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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程精品综合训练题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程精品综合训练题，文件包含第06讲直线的方程原卷版docx、第06讲直线的方程解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
考点一：直线的点斜式方程
设直线l经过一点，斜率为，则方程叫作直线l的点斜式方程.
注意：当直线的斜率不存在时，其直线方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于，所以直线方程可以写为
考点二：直线的斜截式方程
设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.
考点三：直线的两点式方程
设直线l经过两点， ，则方程叫作直线l的两点式方程.
注意：①当时，直线方程为 (或).
②当时，直线方程为 (或).
考点四：直线的截距式方程
设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.
注意：当直线在x轴上的截距、y轴上的截距都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.
考点五：直线的一般式方程
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.
注意：对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)，
当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.
当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.
题型目录
题型一：求直线的方程
题型二：直线过定点问题
题型三：直线的图像问题
题型四：直线方程在几何中运用
题型五：直线中的最值问题
典型例题
题型一：求直线的方程
【例1】（2022·全国·高二课时练习）方程表示（ ）
A．通过点的所有直线B．通过点且不垂直于y轴的所有直线
C．通过点且不垂直于x轴的所有直线D．通过点且除去x轴的所有直线
【答案】C
【分析】根据直线的点斜式方程的知识确定正确答案.
【详解】为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点．
故选：C
【例2】（全国高二课时练习）写出满足下列条件的直线的方程.
（1）经过点，斜率是；
（2）经过点，且与x轴垂直；
（3）斜率是，在y轴上的截距是7；
（4）经过，两点；
（5）在y轴上的截距是2，且与x轴平行；
（6）在x轴、y轴上的截距分别是4，．
【答案】（1）（2）（3）
（4）（5）；（6）
【解析】（1）经过点，斜率是；则直线方程为，即
（2）经过点，且与x轴垂直；则直线方程为
（3）斜率是，在y轴上的截距是7；则直线方程为，即
（4）经过，两点；则斜率，所以直线方程为，即
（5）在y轴上的截距是2，且与x轴平行；则直线方程为
（6）在x轴、y轴上的截距分别是4，．则直线方程为，即
【例3】（福建）下面说法正确的是（ ）.
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．不经过原点的直线都可以用方程表示
C．经过定点的直线都可以用方程表示
D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示
【答案】D
【解析】经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以A错；
不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程表示，所以B错；
经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以C错；
当时，经过点的直线可以用方程即表示，
当时，经过点的直线可以用方程，即表示，
因此经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示，所以D对；
故选：D
【例4】（2021·广东·南海中学高二多选题）过点，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【详解】解：若直线过原点，则直线的方程为，
将点代入得，所以直线方程为，即；
若直线不过原点，根据题意，设直线方程为，
将点代入得，故直线的方程为；
所以直线的方程为：或．
故选：AB．
【例5】（2022·内蒙古包头·高一期末）过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【分析】根据直线过原点和不过原点两种情况讨论，分别设出所求直线的方程，结合过点，即可求解.
【详解】当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为，
因为直线过点，代入可得，即；
当所求直线过原点时，设直线方程为，
因为直线过点，代入可得，即，
综上可得，所求直线的方程为或.
故选：B.
【例6】（2022·贵州贵阳·高二期末（理））过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意，设所求直线为，代入A点坐标，求得m值，即可得答案.
【详解】因为所求直线与直线l平行，
所以设所求直线方程为：，
又所求直线过点，代入可得，解得，
所以所求直线为，即.
故选：A
【例7】（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，然后求出两直线的交点坐标，代入上式方程可求出，从而可求出直线方程
【详解】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，
由，得，即和的交点为，
因为直线过点，
所以，得，
所以所求直线方程为，
故选：D
【例8】（2022·全国·高二课时练习）若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为________.
【答案】或
【分析】由题意可得直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，设直线方程为，其中，根据三角形面积即可求解.
【详解】解：因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
所以直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0.
设直线方程为，则.
因为，即，所以，
所以时，，当时，，
所以直线方程为或.
故答案为: 或.
【题型专练】
1.（2022·江苏·高二多选）下列说法正确的是（ ）
A．＝k不能表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线方程
B．在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为
C．直线y＝kx+b与y轴的交点到原点的距离为b
D．过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线方程为
【答案】AD
【详解】
＝k表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线去掉点，A正确；
在x轴，y轴上的截距分别为a，b，只有时，直线方程为，B错误；
直线y＝kx+b与y轴的交点坐标是，交点到原点的距离为，C错误；
过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线
当时，直线方程为，变形为，
当时，直线方程为，也适合方程，
所以D正确．
故选：AD．
2.（2022·全国·高三专题练习）过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出与直线垂直的直线的斜率，利用点斜式求出直线方程.
【详解】直线的斜率，因为，故的斜率，故直线的方程为，即，
故选：B．
3.（2022·全国·高三专题练习）过点且与直线垂直的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可求解.
【详解】由题意可知，设所求直线的方程为，
将点代入直线方程中，得，解得，
所以所求直线的方程为，即.
故选：B.
4.（2022·四川巴中·高一期末（理））若直线过点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】已知直线的过点点，可通过直线方程的截距式得出其方程为.
【详解】由直线过点，则直线的方程为即.
故选：A .
5.（2021·湖南·益阳平高学校高二期中）下列说法错误的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
C．过，两点的所有直线的方程为
D．直线的倾斜角的取值范围是
【答案】ABC
【详解】对于A：当时，“直线与直线互相垂直”，当直线与直线互相垂直，解得或a=0，故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故A错误；
对于B：经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为：①经过原点的直线，②不经过原点，设直线在坐标轴上的截距为a，设直线方程，所以，解得，即，故B错误；
对于C：过，(且，) 两点的所有直线的方程，故C错误；
对于D：直线的倾斜角，则，由正切函数性质可知斜角的取值范围是，故B正确.
