2023届高考数学二轮复习专题5三角函数二级结论讲练学案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题5三角函数二级结论讲练学案，共28页。学案主要包含了结论阐述，应用场景，典例指引1，典例指引2，针对训练等内容，欢迎下载使用。
专题5  三角函数二级结论1：降幂扩角公式【结论阐述】【应用场景】降幂扩角公式重要作用是降次——把高次降为低次，进而化简､求值或证明.【典例指引1】1．已知则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】先根据已知求出，再化简代入得解.【详解】由得，故.所以.故选：B【点睛】方法点睛：三角恒等变换求值常用的方法有：“三看三变”，“三看”指的是看角、看名、看式，“三变”指的是变角、变名、变式.要根据已知条件，灵活选择方法求解.【典例指引2】（2022·重庆南开中学模拟预测）2．函数的最小值为___________.【答案】【分析】化简函数解析式为，设，利用辅助角公式结合正弦型函数的有界性可求得的最小值.【详解】，设，可得，可得，其中，，因为，所以，，解得.因此，的最小值为.故答案为：.【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法：①利用和的最值直接求；②把形如的三角函数化为的形式求最值；③利用和的关系转换成二次函数求最值．【针对训练】一､单选题（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高三开学考试）3．已知函数，．若在区间内有零点，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】应用降幂、辅助角公式得，由正弦型函数的性质及在有零点可得，，即可求参数范围.【详解】，令，可得且，则，，又，在有零点，则，，即，，所以时；时；时；时；…综上，.故选：D4．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后得函数的图象，则图象的一个对称中心为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】通过降幂公式以及辅助角公式将化为，通过平移规律可得的解析式，再根据正弦函数的性质可得结果.【详解】因为将函数的图象向左平移个单位长度后得函数，令，得，令，得，所以图象的一个对称中心为，故选：B.5．（    ）A． B． C． D．2【答案】C【分析】利用诱导公式和降幂公式化简即得解.【详解】解：由题得.故选：C6．已知，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知及所求，先利用二倍角公式及三角函数的基本关系得到，然后利用角的拆分以及两角差的正弦公式即可得解.【详解】解：由已知可得，，，，.故选：A.（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）7．函数的图象的一个对称中心是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用两角和的正弦公式、降幂公式，辅助角公式，化简可得，令，即可求得对称中心，对k赋值，即可求得答案.【详解】函数=令，解得，即对称中心为.令，可得一个对称中心为，无论k取任何整数，，故BCD错误.故选：A二､多选题（2022·江苏连云港·二模）8．已知函数，则（    ）A．函数的最小正周期为B．点是函数图象的一个对称中心C．将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于轴对称D．函数在区间上单调递减【答案】BCD【分析】先将化简为，再结合余弦函数的性质判断4个选项即可.【详解】，故最小正周期为，A错误；，点是一个对称中心，B正确；向左平移个单位长度得到，关于轴对称，C正确；，单调递减，D正确.故选：BCD.（2022·湖南·衡阳市八中模拟预测）9．已知函数，则 （    ）A．在上有两个零点B．在上单调递增C．在的最大值是1D．的图像可由向右移动得到【答案】AB【分析】利用降幂公式、二倍角公式，辅助角公式化简整理，可得，根据余弦型函数的性质，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】，A选项，令，所以在上有两个零点.故A正确；B选项，令，所以的单调递增区间，令k=0，可得一个递增区间为，且，所以B正确；C选项，因为，所以，所以当，即时，，所以C错误；D选项，向右移动，则，所以D错误.故选：AB【点睛】解题的关键是熟练掌握恒等变换公式、余弦型函数的性质，并灵活应用，综合性较强，属中档题.三､填空题10．若是第三象限角，且，则___________.【答案】【分析】利用两角差的正弦公式化简已知条件，求得，利用同角三角函数的基本关系式求得，结合降幂公式求得.【详解】，由于是第三象限角，所以，所以.故答案为：（2022·新疆·二模）11．已知，，则__________．【答案】##【分析】根据同角的三角函数关系式，结合降幂公式、诱导公式进行求解即可.【详解】解：由，，得，所以．故答案为：12．已知函数，若在区间内没有零点，则ω的取值范围是__.【答案】【分析】由三角恒等变换得，进而根据题意得，再分别解不等式即可得答案.【详解】解：函数∵在区间内没有零点，∴，即∴①或②，解①得，即，由于，故，即解②得，即，由于，故，即，综上可得的取值范围是故答案为：二级结论2：升幂缩角公式【结论阐述】【应用场景】升幂缩角公式主要作用是开方——升幂为平方式，然后开平方，进而化简､求值或证明.【典例指引1】13．已知是第二象限的角.化简：的值为____________.【答案】【解析】本题可以先通过是第二象限的角得出，然后对进行化简即可得到结果．【详解】因为是第二象限的角，所以，所以.