备战2023年高考数学考前[必记知识][必会结论][易错剖析]大全word版

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重温基础，高考“七分靠实力，三分靠心态”
——备战2023年高考数学考前[必记知识][必会结论][易错剖析]
良好的心态是稳定发挥乃至超常发挥的前提．考前这几天，最明智的做法就是回归基础，巩固基础知识和基本能力；最有效的心态调节方法就是每天练一组基础小题——做到保温训练手不凉，每天温故一组基础知识——做到胸中有粮心不慌．
一　集合与常用逻辑用语
『必记知识』
1．集合
(1)集合的运算性质
①A∪B＝A⇔B⊆A； ②A∩B＝B⇔B⊆A； ③A⊆B⇔∁UA⊇∁UB.
(2)子集、真子集个数计算公式
对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，
2n－1，2n－2.
(3)集合运算中的常用方法
若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
数 集
自然数集 N
正整数集N*(或N＋)
整数集Z
有理数集Q
实数集R

2．含有一个量词的命题的否定
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，如下所述：
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，¬p(x)
∃x∈M，p(x)
∀x∈M，¬p(x)
[提醒]　由于全称量词命题经常省略量词，因此，在写这类命题的否定时，应先确定其中的全称量词，再改写量词和否定结论．
3．全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称量词命题
真
所有对象使命题真
否定命题为假
假
存在一个对象使命题假
否定命题为真
存在量词命题
真
存在一个对象使命题真
否定命题为假
假
所有对象使命题假
否定命题为真
『必会结论』
1．集合运算的重要结论
(1)A∩B⊆A，A∩B⊆B；A⊆(A∪B)；B⊆(A∪B)，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)若A⊆B，则A∩B＝A；反之，若A∩B＝A，则A⊆B.若A⊆B，则A∪B＝B；反之，若A∪B＝B，则A⊆B.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
(4)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
2．一些常见词语的否定
正面词语
否定

正面词语
否定

正面
词语
否定
等于
(＝)
不等于
(≠)

是
不是

任意的
存在一个
大于
(>)
不大于(小
于或等于，
即“≤”)

都是
不都是(至
少有一个
不是)

所有的
存在一个
小于
(<)
不小于(大
于或等于，
即“≥”)

至多有
一个
至少有
两个

且
或
全为
不全为

至少有
一个
一个也没
有

或
且
3.充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
『易错剖析』
易错点1　忽视集合中元素的互异性
【突破点】　 求解集合中元素含有参数的问题，先根据其确定性列方程，求出值后，再根据其互异性检验．
易错点2　未弄清集合的代表元素
【突破点】　 集合的特性由元素体现，在解决集合的关系及运算时，要弄清集合的代表元素是什么．
易错点3　遗忘空集
【突破点】　 空集是一个特殊的集合，空集是任何非空集合的真子集，由于思维定式的原因，在解题中常遗忘这个集合，导致解题错误或解题不全面．
易错点4　忽视不等式解集的端点值
【突破点】　 进行集合运算时，可以借助数轴，要注意集合中的“端点元素”在运算时的“取”与“舍”．
易错点5　对含有量词的命题的否定不当
【突破点】　 由于有的命题的全称量词往往可以省略不写，从而在进行命题否定时易只否定全称量词命题的判断词，而不否定被省略的全称量词．
『易错快攻』
易错快攻一　遗忘空集
[典例1]　设集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2m≤x≤m＋3}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．
[听课笔记]




　注意空集的特殊性．由于空集是任何集合的子集，因此，本题中B＝∅时也满足B⊆A.解含有参数的集合问题时，要注意含参数的所给集合可能是空集的情况．空集是一个特殊的集合，由于受思维定式影响，同学们往往在解题中易遗忘这个集合，导致解题错误或解题不全面．
易错快攻二　对含有量词的命题的否定不当
[典例2]　设命题p：∃x<0，x2≥1，则¬p为(　　)
A．∀x≥0，x2<1　　B．∀x<0，x2<1 C．∃x≥0，x2<1 D．∃x<0，x2<1
[听课笔记]




　本题易忽视对量词的否定致错．在对含有全称量词或存在量词的命题进行否定时，要先对全称量词或存在量词进行否定：全称量词的否定为存在量词，存在量词的否定为全称量词，然后对结论进行否定．简记为：改量词，否结论．
二　不等式
『必记知识』
1．一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．
解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小．
2．一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是a>0，Δ<0. (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是a<0，Δ<0.
3．分式不等式
fxgx>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； fxgx≥0(≤0)⇔fxgx≥0≤0，gx≠0.
[提醒]　(1)不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错．
(2)解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论．
(3)应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把fxgx≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.
4．利用基本不等式求最值
(1)对于正数x，y，若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2p.
(2)对于正数x，y，若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值14s2.
(3)已知a，b，x，y∈R＋，若ax＋by＝1，则有1x+1y＝(ax＋by)·1x+1y＝a＋b＋byx+axy≥a＋b＋2ab＝(a+b)2.
(4)已知a，b，x，y∈R＋，若ax+by＝1，则有x＋y＝(x＋y)·ax+by＝a＋b＋ayx+bxy≥a＋b＋2ab＝(a+b)2.
[提醒]　利用基本不等式求最大值、最小值时应注意“一正、二定、三相等”，即：①所求式中的相关项必须是正数；②求积xy的最大值时，要看和x＋y是否为定值，求和x＋y的最小值时，要看积xy是否为定值，求解时，常用到“拆项”“凑项”等解题技巧；③当且仅当对应项相等时，才能取等号．以上三点应特别注意，缺一不可．
『必会结论』
解不等式恒成立问题的常用方法
(1)若所求问题可以化为一元二次不等式，可以考虑使用判别式法求解，利用二次项系数的正负和判别式进行求解，若二次项系数含参数时，应对参数进行分类讨论．
(2)对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于或小于等于零的问题，一般的转化原理是：在闭区间D上，f(x)≥0恒成立⇔f(x)在区间D上的图象在x轴上方或x轴上；f(x)≤0⇔f(x)在区间D上的图象在x轴下方或x轴上．
(3)对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于或小于等于常数的问题，即“f(x)≥a”或“f(x)≤a”型不等式恒成立问题，通常利用函数最值进行转化，其一般的转化原理是：f(x)≥a在闭区间D上恒成立⇔f(x)min≥a(x∈D)；f(x)≤a在闭区间D上恒成立⇔f(x)max≤a(x∈D)．
(4)分离参数法：将恒成立的不等式F(x，m)≥0(或≤0)(m为参数)中的参数m单独分离出来，不等号一侧是不含参数的函数，将问题转化为求函数最值的问题，该方法主要适用于参数与变量能分离和函数的最值易于求出的题目，其一般转化原理是：当m为参数时，g(m)≥f(x)(在闭区间D上恒成立)⇔g(m)≥f(x)max(x∈D)；g(m)≤f(x)(在闭区间D上恒成立)⇔g(m)≤f(x)min(x∈D)．
『易错剖析』
易错点1　不能正确应用不等式性质
【突破点】　在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要注意前提条件，如不等式两端同时乘以或同时除以一个数、式，两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件．
易错点2　忽视基本不等式应用的条件
【突破点】　(1)利用基本不等式a＋b≥2ab以及变式ab≤a+b22等求函数的最值时，务必注意a，b为正数(或a，b非负)，特别要注意等号成立的条件．
(2)对形如y＝ax＋bx(a，b>0)的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意ax，bx同号．
易错点3　解不等式时转化不等价
【突破点】　 如求函数f(x)·gx≥0可转化为f(x)·gx>0或f(x)·gx＝0，否则易出错．
易错点4　解含参数的不等式时分类讨论不当
【突破点】　解形如ax2＋bx＋c>0的不等式时，首先要考虑对x2的系数进行分类讨论．当a＝0时是一次不等式，解的时候还要对b，c进一步分类讨论；当a≠0且Δ>0时，不等式可化为a(x－x1)(x－x2)>0，再求解集．
易错点5　不等式恒成立问题处理不当
【突破点】　 应注意恒成立与存在性问题的区别，如对任意x∈[a，b]都有f(x)≤g(x)成立，即f(x)－g(x)≤0的恒成立问题，但对存在x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，则为存在性问题，可化为f(x)min≤g(x)max，应特别注意两函数中的最大值与最小值的关系．
『易错快攻』
易错快攻一　忽视基本不等式的应用条件
[典例1]　函数y＝ax＋1－3(a>0，a≠1)过定点A，若点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，则1m+1n的最小值为(　　)
A．3 B. 22 C．3+222 D．3−222
[听课笔记]