故选：ABC
6．（重庆高二期末）已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l在y轴上的截距为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【解析】易知的斜率为2，故直线l的斜率为，
根据点斜式可得直线l的方程为，整理可得，
故直线l在y轴上的截距为，故选：B.
7.（全国高二课时练习）求满足下列条件的直线的方程.
（1）经过点，且与直线平行；
（2）经过点，且平行于过和两点的直线；
（3）经过点，且与直线垂直．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）与直线平行的直线斜率为-4，且经过点
则直线为；
（2）过和两点的直线斜率为，
则与MN平行且过点的直线方程为：；
（3）直线的斜率为-2，与之垂直的直线斜率为，
则经过点，且与直线垂直的直线方程为；
8．（2022·全国·高二课时练习）过点，且在轴与轴上的截距的绝对值相等的直线方程是________．
【答案】，或
【分析】分直线过原点和直线不过原点两种情况讨论，分别设出直线方程，代入点坐标，可求得直线方程．
【详解】若该直线过原点，设直线的方程为，则，故直线的方程为；
若该直线不过原点，设直线的方程为或，又直线过点，所以，解得；或，解得，所以直线的方程为或；
故答案为：，或．
题型二：直线过定点问题
【例1】（2022·四川达州·高一期末（理））直线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将直线变形为，则且，即可求出定点
【详解】将变形为：，令且，解得，故直线恒过定点
故选：A
【例2】（惠民县第二中学高二期末）已知直线恒过定点，则点的坐标为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得，
因为恒成立，所以 解得 所以恒过定点 故选：D
【例3】（2022·江苏·高二）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（ ）
A．B．5C．D．
【答案】D
【详解】由题意直线过定点，直线可变为，所以该直线过定点，所以，又，所以直线与直线互相垂直，所以，所以即，
当且仅当时取等号,所以，，即面积的最大值是.
故选：D.
【题型专练】
1.（2022·北京市十一学校高一阶段练习）不论为何实数，直线恒过一个定点，则这个定点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】直线，即，令，得，，可得它恒过一个定点.
故答案为：.
2．（全国高二课时练习）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】把直线方程整理为，令，故，所以定点为，
故选：C.
3．（黑龙江伊春市·伊春二中高二期中（文））直线：必过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由直线方程可得过定点.故选：D.
4．（全国高二课时练习）已知函数的图象恒过定，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，所以，函数的图象恒过定点，
由于点在直线上，则，则，
，则，，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：D.
5．（2021·全国·高二阶段练习）在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线，的交点为P，过点O分别向直线，引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（ ）
A．3B．C．5D．
【答案】D
【解析】由、的方程可得它们都过定点，，然后可得四边形OMPN为矩形，且，然后可求出答案.
【详解】将直线的方程变形得，
由，得，则直线过定点，同理可知，直线过定点，
所以，直线和直线的交点P的坐标为，易知，直线，如图所示，
易知，四边形OMPN为矩形，且，
设，，则，
四边形OMPN的面积为，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，四边形OMPN面积的最大值为，
故选：D
6．（2021·全国·高二专题练习），动直线过定点，动直线过定点，若直线与相交于点（异于点），则周长的最大值为_________
【答案】
【详解】由条件得直线过定点，直线过定点，且．
又直线，
所以,
∴，当且仅当时等号成立，
∴，即周长的最大值为．
答案：
题型三：直线的图像问题
【例1】（全国高二课时练习）直线经过第二、三、四象限，则斜率和在轴上的截距满足的条件为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B【解析】在平面直角坐标系中作出图象，如图所示：
由图可知：，.故选：B.
【例2】（安徽六安市·六安一中）直线不过第二象限，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】若，可得，直线的方程为，该直线不过第二象限，合乎题意；
若，可得，直线的斜截式方程为，
若直线不过第二象限，则，解得.
综上所述，.故选：C.
【题型专练】
1．（全国高二专题练习）在直角坐标系中，直线经过（ ）
A．一、二、三象限B．一、二、四象限
C．一、三、四象限D．二、三、四象限
【答案】A
【解析】由，令可得，；令可得；
即直线过点，，所以直线经过一、二、三象限.故选：A.
2．（全国高二课时练习）方程表示的直线可能是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，排除.
当时，，此时直线与轴的交点在轴的负半轴上，排除.
当时，，此时直线与轴的交点在轴的正半轴上，排除，选.
故选：.
3．（全国高二课时练习）若直线（）经过第一、二、三象限，则系数满足的条件为（ ）
A．同号 B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，直线，即，
直线经过第一、二、三象限，所以,，即，，故选：B.
题型四：直线方程在几何中运用
【例1】（全国高二课时练习）已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），试求：
（1）边AC所在直线的方程；
（2）BC边上的中线AD所在直线的方程；
（3）BC边上的高AE所在直线的方程.
【答案】（1）3x﹣y+9＝0（2）2x﹣3y+6＝0（3）2x﹣y+6＝0
【解析】（1）∵A（﹣3，0），C（﹣2，3），
故边AC所在直线的方程为：，
即3x﹣y+9＝0，
（2）BC边上的中点D（0，2），
故BC边上的中线AD所在直线的方程为，
即2x﹣3y+6＝0，
（3）BC边斜率k，
故BC边上的高AE的斜率k＝2，
故BC边上的高AE所在直线的方程为y＝2（x+3），即2x﹣y+6＝0.
【例2】（2020·广西·兴安县第三中学高一开学考试）△ABC的三个顶点是A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，直线l：x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则a的值是（ ）
A．B．1＋C．1＋D．
【答案】A
【分析】根据A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，得到，进而得到点D，E的坐标，再根据利用三角形面积公式求解.
【详解】如图所示：
因为A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，
所以，
所以，
因为，
所以，即
解得，
故选：A
【点睛】本题主要考查两直线的交点坐标，三角形面积问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
【例3】（2022·广东深圳·高二期末）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，计算出重心坐标后代入欧拉方程，再求出外心坐标，根据外心的性质列出关于的方程，最后联立解方程即可.
