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    2024天津河北区高三上学期期末试题数学含解析

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    2024天津河北区高三上学期期末试题数学含解析

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    这是一份2024天津河北区高三上学期期末试题数学含解析,共21页。试卷主要包含了 若,则的大小关系为, 若双曲线的离心率为2等内容,欢迎下载使用。
    本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至8页.
    第Ⅰ卷(选择题 共45分)
    注意事项:
    1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.
    2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.
    3.本卷共9小题,每小题5分,共45分.
    参考公式:
    一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
    1. 已知集合,集合,则( )
    A. B. C. D.
    2. 设,则“”是“”的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    3. 函数的部分图像大致为( )
    A. B.
    C. D.
    4. 若,则的大小关系为( )
    A. B. C. D.
    5. 底面边长为,且侧棱长为的正四棱锥的体积和侧面积分别为( )
    A. B. C. 32,24D. 32,6
    6. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却方程来描述:设物体的初始温度为,环境温度为,经过一段时间(单位:分钟)后物体的温度是,满足.将85℃的热水放到21℃的房间中,如果热水降到37℃需要16分钟,那么从37℃降到29℃还需要多少分钟?( )
    A. 2B. 4C. 6D. 8
    7. 函数最小正周期为,将函数的图象向左平移个单位后得到的图象,则下列命题中不正确的是
    A. 函数图象的两条相邻对称轴之间距离为;
    B. 函数图象关于对称;
    C. 函数图像关于对称;
    D. 函数在内为单调减函数.
    8. 若双曲线的离心率为2.抛物线的焦点为,抛物线的准线交双曲线于两点.若为等边三角形,则双曲线的焦距为( )
    A 2B. 4C. D.
    9. 如图,在平行四边形中,与交于点,是线段的中点,的延长线与交于点.若,则等于( )

    A. B. C. D.
    第Ⅱ卷(非选择题)
    二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,请将案写在答题纸上)
    10. 是虚数单位,则复数共轭复数为______.
    11. 已知,若的展开式中含项的系数为40,则______.
    12. 将直线向右平移一个单位后,被圆截得的弦长为,则______.
    13. 甲乙两人射击,甲射击两次,乙射击一次.甲每次射击命中的概率是,乙命中的概率是,两人每次射击是否命中都互不影响,则甲乙二人全部命中的概率为______;在两人至少命中两次的条件下,甲恰好命中两次的概率为______.
    14. 已知,则的最小值为______.
    15. 若函数恰有两个不同的零点,且,则的取值范围为______.
    三、解答题(本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    16. 在中,角的对边分别为,已知,.
    (1)求的值;
    (2)求的值;
    (3)求的值.
    17. 如图,直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直,,为的中点.
    (1)求证:;
    (2)求直线与平面所成角的正弦值;
    (3)线段上有一点,满足,求证:平面.
    18. 设椭圆的左右焦点分别为,短轴的两个端点为,且四边形是边长为2的正方形.分别是椭圆的左右顶点,动点满足,连接,交椭圆于点.
    (1)求椭圆的方程;
    (2)求证:为定值.
    19. 已知是等差数列,其公差不等于,其前项和为是等比数列,且.
    (1)求和的通项公式;
    (2)求数列的前项和;
    (3)记,求的前项和.
    20 已知函数.
    (1)当时,求曲线在点处的切线方程;
    (2)当时,求函数单调区间;
    (3)在(2)的条件下,当时,,求实数的取值范围.如果事件互斥,那么
    如果事件相互独立,那么
    球的表面积公式
    球的体积公式
    其中表示球的半径
    河北区2023-2024学年度第一学期期末高三年级质量检测
    数学
    本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至8页.
    第Ⅰ卷(选择题 共45分)
    注意事项:
    1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.
    2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.
    3.本卷共9小题,每小题5分,共45分.
    参考公式:
    一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
    1. 已知集合,集合,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据集合的交集运算,直接求交集即可.
    【详解】由,,
    可得.
    故选:B.
    2. 设,则“”是“”的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    【答案】C
    【解析】
    【分析】分别求出两个命题,得到递推关系,最后得到充分性和必要性即可.
    【详解】由,解得,由,解得,
    所以“”是“”的充要条件,
    故选:C
    3. 函数的部分图像大致为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】利用函数的奇偶性可排除两个答案,再根据时,函数值的正负可得正确答案.
    【详解】因为,所以为偶函数,排除A,D;
    当时,,故排除C;
    故选B
    【点睛】本题考查根据函数的解析式选择对应函数图象,考查数形结合思想的应用,求解时要充分利用函数的性质和特殊点寻找解题的突破口.
    4. 若,则的大小关系为( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据指数函数、对数函数单调性,判断出的范围,从而可得答案.
    【详解】因为是单调递减函数,
    所以,
    因为在上单调递增,
    所以,
    因为是单调递减函数,

