湖南省常德市2023-2024学年高三上学期期末检测数学试题

这是一份湖南省常德市2023-2024学年高三上学期期末检测数学试题，共13页。试卷主要包含了考试结束后，只交答题卡，已知向量，，若，则的值为，已知，则下列不等式一定成立的是等内容，欢迎下载使用。

本试卷满分150分，考试时间120分钟
命题人：
注意事项：
1．所有试题的答案请在答题卡的指定区域内作答．
2．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A．B．C．D．
2．已知复数z满足，则
A．5B．C．D．1
3．已知向量，，若，则的值为
A．B．C．D．
4．党的二十大会议确定“高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务”的新部署．某企业落实该举措后因地制宜，发展经济，预计2023年人均交增加1000元收入，以后每年将在此基础上以10%的增长率增长，则该企业每年人均增加收入开始超过3000元的年份大约是
（参考数据：，，）
A．2030年B．2032年C．2033年D．2035年
5．某校高三年级800名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布，若某学生数学成绩为102分，则该学生数学成绩的年级排名大约是
（附：，，
）
A．第18名B．第127名C．第245名D．第546名
6．已知等差数列与各项为正的等比数列满足：，，，则
A．B．C．D．
7．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的体积之比为3∶1，且该几何体的顶点均在体积为的球的表面上，则该几何体的表面积为
图1图2
A．B．C．D．
8．已知函数，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某校举行演讲比赛，10位评委对某选手的评分如下：7.5，7.8，7.8，7.8，8.0，8.0，8.3，8.3，8.8，8.9，选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数．则下列说法正确的是
A．剩下的8个评分的众数为7.8
B．原来的10个评分的80%分位数8.3
C．剩下的8个评分的平均数比原来的10个评分的平均数小
D．剩下的8个评分的方差比原来的10个评分的方差小
10．已知，则下列不等式一定成立的是
A．B．C．D．
11．设圆的圆心为M，双曲线C：的左右焦点分别，，已知圆M与双曲线C相交于A，B两点，且，则下列说法正确的
A．双曲线C的焦距为
B．双曲线C的渐近线方程为
C．双曲线C的焦点到渐近线距离为2
D．过点M且与双曲线C的右支有2个交点的直线的斜率的取值范围是
12．如图，在多面体ABCDEP中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且DE∥PA，，M，N分别是线段BC，PB的中点，Q是线段CD上的一个动点，则下列说法正确的是
A．存在点Q，使得NQ⊥PB
B．存在点Q，使得异面直线NQ与PE所成的角为30°
C．三棱锥Q-AMN体积的取值范围为
D．当点Q运动到CD中点时，CD与平面QMN所成角的正弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线在处的切线方程为 ．
14．的展开式中的系数是 ．（用数字作答）
15．已知定义域为R的函数满足：，且函数为奇函数，则
．
16．已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一点，线段与y轴交于点Q，若，且为等腰三角形，则椭圆C的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知数列的前n项和为，点在直线的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是首项为1且公比为2的等比数列，求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
在三棱台中，已知平面ABC，，，．
第18题图
（1）证明：平面平面；
（2）若M，N分别为与AB的中点，直线MN与直线相交于点P，求平面与平面ABP的夹角的余弦值．
19．（本小题满分12分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C；
（2）若，∠ACB的平分线CD交AB于点D，且，求△ABC的面积．
20．（本小题满分12分）
已知点F为抛物线C：（）的焦点，点，，且．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若直线l过点Q且与抛物线C相交于A，B两点，△PAB面积为，求直线l的方程．
21．（本小题满分12分）
某企业对500个产品逐一进行检验，检验“合格”方能出厂．产品检验需要进行三项工序A、B、C，三项检验全部通过则被确定为“合格”，若其中至少2项检验不通过的产品确定为“不合格”，有且只有1项检验不通过的产品将其进行改良后再检验A、B两项工序，如果这两项全部通过则被确定为“合格”，否则确定为“不合格”．每个产品检验A、B、C三项工序工作相互独立，每一项检验不通过的概率均为p（）．
（1）记某产品被确定为“不合格”的概率为，求的值；
（2）若不需要重新检验的每个产品的检验费用为120元，需要重新检验的每个产品两次检验费用为200元．除检验费用外，其他费用为2万元，且这500个产品全部检验，该企业预算检验总费用（包含检验费用与其他费用）为10万元．试预测该企业检验总费用是否会超过预算？并说明理由．
22．（本小题满分12分）
设函数，．
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）若函数在区间上的极值点为a且零点为b，求证：．
（参考数据：，）
常德市2023-2024学年度上学期高三检测考试
数学（参考答案）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．14．6415．016．
四、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
解：
（1）∵点在直线的图象上，
∴，即
当时，
当时，
又符合上式，
∴（）
（2）由题设可知
则
18．（本小题满分12分）
（1）证明：取AC的中点D，则且，
∴四边形为平行四边形，则有，
又，故，
∴
又，，，，平面
∴平面
又平面，
∴
又，，，平面
∴平面
又平面，
∴平面平面
（问卷说明：（1）也可用向量方法证明）
（2）如图，以A为原点，AB，AC，方向分别向x轴、y轴、z轴建立直角坐标系A-xyz，则，，，，，
因为P在直线上，设，则，
由题意知P，M，N三点共线，可设，
则，解得，
故．
设平面ABP的法向量为，，
则，取，则
由（1）知平面，取平面的法向量为
设平面与平面ABP的夹角为，
则
故平面与平面ABP的夹角的余弦值为
19．（本小题满分12分）
解：
（1）因为，由正弦定理可得
即，
即，
所以
又，所以，
所以，则，
又，所以
（2）解：由题意得，
又，
所以，
即
由余弦定理得，即
∴，
解得或（舍）
所以
20．（本小题满分12分）
解：
（1）由题设可知，
∴
整理得，解得．
所以抛物线C的标准方程为
（2）由题可知直线l与抛物线C交于A、B两点，故直线l的斜率存在且不为0，
可设直线l的方程为（），、
联立直线l的方程与抛物线方程消y得
由得且
，
∴
点P到直线l的距离为
∵△PAB面积为，
∴
化简得，
解得或
∴直线l的方程为或
21．（本小题满分12分）
解：
（1）法一：
由题知，每个产品首次检验被确定为“不合格”的概率为
首次检验有且只有1项检验不通过的产品再次检验被确定为“不合格”的概率为
则
故
法二：间接法
（2）设每个产品检验的费用为X元，则X的可能取值为120，200
由题知
∴，
令，，
则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则，即
故该企业检验总费用的期望最大值为（万元），
故预测不会超过预算
22．（本小题满分12分）
解：
（1）法一
∵
∴
当时，，，
∴，即
∴函数在区间上单调递增
法二：
∵，
∴
当时，
∴函数在区间上单调递增
∴
∴函数在区间上单调递增
（2）
由（1）知函数在区间上单调递增
又，，
∴存在唯一的，使得
当时，，；
当时，，
∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
∴函数在区间上有唯一极值点a
又，
由参考数据，可知
∴函数在区间上有唯一的零点b，且
构造函数（），
∴在上单调递增，
∴，即
∴
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
D
B
C
A
A
题号
9
10
11
12
答案
ACD
AB
AD
ACD
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