【详解】设，由重心坐标公式得，
三角形的重心为，，
代入欧拉线方程得：，
整理得：①
的中点为，，
的中垂线方程为，即．
联立，解得．
的外心为．
则，
整理得：②
联立①②得：，或，．
当，时，重合，舍去．
顶点的坐标是．
故选：A．
【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是求出外心，二是根据外心的性质列方程.
【例4】（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
B．若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为
C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或
D．过两点的直线方程为
【答案】AD
【分析】根据直线的方程即位置关系分别判断.
【详解】A选项：直线与轴和轴的交点分别为和，三角形面积为，A选项正确；
B选项：三条直线不能构成三角形，可得或或直线过点，解得或或，B选项错误；
C选项：当直线经过坐标原点时，，当直线不经过坐标原点时，设直线方程为，代入点，即，解得，故直线为，C选项错误；
D选项：由两点式方程可直接判断D选项正确；
故选：AD.
【例5】（2020·福建·福清西山学校高二期中）已知等腰三角形的底边所在直线过点，两腰所在的直线为与，则底边所在的直线方程是_____________.
【答案】或
【解析】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点，利用点到两腰所在直线的距离相等可求得顶角角平分线方程，再由底边所在直线过点且与顶角角平分线垂直可求得所求直线的方程.
【详解】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点，
则点到直线与的距离相等，
由题意可得，所以，.
所以，或，
所以，该等腰三角形顶角角平分线所在直线的方程为或.
由于底边与顶角角平分线垂直.
当底边与直线垂直时，且直线的斜率为，
此时底边所在直线方程为，即；
当底边与直线垂直时，且直线的斜率为，
此时底边所在直线方程为，即.
故答案为：或.
【点睛】本题考查等腰三角形底边所在直线方程的求解，考查了等腰三角形三线合一的性质以及点到直线距离公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
【例6】（2020·上海·高三专题练习）已知的顶点，、边中线方程分别为、，则直线的方程为________．
【答案】
【分析】设点，，根据线段的中点在直线上可求得的值，根据线段的中点在直线上可求得的值，进而可得出点、的坐标，由此可求得直线的方程.
【详解】由题意可知，点在直线上，设点，则线段的中点为，
易知点在直线上，则，解得，
所以，点的坐标为.
点在直线上，可设点，则线段的中点为点，
易知点在直线上，则，解得，
所以，点的坐标为.
直线的斜率为，因此，直线的方程为，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查直线方程的求解，求出三角形的顶点坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
【题型专练】
1．（青海西宁市·高二期末（文））一条光线沿直线入射到轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令得，所以直线与轴的交点为，
又直线的斜率为，所以反射光线所在直线的斜率为，
所以反射光线所在的直线方程为，即.
故选：B.
2．（山西（多选））三条直线，，构成三角形，则的值不能为（ ）
A． B． C． D．－2
【答案】AC
【解析】直线与都经过原点，而无论为何值，直线总不经过原点，
因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行，
所以．故选：AC.
3．（广西）已知直线l的斜率为－1，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的方程．
【答案】y＝－x＋1或y＝－x－1．
【解析】设直线l的方程为y＝－x＋b，则它与两个坐标轴的交点为A(b，0)和B(0，b)，所以围成的两个直角边长都为|b|，故其面积为，由，解得b＝±1，故所求直线的方程为y＝－x＋1或y＝－x－1．
4．（全国高二课时练习）的三个顶点是，，，求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC上的高所在直线的方程；
（3）边BC的垂直平分线的方程．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）BC的中点坐标为
则边BC上的中线所在直线的方程为；
（2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过，
则边BC上的高所在直线的方程为；
（3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，
则边BC的垂直平分线的方程为.
5．（2022·江苏淮安·高二期末）莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知的三个顶点坐标分别是，，，则的垂心坐标为______，的欧拉线方程为______．
【答案】 ##(0,1.5)
【分析】由高线联立可得垂心，由垂心与重心可得欧拉线方程.
【详解】由，可知边上的高所在的直线为，
又，因此边上的高所在的直线的斜率为，
所以边上的高所在的直线为：，即，
所以，所以的垂心坐标为，
由重心坐标公式可得的重心坐标为，
所以的欧拉线方程为：，化简得.
故答案为：；
6．（2020·河北·涞水波峰中学高一阶段练习）瑞士数学家欧拉（LenhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，其欧拉线方程为，则顶点C的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据三角形重心坐标公式进行求解判断即可.
【详解】设顶点C的坐标为，所以重心坐标为，
因为欧拉线方程为，所以.
A：当顶点C的坐标为时，显然不满足；
B：当顶点C的坐标为时，显然满足；
C：当顶点C的坐标为时，显然满足；
D：当顶点C的坐标为时，显然不满足，
故选：BC
【点睛】本题考查了三角形重心坐标公式的应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力.
7.（2022·北京市十一学校高一阶段练习）已知三个顶点是.
(1)求边中线所在直线方程；
(2)求边上的高线所在方程；
(3)求的重心的坐标.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）求出线段的中点的坐标，即可由直线的截距式方程求得答案；
（2）求直线AB的斜率，可得AB边上的高的斜率，由直线的点斜式方程可得答案；
（3）方法一，由三角形的重心坐标公式直接求得答案；方法二，求得，边中线所在直线方程，联立边中线所在直线方程，即可求得答案.
(1)
线段的中点，即,
因此直线的横纵截距均为2，其方程为：，
即.
所以边中线所在直线方程为.
(2)
直线的斜率：，所以所求直线的斜率：，
又该直线过点，
所以边上的高线所在方程为：，即.
(3)
方法一：由重心坐标公式，的重心，
即.
方法二：线段的中点，即.
因此，直线的方程为：，
即，
故边中线所在直线方程为.
由方程组，解得，
所以的重心坐标.
