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    2023-2024学年广东省汕尾市高一(上)期末数学试卷(含解析)
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    2023-2024学年广东省汕尾市高一(上)期末数学试卷(含解析)

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    这是一份2023-2024学年广东省汕尾市高一(上)期末数学试卷(含解析),共14页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.已知命题p:∀x∈R,x2−3x+a≠0,则( )
    A. ¬p:∀x∈R,x2−3x+a=0B. ¬p:∃x∈R,x2−3x+a=0
    C. ¬p:∃x∈R,x2−3x+a≠0D. a=2时,p为真命题
    2.设集合A={2,3,4,5},B={x|−2A. {2}B. {2,3}C. {3,4}D. {2,3,4}
    3.下列幂函数中,在定义域内是偶函数且在(0,+∞)上是减函数的是( )
    A. y=x−2B. y=x−1C. y=x2D. y= x
    4.若函数f(x)=ax+1+1(a>0,a≠1)的图象经过定点P,且点P在角θ的终边上,则tanθ的值等于( )
    A. 2B. 12C. −2D. −12
    5.设a=lg310,b=20.9,c=0.93.1,则( )
    A. c6.某市家庭用水的使用量x(m3)和水费f(x)(元)满足关系f(x)=m(0a).已知某家庭2023年前四个月的水费如下表:
    若五月份该家庭使用了25m3的水,则五月份的水费为( )
    A. 32元B. 33元C. 34元D. 35元
    7.已知a,b∈R,则“2a<2b”是“lg12a>lg12b”的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    8.若函数f(x)=5x−a−4,x≤0lg(x2−4x+1−a),x>0,恰有3个零点,则实数a的取值范围为( )
    A. (−3,−2]B. (−3,−2)C. (−4,−3]D. (−4,−3)
    二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    9.已知a>b>c,且ac<0,则下列不等式恒成立的有
    ( )
    A. b−ac<0B. ba>caC. 1a>1cD. b2c>a2c
    10.已知函数f(x)=lg(1−x)−lg(1+x),则函数f(x)( )
    A. 是奇函数B. 是偶函数C. 在定义域上递增D. 在定义域上递减
    11.已知a,b为正数,且2a+b=1,则( )
    A. 012.对于区间D上的函数f(x),若满足∀x1,x2∈D且x1A. f(1)=1B. 当0≤x≤12时,f(x)=2x
    C. ∃x0∈[12,32],f(x0)<1D. ∀x∈[0,12],0≤f(f(x))≤1
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
    13.已知sinα=45,且α是第二象限角,则csα=______.
    14.若对∀x∈R,x2+ax+1>0恒成立,则实数a的取值范围是______.
    15.《九章算术》是中国古代的数学名著,其中《方田》一章涉及了弧田面积的计算问题.如图所示,弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分,若弧田所在圆的半径为6,圆心角为2π3,则此弧田的面积为______.
    16.小明在研究函数f(x)=x+kx时,发现f(x)具有其中一个性质:如果常数k>0,那么函数f(x)在区间(0, k)上单调递减,在区间( k,+∞)上单调递增.请你根据以上信息和所学知识解决问题:若函数g(x)=x+a−1x的定义域为[12,+∞),值域为[a3,+∞),则实数a的值是______.
    四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    17.(本小题10分)
    已知sin(π+α)+cs(π2+α)cs(π−α)=1.
    (1)求tanα的值;
    (2)求sinα−3csαsinα+csα的值.
    18.(本小题12分)
    已知集合A={x|a−1≤x≤2a+3},B={x|x2−2x−8≤0},全集U=R条件:①A∩B=A;②A∪B=B.
    (1)当a=2时,求A∪B和(∁RA)∩B;
    (2)若集合A,B满足条件_____,求实数a的取值范围.(从两个条件中任选一个作答,若同时选择两个条件作答,则按所选的第一个条件给分)
    19.(本小题12分)
    已知函数f(x)=ax2+3x+2.
    (1)若关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|b(2)若a>0,解关于x的不等式f(x)>−ax−1.
    20.(本小题12分)
    已知函数f(x)=ln(2−2x)+ln(2−2−x).
    (1)求函数f(x)的定义域;
    (2)若f(x)≤k恒成立,求实数h的取值范围.
