湖南省常德市2022届高三上学期期末检测数学试卷(含答案)

这是一份湖南省常德市2022届高三上学期期末检测数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、设集合，，则( )
A.B.C.D.
2、已知复数z满足：，则( )
A.B.C.1D.
3、若，则的值为( )
A.B.C.D.
4、在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径.假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天(初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……)那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为(参考数据：，)( )
A.35B.42C.49D.56
5、根据如下样本数据得到的回归直线方程中的，根据此方程预测当时，y的取值为( )
A.-6.0B.-6.1C.-6.2D.-6.4
6、已知函数(，，)的部分图象如图所示，则下列四个结论中正确的是( )
A.若，则函数的值域为
B.点是函数图象的一个对称中心
C.函数在区间上是增函数
D.函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到
7、若函数为定义在R上的奇函数，为的导函数，当时，，则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
8、已知双曲线(，)的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P为双曲线右支上且位于第一象限内的一点，直线PO交双曲线C的左支于点A，直线交双曲线C的右支于另一点B，，，则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.2
二、多项选择题
9、若，，，则( )
A.B.
C.D.
10、甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次(骰子每次出现的点数可能为1，2，3，4，5，6)，并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现6点的描述是( )
A.中位数为3，众数为5B.中位数为3，极差为3
C.中位数为1，平均数为2D.平均数为3，方差为2
11、已知正方体的棱长为2，P，Q分别为棱，的中点，M为线段BD上的动点，则( )
A.
B.
C.三棱锥的体积为定值
D.M为BD的中点时，则二面角的平面角为60°
12、已知抛物线的焦点为F，斜率为1的直线l交抛物线于A、B两点，则( )
A.抛物线C的准线方程为
B.线段AB的中点在直线上
C.若，则的面积为
D.以线段AF为直径的圆一定与y轴相切
三、填空题
13、曲线在处的切线方程为__________.
14、已知点M的坐标为，AB是圆的一条直径，则___________.
15、展开式中的常数项是__________.
16、已知正三棱锥的底面是边长为的等边三角形，其内切球的表面积为，且和各侧面分别相切于点F、M、N三点，则的周长为__________.
四、解答题
17、已知数列的前n项和为，且.
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列前20项的和.
18、 如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线.
(1)求证：；
(2)若C底面圆上一点，且，，，，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.
19、设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边.
(1)求角A的大小；
(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分.
①设角A的角平分线交BC边于点D，且，求面积的最小值.
②设点D为BC边上的中点，且，求面积的最大值.
20、已知椭圆的离心率为，椭圆C的左、右顶点分别为A、B，直线经过椭圆C的右焦点F，且与椭圆交于M，N两点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线BM，AN的斜率分别为，，若，求证：为定值.
21、已知某箱中装有10件产品，其中合格品8件，次品2件.现进行产品质量检测，从中任取一件产品进行检测视为1次质量检测(如果取到合格品，则把它放回箱中；如果取到次品，则不放回箱中且另补放一件合格品到箱中).在重复n次这样的质量检测后，记箱中的次品件数为.
(1)求的分布列及数学期望；
(2)设表示“n次操作后箱中的次品件数为1”的概率，求，并用表示.
22、已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个极值点、，且(e为自然对数底数，且)，求的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：，，
故选：C.
2、答案：A
解析：，
，
，
故选A
3、答案：C
解析：，
，
故选C
4、答案：B
解析：设感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染，
则每轮新增感染为，
经过n轮感染，总感染人数为，，
当感染人数增加到1000人时，，化简可得，
，
平均感染周期为7天，
感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为天.
故选：B.
5、答案：B
解析：由表中数据可得，
，
中的，
当时，
故选：B.
6、答案：A
解析：由图可知，，，所以，
所以，把点代入函数的解析式中，可得，
所以，，即，，因为，所以，
所以，
选项A，当时，，所以，即A正确；
选项B，，即B错误；
选项C，令，，则，，
当时，函数在上是增函数，，即C错误；
选项D，的图象向右平移个单位长度，
得到，即D错误.
故选：A.
7、答案：D
解析：令，
则，
因为当时，，
所以，所以在上单调递增，
当时，
因为函数为定义在R上的奇函数，
所以，且在上单调递增，
综上所述，不等式的解集为.
故选：D.
8、答案：B
解析：由双曲线的定义可得，
由，可得，
，
由双曲线性质得，而，
可得四边形为平行四边形，
又，
对三角形，用余弦定理，
得到
结合，可得，
，，代入上式子中，
得到，即，
则.
故选：B.
9、答案：BD
解析：根据题意，依次判断选项：
对于A，，变形可得，当且仅当时等号成立，A错误；
对于B，，当且仅当时等号成立，B正确；
对于C，，当且仅当时等号成立，C错误；
对于D，，当且仅当时等号成立，D正确；
故选：BD.