　应用基本不等式求最值时必须遵循“一正、二定、三相等”的顺序．本题中求出m2＋n＝1后，若采用两次基本不等式，有如下错解：
m2＋n＝1≥2 mn2，所以mn≤22，1mn≥2，①
又1m+1n≥21mn，②
所以1m+1n≥22.选B.
此错解中，①式取等号的条件是m2＝n，②式取等号的条件是1m＝1n即m＝n，两式的等号不可能同时取得，所以22不是1m+1n的最小值．

【方法点津】
基本不等式加以引申，可得到如下结论：当a≥b>0时，a≥ a2+b22≥a+b2≥ab≥21a+1b≥b，当且仅当a＝b时等号成立．其中称 a2+b22为平方平均数、称a+b2为算术平均数、称ab为几何平均数、称21a+1b为调和平均数，它们分别包含了两个正数的平方之和a2＋b2、两个正数之和a＋b、两个正数之积ab、两个正数的倒数之和1a+1b，只要已知这四个代数式的其中一个为定值，就可以求解另外三式的最值，应用十分广泛，应加以重视．




易错快攻二　解含参数的不等式时分类不当致误
[典例2]　已知函数f(x)＝ax2－x＋a.
(1)若∀x>0，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)已知实数a∈R，解关于x的不等式f(x)≥0.
[听课笔记]










　解含参数的不等式时应注意的问题：(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集，不要忽略二次项系数为零的情况；(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论，若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类时要做到不重不漏；(3)不同参数范围的解集不能取并集，应分类表述．

三　函数、导数
『必记知识』
1．函数的定义域和值域
(1)求函数定义域的类型和相应方法
①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．
②若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈[a，b])的值域．
(2)常见函数的值域
①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R.
②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：当a>0时，值域为4ac−b24a，+∞，当a<0时，值域为−∞，4ac−b24a；
③反比例函数y＝kx(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}．
[提醒]　(1)解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．
(2)解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．
2．函数的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．
(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．
[提醒]　判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．
3．函数的单调性
函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．
①单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，
那么(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0⇔fx1−fx2x1−x2>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]<0⇔fx1−fx2x1−x2<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
②若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f(g(x))的单调性．
[提醒]　求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“与”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．

4．指数函数与对数函数的基本性质
(1)定点：y＝ax(a>0，且a≠1)恒过(0，1)点；
y＝loga x(a>0，且a≠1)恒过(1，0)点．
(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调递增；y＝loga x在(0，＋∞)上单调递增；
当0 5．导数的几何意义
(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．
6．利用导数研究函数的单调性
(1)求可导函数单调区间的一般步骤
①求函数f(x)的定义域；
②求导函数f′(x)；
③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．
(2)由函数的单调性求参数的取值范围
①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立(注意：等号不恒成立)；
②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；
③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．
[提醒]　已知可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f(x)的单调递增(减)区间为(a，b)，则f′(x)>0(<0)的解集为(a，b)．
7．利用导数研究函数的极值与最值
(1)求函数的极值的一般步骤
①确定函数的定义域； ②解方程f′(x)＝0； ③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化；
若左正右负，则x0为极大值点； 若左负右正，则x0为极小值点； 若不变号，则x0不是极值点．
(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤
①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；
②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
[提醒]　f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点．一定要检验在x＝x0的两侧f′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．
『必会结论』
1．函数周期性的常见结论
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，则函数f(x)的周期为2|a|；若f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则函数f(x)的周期为2|a|.
(2)若f(x＋a)＝－1fx(a≠0，f(x)≠0)，则函数f(x)的周期为2|a|；若f(x＋a)＝1fx(a≠0，f(x)≠0)，则函数f(x)的周期为2|a|.
(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则函数f(x)的周期为|a－b|.
(4)若函数f(x)的图象关于直线x＝a与x＝b(a≠b)对称，则函数f(x)的周期为2|b－a|.
(5)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则函数f(x)的周期为2|a|.
(6)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则函数f(x)的周期为4|a|.
2．函数图象的对称性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称；
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a+b2对称．
3．三次函数的相关结论
给定三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，求导得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，则
(1)当4(b2－3ac)>0时，f′(x)＝0有两个实数解，即f(x)有两个极值点；当4(b2－3ac)≤0时，f(x)无极值点．
(2)若函数f(x)的图象存在水平切线，则f′(x)＝0有实数解，从而4(b2－3ac)≥0.
(3)若函数f(x)在R上单调递增，则a>0且4(b2－3ac)≤0.
『易错剖析』
易错点1　函数的单调区间理解不准确
【突破点】　对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可．
易错点2　判断函数的奇偶性时忽略定义域
【突破点】　一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数．
易错点3　用判别式求函数值域，忽视判别式存在的前提
【突破点】　 (1)确保二次项前的系数不等于零．
(2)确认函数的定义域没有其他限制．
(3)注意检验答案区间端点是否符合要求．
易错点4　函数零点定理使用不当
【突破点】　只有函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)<0时，函数y＝f(x)在区间(a，b)内才有零点，但f(a)f(b)>0时，不能否定函数y＝f(x)在(a，b)内有零点．
易错点5　不清楚导数与极值的关系
【突破点】　 (1)f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑f′(x)在x0两侧是否异号．
(2)已知极值点求参数要进行检验．


易错点6　混淆“切点”致误
【突破点】　注意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同．“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点．
易错点7　导数与单调性的关系理解不准确
【突破点】　(1)f′(x)>0(<0)(x∈(a，b))是f(x)在(a，b)上单调递增(递减)的充分不必要条件．
(2)对可导函数f(x)在(a，b)上为单调增(减)函数的充要条件为：对于任意x∈(a，b)，有f(x)≥0(≤0)且f′(x)在(a，b)内的任何子区间上都不恒为零．若求单调区间，可用充分条件．若由单调性求参数，可用充要条件．即f′(x)≥0(或f(x)≤0)，否则容易漏解．
『易错快攻』
易错快攻一　函数零点定理使用不当
[典例1]　设函数f(x)＝3x+1x≤0，log4xx>0，若关于x的方程f2(x)－(a＋2)f(x)＋3＝0恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－23－2，23－2) B．23−2，32 C．32，+∞ D．(23－2，＋∞)
[听课笔记]