    21.(本小题12分)
    物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型,如果物体的初始温度为θ1℃,空气温度为θ0℃(θ1>θ0),则x分钟后物体的温度θ(x)满足θ(x)−θ0=(θ1−θ0)e−kx(k为常数).实验测算,当x=12时满足θ(x)−θ0=12(θ1−θ0).
    (1)求k的值;
    (2)茶艺文化是中国传统文化的重要组成部分,涵盖茶的制作、泡法、茶器、茶道等方面.经验表明,茶水的口感与茶叶品种和水温有关,某种茶叶泡制的茶水,刚彻出来时茶水温度为75℃,等茶水温度降至55℃时饮用口感最佳.已知空气温度为25℃,则刚沕出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?(结果保留一位小数,参考数值:ln2≈0.7,ln3≈1.1,ln5≈1.6)
    22.(本小题12分)
    平原上两根电线杆间的电线有相似的曲线形态,这些曲线在数学上称为悬链线.悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中,这类曲线的函数表达式可以为f(x)=aex+be−x,其中a、b为非零实数.
    (1)利用单调性定义证明:当a=b=1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
    (2)若f(x)为奇函数,函数g(x)=e2x+e−2x+f(x)−2,x∈[0,ln2],探究是否存在实数a,使g(x)的最小值为−1?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
    答案和解析
    1.【答案】B
    【解析】解:命题p:∀x∈R,x2−3x+a≠0,
    则 ¬p:∃x∈R,x2−3x+a=0,
    当a=2时,x=1或2时,x2−3x+2=0,故p为假命题.
    故选:B.
    任意改存在,将结论取反,即可求解.
    本题主要考查全称命题的否定,属于基础题.
    2.【答案】B
    【解析】解:集合A={2,3,4,5},B={x|−2则图中阴影部分表示的集合为A∩B={2,3}.
    故选:B.
    利用交集定义、韦恩图直接求解.
    本题考查交集定义、韦恩图等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
    3.【答案】A
    【解析】解:根据题意,依次分析选项:
    对于A,y=x−2=1x2,在定义域内是偶函数且在(0,+∞)上是减函数,符合题意;
    对于B,y=x−1,在其定义域内为奇函数,不符合题意;
    对于C,y=x2,是偶函数,但在(0,+∞)上是增函数,不符合题意;
    对于D,y= x,其定义域为[0,+∞),既不是奇函数也不是偶函数,不符合题意.
    故选:A.
    根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性和(0,+∞)上的单调性,综合可得答案.
    本题考查函数奇偶性和单调性的判断,注意常见函数的奇偶性和单调性,属于基础题.
    4.【答案】C
    【解析】解:函数f(x)=ax+1+1,
    令x+1=0,解得x=−1,
    当x=−1时,f(x)=1+1=2,
    故点P(−1,2),
    所以tanθ=2−1=−2.
    故选:C.
    根据已知条件,结合指数函数的性质,求出定点P,再结合三角函数的定义,即可求解.
    本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.
    5.【答案】A
    【解析】解:a=lg310>lg39=2,
    1=20c=0.93.1<0.90=1,
    ∴c故选:A.
    利用对数函数、指数函数的单调性直接求解.
    本题考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
    6.【答案】A
    【解析】解:由题意知,函数f(x)=m(0a)中,
    m=4,f(15)=4+(15−a)n=18,f(20)=4+(20−a)n=25;
    解方程组得a=5,n=1.4,
    所以f(x)=4+1.4(x−5),x>5;
    所以f(25)=4+1.4×(25−5)=32,
    即该家庭五月份的水费是32元.
    故选:A.
    根据题意得出m=4,利用f(15)=18,f(20)=25列方程组求出a、n,即可求得f(25)的值.
    本题考查了分段函数的应用问题,是基础题.
    7.【答案】B
    【解析】解:由2a<2b,能得到alg12b,故充分性不成立.
    由lg12a>lg12b,可得b>a>0,能得到2a<2b,故必要性成立.
    综上可得,2a<2b”是“lg12a>lg12b”的必要不充分条件.
    故选:B.
    由题意,根据必要不充分条件的定义,对数的运算性质,得出结论.
    本题主要考查必要不充分条件的定义,对数的运算性质,属于基础题.