题型五：直线中的最值问题
【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知，，求出直线与两坐标轴的交点，，再由均值不等式即可求出截距之和的最小值，即可求出直线方程.
【详解】直线可变为，所以过定点，又因为直线在两坐标轴上的截距都是正值，可知，
令，所以直线与轴的交点为，
令，所以直线与轴的交点为，
所以，
当且仅当即时取等，所以此时直线为：.
故选：C.
【例2】（2022·四川达州·高一期末（理））在直角坐标系中，若、、，则的最小值是______．
【答案】
【分析】作点关于轴的对称点，由对称性可得，再利用当点为线段与轴的交点时，取最小值可得结果.
【详解】由题意可知，点在轴上，点关于轴的对称点为，由对称性可得，
所以，，
当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
【例3】（2022·全国·高二课时练习）过点作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点.
(1)求的最小值，及此时直线l的截距式方程；
(2)求的最小值，及此时直线l的截距式方程.
【答案】(1)8，，(2)4，
【分析】（1）根据题意可设直线l的方程为，代入点结合基本不等式可求出结果.
（2）由（1）可得，则可推出，结合基本不等式可求出结果.
（1）根据题意可设直线l的方程为，则，，因为直线l过点，所以，又（当且仅当，即，时取等号），所以，即，所以的最小值为8，此时直线l的截距式方程为.
（2）由（1）可知，所以，则，所以，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为4，此时，，直线l的截距式方程为.
【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知直线和点，．
(1)在直线l上求一点P，使的值最小；
(2)在直线l上求一点P，使的值最大．
【答案】(1) (2)．
【分析】（1）通过找出点A关于直线l的对称点为，将的最小值转化为的最小值，利用三角形三边的关系可知，即可求点P的坐标;
（2）利用三角形的三边关系可知，再求出直线AB的方程，即可求出点P的坐标.
（1）
设A关于直线l的对称点为，则，
解得，故，
又∵P为直线l上的一点，则，
当且仅当B，P，三点共线时等号成立，此时取得最小值，
点P即是直线与直线l的交点．
由 ，解得，
故所求的点P的坐标为．
（2）
由题意，知A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，
此时取得最大值，点P即是直线AB与直线l的交点,
又∵直线AB的方程为，
∴由 ，解得，
故所求的点P的坐标为．
【例5】（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B．
(1)求面积的最小值及此时直线l的方程；
(2)求当取得最小值时直线l的方程．
【答案】(1)6， (2)
【分析】（1）设直线方程为，，求出两点坐标，从而求得面积，由基本不等式得最小值，从而得此时直线方程；
（2）设，，由A，P，B三点共线得，计算，用基本不等式求得最小值，并求得值得直线方程．
（1）
∵点在第一象限，且直线l分别与x轴正半轴 、y轴正半轴相交，
∴直线l的斜率，
则设直线l的方程为，，
令，得；令，得．
∴．
∵，∴，
∴，当且仅当，即时等号成立．
∴面积的最小值为6．
此时直线l的方程为，即．
（2）
设，，，．
∵A，P，B三点共线，∴，整理得，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴当取得最小值时，直线l的方程为，即．
【题型专练】
1.（2022·陕西·长安一中高一期末）在平面中，过定点作一直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设直线的截距式，再根据面积公式结合基本不等式求解最小值即可
【详解】易得直线不经过原点，故设直线的方程为，因为直线过定点，
故，所以，故.当时等号成立
故
故选：C
2.（2021·海南·海口中学高二阶段练习）已知直线.
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，求面积的最小值；
（3）已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的方程.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）根据方程可得直线l恒过定点，然后可得答案；
（2）可得，然后利用基本不等式可求出其最小值；
（3）当时，d最大，然后可求出答案.
【详解】（1）直线l的方程为，直线l恒过定点，
∴若直线l不经过第四象限，则，
（2）因为直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，所以
取，，，，
所以，当且仅当时等号成立.
（3）当时，d最大，，可得直线的斜率为，
则直线的方程，即.
3.（全国高二课时练习）已知直线的方程为．
（1）当时，求直线与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）证明：不论取何值，直线恒过第四象限．
（3）当时，求直线上的动点到定点，距离之和的最小值．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.
【解析】（1）当时，直线的方程为，
令，得；
令，得，
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为．
（2）证明：将直线的方程整理得，
由，得，
所以直线恒过点，
所以不论取何值，直线恒过第四象限．
（3）当时，直线的方程为，定点，在直线的同一侧，其中关于直线的对称点为，则，
所以动点到定点，距离之和为，
所以当，，三点共线时，最小，
此时．
4．（2022·全国·高二专题练习）已知直线的方程为：．
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）列出方程，分别令，可求出定点；
（2）令令，表达出三角形面积后，利用基本不等式求解即可.
(1)
证明：原方程整理得：．
由，可得，
不论为何值，直线必过定点
(2)
解：设直线的方程为．
令令．
．
当且仅当，即时，三角形面积最小．
则的方程为．
5.（全国高二课时练习）已知直线l：
（1）若直线l的斜率是2，求m的值；
（2）当直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时，求此直线的方程．
【答案】（1）m＝－4；（2）x＋y－2＝0.
【解析】(1)直线l过点(m，0)，(0，4－m)，则，解得m＝－4.
(2)由m＞0，4－m＞0，得0＜m＜4，则.
当m＝2时，S有最大值，故直线l的方程为x＋y－2＝0.
6.（上海高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知射线：，：．过点作直线分别交射线于点A，B．
（1）当的中点在直线上时，求直线的方程；
（2）当的面积取最小值时，求直线的方程；
（3）当取最小值时，求直线的方程．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）设，，则的中点为，
因为的中点在直线上，
所以，即，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
（2）设直线的方程为，
联立，得，所以，
联立，得，，所以，
所以，
因为，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，此时，直线的方程为，即.
（3）由（2）知，，
，
所以
，
令，则
，当且仅当，即时，取得最大值，取得最小值，此时直线的方程为，即.
