2023届天津市河北区高三上学期期中数学试题含解析

2023届天津市河北区高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合的交集、补集运算，求解.

【详解】，则.

故选：C.

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】解出的范围，与的范围比较大小，即可得到.

【详解】解得，，小于表示的范围.

所以，“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

3．已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，设圆柱、圆锥的表面积分别为S1，S2，则的值为（    ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】设出底面半径和母线，代入公式，求出表面积即可.

【详解】由已知可设，圆柱和圆锥的底面半径为，母线为，则

，

所以，.

故选：C.

4．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组得到如下频率分布直方图，则直方图中x的值为（    ）

A．0.007 B．0.0075 C．0.008 D．0.0085

【答案】B

【分析】根据小矩形面积和为1，即可求出.

【详解】在频率分布直方图中，各小矩形面积和为1，

即，

解得，.

故选：B.

5．函数的部分图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出函数定义域并探讨其奇偶性，再利用特殊点及特殊区间的函数值特性即可判断得解.

【详解】因且，则，于是得函数定义域为，

又，即为奇函数﹐C不正确；

而，B不正确；

因时，，，则，A不正确，D符合.

故选：D

6．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分别与1和0比较即可判断出结论.

【详解】因为，，，

所以，

故选：.

7．若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】先根据渐近线方程求得，再由求解.

【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，

所以，

所以双曲线C的离心率为，

故选：C

8．若实数a，b满足，则ab的最小值为（    ）

A．8 B．6 C．4 D．2

【答案】A

【分析】由已知条件结合对数的运算性质及基本不等式可求得.

【详解】由，得，即，由基本不等式得，，当且仅当，即时，等号成立，解得，所以的最小值为8.

故选：A

9．已知函数，给出下面四个结论：

①的定义域是；

②是偶函数；

③在区间上单调递增；

④的图像与的图像有4个不同的交点.

其中正确的结论是（    ）

A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④

【答案】D

【分析】可根据已知的函数解析式，通过求解函数的定义域、奇偶性、单调性和与的图像的交点个数即可判断.

【详解】函数，不难判断函数的定义域为R，故①选项是正确的；

②选项，因为，所以，故②选项也是正确的；

选项③，在区间时，，而函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故选项不正确，排除选项；

选项④，可通过画出的图像与的图像，通过观察不难得到，两个函数图像有4个交点，因此，选项④正确.

故选：D.

二、填空题

10．i是虚数单位，则复数______.

【答案】

【分析】根据复数的除法运算求解即可.

【详解】.

故答案为：.

11．的展开式中含x项的系数为______.

【答案】28

【分析】化简二项式定理展开式通项，求出k值，代入即可.

【详解】设展开式中第项含x项，

则，

令，解得，

代入得，

故答案为：28.

12．求经过点M(2，)且与圆x2＋y2=4相切的直线的方程为________．

【答案】或．

【分析】分类讨论，斜率不存在时，直接验证说明是否是切线，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数得直线方程．

【详解】由已知直线是圆的切线，

斜率存在时设切线方程为，即，

，解得，

切线方程为，即．

故答案为：或．

13．一盒子装有4件产品，其中有3件一等品，1件二等品.从中不放回地抽取两次，每次任取一件，设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则条件概率的值为______.

【答案】

【分析】根据条件概率的公式解题.

【详解】由已知可得，，，

.

故答案为：.

14．已知函数满足，则的值为______.

【答案】##1.5

【分析】分论讨论求出a的值，代入即可.

【详解】当时，，解得，舍去；

当时，，解得，满足.

所以，.

则.

故答案为：.

15．如图，在四边形ABCD中，，，若是等边三角形，且，E是CD的中点，则的值为______.

【答案】11

【分析】用、将两个向量表示出来，根据向量数量积的运算律求解即可.

【详解】由题意可得，，，则

，，

则

故答案为：11.

三、解答题

16．已知函数，.

(1)求函数的最小正周期；

(2)求函数的单调递减区间.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化简函数，利用周期公式求解；

（2）根据正弦函数的单调减区间公式，令，即可求解.

【详解】（1）

所以，的最小正周期.

（2）函数的单调递减区间为

由，得，

函数的单调递减区间为.

17．已知分别是的内角的对边，且．

（Ⅰ）求．

（Ⅱ）若，，求的面积．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】（Ⅰ）由已知结合正弦定理先进行代换，然后结合和差角公式及正弦定理可求；（Ⅱ）由余弦定理可求，然后结合三角形的面积公式可求；（Ⅲ）结合二倍角公式及和角余弦公式即可求解．

【详解】（Ⅰ）因为，

所以，

所以，

由正弦定理可得，；

（Ⅱ）由余弦定理可得，，

整理可得，，

解可得，，

因为，

所以；

（Ⅲ）由于，．

所以．

【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式，二倍角公式及三角形的面积公式的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

18．如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，E，F分别为AB，的中点.

(1)求证：平面；

(2)求直线BF与平面所成角的正弦值；

(3)求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)见解析

(2)

(3)

【分析】（1）根据已知条件，可推得，，两两垂直，则可建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，证明即可；

（2）设直线BF与平面所成角为.由（1）得，平面的一个法向量为，根据即可求出；

（3）由题意可得，即为平面的一个法向量，则可求出，即可得到结果.

【详解】（1）证明：因为，直三棱柱的底面为直角三角形，，

所以，平面，.

所以，，，两两垂直.

以B点为原点，分别以，，所在的方向为x，y，z轴的正方向，如图1建立空间直角坐标系.

则由已知得，，.

则，，，，，，.

因为E，F分别为AB，的中点，则，.

所以，，，，

设是平面的一个法向量，则，，

即，令，则.

，则

又平面，所以，平面.

（2）设直线BF与平面所成角为.

由（1）知，平面的一个法向量为，.

则，

则直线BF与平面所成角的正弦值

（3）由（1）知，，，两两垂直.

则，平面，即为平面的一个法向量.

，

所以，平面与平面夹角的余弦值为.

19．已知数列为等差数列，且，

（Ⅰ）求数列的通项，及前项和

（Ⅱ）请你在数列的前4项中选出三项，组成公比的绝对值小于1的等比数列的前3项，并记数列的前n项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，试求的最小值．

【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）7．

【分析】（Ⅰ）根据已知条件，结合等差数列的基本量，即可求得首项和公差，再利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可求得；

（Ⅱ）根据题意，求得数列的通项公式，即可由恒成立问题求得结果.

【详解】（Ⅰ）设数列的公差为

由，得，即

解得：，

数列的通项

前项和

（Ⅱ）由得：，，，

由题意知应取：，，

所以数列的公比，

∵，∴

又由（Ⅰ）知，由此知，

当时，取得最大值10，

要使恒成立，只须使即可，所以有，

由是正整数知，的最小值为7．

【点睛】1.本题主要考查的是等差等比数列的基本运算，属于基础题.

2.不等式的恒成立问题通常转化为最值问题处理.