[数学][期末]天津市河北区2023-2024学年高一下学期末质量检测试题(解析版)

这是一份[数学][期末]天津市河北区2023-2024学年高一下学期末质量检测试题(解析版)，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，，则（ ）
A. -1B. 1C. -5D. 5
【答案】A
【解析】复数，，
由共轭复数的定义可知，，则有.
故选：A.
2. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ）
A. 与互为对立事件B.
C. 与相等D. 与互斥
【答案】B
【解析】AD选项，事件与能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD均错误；
B选项，，故B正确；
C选项，事件与事件不是同一个事件，故C错误．
故选：B．
3. 一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个样本容量为3的样本，则某一个特定个体被抽到的概率为（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】依题意每个个体被抽到的概率均为，
则某一个特定个体被抽到的概率为.
故选：A.
4. 如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因，所以即为异面直线与所成角的平面角，
而，
所以异面直线与所成角的大小为.
故选：C.
5. 用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为（ ）
A. 12B.
C. 9D. 3
【答案】D
【解析】设圆锥的底面半径为，高为，母线为，依题意可得，，
所以，则.
故选：D.
6. 如图，已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
.
故选：B.
7. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】C
【解析】对于A：若，，则或，又，则或与相交，
相交也不一定垂直，故A错误；
对于B：若，，则或，
若，则在平面内存在直线，使得，又，则，又，所以；
若，又，所以；
综上可得，由，，，可得，故B错误；
对于C：若，，则，又，，是两个不同的平面，
则，故C正确；
对于D：若，，，则或与异面，故D错误．
故选：C．
8. 若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点有种可能，
其中满足的数对有，
共5种可能，
所以点在直线上的概率是.
故选：C.
9. 某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势如图所示，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，下列说法中不正确的是（ ）
A. 该市14天空气质量指数的中位数为78.5
B. 该市14天空气质量指数的第30百分位数为55
C. 该市14天空气质量指数的平均值大于100
D. 计算连续3天空气质量指数方差，其中6日到8日的方差最大
【答案】C
【解析】对于A，将14天的空气质量指数由小到大排列为：
，
所以该市14天空气质量指数的中位数为：，故A正确.
对于B：因为，所以该市14天空气质量指数的百分位数为，
故B正确；
对于C：，
该市14天空气质量指数的平均值小于100，故C错误；
对于D：因为连续3天空气质量指数，6日到8日的波动最大，也即方差最大，故D正确.
故选：C.
10. 如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】由直三棱柱的体积为6，可得，
设到平面的距离为，由，
，，解得，
即到平面的距离为.
故选：B.
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案填在题中横线上．
11. i是虚数单位，复数______．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
12. 某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家．
【答案】20
【解析】∵大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，
∴共有超市200+400+1400=2000，
∵按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，∴每个个体被抽到的概率是，
∴中型超市要抽取400×=20家.
故答案为：20．
13. 某校团委举办“强国复兴有我”知识竞赛，甲、乙两位同学同时回答一道题目．已知甲同学答对的概率为，乙同学答对的概率为．若这两位同学回答正确与否互不影响，则甲、乙两位同学中至少1位同学答对这道题的概率为______．
【答案】
【解析】由题意，所求概率为.
故答案为：.
14. 已知长方体的长、宽、高分别为3，2，1，且长方体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为______．
【答案】
【解析】因为长方体的长、宽、高分别为3，2，1，
则长方体的体对角线长为，
又长方体外接球的直径即为长方体的体对角线，设外接球的半径为，
则，所以，所以外接球的表面积.
故答案为：.
15. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为______．
【答案】
【解析】所有的基本事件为，其中，，共25个基本事件；
目标事件为，，，，，共5个基本事件，
所以.
故答案为：.
三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为一号和二号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
（2）求下列事件的概率；
①“两个点数之和是5”；
②“一号骰子的点数比二号骰子的点数大”.
解：（1）抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，一号骰子的每一个结果都与二号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果，
用数字表示一号骰子出现的点数，
用数字表示二号骰子出现的点数，
则数组表示这个试验的一个样本点，所以这个试验的样本空间为：
，
样本空间共有36个样本点，由于骰子的质地均匀，因此各个样本点出现的可能性相等，所以这个试验是古典概型.
（2）由（1）知，事件A所含样本点：，共4个，所以；
事件B所含样本点为：
，共15个，所以.
17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值和的面积．
解：（1）因为向量，，且，
所以，由正弦定理得，
又，则，显然，
则，又，所以.
（2）由余弦定理得，
整理得，解得或（舍），
所以面积.
18. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）已知该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；
（3）估计居民月均用水量的众数、中位数，说明理由．
解：（1）由频率分布直方图知，
，解得，
所以直方图中的值为.
（2）由图得月均用水量不低于3吨的频率为，
所以估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为（人）.
（3）由图可知，众数是；
因为，
，
所以中位数在区间内，设为，
则，解得，
即中位数为.
19. 如图，在三棱柱中，与交于点，平面，，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
解：（1）在三棱柱中，与交于点，
所以为的中点，又是的中点，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）因为，是的中点，所以，
又平面，，所以平面，又平面，
所以，
又，平面，所以平面.
（3）取的中点，连接、、，
则且，又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，又平面，
所以平面，
所以为直线与平面所成角的平面角，
因为平面，平面，所以，
设，则，，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.