长等于．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的应用，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解本题的关键．
15．49
【分析】根据勾股定理计算即可
【详解】解：最大的正方形的面积为，
由勾股定理得，正方形E、F的面积之和为，
∴正方形A、B、C、D的面积之和为，
故答案为49．

【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
16．/
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系，确定出过的中点时值最大是解题的关键．取的中点E，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得过点E时最大．
【详解】解：如图：取线段的中点E，连接，

∵，点E是的中点，，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，，
∴，
∵，
∴当点D，点E，点O共线时，的长度最大．
∴点D到点O的最大距离，
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．
（1）分别进行二次根式乘除运算，再进行加减运算即可；
（2）分别根据绝对值的意义，负整数指数幂，零指数幂分别化简，再进行加减运算即可得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
18．（1）（2）
【分析】本题考查了整式的混合运算及解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程需要检验．
（1）按运算顺序，先算乘方，再算乘除，依次计算即可；
（2）先去分母、去括号，然后移项合并，系数化为1，再进行检验，即可得到答案．
【详解】解：（1）
；
（2）
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
经检验，是原方程的解．
19．(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定定理即可证明；
（2）由（1）知BF=DE，则CF=AE，利用平行四边形的判定定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
在∆ABF与∆CDE
，
∴；
（2）解：由（1）知BF=DE，
∴BC-BF=AD-DE即CF=AE，
四边形是平行四边形，
∴CF∥AE，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质．
20．，
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a值代入计算即可．
【详解】原式==，
当时，原式=．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，解答的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则，注意运算结果要化成最简分式或整式．
21．(1)36平方米
(2)7200元
【分析】本题考查勾股定理及逆定理的应用．
（1）连接，在直角三角形中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到三角形为直角三角形，四边形面积等于三角形面积+三角形面积，求出即可；
（2）由（1）求出的面积，乘以200即可得到结果．
【详解】（1）解：连接，

在中，，
在中，，
而，
即，
∴，
则
（2）所需费用（元）．
22．（1）商品的进货价格为每件8元；（2）最多购进10件商品．
【分析】（1）设每件商品的进货价格为元，每件商品的进货价格为元，根据题中相等关系的量列出关于x的分式方程，然后求解验根即可；
（2）设购进m件A商品，则购进（30﹣m）件B商品，根据题意列出关于m的不等式进行求解即可．
【详解】（1）设每件商品的进货价格为元，每件商品的进货价格为元，
由题意可得，
，
经检验得，是原方程得解，
∴，
答：商品的进货价格为每件8元；
（2）设购进m件A商品，则购进（30﹣m）件B商品，
由题意可得8m+6（30﹣m）≤200，
解得，
答：最多购进10件商品．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，不等式的应用，解此题的关键在于根据题意设出未知数，根据题中相等关系或不等关系的量列出方程或不等式进行求解，需要注意的是分式方程一定要验根．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据折叠得出，，，根据矩形性质得出，根据平行线的性质得出，从而得出，证明，得出，即可证明结论；
（2）根据，得出，根据菱形的面积，即可求出结果．
【详解】（1）证明：沿直线折叠，点与点重合，
，，，
四边形是矩形，点与点分别是线段，上的点，
∴，
，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）解：，
，
，
又四边形是菱形，
菱形的面积，
．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判断和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和性质．
24．（1）①104②100；（2）证明见解析（3）
【分析】（1）①由四边形是矩形，得，在中，运用勾股定理求出和，即可得到结果；
②设，由四边形是菱形，得，在中，求出，由，即可求出结果；
（2）过点A作，垂足为点E，过点D作，垂足为点F，证明，得，在和中，有，得，即可证明结论；
（3）延长，使得，连接，证明四边形是平行四边形，由（2）得，可得，即可求出结果．
【详解】解：（1）①∵四边形是矩形，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：104；
②解：设，
∵四边形是菱形，
∴，
在中，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
故答案为：100；

（2）证明：过点A作，垂足为点E，过点D作，垂足为点F，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴
，
，
，
∴；

（3）解：延长到E，使得，连接，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
由（2）得，
∴，
解得，或（不合题意，舍去），
∴．

【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，本题的关键是构造直角三角形，运用勾股定理解题．
25．(1)3，6
(2)真分式，，4
(3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米
(4)当时，分式取到最大值，最大值为
【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键．
（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可；
（2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值；
（3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据：
求解；
（4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；．
【详解】（1）解：令，则有，
得，
当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6；
故答案为：3，6；
（2）解：根据新定义分式是真分式，
，
x为整数，且为整数，
或或或，
解得：或或或，
则满足条件的整数x的值有4个，
故答案为：真分式，，4；
（3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米，
根据题意得：
由上述性质知：∵，
∴，
此时， ，
∴，
答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米；
（4）解：
，
，
，
当且当时，即时，式子有最小值为4，
当时，分式取到最大值，最大值为．