    综上,,
    故选:A.
    5. 底面边长为,且侧棱长为的正四棱锥的体积和侧面积分别为( )
    A. B. C. 32,24D. 32,6
    【答案】A
    【解析】
    【分析】由正四棱锥的结构特征求高、斜高,根据体积、侧面积公式求结果.
    【详解】由正四棱锥底面为正方形,且底面中心为顶点在底面上射影,
    结合题设,底面对角线长为,则棱锥的高,斜高为,
    所以正四棱锥的体积为,
    侧面积为.
    故选:A.
    6. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却方程来描述:设物体的初始温度为,环境温度为,经过一段时间(单位:分钟)后物体的温度是,满足.将85℃的热水放到21℃的房间中,如果热水降到37℃需要16分钟,那么从37℃降到29℃还需要多少分钟?( )
    A. 2B. 4C. 6D. 8
    【答案】D
    【解析】
    【分析】由题设,将代入并应用指数运算求得,再将代入公式求从37℃降到29℃需要的时间.
    【详解】由题设,可得,
    所以,则,可得.
    故选:D
    7. 函数的最小正周期为,将函数的图象向左平移个单位后得到的图象,则下列命题中不正确的是
    A. 函数图象的两条相邻对称轴之间距离为;
    B. 函数图象关于对称;
    C. 函数图像关于对称;
    D. 函数在内单调减函数.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】本题首先可通过函数的解析式得出函数的解析式,再通过函数的解析式得出函数的对称中心横坐标,即可得出答案.
    【详解】将函数的图像向左平移个单位后得到,
    函数的对称中心横坐标为,即,
    C选项错误,故选C.
    【点睛】一般地,我们研究函数的图像和性质时,通常用复合函数的方法来讨论,比如求函数的单调区间时,我们可以先确定的单调性,再通过函数的单调性确定外函数的单调区间后求出的范围即可,比如求函数的对称轴、对称中心时,可以由的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心.
    8. 若双曲线的离心率为2.抛物线的焦点为,抛物线的准线交双曲线于两点.若为等边三角形,则双曲线的焦距为( )
    A. 2B. 4C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】由题可得代入双曲线,即可得解.
    【详解】抛物线的准线交双曲线于两点.设,
    ,到准线距离为,
    为等边三角形,
    代入双曲线,可得,
    解得,
    故选:D.
    9. 如图,在平行四边形中,与交于点,是线段的中点,的延长线与交于点.若,则等于( )

    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据两个三角形相似对应边成比例,得到,运用向量的加减运算和向量中点的表示,结合向量数量积的定义和性质,将向量用,表示,计算即可得到结果.
    【详解】平行四边形,,,,,
    可得,
    是线段的中点,
    可得,




    故选:C
    第Ⅱ卷(非选择题)
    二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,请将案写在答题纸上)
    10. 是虚数单位,则复数的共轭复数为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据复数除法运算和共轭复数概念即可.
    【详解】,
    则其共轭复数为,
    故答案为:.
    11. 已知,若的展开式中含项的系数为40,则______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】求出展开式的通项公式,然后令的指数为4,由此建立方程即可求解
    【详解】展开式的通项公式为,
    令,解得,
    所以项的系数为,解得,又,所以
    故答案为:
    12. 将直线向右平移一个单位后,被圆截得的弦长为,则______.
    【答案】3或
    【解析】
    【分析】求出平移后直线的方程,再根据平移后的直线被圆截得的弦长,列式计算,即可得答案.
    【详解】由题意将直线向右平移一个单位后,得到的直线的方程为,
    圆的圆心到该直线的距离为,
    由于直线被圆截得的弦长为,
    故,解得或,
    故答案为:3或
    13. 甲乙两人射击,甲射击两次,乙射击一次.甲每次射击命中的概率是,乙命中的概率是,两人每次射击是否命中都互不影响,则甲乙二人全部命中的概率为______;在两人至少命中两次的条件下,甲恰好命中两次的概率为______.
    【答案】 ①. ②.
    【解析】
    【分析】利用互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的概率乘法公式,分别计算对应概率,即可选出答案. 根再根据条件概率的计算公式即可求解.
    【详解】甲射击目标恰好命中两次的概率为,则甲乙二人全部命中的概率为,
    两人至少命中两次为事件A,甲恰好命中两次为事件B,,

    所以.
    故答案为:,.
    14. 已知,则的最小值为______.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】先将式子化简消去分子的,进而利用基本不等式即可求解.
    【详解】因为,
    所以

