湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

这是一份湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时量：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．若直线的倾斜角为，则（ ）
A．等于B．等于C．等于D．不存在
2．已知函数，则为（ ）
A．B．
C．D．
3．向量，分别是直线和平面的方向向量和法向量，若，则与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
4．短轴长为，离心率的椭圆两焦点为、，过作直线交椭圆于、两点，则的周长为（ ）
A．24B．12C．6D．3
5．各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A．9B．10C．11D．
6．若函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则当该圆柱的体积取最大值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知实数，且，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线与抛物线交于点，，设直线，的斜率分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知两个等差数列和的公差分别为和，其前项和分别为和，则（ ）
A．若为等差数列，则
B．若为等差数列，则
C．若为等差数列，则
D．若，则也为等差数列，且公差为
11．已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，．则下列说法正确的是（ ）
A．最短为B．最短时，弦直线方程为
C．存在点，使得D．直线过定点为
12．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在底面四边形（包含边界）上移动，且满足，下列结论正确的是（ ）
A．点的轨迹的长度为B．的最小值为
C．的长度的最大值为D．的长度的最小值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在4和67之间插入一个项的等差数列后，组成一个项的新等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则的值为__________．
14．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则__________．
15．已知动直线与圆恒有两个不同的交点、．设弦的中点为，当变化时，总存在定点使得为定值，则点的坐标__________．
16．过双曲线上的任意一点，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点，，若，则双曲线离心率的取值范围是__________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．求圆心在上，与轴相切，且被直线截得弦长为的圆的方程．
18．数列满足，，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和．
19．如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值．
20．已知数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求；
（3）设，数列的前项和为，且对一切成立，求实数的取值范围．
21．已知椭圆的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于、两点，求（为原点）面积的最大值．
22．已知函数有三个不同的极值点，，，且．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求的最大值．
2023年下学期高二年级期末考试数学（答案）
13．2014．15．16．
17．解：由已知设圆心为，与轴相切则，
圆心到直线的距离，
又被直线截得弦长为，故有，
解得，所以圆心为或，半径
圆的方程为或
18．证：（1）由已知可得，即
所以是以为首项，1为公差的等差数列
解：（2）由（1）得，所以，从而
①
②
得：
19．（1）证明：连接交于点，则为的中点．
又是的中点，连接，则．
因为平面，平面，所以平面．
（2）解：由，得．以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，
设是平面的一个法向量，
则，即可取．
同理，设是平面的一个法向量，则，可取．
从而，故．
即平面与平面夹角的正弦值为
20．解：（1）累加法
（2）由（1）知
所以．
（3）
据题意，即对一切成立，
且，所以
21．解：（1）由，得①
由椭圆经过点，得②
联立①②，解得，，所以椭圆的方程是
（2）易知直线的斜率存在，设其方程为．
联立消去得
令，得．
设，，则，，则
设，，则
当且仅当，即时等号成立，此时面积取得最大值
由题意，则或，有两个不等于1的正实根，
令，则，
即当时，，单调递减；时，，单调递增；
，，，
（2）由题意二个极值点，可化为
由单调性可知：随着增大，逐渐减小，而逐渐增大
令，当取最大，取最小时，取最大值
，
令，
令，
，，单调递增，．．
，，单调递增，，．．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
B
C
B
D
D
A
CD
ACD
ABD
ABD