　(1)F(g(x))＝0的根的个数问题的解题关键是正确转化所给条件，其转化思路为：先进行整体换元，将F(g(x))＝0转化为方程F(t)＝0(t＝g(x))的根的个数问题，然后转化为t＝g(x)的根的个数问题，再转化为y＝t与y＝g(x)的图象的交点个数问题．
(2)“以形助数”是研究函数问题时常采用的策略，本题在作函数f(x)的图象时，要注意指数函数3x>0.
(3)由关于t的一元二次方程的实根分布情况得到关于a的不等式组是求解本题的一个关键点，注意一元二次方程的实根分布问题一般需要从一元二次方程根的判别式，对应二次函数在区间端点所取值的正负，对应二次函数图象的对称轴与区间端点的位置关系三方面考虑．
易错快攻二　混淆“函数的单调区间”“函数在区间上单调”“函数存在单调区间”
[典例2]　设函数f(x)＝3x2+axex(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．
[听课笔记]








　(1)已知函数的单调性求参数的取值范围问题的常用解法有两种：一种是子区间法，即利用集合思想求解；另一种是恒成立法，即若函数f(x)在区间D上单调递减，则f′(x)≤0在区间D上恒成立(且不恒等于0)．若函数f(x)在区间D上单调递增，则f′(x)≥0在区间D上恒成立(且不恒等于0)．
(2)求函数f(x)的单调递减区间的方法是解不等式f′(x)<0，求函数f(x)的单调递增区间的方法是解不等式f′(x)＞0.解题时极易混淆“函数的单调区间”与“函数在区间上单调”，一定要弄清题意，勿因“＝”出错．

四　三角函数与平面向量
『必记知识』
1．诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋
α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
π2－α
π2＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos α
余弦
cos α
－cos α
cos α
－cos α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α


口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，
符号看象限
[提醒]　奇变偶不变，符号看象限
“奇、偶”指的是π2的倍数是奇数，还是偶数，“变与不变”指的是三角函数名称的变化，“变”是指正弦变余弦(或余弦变正弦)．“符号看象限”的含义是：把角α看作锐角，看n·π2±α(n∈Z)是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号．
2．三种三角函数的性质
函
数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



单调性
在−π2+2kπ，π2+kπ
(k∈Z)上单调递增；
在π2+2kπ，3π2+2kπ
(k∈Z)上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ]
(k∈Z)上单调递增；
在[2kπ，π＋2kπ]
(k∈Z)上单调递减　　　　
在−π2+kπ，π2+kπ
(k∈Z)上单调递增　　
对称性
对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；
对称轴；x＝π2＋kπ(k∈Z)　　　
对称中心：π2+kπ，0(k∈Z)；
对称轴：x＝kπ(k∈Z)
对称中心：kπ2，0(k∈Z)
[提醒]　求函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．
3．三角函数图象的变换
由函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法

[提醒]　图象变换的实质是点的坐标的变换，所以三角函数图象的伸缩、平移变换可以利用两个函数图象上的特征点之间的对应确定变换的方式，一般选取离y轴最近的最高点或最低点，当然也可以选取在原点左侧或右侧的第一个对称中心点，根据这些点的坐标即可确定变换的方式、平移的单位与方向等．
4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β
cos (α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.
tan (α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.
sin (α＋β)sin (α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式)．
cos(α＋β)cos (α－β)＝cos2α－sin2β.
5．二倍角、辅助角及半角公式
(1)二倍角公式
sin2α＝2sin αcos α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan2α＝2tanα1−tan2α.
①1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2.
②1－sin 2α＝(sin α－cos α)2.
(2)辅助角公式
y＝a sin x＋b cos x＝a2+b2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a2+b2sin (x＋φ)，其中角φ的终边所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tan φ＝ba(a≠0)确定．
6．正、余弦定理及其变形
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA＝bsinB＝csinC＝2R
a2＝b2＋c2－2bc cos A；
b2＝a2＋c2－2ac cos B；
c2＝a2＋b2－2ab cos C
变形
(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；
(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A；
(5)a+b+csinA+sinB+sinC＝asinA＝2R
cos A＝b2+c2−a22bc；
cos B＝c2+a2−b22ac；
cos C＝a2+b2−c22ab
[提醒]　在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解．
7．平面向量数量积的坐标表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝a·a
|a|＝x12+y12
数量积
a·b＝|a||b|cos θ
a·b＝x1x2＋y1y2
夹角
cos θ＝a·bab
cos θ＝x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|
的关系
|a·b|≤|a||b|
(当且仅当a∥b时等号成立)　　　　　　
x1x2+y1y2≤x12+y12·x22+y22
[提醒]　
(1)要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行．
(2)a·b>0是〈a，b〉为锐角的必要不充分条件；a·b<0是〈a，b〉为钝角的必要不充分条件．
『必会结论』
1．降幂、升幂公式
(1)降幂公式
①sin2α＝1−cos2α2； ②cos2α＝1+cos2α2； ③sin αcos α＝12sin 2α.
(2)升幂公式
①1＋cos α＝2cos2α2； ②1－cosα＝2sin2α2； ③1＋sinα＝sinα2+cosα22； ④1－sin α＝sinα2−cosα22.
2．常见的辅助角结论
(1)sin x±cos x＝2sin x±π4 (2)cos x±sin x＝2cos x∓π4
(3)sin x±3cos x＝2sin x±π3 (4)cos x±3sin x＝2cos x∓π3
(5)3sin x±cos x＝2sin x±π6 (6)3cos x±sin x＝2cos x∓π6
『易错剖析』
易错点1　忽视零向量
【突破点】　零向量是向量中最特殊的向量，规定零向量的长度为0，其方向是任意的，零向量与任意向量都共线．
易错点2　向量投影理解错误
【突破点】　把向量投影错以为只是正数．事实上，向量a在向量b上的投影|a|cos θ是一个实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零．
易错点3　不清楚向量夹角范围
【突破点】　 数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当a·b<0时，a与b的夹角不一定为钝角，要注意隐含的情况．
易错点4　忽视正、余弦函数的有界性
【突破点】　许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性．
易错点5　忽视三角函数值对角的范围的限制
【突破点】　 在解决三角函数中的求值问题时，不仅要看已知条件中角的范围，更重要的是注意挖掘隐含条件，根据三角函数值缩小角的范围．
易错点6　忽视解三角形中的细节问题
【突破点】　(1)解三角形时，不要忽视角的取值范围．
(2)由两个角的正弦值相等求两角关系时，注意不要忽视两角互补的情况．
(3)利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状时，切忌出现漏解情况．
易错点7　三角函数性质理解不透彻
【突破点】　(1)研究奇偶性时，忽视定义域的要求．
(2)研究对称性时，忽视y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)的对称轴有无穷条、对称中心有无数个．
(3)研究周期性时，错将y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)的周期写成2πω.
易错点8　图象变换方向或变换量把握不准确
【突破点】　图象变换若先作周期变换，再作相位变换，应左(右)平移φω个单位．另外注意根据φ的符号判定平移的方向．

『易错快攻』
易错快攻一　忽视向量的夹角范围致误
[典例1]　已知向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为(　　)
A．π6 B．2π3 C．π3 D．5π6