考点一：直线的点斜式方程
设直线l经过一点，斜率为，则方程叫作直线l的点斜式方程.
注意：当直线的斜率不存在时，其直线方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于，所以直线方程可以写为
考点二：直线的斜截式方程
设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.
考点三：直线的两点式方程
设直线l经过两点， ，则方程叫作直线l的两点式方程.
注意：①当时，直线方程为 (或).
②当时，直线方程为 (或).
考点四：直线的截距式方程
设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.
注意：当直线在x轴上的截距、y轴上的截距都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.
考点五：直线的一般式方程
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.
注意：对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)，
当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.
当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.
题型目录
题型一：求直线的方程
题型二：直线过定点问题
题型三：直线的图像问题
题型四：直线方程在几何中运用
题型五：直线中的最值问题
典型例题
题型一：求直线的方程
【例1】（2022·全国·高二课时练习）方程表示（ ）
A．通过点的所有直线B．通过点且不垂直于y轴的所有直线
C．通过点且不垂直于x轴的所有直线D．通过点且除去x轴的所有直线
【答案】C
【分析】根据直线的点斜式方程的知识确定正确答案.
【详解】为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点．
故选：C
【例2】（全国高二课时练习）写出满足下列条件的直线的方程.
（1）经过点，斜率是；
（2）经过点，且与x轴垂直；
（3）斜率是，在y轴上的截距是7；
（4）经过，两点；
（5）在y轴上的截距是2，且与x轴平行；
（6）在x轴、y轴上的截距分别是4，．
【答案】（1）（2）（3）
（4）（5）；（6）
【解析】（1）经过点，斜率是；则直线方程为，即
（2）经过点，且与x轴垂直；则直线方程为
（3）斜率是，在y轴上的截距是7；则直线方程为，即
（4）经过，两点；则斜率，所以直线方程为，即
（5）在y轴上的截距是2，且与x轴平行；则直线方程为
（6）在x轴、y轴上的截距分别是4，．则直线方程为，即
【例3】（福建）下面说法正确的是（ ）.
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．不经过原点的直线都可以用方程表示
C．经过定点的直线都可以用方程表示
D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示
【答案】D
【解析】经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以A错；
不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程表示，所以B错；
经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以C错；
当时，经过点的直线可以用方程即表示，
当时，经过点的直线可以用方程，即表示，
因此经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示，所以D对；
故选：D
【例4】（2021·广东·南海中学高二多选题）过点，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【详解】解：若直线过原点，则直线的方程为，
将点代入得，所以直线方程为，即；
若直线不过原点，根据题意，设直线方程为，
将点代入得，故直线的方程为；
所以直线的方程为：或．
故选：AB．
【例5】（2022·内蒙古包头·高一期末）过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【分析】根据直线过原点和不过原点两种情况讨论，分别设出所求直线的方程，结合过点，即可求解.
【详解】当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为，
因为直线过点，代入可得，即；
当所求直线过原点时，设直线方程为，
因为直线过点，代入可得，即，
综上可得，所求直线的方程为或.
故选：B.
【例6】（2022·贵州贵阳·高二期末（理））过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意，设所求直线为，代入A点坐标，求得m值，即可得答案.
【详解】因为所求直线与直线l平行，
所以设所求直线方程为：，
又所求直线过点，代入可得，解得，
所以所求直线为，即.
故选：A
【例7】（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，然后求出两直线的交点坐标，代入上式方程可求出，从而可求出直线方程
【详解】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，
由，得，即和的交点为，
因为直线过点，
所以，得，
所以所求直线方程为，
故选：D
【例8】（2022·全国·高二课时练习）若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为________.
【答案】或
【分析】由题意可得直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，设直线方程为，其中，根据三角形面积即可求解.
【详解】解：因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
所以直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0.
设直线方程为，则.
因为，即，所以，
所以时，，当时，，
所以直线方程为或.
故答案为: 或.
【题型专练】
1.（2022·江苏·高二多选）下列说法正确的是（ ）
A．＝k不能表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线方程
B．在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为
C．直线y＝kx+b与y轴的交点到原点的距离为b
D．过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线方程为
【答案】AD
【详解】
＝k表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线去掉点，A正确；
在x轴，y轴上的截距分别为a，b，只有时，直线方程为，B错误；
直线y＝kx+b与y轴的交点坐标是，交点到原点的距离为，C错误；
过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线
当时，直线方程为，变形为，
当时，直线方程为，也适合方程，
所以D正确．
故选：AD．
2.（2022·全国·高三专题练习）过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出与直线垂直的直线的斜率，利用点斜式求出直线方程.
【详解】直线的斜率，因为，故的斜率，故直线的方程为，即，
故选：B．
3.（2022·全国·高三专题练习）过点且与直线垂直的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可求解.
【详解】由题意可知，设所求直线的方程为，
将点代入直线方程中，得，解得，
所以所求直线的方程为，即.
故选：B.
4.（2022·四川巴中·高一期末（理））若直线过点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】已知直线的过点点，可通过直线方程的截距式得出其方程为.
【详解】由直线过点，则直线的方程为即.
故选：A .
5.（2021·湖南·益阳平高学校高二期中）下列说法错误的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
C．过，两点的所有直线的方程为
D．直线的倾斜角的取值范围是
【答案】ABC
【详解】对于A：当时，“直线与直线互相垂直”，当直线与直线互相垂直，解得或a=0，故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故A错误；
对于B：经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为：①经过原点的直线，②不经过原点，设直线在坐标轴上的截距为a，设直线方程，所以，解得，即，故B错误；
对于C：过，(且，) 两点的所有直线的方程，故C错误；
对于D：直线的倾斜角，则，由正切函数性质可知斜角的取值范围是，故B正确.