10、答案：AD
解析：对于A，中位数为3，众数为5，这5个数从小到大排列后，
第3个数是3，则第4个数和第5个数都是5，
这5个数中一定没有6，故A正确；
对于B，中位数为3，极差为3，这5个数可以是3，3，3，4，6，故B错误；
对于C，中位数为1，平均数为2，这5个数可以是1，1，1，1，6故C错误；
对于D，平均数为3，方差为2，
，
，
若取，则，
，，
，，
，，，这4个数可以是4，3，3，3与2，3，3，3与矛盾，故6不存在，故D正确.
故选：AD.
11、答案：BC
解析：由正方体的性质可知，PQ与不平行，故PQ不可能平行于BC，故A错误；
由正方体的性质得，，又，
平面，平面，
，故B正确；
由题可知M到平面的距离为定值，为定值，
，为定值，故C正确；
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
设平面PQM的法向量，则，取，得，平面的法向是为，设二面角的平面角为，则，故D错误.
故选：BC.
12、答案：BCD
解析：对于A选项，抛物线C的准线方程为，所以A错；
对于选B项，设点，，设线段AB的中点为，
则，两式作差得，
可得，
所以，故，所以B对；
对于C选项，设直线AB的方程为，
联立，可得，
，解得，
由韦达定理可得，，
，解得，
点O到直线l的距离为，
故，所以C对；
对于D选项，设线段AF的中点为，则，
由抛物线的定义可得，即等于点N到y轴距离的两倍，
所以，以线段AF为直径的圆一定与y轴相切，所以D对.
故选：BCD
13、答案：
解析：由，得，所以曲线在处的斜率，又当时，，所以曲线在处的切线方程为.
故答案为：.
14、答案：3
解析：点M的坐标为，AB是圆的一条直径，
，
故答案为3
15、答案：12
解析：展开式中的常数项为，
故答案为：12.
16、答案：
解析：设三棱锥的内切球球心为点O，设球O切三棱雉的侧面ACD于点F，取CD的中点E，连接BE，设正的中心为点G，则G在线段BE上，
设，的外接圆半径为，则，
，E为CD的中点，则，，
设球O的半径为r，则，可得，即，
由正棱锥的性质可知平面BCD，因为平面BCD，则，，所以，即，解得，
，
取BC的中点H，连接AH、EH，设球O切侧面ABC于点M，连接FM，
同理可得，，因为H、E分别为BC、CD的中点，
则
，则，且，故，
设BD的中点为Q，连接EQ、HQ，则，
故为等边三角形，
易知为等边三角形，故的周长为.
故答案为：.
17、答案：(1)
(2)
解析：(1)由题可知，，解得.
在中令，得，解得；
①，
②，
由得：，即，
.
数列是首项与公差都为2的等差数列，
.
(2)解：题可知，当时，，
.
当时，，
，
.
18、答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)OP是圆柱的一条母线，
平面OAB，又面OAB，
，
AB是圆柱的底面圆的直径，
，即，又，
面OPB，又面OPB，
.
(2)，
；
AB是圆柱的底面圆的直径，
，又，
四边形OACB为正方形，
如图建立空间直角坐标系，可知，，，
设平面PAB的法向量为，，，
，即，
取，则，又，
设直线PC与平面PAB所成角为，
，
所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.
19、答案：(1)
(2)选①，②
解析：(1)且，
，即，
，又，
；
(2)选①AD平分，
，
，
，
即，
由基本不等式可得：，
，当且仅当时取“=”，
，
即的面积的最小值为；
②因为AD是BC边上的中线，
在中由余弦定理得，
在中由余弦定理得，
，
，
在中，，由余弦定理得，
，
解得，当且仅当时取“=”，
所以，
即的面积的最大值为.
20、答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意知右焦点，，又，
则，，
所以椭圆的标准方程为：；
(2)设，，
由可得，
则，，
又，，，
法一：，由得，
即为定值.
法二：
即为定值.
21、答案：(1)1.62
(2)
解析：(1)依题可知，的可能取值为0，1，2
，
，
的分布列为
数学期望
(2)；
记“n次质量检测后中的次品件数为1”为事件A，“n次质量检测后中的次品件数为2”为事件B，“第次质量检测取到合格品”为事件C，“第次质量检测取到次品”为事件D.
则
，
，，
.
22、答案：(1)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为、，单调递减区间为
(2)
解析：(1)由题知，函数的定义域为，，
当时，对任意的，且不恒为零，故在上单调递增；
当时，，且不恒为零，故在R上单调递增；
当时，令，解得，，则，
当时，；当时，；当时，.
此时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为、，单调递减区间为.
(2)由(1)知，当时，有两极值点、，且，，
所以
，
设，，其中，
所以，，
又因为，可知，所以在上单调递减.
，即，所以的取值范围为.
x
3
4
5
6
7
8
9
y
4.0
2.5
0.5
-1
-2.0
-3.0
-4.5
0
1
2
P