　求解此类问题的关键是：根据向量的数量积定义，得到cos 〈a，b〉＝a·bab.求解时，要注意两向量夹角的取值范围为[0，π].
易错快攻二　函数图象平移的方向把握不准
[典例2]　将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π6个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)
A．π3 B．π6 C．0 D．π4
[听课笔记]







　(1)函数y＝sin ωx，ω>0的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移φω个单位长度(“左加右减”)，得到y＝sin (ωx＋φ)的图象．
(2)解此类题时需要特别注意的地方有：①三角函数图象变换的口诀为“左加右减，上加下减”；②自变量的系数在非“1”状态下的“提取”技巧．

五　数列
『必记知识』
1．等差数列
设Sn为等差数列{an}的前n项和，则
(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an.
(2)ap＝q，aq＝p(p≠q)⇒ap＋q＝0；
Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd.
(3)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列．
(4)Snn＝d2n＋a1−d2是关于n的一次函数或常数函数，数列Snn也是等差数列．
(5)Sn＝na1+an2＝na2+an−12＝na3+an−22＝….
(6)若等差数列{an}的项数为偶数2m(m∈N*)，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)(am，am＋1为中间两项)，S偶－S奇＝md，S偶S奇＝am+1am.
(7)若等差数列{an}的项数为奇数2m－1(m∈N*)，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－1)am(am为中间项)，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，S奇S偶＝mm−1.
(8)若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．
2．等比数列
(1)an＝am·qn－m，an＋m＝anqm＝amqn(m，n∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；反之，不一定成立(m，n，p，q∈N*)．
(3)a1a2a3…am，am＋1am＋2…a2m，a2m＋1a2m＋2…a3m，…成等比数列(m∈N*)．
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…成等比数列(n≥2，且n∈N*)．
(5)若等比数列的项数为2n(n∈N*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶S奇＝q.
(6){an}，{bn}成等比数列，则{λan}，1an，{anbn}，anbn成等比数列(λ≠0，n∈N*)．
(7)通项公式an＝a1qn－1＝a1q·qn，从函数的角度来看，它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积，其图象是指数型函数图象上一系列孤立的点．
(8)与等差中项不同，只有同号的两个数才能有等比中项；两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数．
(9)三个数成等比数列，通常设这三个数分别为xq，x，xq；四个数成等比数列，通常设这四个数分别为xq3，xq，xq，xq3.
[提醒]　(1)如果数列{an}成等差数列，那么数列{A^〖a_〖n〗〗 }(Aan总有意义)必成等比数列．
(2)如果数列{an}成等比数列，且an>0，那么数列{logaan}(a>1且a≠1)必成等差数列．
(3)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数列；数列{an}是常数列仅是数列{an}既成等差数列又成等比数列的必要不充分条件．
(4)如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原来两个等差数列的公差的最小公倍数．
(5)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成一个新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，从而分析构成什么样的新数列．
『必会结论』
1．判断数列单调性的方法
(1)作差比较法：an＋1－an>0⇔数列{an}是递增数列；an＋1－an<0⇔数列{an}是递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列．
(2)作商比较法：①当an>0时，则an+1an>1⇔数列{an}是递增数列；01⇔数列{an}是递减数列；0 (3)结合相应函数的图象直观判断．
2．数列中项的最值的求法
(1)借用构造法求解：根据数列与函数之间的对应关系，构造函数f(n)＝an(n∈N*)，利用求解函数最值的方法进行求解即可，但要注意自变量的取值必须是正整数．
(2)利用数列的单调性求解：利用不等式an＋1≥an(或an＋1≤an)求出n的取值范围，从而确定数列单调性的变化，进而求出数列中项的最值．
(3)转化为关于n的不等式组求解：若求数列{an}的最大项，则可转化为求解an≥an−1，an≥an+1，若求数列{an}的最小项，则可转化为求解an≤an−1，an≤an+1，求出n的取值范围之后再确定取得最值的项．
3．求数列通项公式的常用方法
(1)公式法：①等差数列的通项公式；②等比数列的通项公式．
(2)已知Sn(a1＋a2＋…＋an＝Sn)，求an，用作差法：
an＝S1n=1，Sn−Sn−1n≥2．
(3)已知a1·a2·…·an＝f(n)，an≠0，求an，用作商法：an＝f1n=1，fnfn−1n≥2．
(4)已知an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1(n≥2)．
(5)已知an+1an＝f(n)，求an，用累乘法：an＝anan−1·an−1an−2·…·a2a1·a1＝f(n－1)·f(n－2)·…·f(1)·a1(n≥2)．
(6)构造等比数列法：若已知数列{an}中，an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1，q≠0)，a1≠q1−p，设存在非零常数λ，使得an＋1＋λ＝p(an＋λ)，其中λ＝qp−1，则数列an+qp−1就是以a1＋qp−1为首项，p为公比的等比数列，先求出数列an+qp−1的通项公式，再求出数列{an}的通项公式即可．
(7)倒数法：若an＝man−1kan−1+b(mkb≠0，n≥2)，对an＝man−1kan−1+b取倒数，得到1an＝km·1+ban−1，即1an＝kbm·1an−1+km.令bn＝1an，则{bn}可归纳为bn＋1＝pbn＋q(p≠0，q≠0)型．
4．数列求和的常用方法
(1)公式法：①等差数列的求和公式；②等比数列的求和公式；③常用公式，即1＋2＋3＋…＋n＝12n(n＋1)，12＋22＋32＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，n∈N*.
(2)分组求和法：当直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．
(3)倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项的和有共性，则常考虑选用倒序相加法进行求和．
(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成的，那么常选用错位相减法将其和转化为“一个新的等比数列的和”，从而进行求解．
(5)裂项相消法：如果数列的通项可分裂成“两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用的裂项形式有
①1nn+1＝1n−1n+1；
②1nn+k＝1k1n−1n+k；
③1k2<1k2−1＝121k−1−1k+1， 1k−1k+1＝1k+1k<1k2<1k−1k＝1k−1−1k；
④1nn+1n+2＝12 1nn+1−1n+1n+2.
『易错剖析』
易错点1　数列中的最值错误
【突破点】　在关于正整数n的二次函数中取最值的要点：根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定．
易错点2　不清楚an与Sn的关系
【突破点】　已知数列{an}的前n项和Sn，求an时，利用an＝Sn—Sn－1，需注意分n＝1和n≥2两种情况讨论．
易错点3　不清楚裂项和拆项的规律，导致多项或少项
【突破点】　 “裂项法”的特点：①分式的每个分子相同，分母都是两个(或三个)代数式相乘，若不具备就需要转化；②剩余项一般是前后对称．常见形式有：ann+1，an2+2n，an+n+1.
易错点4　忽视对等比数列中公比的分类讨论
【突破点】　在解决等比数列{an}的前n项和时，通常只想到Sn＝a11−qn1−q，把q＝1的情况不自觉地排除在外，这是对前n项和公式理解不透所致．解等比数列的问题，一定要注意对公比的分类讨论．
『易错快攻』
易错快攻一　忽视对n＝1的检验致错
[典例1]　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，2Sn＝(n＋1)an－2.
(1)求a2，a3和通项an；
(2)设数列{bn}满足bn＝an·2n－1，求{bn}的前n项和Tn.
[听课笔记]



