山东省青岛市2023-2024学年高三上学期期末学业水平检测数学试题

这是一份山东省青岛市2023-2024学年高三上学期期末学业水平检测数学试题，共11页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡上交等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，22题．全卷满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，请将答题卡上交。
一、单项选择题：本大题共8小题。每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．复数（，i为虚数单位），是z的共轭复数，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．在四边形ABCD中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，E，F分别为AB，CD的中点，则（ ）
A．10B．12C．14D．16
4．2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．而今“一带一路”已成为当今世界最受欢迎的国际公共产晶和最大规模的国际合作平台。树人中学历史学科组近期开展了“回望丝路”系列主题活动，组织“一带一路”知识竞赛，并对学生成绩进行了汇总整理，形成以下直方图。该校学生“一带一路”知识竞赛成绩的第60百分位数大约为（ ）
A．72B．76C．78D．85
5．已知等差数列各项均为正整数，，，则其公差d为（ ）
A．0B．1C．2D．4
6．已知点F是抛物线的焦点，过点的直线l与曲线E交于点A，B，若的最小值为14，则E的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
7．已知正方体，E，F是线段AC上的点，且，分别过点E，F作与直线垂直的平面、，则正方体夹在平面与之间的部分的体积占整个正方体体积的（ ）
A．B．C．D．
8．已知O为坐标原点，双曲线的左，右焦点依次为，过点的直线与E在第一象限交于点P，若，，则E的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．一个密闭的容器中装有2个红球和4个白球，所有小球除颜色外均相同．现从容器中不放回地抽取两个小球．记事件A：“至少有1个红球”，事件B：“至少有1个白球”，事件，则（ ）
A．事件A，B不互斥B．事件A，B相互独立
C．D．
10．已知函数的图象关于点对称，在上单调递减，．将的图象向右平移个单位得到函数的图象，则（ ）
A．B．，
C．D．为偶函数
11．若实数a，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
12．将函数的图象绕原点逆时针旋转后得到的曲线依然可以看作一个函数的图象、以下函数中符合上述条件的有（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中含项的系数是______．（结果用数字表示）
14．正八面体各个面分别标以数字1到8．抛掷一次该正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为。已知事件，，，若但A，B与C均不独立，则事件______．
15．已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为______．
16．若函数在上单调递增，则a的取值范围是______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。
（1）证明：若，则；
（2）探究：是否存在一个，其三边为三个连续的自然数，且最大角是最小角的两倍？如果存在，试求出最大边的长度；如果不存在，说明理由．
18．（本题满分12分）
已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，证明：．
19．（本题满分12分）
如图，在三棱锥中，底面ABC，，，．，点D，E分别为棱BC，SC的中点，点M，N在棱SA上，，且满足平面BEN。
（1）求AN的长；
（2）求平面BEN与平面DEM夹角的余弦值．
20．（本题满分12分）
为培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某学校每月都会开展学农实践活动．已知学农基地前10个月的利润数据如下表，月份用x表示，，利润用y（单位：万元）表示，已知y与x的经验回归方程为．
（1）求a，b的值（结果精确到1）；
（2）某班班主任和农学指导教师分别独立从该班5名班级干部名单中各随机选择2人作为组长，设被选出的组长构成集合M，集合M中元素的个数记为随机变量X。
（i）求X的分布列及数学期望；
（ii）规定：进行多轮选择，每轮出现记为A，出现记为B，先出现AB为甲胜，先出现AA为乙胜．记表示“第一轮为A且最终甲胜的概率”，表示“第一轮为B且最终甲胜的概率”，求，及甲胜的概率．
参考数据：，，，．
参考公式：对于一组数据．其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：
，．
21．（本题满分12分）
已知O为坐标原点，点P在椭圆上，的左、右焦点恰为双曲线的左、右顶点，的离心率．
（1）求的标准方程；
（2）若直线l与相交于A，B两点，AB中点W在曲线上．探究直线AB与双曲线的位置关系。
22．（本题满分12分）
在各项均为正数的数列中，，，．
（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前n项和为．
（i）求；（ii）证明：．
2023-2024学年度第一学期期末学业水平检测高三数学答案
一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．
1-8：CBAB CDCA
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
9．AD； 10．AC； 11．BCD； 12．AC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．； 14．{1,5,7,8}； 15． 16．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
解：（1）若，
则
所以，由正弦定理得：．
（2）假设存在，其三边为三个连续的自然数，a，，
设所对的角分别为A，B，C，则若最大角是最小角的两倍，即．
由（1）知，，即．
由余弦定理知，
代入上式得，解得，经检验满足条件．
于是最大边长为．
因此，存在一个，其三边为三个连续的自然数，最大边长为6．
18．（本小题满分12分）
解：（1）当时，，则
由得，；由得，
故在上单调递增，在上单调递减，
（2）（法一）当时，
由（1）可知，即，
所以在单调递减，在单调递增，
因此，（当且仅当时取得等号）
（法二）当时，
令，可知
于是在单调递减，在单调递增，
因此，（当且仅当时取得等号）．
令，则由（1）知：故在单调递增，
因此．所以．
19．（本小题满分12分）
解：连接SD与BE交于点G，
则平面SMD与平面平面BEN交于NG．
若直线平面BEN，
则．
因为点D，E分别为棱BC，SC的中点，故点G为三角形SBC的重心，满足，
故必有．
由题意知，因此点N是SA的中点，．
（2）由题意知，底面ABC，，不妨以点A为坐标原点，
以AB，AC，AS方向分别建立x，y，z轴，则，，，，，，，，
设平面BEN的一个法向量为，则，
令，则，，于是
设平面DEM的一个法向量为，则，
令，则，，于是，
则．
因此，平面BEN与平面DEM夹角的余弦值为．
20．（本小题满分12分）
解：（1）由已知公式得，
所以，，
（2）（i）由题意知，X的可能取值为2，3，4，
，
，
C3C；C
其分布列为
．
当第一轮为A时，若第二轮为B，则甲胜；若第二轮为A，则乙胜
所以
当第一轮为B时，若第二轮为A，则最终甲胜的概率为，若第二轮为B，则最终甲胜的概率为；
所以，解答．
由全概率公式知：甲胜的概率．
21．（本小题满分12分）
解：（1）由题知：
所以，，解得．
所以椭圆C的标准方程为；．
（2）设，，
若直线l斜率存在，设，
因为得：，
所以
所以，，
设，所以，，
所以，，
所以
同理
因为W在曲线上，
所以，解得
又因为得：，
所以，直线AB与相切．
若直线l斜率不存在，由对称性知W在x轴上，W在曲线，
所以，此时也有直线AB与相切，
综上知：直线AB与相切．
22．（本小题满分12分）
解：（1）由题意知，
因此数列是以为首项，以4为公比的等比数列，
于是，．
．
又适合上式，所以．
（2）（i）因为，
所以．
．
（ii）因为数列的前n项和为，
所以只需证明：．
令，只需证明．
设函数，，．
所以，即成立，得证．x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
4.683
4.819
3.282
1.486
1.082
2.441
4.314
4.979
3.824
1.912
t
0.841
0.909
0.141
-0.757
-0.959
-0.279
0.657
0.989
0.412
-0.544
X
2
3
4
P
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