2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题一　规范答题1　函数与导数29

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(1)讨论f(x)的单调性；[切入点：求导，讨论a的正负]
(2)证明：当a>0时，f(x)>2ln a＋eq \f(3,2).
[方法一 关键点：作差法比较f(x)min与2ln a+eq \f(3,2)的大小]
[方法二 关键点：利用不等式ex≥x＋1把函数f(x)中的指数换成一次函数]
(1)解 因为f(x)＝a(ex＋a)－x，定义域为R，
所以f′(x)＝aex－1，(1分)
eq \x(\a\vs4\al\c1(当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，,故f′x＝aex－10时，令f′(x)＝aex－1＝0，解得x＝－ln a，
eq \x(\a\vs4\al\c1(当x0，,则fx在－ln a，＋∞上单调递增.))❷
综上，当a≤0时，f(x)是减函数；(4分)
当a>0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．(5分)
(2)证明 方法一 由(1)得，当a>0时，
eq \x(fxmin＝f－ln a＝ae－ln a＋a＋ln a＝1＋a2＋ln a，)❸(7分)
要证f(x)>2ln a＋eq \f(3,2)，即证1＋a2＋ln a>2ln a＋eq \f(3,2)，
即证a2－eq \f(1,2)－ln a>0恒成立，(8分)
eq \x(令g(a)＝a2－\f(1,2)－ln a(a>0)，)❹(9分)
则g′(a)＝2a－eq \f(1,a)＝eq \f(2a2－1,a)，
令g′(a)0， ❺
则g(a)>0恒成立，所以当a>0时，f(x)>2ln a＋eq \f(3,2)恒成立，证毕．(12分)
方法二 eq \x(令hx＝ex－x－1，)❻
则h′(x)＝ex－1，由于y＝ex是增函数，
所以h′(x)＝ex－1是增函数，
又h′(0)＝e0－1＝0，
所以当x0，
所以h(x)在(－∞，0)上单调递减，
在(0，＋∞)上单调递增，
故h(x)≥h(0)＝0，
则ex≥x＋1，当且仅当x＝0时，等号成立，(6分)
eq \x(\a\vs4\al\c1(因为fx＝aex＋a－x＝aex＋a2－x,＝ex＋ln a＋a2－x≥x＋ln a＋1＋a2－x，))❼
当且仅当x＋ln a＝0，
即x＝－ln a时，等号成立，
所以要证f(x)>2ln a＋eq \f(3,2)，
即证x＋ln a＋1＋a2－x>2ln a＋eq \f(3,2)，
即证a2－eq \f(1,2)－ln a>0，(8分)
eq \x(\a\vs4\al\c1(令g(a)＝a2－\f(1,2)－ln a(a>0)，))❽(9分)
则g′(a)＝2a－eq \f(1,a)＝eq \f(2a2－1,a)，
令g′(a)0， ❾
则g(a)>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)>2ln a＋eq \f(3,2)恒成立，证毕．(12分)
①②处判断f′(x)的符号
③处利用单调性求f(x)min
④处构造函数g(a)＝f(x)min－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ln a＋\f(3,2)))
⑤处求g(a)min并判断其符号
⑥处构造函数证明ex≥x＋1
⑦处通过不等式ex≥x＋1放缩函数f(x)
⑧处构造函数g(a)
⑨处求g(a)min并判断其符号