　数列{an}中，由Sn与an的等量关系式求an时，先利用a1＝S1求出首项a1，然后用n－1替换等量关系式中的n，得到一个新的等量关系式，再利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，便可求出当n≥2时an的表达式，最后对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，若符合，则可以把数列{an}的通项合写，若不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．
而an－an－1＝d(n≥2)与an＋1－an＝d(n∈N*)等价，anan−1＝q(n≥2)与an+1an＝q(n∈N*)等价，不需验证n＝1的情形．

易错快攻二　忽视公比q的取值
[典例2]　已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，则“A＝－B”是“数列{an}是等比数列”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[听课笔记]







　
a1(1−qn)
(1)等比数列{an}的前n项和公式Sn＝na1 (q=1)a11−qn1−qq≠1,
特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．
(2)计算过程中，若出现方程qn＝t，要看qn中的n是奇数还是偶数，若n是奇数，则q＝nt；若n是偶数，则t>0时，q＝±nt，t<0时，无解．

六　立体几何
『必记知识』
1．空间几何体的表面积和体积

几何体
侧面积
表面积
体积
圆柱
S侧＝2πrl
S表＝2πr(r＋l)
V＝S底h＝πr2h
圆锥
S侧＝πrl
S表＝πr(r＋l)
V＝13S底h＝13πr2h
圆台
S侧＝π(r＋r′)l
S表＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)
V＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r2＋r′2＋rr′)h
直棱柱
S侧＝Ch(C为底面周长)
S表＝S侧＋S上＋S下(棱锥的S上＝0)
V＝S底h
正棱锥
S侧＝12Ch′(C为底面周长，h′为斜高)
V＝13S底h
正棱台
S侧＝12(C＋C′)h′(C，C′分别为上、下底面周长，h′为斜高)
V＝13(S上＋S下＋S上S下)h
球

S＝4πR2
V＝43πR3




2.空间线面位置关系的证明方法
(1)线线平行：a⊂βa∥αα∩β=b⇒a∥b，a⊥αb⊥α ⇒a∥b，
α∥βα∩γ=aβ∩γ=b⇒a∥b，a∥ba∥c⇒c∥b.
(2)线面平行：a∥bb⊂αa⊄α ⇒a∥α，α∥βa⊂β⇒a∥α，α⊥βa⊥βa⊄α ⇒a∥α.
(3)面面平行：a⊂α，b⊂αa∩b=Oa∥β，b∥β ⇒α∥β，a⊥αa⊥β⇒α∥β，α∥βγ∥β⇒α∥γ.
(4)线线垂直：a⊥αb⊂α⇒a⊥b.
(5)线面垂直：a⊂α，b⊂αa∩b=Ol⊥a，l⊥b ⇒ α⊥βl⊥α，α∩β=la⊂α，a⊥l ⇒a⊥β，
α∥βa⊥α⇒a⊥β，a∥ba⊥α⇒b⊥α.
(6)面面垂直：a⊂βa⊥α⇒α⊥β，a∥βa⊥α⇒α⊥β.
[提醒]　要注意空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理中的条件．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件．
3．用空间向量证明平行垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α、β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，υ＝(a3，b3，c3)．则有：
(1)线面平行
l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(2)线面垂直
l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.
(3)面面平行
α∥β⇔μ∥υ⇔μ＝λυ⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.
(4)面面垂直
α⊥β⇔μ⊥υ⇔μ·υ＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
4．用向量求空间角
(1)直线l1，l2的夹角θ有cos θ＝|cos 〈l1，l2〉|(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量)．
(2)直线l与平面α的夹角θ有sin θ＝|cos 〈l，n〉|(其中l是直线l的方向向量，n是平面α的法向量)．
(3)平面α，β的夹角θ有cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|，则α－l－β二面角的平面角为θ或π－θ(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)．
[提醒]　在处理实际问题时，要注意异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围，要根据具体图形确定二面角的平面角是锐角还是钝角．
『必会结论』
1．平行、垂直关系的转化示意图


2．球的组合体
(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．
(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．
(3)球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a(正四面体高63a的14)，外接球的半径为64a(正四面体高63a的34)．
『易错剖析』
易错点1　随意推广平面几何中的结论
【突破点】　 平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不一定成立．例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立．
易错点2　不清楚空间点、线、面的位置关系
【突破点】　解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，要注意定理应用准确、考虑问题全面细致．
易错点3　表面积的计算不准确
【突破点】　在求表面积时还要注意空间物体是不是中空的，表面积与侧面积要认真区分．
易错点4　对折叠与展开问题认识不清致误
【突破点】　注意折叠或展开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量，不仅要注意哪些变了，哪些没变，还要注意位置关系的变化．


『易错快攻』
易错快攻　忽视平面图形翻折前后的显性关系
[典例]　如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，∠A＝45°，AD＝4BC＝4，AB＝2，现沿CN将△CDN折起使△ADN为正三角形，且平面ADN⊥平面ABCN，过BM的平面与线段DN、DC分别交于E，F.
(1)求证：EF⊥DA；
(2)在棱DN上(不含端点)是否存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为34，若存在，请确定E点的位置；若不存在，说明理由．

[听课笔记]








　(1)注意建立空间直角坐标系时，要说明相交于一点的三线互相垂直，不要忽视对三线垂直的证明，同时要抓住翻折后图形中不变的量与变化的量及其关系．
(2)求解二面角时，要注意结合图形对二面角的范围进行判断，即判断是锐二面角还是钝二面角，不要直接给出二面角的大小或余弦值．
七　解析几何
『必记知识』1．直线方程的五种形式
(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(3)两点式：y−y1y2−y1＝x−x1x2−x1(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．
(4)截距式：xa+yb＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．
2．直线的两种位置关系
当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：
(1)两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2.
(2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
[提醒]　当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．
3．三种距离公式
(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离 |AB|＝x2−x12+y2−y12.
(2)点到直线的距离d＝Ax0+By0+CA2+B2(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0)．
(3)两平行线间的距离d＝C2−C1A2+B2(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2)．
[提醒]　应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等．
4．圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
5．直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．
(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法．
6．椭圆的标准方程及几何性质

标准方程
x2a2+y2b2＝1(a>b>0)
y2a2+x2b2＝1(a>b>0)
图形


几
何
性
质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)；
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为2a，短轴长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
焦距与长轴长的比值：e∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
[提醒]　椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度．因为a2＝b2＋c2，所以ba＝1−e2，因此，当e越趋近于1时，ba越趋近于0，椭圆越扁；当e越趋近于0时，ba越趋近于1，椭圆越接近于圆．所以e越大椭圆越扁；e越小椭圆越圆，当且仅当a＝b，c＝0时，椭圆变为圆，方程为x2＋y2＝a2(a>0).
7．双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2a2−y2b2＝1(a>0，b＞0)
y2a2−x2b2＝1(a>0，b＞0)
图形


几
何
性
质
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称性
对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
焦距与实轴长的比值：e∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
a，b，c的关系
a2＝c2－b2
[提醒]　(1)离心率e的取值范围为(1，＋∞)．当e越接近于1时，双曲线开口越小；当e越接近于＋∞时，双曲线开口越大．
(2)满足||PF1|－|PF2||＝2a的点P的轨迹不一定是双曲线，当2a＝0时，点P的轨迹是线段F1F2的中垂线；当0<2a<|F1F2|时，点P的轨迹是双曲线；当2a＝|F1F2|时，点P的轨迹是两条射线；当2a>|F1F2|时，点P的轨迹不存在．
8．抛物线的标准方程及几何性质
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形




