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山东省青岛市第十七中学2024届高三上学期期末检测数学试题（学生及教师版）
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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 若是抛物线位于第一象限的点，是抛物线的焦点，，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
4. 第33届夏季奥运会预计在2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等5个表演项目．现有三个场地，，分别承担竞赛项目与表演项目比赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能，两地承办，且各自承办其中一项.5个表演项目分别由，，三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ）
A. 150种B. 300种C. 720种D. 1008种
5. 若数列的首项，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 一个封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）的上底面半径为2，下底面半径为12，母线与底面所成的角为．在圆台容器内放置一个可以任意转动的正方体，则此正方体棱长的最大值是（ ）
A B. 8C. 9D.
8. 定义在上的可导函数，满足，且，若，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. （多选）新式茶饮是指以上等茶叶通过萃取浓缩液，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．如图为2022年我国消费者购买新式茶饮的频次扇形图及月均消费新式茶饮金额的条形图．
根据所给统计图，下列结论中正确的是（ ）
A. 每周都消费新式茶饮的消费者占比不到90%
B. 每天都消费新式茶饮的消费者占比超过20%
C. 月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比超过50%
D. 月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60%
10. 有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A. 若，，则
B. 若与共线且模长相等，则
C. 若且与方向相同，则
D. 恒成立
11. 已知定义域在R上的函数满足：是奇函数，且，当，，则下列结论正确的是（ ）
A. 的周期B.
C. 在上单调递增D. 是偶函数
12. 已知函数部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，点为该部分图象与轴的交点.将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则下列四个结论正确的有（ ）
A.
B
C. 图2中，
D. 图2中，是及其内部点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积大于
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知随机变量，且，则的值为__________.
14. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________
15. 等差数列中的是函数的极值点，则______.
16. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，则双曲线C的离心率为______，过双曲线C上任一点Q作两渐近线的平行线QM，QN，它们和两条渐近线围成的平行四边形OMQN的面积为，则双曲线C的方程为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．
17. 已知数列满足：，数列为等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求和：．
18. 在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19. 某单位组织“乡村振兴”知识竞赛，有甲、乙两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该选手比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.甲类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分.已知选手张某能正确回答甲类问题的概率为0.9，能正确回答乙类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若选甲、乙两类问题是等可能的，求张某至少答对一道问题的概率；
（2）如果答题顺序由张某选择，以累计得分多为决策依据，说明张某应选择先回答哪类问题.
20. 如图（1），在直角梯形中，为的中点，四边形为正方形，将沿折起，使点到达点，如图（2），为的中点，且，点为线段上的一点.
（1）证明：；
（2）当与夹角最小时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
21. 已知椭圆C：的焦距为，左右顶点分别为A，B.M是C上异于A，B的点，满足MA，MB的斜率之积为.
（1）求C的方程；
（2）P，Q是椭圆C上的两点（P在Q的左侧），AP，BQ的斜率为，，且.且AQ与PB相交于T，求的取值范围.
22. 已知函数．
（1）若，求的单调区间与极值；
（2）若当时，恒有，求的取值范围；
（3）设，证明：．扫码加微信，进微信交流群
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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 若是抛物线位于第一象限的点，是抛物线的焦点，，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
4. 第33届夏季奥运会预计在2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等5个表演项目．现有三个场地，，分别承担竞赛项目与表演项目比赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能，两地承办，且各自承办其中一项.5个表演项目分别由，，三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ）
A. 150种B. 300种C. 720种D. 1008种
5. 若数列的首项，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 一个封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）的上底面半径为2，下底面半径为12，母线与底面所成的角为．在圆台容器内放置一个可以任意转动的正方体，则此正方体棱长的最大值是（ ）
A B. 8C. 9D.
8. 定义在上的可导函数，满足，且，若，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. （多选）新式茶饮是指以上等茶叶通过萃取浓缩液，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．如图为2022年我国消费者购买新式茶饮的频次扇形图及月均消费新式茶饮金额的条形图．
根据所给统计图，下列结论中正确的是（ ）
A. 每周都消费新式茶饮的消费者占比不到90%
B. 每天都消费新式茶饮的消费者占比超过20%
C. 月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比超过50%
D. 月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60%
10. 有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A. 若，，则
B. 若与共线且模长相等，则
C. 若且与方向相同，则
D. 恒成立
11. 已知定义域在R上的函数满足：是奇函数，且，当，，则下列结论正确的是（ ）
A. 的周期B.
C. 在上单调递增D. 是偶函数
12. 已知函数部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，点为该部分图象与轴的交点.将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则下列四个结论正确的有（ ）
A.
B
C. 图2中，
D. 图2中，是及其内部点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积大于
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知随机变量，且，则的值为__________.
14. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________
15. 等差数列中的是函数的极值点，则______.
16. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，则双曲线C的离心率为______，过双曲线C上任一点Q作两渐近线的平行线QM，QN，它们和两条渐近线围成的平行四边形OMQN的面积为，则双曲线C的方程为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．
17. 已知数列满足：，数列为等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求和：．
18. 在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19. 某单位组织“乡村振兴”知识竞赛，有甲、乙两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该选手比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.甲类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分.已知选手张某能正确回答甲类问题的概率为0.9，能正确回答乙类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若选甲、乙两类问题是等可能的，求张某至少答对一道问题的概率；
（2）如果答题顺序由张某选择，以累计得分多为决策依据，说明张某应选择先回答哪类问题.
20. 如图（1），在直角梯形中，为的中点，四边形为正方形，将沿折起，使点到达点，如图（2），为的中点，且，点为线段上的一点.
（1）证明：；
（2）当与夹角最小时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
21. 已知椭圆C：的焦距为，左右顶点分别为A，B.M是C上异于A，B的点，满足MA，MB的斜率之积为.
（1）求C的方程；
（2）P，Q是椭圆C上的两点（P在Q的左侧），AP，BQ的斜率为，，且.且AQ与PB相交于T，求的取值范围.
22. 已知函数．
（1）若，求的单调区间与极值；
（2）若当时，恒有，求的取值范围；
（3）设，证明：．扫码加微信，进微信交流群
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