故选：ABC
6．（重庆高二期末）已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l在y轴上的截距为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【解析】易知的斜率为2，故直线l的斜率为，
根据点斜式可得直线l的方程为，整理可得，
故直线l在y轴上的截距为，故选：B.
7.（全国高二课时练习）求满足下列条件的直线的方程.
（1）经过点，且与直线平行；
（2）经过点，且平行于过和两点的直线；
（3）经过点，且与直线垂直．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）与直线平行的直线斜率为-4，且经过点
则直线为；
（2）过和两点的直线斜率为，
则与MN平行且过点的直线方程为：；
（3）直线的斜率为-2，与之垂直的直线斜率为，
则经过点，且与直线垂直的直线方程为；
8．（2022·全国·高二课时练习）过点，且在轴与轴上的截距的绝对值相等的直线方程是________．
【答案】，或
【分析】分直线过原点和直线不过原点两种情况讨论，分别设出直线方程，代入点坐标，可求得直线方程．
【详解】若该直线过原点，设直线的方程为，则，故直线的方程为；
若该直线不过原点，设直线的方程为或，又直线过点，所以，解得；或，解得，所以直线的方程为或；
故答案为：，或．
题型二：直线过定点问题
【例1】（2022·四川达州·高一期末（理））直线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将直线变形为，则且，即可求出定点
【详解】将变形为：，令且，解得，故直线恒过定点
故选：A
【例2】（惠民县第二中学高二期末）已知直线恒过定点，则点的坐标为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得，
因为恒成立，所以 解得 所以恒过定点 故选：D
【例3】（2022·江苏·高二）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（ ）
A．B．5C．D．
【答案】D
【详解】由题意直线过定点，直线可变为，所以该直线过定点，所以，又，所以直线与直线互相垂直，所以，所以即，
当且仅当时取等号,所以，，即面积的最大值是.
故选：D.
【题型专练】
1.（2022·北京市十一学校高一阶段练习）不论为何实数，直线恒过一个定点，则这个定点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】直线，即，令，得，，可得它恒过一个定点.
故答案为：.
2．（全国高二课时练习）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】把直线方程整理为，令，故，所以定点为，
故选：C.
3．（黑龙江伊春市·伊春二中高二期中（文））直线：必过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由直线方程可得过定点.故选：D.
4．（全国高二课时练习）已知函数的图象恒过定，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，所以，函数的图象恒过定点，
由于点在直线上，则，则，
，则，，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：D.
5．（2021·全国·高二阶段练习）在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线，的交点为P，过点O分别向直线，引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（ ）
A．3B．C．5D．
【答案】D
【解析】由、的方程可得它们都过定点，，然后可得四边形OMPN为矩形，且，然后可求出答案.
【详解】将直线的方程变形得，
由，得，则直线过定点，同理可知，直线过定点，
所以，直线和直线的交点P的坐标为，易知，直线，如图所示，
易知，四边形OMPN为矩形，且，
设，，则，
四边形OMPN的面积为，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，四边形OMPN面积的最大值为，
故选：D
6．（2021·全国·高二专题练习），动直线过定点，动直线过定点，若直线与相交于点（异于点），则周长的最大值为_________
【答案】
【详解】由条件得直线过定点，直线过定点，且．
又直线，
所以,
∴，当且仅当时等号成立，
∴，即周长的最大值为．
答案：
题型三：直线的图像问题
【例1】（全国高二课时练习）直线经过第二、三、四象限，则斜率和在轴上的截距满足的条件为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B【解析】在平面直角坐标系中作出图象，如图所示：
由图可知：，.故选：B.
【例2】（安徽六安市·六安一中）直线不过第二象限，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】若，可得，直线的方程为，该直线不过第二象限，合乎题意；
若，可得，直线的斜截式方程为，
若直线不过第二象限，则，解得.
综上所述，.故选：C.
【题型专练】
1．（全国高二专题练习）在直角坐标系中，直线经过（ ）
A．一、二、三象限B．一、二、四象限
C．一、三、四象限D．二、三、四象限
【答案】A
【解析】由，令可得，；令可得；
即直线过点，，所以直线经过一、二、三象限.故选：A.
2．（全国高二课时练习）方程表示的直线可能是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，排除.
当时，，此时直线与轴的交点在轴的负半轴上，排除.
当时，，此时直线与轴的交点在轴的正半轴上，排除，选.
故选：.
3．（全国高二课时练习）若直线（）经过第一、二、三象限，则系数满足的条件为（ ）
A．同号 B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，直线，即，
直线经过第一、二、三象限，所以,，即，，故选：B.
题型四：直线方程在几何中运用
【例1】（全国高二课时练习）已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），试求：
（1）边AC所在直线的方程；
（2）BC边上的中线AD所在直线的方程；
（3）BC边上的高AE所在直线的方程.
【答案】（1）3x﹣y+9＝0（2）2x﹣3y+6＝0（3）2x﹣y+6＝0
【解析】（1）∵A（﹣3，0），C（﹣2，3），
故边AC所在直线的方程为：，
即3x﹣y+9＝0，
（2）BC边上的中点D（0，2），
故BC边上的中线AD所在直线的方程为，
即2x﹣3y+6＝0，
（3）BC边斜率k，
故BC边上的高AE的斜率k＝2，
故BC边上的高AE所在直线的方程为y＝2（x+3），即2x﹣y+6＝0.
【例2】（2020·广西·兴安县第三中学高一开学考试）△ABC的三个顶点是A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，直线l：x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则a的值是（ ）
A．B．1＋C．1＋D．
【答案】A
【分析】根据A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，得到，进而得到点D，E的坐标，再根据利用三角形面积公式求解.
【详解】如图所示：
因为A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，
所以，
所以，
因为，
所以，即
解得，
故选：A
【点睛】本题主要考查两直线的交点坐标，三角形面积问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
【例3】（2022·广东深圳·高二期末）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，计算出重心坐标后代入欧拉方程，再求出外心坐标，根据外心的性质列出关于的方程，最后联立解方程即可.