    8.【答案】D
    【解析】解:由f(x)=0,得a=5x−4,x≤0x2−4x,x>0,
    作出函数g(x)=5x−4,x≤0x2−4x,x>0的图象,如图所示:
    令x=0,则5x−4=−3,
    由图可知,当a∈(−4,−3]时,直线y=a与函数y=g(x)的图象有3个交点,
    从而函数y=f(x)有3个零点,
    但x2−4x+1−a>0对x>0恒成立,即a0恒成立,
    又x2−4x+1=(x−2)2−3≥−3,则a<−3,
    所以a∈(−4,−3).
    故选:D.
    令f(x)=0,则有a=5x−4,x≤0x2−4x,x>0,作出函数g(x)=5x−4,x≤0x2−4x,x>0的图象,结合图象即可得答案.
    本题考查了函数的零点、转化思想及数形结合思想,属于中档题.
    9.【答案】BC
    【解析】【分析】
    本题考查了不等式的性质,考查了学生对不等式的分析推理能力,属于基础题.
    由已知可得a>0,c<0,b的符号不确定,然后对应各个选项逐个判断即可.
    【解答】
    解:由已知可得a>0,c<0,而b的符号不确定,所以C正确,D错误,
    则b−a<0,所以b−ac>0,故A错误;
    因为b>c,a>0,所以ba>ca,故B正确;
    故选:BC.
    10.【答案】AD
    【解析】解:根据题意,函数f(x)=lg(1−x)−lg(1+x),
    有1−x>01+x>0,解可得−1而f(−x)=lg(1+x)−lg(1−x)=−[lg(1−x)−lg(1+x)]=−f(x),则函数f(x)为奇函数,
    函数y=lg(1−x)在(−1,1)上为减函数,函数y=lg(1+x)在(−1,1)上为增函数,
    故f(x)在(−1,1)上为减函数.
    故选:AD.
    根据题意,先分析函数的奇偶性,再利用对数函数的性质分析f(x)的单调性,综合可得答案.
    本题考查函数奇偶性和单调性的判断,涉及对数函数的性质,属于基础题.
    11.【答案】AC
    【解析】解:根据a、b为正数,且2a+b=1,可知0<2a<1,所以0当a=14,b=12时,ab=18,故02a+1b=(2a+b)(2a+1b)=5+2ab+2ba≥5+2 4=9,当且仅当a=b=13时,等号成立,故C正确;
    当a=b=13时,a2+b2=29<14,故14故选:AC.
    根据不等式的性质,判断出A项的正误;通过举反例判断出B、D两项的正误;利用基本不等式求最值,判断出C项的正误,可得答案.
    本题主要考查了不等式的性质、运用基本不等式求最值等知识,属于基础题.
    12.【答案】ABD
    【解析】解:根据题意,依次分析选项:
    对于A,∀x∈[0,2]都有f(x)+f(2−x)=2,当x=1时,有f(1)+f(1)=2,变形可得f(1)=1,A正确;
    对于B,当0≤x≤12时,有32≤2−x≤2,则f(2−x)=2(2−x)−2=2−2x,
    又由∀x∈[0,2]都有f(x)+f(2−x)=2,则f(x)=2−f(2−x)=2x,B正确;
    对于C,由于f(12)=2×12=1,f(32)=2×32−2=1,
    函数f(x)为“非减函数”,则∀x∈[12,32],f(x)=1,C错误;
    对于D,当0≤x≤12时,f(x)=2x,此时0≤f(x)≤1,
    同时,由于f(0)=0,且f(1)=1,
    故在区间[0,1]上,0≤f(x)≤1,
    综合可得:当0≤x≤12时,有f(f(x))∈[0,1],故D正确.
    故选:ABD.
    根据题意,利用特殊值分析A,由于当0≤x≤12时,有32≤2−x≤2,利用函数的解析式分析可得f(x)在[0,12]上的解析式,分析可得B正确,由“非减函数”的定义可得C错误,利用换元法分析f(f(x))在[0,1]上值域,可得D正确,综合可得答案.
    本题考查抽象函数的性质,关键理解“非减函数”的性质,属于中档题.
    13.【答案】−35
    【解析】解:∵sinα=45,且α是第二象限角,
    ∴csα=− 1−sin2α=−35.
    故答案为:−35
    由sinα的值且α为第二象限角,利用同角三角函数间基本关系求出csα的值即可.
    此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.
