山东省烟台市2023-2024学年高三上学期1月期末学业水平诊断数学试题（学生及教师版）

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注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效：在草稿纸､试题卷上答题无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 设集合，集合，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
2. “直线与平行”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知且，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知，则向量与夹角大小为（ ）
A. B. C. D.
5. 我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造.算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空.纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“”，62记为“”.现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则方程实数根的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 已知为双曲线的一个焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与的另外一条渐近线交于点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 3
8. 已知函数，若，使得，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知样本数据平均数为，则数据（ ）
A. 与原数据的极差相同B. 与原数据的中位数相同
C. 与原数据的方差相同D. 与原数据的平均数相同
10. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递增
D. 当时，的最小值为
11. 如图，在正四棱台中，为棱上一点，则（ ）
A. 不存在点，使得直线平面
B. 当点与重合时，直线平面
C. 当为中点时，直线与所成角的余弦值为
D. 当为中点时，三棱锥与三棱锥的体积之比为
12. 我国著名数学家华罗庚先生说：“就数学本身而言，是壮丽多彩､千姿百态､引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美.”图形美是数学美的重要方面.如图，由抛物线分别逆时针旋转可围成“四角花瓣”图案（阴影区域），则（ ）
A. 开口向下的抛物线的方程为
B. 若，则
C. 设，则时，直线截第一象限花瓣的弦长最大
D. 无论为何值，过点且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中的系数为__________.
14. 已知等差数列的前项和为且，则的值为__________.
15. 若存在两个不相等正实数，使得，则实数的取值范围为__________.
16. 如图，在直三棱柱中，，，则该三棱柱外接球的表面积为__________；若点为线段的中点，点为线段上一动点，则平面截三棱柱所得截面面积的最大值为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 若的内角的对边分别为.
（1）求；
（2）若，求面积.
18. 已知数列的前项和，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求证：数列的前项和.
19. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面底面.
（1）求证：；
（2）若，且四棱锥体积为2，求直线与平面所成角的正弦值.
20. 某学校计划举办趣味投篮比赛，比赛分若干局进行.每一局比赛规则如下：两人组成一个小组，每人各投篮3次；若某选手投中次数多于未投中次数，则称该选手为“好投手”；若两人均为“好投手”，则称该小组为本局比赛的“神投手组合”.假定每位参赛选手均参加每一局的比赛，每人每次投篮结果互不影响.若甲､乙两位同学组成一个小组参赛，且甲､乙同学的投篮命中率分别为.
（1）求在一局比赛中甲被称为“好投手”的概率；
（2）若以“甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为3的概率最大”作为决策依据，试推断本次投篮比赛设置的总局数为多少时，对该小组更有利？
21. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）求证：.
22. 已知为曲线上任意一点，直线与圆相切，且分别与交于两点，为坐标原点.
（1）若为定值，求的值，并说明理由；
（2）若，求面积取值范围.数字
1
2
3
4
5
6
7
8
9
纵式
横式
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