2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题六　规范答题6　解析几何26

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(1)求W的方程；[切入点：直接法求轨迹方程]
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3eq \r(3).
[关键点：对周长放缩]
(1)解 设P(x，y)，则|y|＝eq \r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))2)，❶
两边同时平方化简得y＝x2＋eq \f(1,4)，
故W：y＝x2＋eq \f(1,4).(2分)
(2)证明 设矩形的三个顶点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，a2＋\f(1,4)))，
Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b，b2＋\f(1,4)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，c2＋\f(1,4)))在W上，
且a0，❺
f′(x)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))，
令f′(x)＝0，解得x＝eq \f(\r(2),2)，
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))时，f′(x)0，此时f(x)单调递增，
则f(x)min＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))＝eq \f(27,4)，❻(10分)
故eq \f(1,2)C≥eq \r(\f(27,4))＝eq \f(3\r(3),2)，即C≥3eq \r(3).
当C＝3eq \r(3)时，n＝eq \f(\r(2),2)，m＝－eq \r(2)，
与当(b－a)eq \r(1＋m2)＝(b－a)eq \r(1＋n2)，
即m＝n时等号成立，矛盾， ❼
故C>3eq \r(3)，得证．(12分)
①处直接法求轨迹方程
②处得到m，n之间的关系
③处用弦长公式表示周长
④处进行周长放缩
⑤处建立函数
⑥处利用导数求最值
⑦处排除边界值