    当且仅当,即时,等号成立.
    所以的最小值为.
    故答案为:.
    15. 若函数恰有两个不同的零点,且,则的取值范围为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】题意转化为方程恰有两个不同的根,即与恰有两个不同的交点,数形结合可求得结果.
    【详解】由题意函数恰有两个不同的零点,,且,
    即方程恰有两个不同的根,,且显然,
    即与恰有两个不同的交点,
    设与相切,则有两个等根,由即,解得或.
    所以当时,与的图象如图所示,
    当时,与的图象如图所示,
    所以当时,与恰有两个不同的交点,即方程恰有两个不同的根,
    当时,对应的直线与相切,解得切点横坐标为,
    当时,对应的直线与相交,解得两交点横坐标为和1,
    又,所以函数与恰有两个不同的交点,则.
    所以的取值范围为.
    故答案为:.
    【点睛】思路点睛:函数恰有两个不同的零点,,
    即转化为函数与恰有两个不同的交点,数形结合找到相切时的临界情况运算得解.
    三、解答题(本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    16. 在中,角的对边分别为,已知,.
    (1)求的值;
    (2)求的值;
    (3)求的值.
    【答案】(1)
    (2)
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)先根据正弦定理求得的关系,然后结合已知条件求得的关系,最后根据余弦定理求解出的值;
    (2)先求解出,然后根据正弦定理求解出;
    (3)先根据二倍角公式求解出的值,然后根据两角和的正弦公式求解出结果.
    【小问1详解】
    ,由正弦定理可得,
    .
    由余弦定理可得.
    【小问2详解】

    由正弦定理,得,
    .
    小问3详解】

    .
    17. 如图,直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直,,为的中点.
    (1)求证:;
    (2)求直线与平面所成角正弦值;
    (3)线段上有一点,满足,求证:平面.
    【答案】(1)证明见解析;
    (2);
    (3)证明见解析.
    【解析】
    【分析】(1)由题设知、,再由线面垂直的判定、性质证结论;
    (2)由面面垂直的性质得,构建空间直角坐标系,应用向量法求线面角;
    (3)根据(2)坐标系,向量法证明线面平行即可.
    【小问1详解】
    由为的中点,得.
    四边形为直角梯形,且,
    所以四边形为正方形,则,又,面,
    所以平面,平面,则.
    【小问2详解】
    面面,且,面面,面,
    所以平面,平面,则,故两两垂直,
    以为原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
    三角形为等腰直角三角形,且,
    则,故.
    平面的一个法向量为,设直线与平面所成的角为,
    则,即直线与面所成角正弦值为.
    【小问3详解】
    由(2)知,而,得,
    故,且,
    设面的法向量为,则,取,得.
    所以,且平面,故平面.
    18. 设椭圆的左右焦点分别为,短轴的两个端点为,且四边形是边长为2的正方形.分别是椭圆的左右顶点,动点满足,连接,交椭圆于点.
    (1)求椭圆的方程;
    (2)求证:为定值.
    【答案】(1);
    (2)证明见解析.
    【解析】
    【分析】(1)根据题设得,结合椭圆参数关系即可得方程;
    (2)设直线的方程为,联立椭圆并应用韦达定理求坐标,根据已知确定坐标,再由向量数量积的坐标表示求,即可证.
    【小问1详解】
    由题设,,得,
    椭圆的方程为.
    【小问2详解】
    由(1)知,由题意知,直线的斜率存在且不为0,
    设直线的方程为,联立,
    消去得,其中是直线与椭圆一个交点,
    所以,则,代入直线得,故.
    又,将代入,得,则.
    所以,为定值.
    19. 已知是等差数列,其公差不等于,其前项和为是等比数列,且.
    (1)求和的通项公式;
    (2)求数列的前项和;
    (3)记,求前项和.
    【答案】(1),
    (2)
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)根据条件列出关于的方程组,由此求解出的值,则和的通项公式可求;
    (2)利用错位相减法求解出;
    (3)先将的通项公式裂项为,然后采用裂项相消法求和.
    【小问1详解】
    设数列的公比为,

    ,即,
    整理得,
    ,,
    .
    【小问2详解】

    设,
    则,
    将以上两式相减得:

    .
    【小问3详解】

    .
    20. 已知函数.
    (1)当时,求曲线在点处的切线方程;
    (2)当时,求函数的单调区间;
    (3)在(2)的条件下,当时,,求实数的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)单调递减区间是,单调递增区间是
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)当时,分别求出的值即可得解.
    (2)对函数求导,令,得或,且满足,进一步即可得解.
    (3)由题意只需,即,解不等式即可得解.
    【小问1详解】
    时,,
    ,整理得.
    曲线在点处的切线方程为.
    【小问2详解】


    令,
    ,解得或,且满足.
    当变化时,的变化情况如下表:
    函数单调递减区间是,单调递增区间是.
    【小问3详解】
    由(2)可知,函数在区间单调递增,在区间单调递减,

    解得,

    实数的取值范围为.
    【点睛】关键点睛:第二问的关键是将极值点先求出来,然后根据导数与单调性的关系即可得解,第三问的关键是由,列出相应的不等式,从而即可顺利得解.
    如果事件互斥,那么
    如果事件相互独立,那么
    球的表面积公式
    球的体积公式
    其中表示球的半径
    2
    -
    0
    +
    0
    -
    极小值
    极大值

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