【详解】设，由重心坐标公式得，
三角形的重心为，，
代入欧拉线方程得：，
整理得：①
的中点为，，
的中垂线方程为，即．
联立，解得．
的外心为．
则，
整理得：②
联立①②得：，或，．
当，时，重合，舍去．
顶点的坐标是．
故选：A．
【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是求出外心，二是根据外心的性质列方程.
【例4】（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
B．若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为
C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或
D．过两点的直线方程为
【答案】AD
【分析】根据直线的方程即位置关系分别判断.
【详解】A选项：直线与轴和轴的交点分别为和，三角形面积为，A选项正确；
B选项：三条直线不能构成三角形，可得或或直线过点，解得或或，B选项错误；
C选项：当直线经过坐标原点时，，当直线不经过坐标原点时，设直线方程为，代入点，即，解得，故直线为，C选项错误；
D选项：由两点式方程可直接判断D选项正确；
故选：AD.
【例5】（2020·福建·福清西山学校高二期中）已知等腰三角形的底边所在直线过点，两腰所在的直线为与，则底边所在的直线方程是_____________.
【答案】或
【解析】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点，利用点到两腰所在直线的距离相等可求得顶角角平分线方程，再由底边所在直线过点且与顶角角平分线垂直可求得所求直线的方程.
【详解】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点，
则点到直线与的距离相等，
由题意可得，所以，.
所以，或，
所以，该等腰三角形顶角角平分线所在直线的方程为或.
由于底边与顶角角平分线垂直.
当底边与直线垂直时，且直线的斜率为，
此时底边所在直线方程为，即；
当底边与直线垂直时，且直线的斜率为，
此时底边所在直线方程为，即.
故答案为：或.
【点睛】本题考查等腰三角形底边所在直线方程的求解，考查了等腰三角形三线合一的性质以及点到直线距离公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
【例6】（2020·上海·高三专题练习）已知的顶点，、边中线方程分别为、，则直线的方程为________．
【答案】
【分析】设点，，根据线段的中点在直线上可求得的值，根据线段的中点在直线上可求得的值，进而可得出点、的坐标，由此可求得直线的方程.
【详解】由题意可知，点在直线上，设点，则线段的中点为，
易知点在直线上，则，解得，
所以，点的坐标为.
点在直线上，可设点，则线段的中点为点，
易知点在直线上，则，解得，
所以，点的坐标为.
直线的斜率为，因此，直线的方程为，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查直线方程的求解，求出三角形的顶点坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
【题型专练】
1．（青海西宁市·高二期末（文））一条光线沿直线入射到轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令得，所以直线与轴的交点为，
又直线的斜率为，所以反射光线所在直线的斜率为，
所以反射光线所在的直线方程为，即.
故选：B.
2．（山西（多选））三条直线，，构成三角形，则的值不能为（ ）
A． B． C． D．－2
【答案】AC
【解析】直线与都经过原点，而无论为何值，直线总不经过原点，
因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行，
所以．故选：AC.
3．（广西）已知直线l的斜率为－1，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的方程．
【答案】y＝－x＋1或y＝－x－1．
【解析】设直线l的方程为y＝－x＋b，则它与两个坐标轴的交点为A(b，0)和B(0，b)，所以围成的两个直角边长都为|b|，故其面积为，由，解得b＝±1，故所求直线的方程为y＝－x＋1或y＝－x－1．
4．（全国高二课时练习）的三个顶点是，，，求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC上的高所在直线的方程；
（3）边BC的垂直平分线的方程．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）BC的中点坐标为
则边BC上的中线所在直线的方程为；
（2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过，
则边BC上的高所在直线的方程为；
（3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，
则边BC的垂直平分线的方程为.
5．（2022·江苏淮安·高二期末）莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知的三个顶点坐标分别是，，，则的垂心坐标为______，的欧拉线方程为______．
【答案】 ##(0,1.5)
【分析】由高线联立可得垂心，由垂心与重心可得欧拉线方程.
【详解】由，可知边上的高所在的直线为，
又，因此边上的高所在的直线的斜率为，
所以边上的高所在的直线为：，即，
所以，所以的垂心坐标为，
由重心坐标公式可得的重心坐标为，
所以的欧拉线方程为：，化简得.
故答案为：；
6．（2020·河北·涞水波峰中学高一阶段练习）瑞士数学家欧拉（LenhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，其欧拉线方程为，则顶点C的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据三角形重心坐标公式进行求解判断即可.
【详解】设顶点C的坐标为，所以重心坐标为，
因为欧拉线方程为，所以.
A：当顶点C的坐标为时，显然不满足；
B：当顶点C的坐标为时，显然满足；
C：当顶点C的坐标为时，显然满足；
D：当顶点C的坐标为时，显然不满足，
故选：BC
【点睛】本题考查了三角形重心坐标公式的应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力.
7.（2022·北京市十一学校高一阶段练习）已知三个顶点是.
(1)求边中线所在直线方程；
(2)求边上的高线所在方程；
(3)求的重心的坐标.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）求出线段的中点的坐标，即可由直线的截距式方程求得答案；
（2）求直线AB的斜率，可得AB边上的高的斜率，由直线的点斜式方程可得答案；
（3）方法一，由三角形的重心坐标公式直接求得答案；方法二，求得，边中线所在直线方程，联立边中线所在直线方程，即可求得答案.
(1)
线段的中点，即,
因此直线的横纵截距均为2，其方程为：，
即.
所以边中线所在直线方程为.
(2)
直线的斜率：，所以所求直线的斜率：，
又该直线过点，
所以边上的高线所在方程为：，即.
(3)
方法一：由重心坐标公式，的重心，
即.
方法二：线段的中点，即.
因此，直线的方程为：，
即，
故边中线所在直线方程为.
由方程组，解得，
所以的重心坐标.
题型五：直线中的最值问题
【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知，，求出直线与两坐标轴的交点，，再由均值不等式即可求出截距之和的最小值，即可求出直线方程.