    14.【答案】(−2,2)
    【解析】解:由题意知:对∀x∈R,x2+ax+1>0恒成立,
    则Δ=a2−4<0,解得−2所以实数a的取值范围是(−2,2).
    故答案为:(−2,2).
    利用判别式小于0,即可求解.
    本题考查二次不等式的解法,属于基础题.
    15.【答案】12π−9 3
    【解析】解:由题意扇形的面积为S扇形=12×2π3×62=12π,
    三角形AOB的面积为S△AOB=12×62×sin2π3=9 3,
    则弧田的面积为S=S扇形−S△AOB=12π−9 3.
    故答案为:12π−9 3.
    分别求出扇形的面积以及三角形AOB的面积,进而可以求解.
    本题考查了扇形面积公式的应用,属于基础题.
    16.【答案】18+12 2或910
    【解析】解:当a−1≤0时,即a≤1,g(x)=x+a−1x在[12,+∞)上递增,
    故当x=12时,g(x)min=g(12)=12+2(a−1)=a3,
    解得:a=910,满足题设;
    当a−1>0,即a>1,
    若 a−1≥12,即a≥54时,函数在[12, a−1)上递减,在( a−1+∞)上递增,
    故g(x)min=g( a−1)= a−1+a−1 a−1=a3,
    可得a=18+12 2或a=18−12 2(舍去);
    若 a−1<12,即1所以g(x)min=g(12)=12+2(a−1)=a3,
    解得a=910,不满足题意.
    故答案为:18+12 2或910.
    当a≤1判断单调性,进而确定最值即可求范围,当a>1,再讨论 a−1与12的大小关系,结合f(x)=x+kx的性质,判断函数在[12,+∞)上的单调性,进而确定最值,结合已知值域求参数范围.
    本题主要考查了单调性的应用,体现了分类讨论思想的应用,属于中档题.
    17.【答案】解:(1)原式=−sinα−sinα−csα=2tanα=1,
    所以tanα=12.
    (2)由(1)知tanα=12,
    所以sinα−3csαsinα+csα=tanα−3tanα+1=−53.
    【解析】(1)根据已知条件,结合三角函数的诱导公式,即可求解;
    (2)将弦化切,即可求解.
    本题主要考查三角函数的诱导公式,属于基础题.
    18.【答案】解:(1)当a=2时,A={x|1≤x≤7},B={x|−2≤x≤4},
    所以A∪B={x|−2≤x≤7},
    (∁RA)∩B={x|x<1或x>7}∩{x|−2≤x≤4}={x|−2≤x<1}.
    (2)若选择条件①,
    因为A∩B=A,
    所以A⊆B.
    若A=⌀,满足A⊆B,则a−1>2a+3,解得a<−4;
    若A≠⌀,由A⊆B,得a−1≤2a+3a−1≥−22a+3≤4,
    解得−1≤a≤12.
    综上,a的取值范围是{a|a<−4或−1≤a≤12}.
    若选择条件②,
    因为A∪B=B,
    所以A⊆B.
    若A=⌀,满足A⊆B,则a−1>2a+3,解得a<−4;
    若A≠⌀,由A⊆B,得a−1≤2a+3a−1≥−22a+3≤4,
    解得−1≤a≤12.
    综上,a的取值范围是{a|a<−4或−1≤a≤12}.
    【解析】(1)当a=2时,求出集合A和B,由此能求出A∪B和(∁RA)∩B.
    (2)推导出A⊆B,当A=⌀时,则a−1>2a+3;若A≠⌀,由A⊆B,得a−1≤2a+3a−1≥−22a+3≤4,由此能求出a的取值范围.
    本题考查交集、并集、补集、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
    19.【答案】解:(1)将x=1代入ax2+3x+2=0,可得a=−5,
    ∴不等式f(x)>0,即−5x2+3x+2>0,
    可转化为(x−1)(5x+2)<0,
    ∴原不等式的解集为{x|−25∴b=−25,
    综上a=−5,b=−25.
    (2)不等式f(x)>−ax−1,可化为ax2+(a+3)x+3>0,
    即(ax+3)(x+1)>0.
    方程(ax+3)(x+1)=0的两个根为x1=−1或x2=−3a,
    ∵a>0,
    ∴当−3a<−1,即0−1或x<−3a};
    当−3a=−1,即a=3时,{x|x≠−1};
    当−3a>−1,即a>3,原不等式的解集为{x|x<−1或x>−3a}.