几
何
性
质
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0，0)
焦点
Fp2，0
F−p2，0
F0，p2
F0，−p2
准线方程
x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
离心率
e＝1
『必会结论』
1．与圆的切线有关的结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，
则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2；
(4)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点P(x0，y0)引圆的切线，切点为T，
则|PT|＝x02+y02 +Dx0+Ey0+F；
(5)过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)外一点P(x0，y0)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，
则切点弦AB所在的直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
(6)若圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则过圆外一点P(x0，y0)的切线长d＝x0−a2+y0−b2−r2.
2．椭圆中焦点三角形的相关结论
由椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正、余弦定理．
在椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c，0)，F2(c，0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0(焦半径公式)，|PF1|＋|PF2|＝2a.(e为椭圆的离心率)
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
3S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan θ2＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取得最大值，为bc.
(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
3．双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1)若双曲线的方程为x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)，则渐近线的方程为x2a2−y2b2＝0，即y＝±bax.
(2)若渐近线的方程为y＝±bax(a>0，b>0)，即xa±yb＝0，则双曲线的方程可设为x2a2−y2b2＝λ.(λ≠0)
(3)若所求双曲线与双曲线x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)有公共渐近线，其方程可设为x2a2−y2b2＝λ(λ>0，焦点在x轴上；λ<0，焦点在y轴上)．
4．双曲线常用的结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
(4)P是双曲线上不同于实轴两端点A、B的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则kPA·kPB＝b2a2，S△PF1F2＝b2tanθ2，其中θ为∠F1PF2.
(5)P是双曲线x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标恒为a.
5．抛物线焦点弦的相关结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，则
(1)焦半径|AF|＝x1＋p2＝p1−cosα， |BF|＝x2＋p2＝p1+cosα.
(2)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.
(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α.
(4)1FA+1FB＝2p.
(5)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(6)S△OAB＝p22sinα(O为抛物线的顶点)．
『易错剖析』
易错点1　遗漏方程表示圆的充要条件
【突破点】　二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其他条件求解．
易错点2　解决截距问题忽略“0”的情形
【突破点】　解决直线在两坐标轴上的截距或截距具有某种倍数关系的问题时，需注意两点：
(1)截距不是距离，直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.
(2)明确直线方程的截距式不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线．因此解题时应该从截距是否为0进行分类讨论．
易错点3　不清楚直线的倾斜角与斜率关系
【突破点】　在解决由直线的斜率求其倾斜角的范围问题时，先求出直线的斜率k的取值范围，再利用三角函数y＝tan x的单调性，借助函数的图象，确定倾斜角的范围．
易错点4　忽视斜率不存在的情况
【突破点】　(1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情况，就会导致漏解．
(2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l1⊥l2⇔k1·k2＝－1求解，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在．
易错点5　忽略直线与圆锥曲线相交问题中的判别式
【突破点】　凡是涉及直线与圆锥曲线位置关系的问题，一定不能忘记对判别式的讨论．
易错点6　忽视双曲线定义中的条件
【突破点】　双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．
易错点7　忽视圆锥曲线定义中的焦点位置
【突破点】　椭圆的焦点位置由分母的大小确定，双曲线则是根据二次项系数的符号来确定的．解决此类问题时，一定要将方程化为曲线的标准形式．
易错点8　忽视特殊性误判直线与圆锥曲线位置关系
【突破点】　在直线与圆锥曲线的位置关系中，抛物线和双曲线都有特殊情况，在解题时要注意，不要忘记其特殊性．
『易错快攻』
易错快攻一　遗漏直线的斜率不存在的情况
[典例1]　已知椭圆M：x2a2+y23＝1(a>0)的一个焦点为F(－1，0)，左、右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
(1)求椭圆M的方程；
(2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值．
[听课笔记]









　(1)当直线l的斜率不存在时，可设直线方程为x＝－1；当直线l的斜率存在(显然k≠0)时，可设直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)．求解时一定要分直线l的斜率不存在与直线l的斜率存在两种情况作答，缺少任何一种情况，步骤都是不完整的．
(2)本题可将直线方程巧设为x＝my－1，用含m的式子表示出|S1－S2|，并求出其最大值．显然，此法无需考虑直线的斜率是否存在，是解决此类问题的最佳选择．
易错快攻二　忽视双曲线定义中的限制条件
[典例2]　点P到曲线E上所有点的距离的最小值称为点P到曲线E的距离，那么平面内到定圆C的距离与到圆C外的定点A的距离相等的点P的轨迹是(　　)
A．射线 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．双曲线
[听课笔记]








　认为到两定点距离之差等于常数的点的轨迹一律是双曲线往往是错误的，一定要注意双曲线的定义中的限制条件，尤其是定义中“差的绝对值”这一条件．
【技巧点拨】
双曲线的定义的数学表达式为||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)，注意当|PF1|－|PF2|＝2a或|PF2|－|PF1|＝2a时，动点轨迹为以F1，F2为焦点的双曲线的一支；当2a＝|F1F2|时，动点轨迹为分别以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；当2a>|F1F2|时，动点轨迹不存在．
八　概率与统计
『必记知识』
1．分类加法计数原理
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，…，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法(也称加法原理)．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法(也称乘法原理)．
3．排列数、组合数公式及其相关性质
(1)排列数公式
Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n−m！m≤n，m，n∈N∗，Ann＝n！＝n(n－1)(n－2)…·2·1(n∈N*)．
[提醒]　(1)在这个公式中m，n∈N*，且m≤n，并且规定0！＝1，当m＝n时，Anm＝n！.
2Anm＝n！n−m！主要有两个作用：①利用此公式计算排列数；②对含有字母的排列数的式子进行变形时常使用此公式．
(2)组合数公式
Cnm＝Anm Amm ＝nn−1n−2…n−m+1m！＝n！m！n−m！(m≤n，n，m∈N*).
[提醒]　(1)公式Cnm＝n！m！n−m！主要有两个作用：①利用此公式计算组合数；②对含有字母的组合数的式子进行变形和证明时，常用此公式．
(2)组合数的性质
Cnm＝Cnn−m m≤n，n，m∈N∗，Cn+1m＝Cnm−1 +Cnm(m≤n，n，m∈N*)．
(3)排列数与组合数的联系
Anm＝Cnm Amm.
4．二项式定理
(a＋b)n＝Cn0an+Cn1an−1b1+…+Cnk an−kbk+…+Cnnbn(n∈N*).这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中各项的系数Cnk(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数．式中的Cnkan－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Cnkan－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)．
5．二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从Cn0，Cn1， ... ，Cnn−1 ，Cnn.
[提醒]　对于二项式定理应用时要注意
(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．
(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系．
(3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
(4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a，b.
6．概率的计算公式
(1)古典概型的概率公式 P(A)＝事件A包含的基本事件数m基本事件总数n；
(2)互斥事件的概率计算公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
(3)对立事件的概率计算公式 P(A)＝1－P(A)；