【详解】直线可变为，所以过定点，又因为直线在两坐标轴上的截距都是正值，可知，
令，所以直线与轴的交点为，
令，所以直线与轴的交点为，
所以，
当且仅当即时取等，所以此时直线为：.
故选：C.
【例2】（2022·四川达州·高一期末（理））在直角坐标系中，若、、，则的最小值是______．
【答案】
【分析】作点关于轴的对称点，由对称性可得，再利用当点为线段与轴的交点时，取最小值可得结果.
【详解】由题意可知，点在轴上，点关于轴的对称点为，由对称性可得，
所以，，
当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
【例3】（2022·全国·高二课时练习）过点作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点.
(1)求的最小值，及此时直线l的截距式方程；
(2)求的最小值，及此时直线l的截距式方程.
【答案】(1)8，，(2)4，
【分析】（1）根据题意可设直线l的方程为，代入点结合基本不等式可求出结果.
（2）由（1）可得，则可推出，结合基本不等式可求出结果.
（1）根据题意可设直线l的方程为，则，，因为直线l过点，所以，又（当且仅当，即，时取等号），所以，即，所以的最小值为8，此时直线l的截距式方程为.
（2）由（1）可知，所以，则，所以，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为4，此时，，直线l的截距式方程为.
【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知直线和点，．
(1)在直线l上求一点P，使的值最小；
(2)在直线l上求一点P，使的值最大．
【答案】(1) (2)．
【分析】（1）通过找出点A关于直线l的对称点为，将的最小值转化为的最小值，利用三角形三边的关系可知，即可求点P的坐标;
（2）利用三角形的三边关系可知，再求出直线AB的方程，即可求出点P的坐标.
（1）
设A关于直线l的对称点为，则，
解得，故，
又∵P为直线l上的一点，则，
当且仅当B，P，三点共线时等号成立，此时取得最小值，
点P即是直线与直线l的交点．
由 ，解得，
故所求的点P的坐标为．
（2）
由题意，知A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，
此时取得最大值，点P即是直线AB与直线l的交点,
又∵直线AB的方程为，
∴由 ，解得，
故所求的点P的坐标为．
【例5】（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B．
(1)求面积的最小值及此时直线l的方程；
(2)求当取得最小值时直线l的方程．
【答案】(1)6， (2)
【分析】（1）设直线方程为，，求出两点坐标，从而求得面积，由基本不等式得最小值，从而得此时直线方程；
（2）设，，由A，P，B三点共线得，计算，用基本不等式求得最小值，并求得值得直线方程．
（1）
∵点在第一象限，且直线l分别与x轴正半轴 、y轴正半轴相交，
∴直线l的斜率，
则设直线l的方程为，，
令，得；令，得．
∴．
∵，∴，
∴，当且仅当，即时等号成立．
∴面积的最小值为6．
此时直线l的方程为，即．
（2）
设，，，．
∵A，P，B三点共线，∴，整理得，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴当取得最小值时，直线l的方程为，即．
【题型专练】
1.（2022·陕西·长安一中高一期末）在平面中，过定点作一直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设直线的截距式，再根据面积公式结合基本不等式求解最小值即可
【详解】易得直线不经过原点，故设直线的方程为，因为直线过定点，
故，所以，故.当时等号成立
故
故选：C
2.（2021·海南·海口中学高二阶段练习）已知直线.
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，求面积的最小值；
（3）已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的方程.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）根据方程可得直线l恒过定点，然后可得答案；
（2）可得，然后利用基本不等式可求出其最小值；
（3）当时，d最大，然后可求出答案.
【详解】（1）直线l的方程为，直线l恒过定点，
∴若直线l不经过第四象限，则，
（2）因为直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，所以
取，，，，
所以，当且仅当时等号成立.
（3）当时，d最大，，可得直线的斜率为，
则直线的方程，即.
3.（全国高二课时练习）已知直线的方程为．
（1）当时，求直线与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）证明：不论取何值，直线恒过第四象限．
（3）当时，求直线上的动点到定点，距离之和的最小值．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.
【解析】（1）当时，直线的方程为，
令，得；
令，得，
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为．
（2）证明：将直线的方程整理得，
由，得，
所以直线恒过点，
所以不论取何值，直线恒过第四象限．
（3）当时，直线的方程为，定点，在直线的同一侧，其中关于直线的对称点为，则，
所以动点到定点，距离之和为，
所以当，，三点共线时，最小，
此时．
4．（2022·全国·高二专题练习）已知直线的方程为：．
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）列出方程，分别令，可求出定点；
（2）令令，表达出三角形面积后，利用基本不等式求解即可.
(1)
证明：原方程整理得：．
由，可得，
不论为何值，直线必过定点
(2)
解：设直线的方程为．
令令．
．
当且仅当，即时，三角形面积最小．
则的方程为．
5.（全国高二课时练习）已知直线l：
（1）若直线l的斜率是2，求m的值；
（2）当直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时，求此直线的方程．
【答案】（1）m＝－4；（2）x＋y－2＝0.
【解析】(1)直线l过点(m，0)，(0，4－m)，则，解得m＝－4.
(2)由m＞0，4－m＞0，得0＜m＜4，则.
当m＝2时，S有最大值，故直线l的方程为x＋y－2＝0.
6.（上海高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知射线：，：．过点作直线分别交射线于点A，B．
（1）当的中点在直线上时，求直线的方程；
（2）当的面积取最小值时，求直线的方程；
（3）当取最小值时，求直线的方程．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）设，，则的中点为，
因为的中点在直线上，
所以，即，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
（2）设直线的方程为，
联立，得，所以，
联立，得，，所以，
所以，
因为，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，此时，直线的方程为，即.
（3）由（2）知，，
，
所以
，
令，则
，当且仅当，即时，取得最大值，取得最小值，此时直线的方程为，即.
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