    【解析】(1)将x=1代入ax2+3x+2=0,可得a=−5即可求解;
    (2)不等式f(x)>−ax−1可化为ax2+(a+3)x+3>0,分类讨论即可.
    本题考查不等式的解法,属于中档题.
    20.【答案】解:(1)由题意得,2−2x>02−2−x>0,
    即2>2x2>2−x,
    解得−1∴函数f(x)的定义域为(−1,1);
    (2)f(x)=ln(2−2x)+ln(2−2−x)=ln[(2−2x)(2−2−x)]=ln[5−2(2x+2−x)],
    ∵2x+2−x=2x+12x≥2 2x⋅12x=2(当且仅当2x=2−x,即x=0时等号成立),
    ∴5−2(2x+2−x)≤1,
    ∴f(x)=ln[5−2(2x+2−x)]≤0.
    ∵f(x)≤k恒成立,
    ∴k≥f(x)max=0,
    ∴实数k的取值范围是[0,+∞).
    【解析】(1)结合对数函数的性质求解即可;
    (2)由题意可得k≥f(x)max,结合对数函数的性质及基本不等式求解即可.
    本题考查了对数函数的性质、转化思想及基本不等式的应用,属于中档题.
    21.【答案】解:(1)由题意知,θ(12)−θ0=(θ1−θ0)e−12k,①θ(12)−θ0=12(θ1−θ0),②
    ①÷②,得2e−12k=1,两边取对数,得−12k=ln12,
    即12k=ln2,解得k=ln212.
    (2)设刚沏出来的茶水大约需要放置t分钟才能达到最佳饮用口感,
    由题意可知,θ1=75,θ0=25,θ(t)=55,
    所以55−25=(75−25)e−ln2t12t,
    即e−ln212t=35,
    解得t=12(ln5−ln3)ln2≈12×(1.6−1.1)0.7≈8.6,
    所以刚沏出来的茶水大约需要放置8.6分钟才能达到最佳饮用口感.
    【解析】(1)根据题意列方程组,即可求出k的值.
    (2)由题意知,θ1=75,θ0=25,θ(t)=55,由此求出t的值.
    本题考查了指数函数与对数函数的应用问题,也考查了运算求解能力,是中档题.
    22.【答案】(1)证明:当a=b=1时,f(x)=ex+e−x,
    设01,
    ex1−ex2<0,1−1ex1ex2>0,
    ∴f(x1)−f(x2)=(ex1+e−x1)−(ex2+e−x2)=(ex1−ex2)+(e−x1−e−x2)
    =(ex1−ex2)+ex2−ex1ex1ex2=(ex1−ex2)(1−1ex1ex2)<0.
    即f(x1)∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
    (2)解:∵f(x)为奇函数,
    ∴f(x)+f(−x)=0对∀x∈R成立
    ⇔(aex+be−x)+(ae−x+bex)=0对∀x∈R成立
    ⇔(a+b)ex+(a+b)e−x=0对∀x∈R成立,
    ∴a+b=0,f(x)=aex−ae−x=a(ex−e−x),
    ∴g(x)=e2x+e−2x+a(ex−e−x)−2=(ex−e−x)2+a(ex−e−x).
    令ex−e−x=t,x∈[0,ln2],
    ∴g(x)=h(t)=t2+at,t∈[0,32].
    又g(x)即h(t)的最小值为−1,
    ∴当−a2≤0,即a≥0时,h(t)min=h(0)=0,不符合要求;
    当0<−a2<32,即−3当−a2≥32,即a≤−3时,h(t)min=h(32)=94+3a2=−1⇒a=−136,a≤−3矛盾.
    ∴g(x)的最小值为−1,则a=−2.
    【解析】(1)利用函数的单调性的定义即可求解;
    (2)由f(x)为奇函数得,a+b=0,g(x)=e2x+e−2x+a(ex−e−x)−2=(ex−e−x)2+a(ex−e−x),令ex−e−x=t,x∈[0,ln2],则g(x)可化为h(t)=t2+at,t∈[0,32],由h(t)的最小值为−1求出a的值.
    本题考查了函数的单调性,函数的奇偶性,二次函数的性质,属于中档题.月份
    用水量(m3)
    水费(元)
    一月
    3.5
    4
    二月
    4
    4
    三月
    15
    18
    四月
    20
    25
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