7．统计中四个数据特征
(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；
(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数；
(3)平均数：样本数据的算术平均数，即x＝1n(x1＋x2＋…＋xn)；
(4)方差与标准差
方差：s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2].
标准差：s＝ 1nx1−x2+x2−x2+…+xn−x2.
8．二项分布
(1)相互独立事件的概率运算
①事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)．
②若事件A1，A2，…，An相互独立，则这些事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
③事件A，B相互独立，则A和B，A与B，A与B也相互独立．
(2)条件概率P(B|A)＝PABPA的性质
①0≤P(B|A)≤1.
②若B和C是两个互斥事件，则P(B∪CA＝P(B|A)＋P(C|A)．
③若A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．
(3)二项分布(伯努利分布）ξ～B(n，p)
如果在每次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
P(ξ＝k)＝Cnk pkqn－k，其中k＝0，1，…，n，q＝1－p，于是得到随机变量ξ的概率分布列如下：
ξ
0
1
…
k
…
n
P
Cn0 p0 qn
Cn1 p1qn－1
…
Cnkpkqn－k
…
Cnnpnq0
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并称p为成功概率．
（4）超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为
P(X＝k)＝CMkCN−Mn−kCNn，k＝m ，m+1，m+2，…，r，其中r＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此时称随机变量X服从超几何分布．
9．正态分布X～N(μ，σ2)
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝abφμ，σ (x)d x(即直线x＝a，直线x＝b，正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交． ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π. ④曲线与x轴之间的面积为1.
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
[提醒]　P(X≤a)＝1－P(X＞a)；P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)；P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．
『必会结论』
1．求解排列问题常用的方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素的排列产生的空中
先整体，后局部
“小集团”排列问题中，先整体，后局部
除法
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反，等价转化的方法
2.二项式系数的性质
(1)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cnm＝Cnn−m.
(2)增减性与最大值：二项式系数Cnk，当k＜n+12时，二项式系数逐渐增大；当k＞n+12时，二项式系数逐渐减小．当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即Cn0 +Cn1 +…＋Cnn＝2n.
(4)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即Cn0 +Cn2＋…＝Cn1 +Cn3＋…＝2n－1.
3．均值与方差的性质结论
(1)均值的性质结论
①E(k)＝k(k为常数) ②E(aX＋b)＝aE(X)＋b ③E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
(2)方差的相关性质结论
①D(k)＝0(k为常数) ②D(aX＋b)＝a2D(X) ③D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.
(3)两点分布与二项分布的均值与方差
①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
②若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
③若随机变量X服从超几何分布，即X～H(N，n，M)，设 则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)
『易错剖析』
易错点1　对统计图表中的概念理解不清，识图不准确
【突破点】　求解统计图表问题，重要的是认真观察图表，发现有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意图中的每一个小矩形的面积是落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1，当小矩形等高时，说明频率相等，计算时不要漏掉其中一个．
易错点2　对等可能事件认识不清致误
【突破点】　解与等可能事件相关的题目时，由于对等可能性事件的基本事件构成理解不清，往往计算基本事件或多或少或所划分事件根本不等可能性，从而导致失误．
易错点3　对抽样概念把握不准
【突破点】　解决随机抽样问题时，造成失分原因是分层中不明确有几层，计算比例时找不准比例关系．在学习时应熟练掌握各种抽样方法的步骤，注意系统抽样中各段入样的个体编号成等差数列，公差即每段的个体数．
『易错快攻』
易错快攻　用频率分布直方图解题时误把纵轴当作频率
[典例]　沃尔玛超市为了了解某分店的销售情况，在该分店的电脑小票中随机抽取200张进行统计，将小票上的消费金额(单位：元)分成6组，分别是[0，100)，[100，200)，[200，300)，[300，400)，[400，500)，[500，600]，制成如图所示的频率分布直方图(假设抽到的消费金额均在[0，600]内)．
(1)求消费金额在[300，600]内的小票张数；
(2)为做好2020“双十二”促销活动，该分店设计了两种不同的促销方案．
方案一：全场商品打八五折．
方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免．
利用频率分布直方图中的信息，分析哪种方案优惠力度更大，并说明理由．







　此类以频率分布直方图为背景的方案决策型问题的易错点有两处：一是观图算频率出错，需注意频率分布直方图的纵轴表示的是“频率组距”；二是求平均数出错，即利用频率分布直方图估计平均数出错，从而作出错误的决策，需认真审题与认真运算，避开此类错误．









































重温基础，高考“七分靠实力，三分靠心态”（参考答案）
一　集合与常用逻辑用语
[典例1]答案：[1，＋∞)
解析：①当B≠∅时，则有2m≤m+3，2m≥2，m+3≤6，解得1≤m≤3；
②当B＝∅时，2m>m＋3，解得m>3.综合①②，得m≥1，故实数m的取值范围是[1，＋∞).
[典例2答案：B
]解析：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以应先将存在量词改成全称量词，然后否定结论即可，所以命题p：∃x<0，x2≥1的否定是∀x<0，x2<1，故选B.
二　不等式
[典例1]答案：C解析：易知函数y＝ax＋1－3过定点A(－1，－2)．
因为点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，所以－m－2n＝－2，即m2＋n＝1，
所以1m+1n＝1m+1nm2+n＝32+m2n+nm≥32＋212＝3+222，当且仅当m2n＝nm即m＝2n时取等号．故选C.

[典例2]解析：(1)若∀x>0，ax2－x＋a≥0即a≥xx2+1恒成立，则只需满足a≥xx2+1max，x>0.
令h(x)＝xx2+1(x>0)，则h(x)＝xx2+1＝1x+1x≤12，当且仅当x＝1时等号成立，
故实数a的取值范围是12，+∞.
(2)不等式f(x)≥0即ax2－x＋a≥0，
①当a＝0时，f(x)≥0即－x≥0，此时f(x)≥0的解集为(－∞，0].
②当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x＋a的图象的对称轴为直线x＝12a，令ax2－x＋a＝0，则Δ＝1−4a2，
(ⅰ)当a<－12时，Δ<0，此时f(x)≥0的解集为∅；
(ⅱ)当a＝－12时，Δ＝0，此时f(x)≥0的解集为12a即{－1}；
(ⅲ)当－120，函数f(x)的零点为x0＝1± 1−4a22a，此时f(x)≥0的解集为[1+ 1−4a22a，1− 1−4a22a]；
(ⅳ)当00，函数f(x)的零点为x0＝1±1−4a22a，此时f(x)≥0的解集为(－∞，1−1−4a22a]∪1+1−4a22a，+∞；
(ⅴ)当a≥12时，Δ≤0，此时f(x)≥0的解集为R.
综上，当a<－12时，f(x)≥0的解集为∅；当a＝－12时，f(x)≥0的解集为{－1}；当－12 三　函数、导数
[典例1]解析：由题意可知，当x≤0时，10时，f(x)≥0，f(x)在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．作出函数f(x)的图象，如图所示．

