2024年数学高分突破第5章 三角函数（公式、定理、结论图表）-高考数学必背知识手册16

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1．角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的表示
如图，(1)始边：射线的起始位置OA，
(2)终边：射线的终止位置OB，
(3)顶点：射线的端点O.
这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
3．任意角的分类
(1)按旋转方向分
(2)按角的终边位置分
①前提：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
②分类：
4．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
思考：终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同．
5．度量角的两种单位制
(1)角度制：
①定义：用度作为单位来度量角的单位制．
②1度的角：周角的eq \f(1,360).
(2)弧度制：
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
6．弧度数的计算
思考：比值eq \f(l,r)与所取的圆的半径大小是否有关？
提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
7．角度制与弧度制的换算
8．一些特殊角与弧度数的对应关系
9.扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR.
(2)扇形面积公式：S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)αR2.
10．单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
11．任意角的三角函数的定义
(1)条件
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(2)结论
①y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；
②x叫做α的余弦函数，记作cs_α，即cs α＝x；
③eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(3)总结
eq \f(y,x)＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
12．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
13.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示：
(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
14．诱导公式一
15．平方关系
(1)公式：sin2α＋cs2α＝1.
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.
16．商数关系
(1)公式：eq \f(sin α,cs α)＝tan_α(α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z)．
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．
思考：对任意的角α，sin22α＋cs22α＝1是否成立？
提示：成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．
17.诱导公式二
(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．
(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α，
cs(π＋α)＝－cs_α，
tan(π＋α)＝tan_α.
18．诱导公式三
(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．
(2)公式：sin(－α)＝－sin_α，
cs(－α)＝cs_α，
tan(－α)＝－tan_α.
19．诱导公式四
(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．
(2)公式：sin(π－α)＝sin_α，
cs(π－α)＝－cs_α，
tan(π－α)＝－tan_α.
思考：(1)诱导公式中角α只能是锐角吗？
(2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？
提示：(1)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．
20．诱导公式五
(1)角eq \f(π,2)－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．
(2)公式：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs_α，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin_α.
21．诱导公式六
(1)公式五与公式六中角的联系eq \f(π,2)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)).
(2)公式：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs_α，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α.
思考：如何由公式四及公式五推导公式六？
提示：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs α.
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－sin α.
22．正弦曲线
正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线．
23．正弦函数图象的画法
(1)几何法：
①利用单位圆画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象；
②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．
(2)五点法：
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．
24．余弦曲线
余弦函数y＝cs x，x∈R的图象叫余弦曲线．
25．余弦函数图象的画法
(1)要得到y＝cs x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度即可．
(2)用“五点法”画余弦曲线y＝cs x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
思考：y＝cs x(x∈R)的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象平移得到的原因是什么？
提示：因为cs x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，所以y＝sin x(x∈R)的图象向左平移eq \f(π,2)个单位可得y＝cs x(x∈R)的图象．
26．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
27．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
28. 单调性与最值
思考：y＝sin x和y＝cs x在区间(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，你能确定m的最小值、n的最大值吗？
提示：由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝eq \f(π,2)，n＝π.
29.正切函数的图象与性质
30.两角差的余弦公式
31．两角和与差的余弦公式
32.两角和与差的正弦公式
33.重要结论－辅助角公式
y＝asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cs θ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sin θ＝eq \f(b,\r(a2＋b2)).
34、两角和与差的正切公式
35．二倍角的正弦、余弦、正切公式
36.余弦的二倍角公式的变形
37．正弦的二倍角公式的变形
(1)sin αcs α＝eq \f(1,2)sin 2α，cs α＝eq \f(sin 2α,2sin α).
(2)1±sin 2α＝(sin_α±cs_α)2.
38.半角公式
(1)sineq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,2))，
(2)cseq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1＋cs α,2))，
(3)taneq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))，
(4)taneq \f(α,2)＝eq \f(sin \f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2cs\f(α,2),cs\f(α,2)·2cs\f(α,2))＝eq \f(sin α,1＋cs α)，
taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2sin\f(α,2),cs\f(α,2)·2sin\f(α,2))＝eq \f(1－cs α,sin α).
39．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
40．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
41．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
42．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
43．解三角函数应用题的基本步骤：
(1)审清题意；
(2)搜集整理数据，建立数学模型；
(3)讨论变量关系，求解数学模型；
(4)检验，作出结论．

一、角的有关概念的判断
1．理解角的概念的关键与技巧：
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
2．象限角的判定方法：
(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．
(2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β