设t＝f(x)，则关于t的方程t2－(a＋2)t＋3＝0有两个不同的实数根，且t∈(1，2].
令g(t)＝t2－(a＋2)t＋3，则 Δ=a+22−12>0，g1=1−a+2+3>0，g2=4−2a+2+3≥0，1 [典例2]解析：(1)对f(x)求导得f′(x)＝6x+aex−3x2+axexex2＝−3x2+6−ax+aex.
因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.
当a＝0时，f(x)＝3x2ex，f′(x)＝−3x2+6xex，故f(1)＝3e，f′(1)＝3e，从而曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－3e＝3e(x－1)，化简得3x－ey＝0.
(2)方法一　f′(x)＝−3x2+6−ax+aex.
令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，设x1，x2为g(x)＝0的两根，则x1＝6−a−a2+366，x2＝6−a+a2+366.
当x 当x10，即f′(x)>0，此时f(x)为增函数；
当x>x2时，g(x)<0，即f′(x)<0，此时f(x)为减函数．
由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，得x2＝6−a+a2+366≤3，解得a≥－92，
故a的取值范围为−92，+∞.
方法二　f′(x)＝−3x2+6−ax+aex，由题意知－3x2＋(6－a)x＋a≤0对任意的x∈[3，＋∞)恒成立(且不恒等于0)，分离参数得a≥6x−3x2x−1(x≥3)．
令t＝x－1，则x＝t＋1，且t≥2，所以a≥6t+1−3t+12t＝−3t2+3t＝－3t＋3t在[2，＋∞)上恒成立，
故a≥−3t+3tmax＝－6＋32＝－92.
经检验，a＝－92时满足题意．故a的取值范围为−92，+∞.
四　三角函数与平面向量
[典例1]解析：因为(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，所以(a−2b)·a=0，(b−2a)·b=0.
所以a2=2a·b，b2=2a·b，即a=b，a2=2a·b. 设a，b的夹角为α，则cos α＝a·bab＝12，
因为α∈[0，π]，所以α＝π3，即a，b的夹角为π3，故选C. 答案：C
[典例2]解析：将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π6个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y＝sin 2x+π6+φ＝sin 2x+π3+φ.
因为所得函数为偶函数，所以π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，
即φ＝kπ＋π6(k∈Z)，则φ的一个可能取值为π6，故选B. 答案：B
五　数列
[典例1]解析：(1)当n＝2时，2S2＝2(1＋a2)＝3a2－2，则a2＝4，
当n＝3时，2S3＝2(1＋4＋a3)＝4a3－2，则a3＝6，
当n≥2时，2Sn＝(n＋1)an－2，
当n≥3时，2Sn－1＝nan－1－2，
所以当n≥3时，2(Sn－Sn－1)＝(n＋1)an－nan－1＝2an，即2an＝(n＋1)an－nan－1，
整理可得(n－1)an＝nan－1，所以ann＝an−1n−1，
因为a33＝a22＝2，所以ann＝an−1n−1＝…＝a33＝a22＝2，
因此，当n≥2时，an＝2n，而a1＝1，故an＝1n=1，2nn≥2．
(2)由(1)可知bn＝1n=1，n·2nn≥2，所以当n＝1时，T1＝b1＝1，
当n≥2时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，则
Tn＝1＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n，
2Tn＝2＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，
作差得Tn＝1－8－(23＋24＋…＋2n)＋n×2n＋1＝(n－1)×2n＋1＋1，
易知当n＝1时，也满足上式，故Tn＝(n－1)×2n＋1＋1(n∈N*)．
[典例2]解析：当A＝－B时，Sn＝Aqn－A，则an＝Aqn－1(q－1)，
当q＝1或A＝0时，an＝0，此时数列{an}不是等比数列．
若数列{an}是等比数列，当q＝1时，Sn＝na1，此时不具备Sn＝Aqn＋B(q≠0)的形式，
故q≠1，则Sn＝a11−qn1−q＝a11−q−a11−q·qn，
此时A＝－a11−q，B＝a11−q，A＝－B.
综上，“A＝－B”是“数列{an}是等比数列”的必要不充分条件．故选B. 答案：B
六　立体几何
[典例]解析：(1)证明：∵BM⊥AD，CN⊥AD，∴BM∥CN，
在四棱锥D－ABCN中，CN⊂平面CDN，BM⊄平面CDN，∴BM∥平面CDN，
又平面BMEF∩平面CDN＝EF，∴BM∥EF，
∵平面ADN⊥平面ABCN且交于AN，BM⊥AN，
∴BM⊥平面ADN，即EF⊥平面ADN，
又DA⊂平面ADN，∴EF⊥DA；
(2)存在，E为棱DN上靠近N点的四等分点．
∵DA＝DN，AM＝MN＝1，
连接DM，∴DM⊥AN，又平面ADN⊥平面ABCN，且平面ADN∩平面ABCN＝AN，
∴DM⊥平面ABCN.
如图，以M为坐标原点，分别以MA，MB，MD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则D(0，0，3)，B(0，1，0)，M(0，0，0)，N(－1，0，0)，
DB＝(0，1，－3)，BM＝(0，－1，0)，ND＝(1，0，3)，
设NE＝λND，(0<λ<1)，则E(λ－1，0，3λ)，ME＝(λ－1，0，3λ)，
设平面BMEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
n·BM=−y=0n·ME=λ−1x+3λz=0，不妨令x＝3λ，则z＝1－λ，n＝(3λ，0，1－λ)，
设直线DB与平面BMEF所成角为α，则有
sin α＝|cos 〈n，DB〉|＝n·DBn·DB＝3λ−123λ2+1−λ2＝34，解得λ＝14或－12(舍)．
NE＝14ND，即在棱DN上存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为34，E为棱DN上靠近N点的四等分点．
七　解析几何
[典例1]解析：(1)因为F(－1，0)为椭圆M的焦点，所以c＝1，
又b＝3，所以a＝2，所以椭圆M的方程为x24+y23＝1.
(2)方法一　当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，此时△ABD与△ABC的面积相等，即|S1－S2|＝0.
当直线l的斜率存在时，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，与椭圆M的方程联立，消去y，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，Δ>0恒成立，且x1＋x2＝－8k23+4k2，x1x2＝4k2−123+4k2.
此时|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y1＋y2|＝2|k(x1＋1)＋k(x2＋1)|＝2|k(x1＋x2)＋2k|＝12k3+4k2＝123k+4k≤12212＝3(当且仅当k＝±32时，取等号)，
所以|S1－S2|的最大值为3.
方法二　设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为x＝my－1，与椭圆M的方程联立，消去x，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，Δ>0恒成立，且y1＋y2＝6m3m2+4，
故|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y1＋y2|＝12m3m2+4＝123m+4m≤12212＝3，当且仅当m＝±233时取等号，所以|S1－S2|的最大值为3.

[典例2]解析：设圆C的半径为r，依据题意可知，|PC|＝|PA|＋r，即|PC|－|PA|＝r，且r<|AC|，
故所求点P的轨迹为以A，C为焦点的双曲线靠近A点的一支，故选C.
答案：C
八　概率与统计
[典例]解析：(1)由频率分布直方图可知，消费金额在[300，600]内的频率为0.003 0×100＋0.001 0×100＋0.000 5×100＝0.45.
所以消费金额在[300，600]内的小票张数为0.45×200＝90.
(2)由频率分布直方图可知，各组频率依次为0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05.
若采用方案一，则购物的平均费用为
0．85×(50×0.1＋150×0.2＋250×0.25＋350×0.3＋450×0.1＋550×0.05)＝0.85×275＝233.75(元)．
若采用方案二，则购物的平均费用为
50×0.1＋(150－20)×0.2＋(250－20)×0.25＋(350－80)×0.3＋(450－80)×0.1＋(550－120)×0.05＝228(元)．
因为233.75>228，所以方案二的优惠力度更大．