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数式的化简，利用三角函数的同角三角函数关系式进行化简是本题的关键．【典例指引2】14．化简结果：___________.【答案】2sin2【分析】首先结合二倍角公式以及同角的平方关系进行化简整理，再结合角的范围，确定三角形函数值的正负符号，进而去绝对值符号即可求出结果.【详解】因为，所以，所以原式故答案为：【针对训练】一､单选题15．若，则 等于（    ）A．cos α－sin α B．cos α＋sin αC．－cos α＋sin α D．－cos α－sin α【答案】D【分析】利用降次公式化简求得表达式，求得正确答案.【详解】依题意，.故选：D（江苏省南通市2022-2023学年高三上学期第一次质量监测数学试题）16．通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即.记，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将代入，根据恒等变换公式化简，即可求得结果.【详解】，故选:A.（2022·江苏省如皋中学高二开学考试）17．设，，，则有（    ）.A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用辅助角公式和二倍角公式化简a，b，c，再进行比较.【详解】解：由题意得：，，，，，，故选：C二､多选题（2022·甘肃兰州·高一期末）18．下列各式的值是的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用二倍角公式、特殊角三角函数值依次判断各个选项即可.【详解】对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：ABC.三､填空题19．若，则_______________．【答案】【分析】利用同角关系“”，以及二倍角的正弦公式，把根号配成完全平方式，开出来，根据的范围去绝对值整理得答案.【详解】                                                    ，由于，所以，当时，，原式，当时，，原式，综上，原式．故答案为：.（2022·江西·南昌十中高一期中）20．若，化简______．【答案】【分析】由题设可得，再应用平方关系、二倍角正弦公式化简目标式即可.【详解】由题设，，则，又.故答案为：（2022·上海市奉贤区奉城高级中学高一月考）21．化简：若，则____________.【答案】【分析】根据，将原式化简为，根据，去掉绝对值符号即可.【详解】因为，所以，，且所以原式故答案为：.（2022·江苏·高一）22．若0<α<，则＋的化简结果是_________.【答案】2cos##【分析】利用同角三角函数关系，结合角度范围，即可化简求值.【详解】解：原式，∵，∴，∴，，∴原式.故答案为：.（2022·辽宁抚顺·高一期末）23．已知，则化简的结果为___________【答案】【分析】由正弦的二倍角公式和平方关系变形化简．【详解】因为，所以，，所以．故答案为：．二级结论3：万能公式【结论阐述】①；②；③.【应用场景】使用万能公式，可以把含有的三角函数式化成只含有的式子，为方便起见，可以用令，即化为一个只含的式子，进而应用相关知识解决问题.因此万能公式架起了三角与代数间的桥梁.万能公式具体作用含有以下四点：①将角统一为；②将函数名称统一为（正切函数）；③任意实数都可以表示为的形式，可以用正切函数换元.【典例指引1】（2022·四川·石室中学高一月考）24．已知锐角满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出，由两角和的正切公式展开，结合已知求得和，然后求得，再由两角差的正弦公式计算．【详解】由得，所以，又，所以，由，解得，或（舍去，此时不是锐角），，是锐角，，，则，所以．故选：C．【点睛】思路点睛：本题考查两角和正切公式，万能公式，同角间的三角函数关系，两角差的正弦公式．解题关键是确定选用公式的顺序，解题时由函数名及角的关系确定选用的公式及顺序．．【典例指引2】（2022·河南·焦作市第一中学高二期中）25．已知且，则（    ）A．2 B．1 C．0 D．【答案】D【分析】由已知条件，利用万能公式可得，结合范围即可求.【详解】由，，所以，即，又，可得.故选：D【针对训练】一､单选题26．已知角的大小如图所示，则（    ）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】由图中的信息可知 ，化简 即可.【详解】由图可知， ， ；故选：A.27．若，，则的值为（    ）A． B． C．0 D．【答案】D【分析】结合二倍角公式化简可求，再结合万能公式可求.【详解】因为，，所以且，解得，所以.故选：D（2022·吉林·长春十一高高三月考）28．曲线在处的切线的倾斜角为，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出的导函数，进而求出时，，由导函数的几何意义和倾斜角与斜率的关系，求出，利用万能公式求出结果.【详解】，当时，，所以，由万能公式得：所以故选：B（2022·辽宁沈阳·一模）29．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】运用诱导公式及齐次化即可或解.【详解】由，得，所以，从而故选：B30．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得的值.【详解】.故选：A.二､填空题31．已知则的值为______.【答案】【分析】应用三角函数的恒等变换公式对变形求得，再由求得，可得结论．【详解】，所以，，所以．故答案为：．（2022·重庆第二外国语学校高二月考）32．已知在平面直角坐标系中直线l恒过定点（2，1）.与x正半轴y正半轴分别相交A、B两点，O为坐标原点，则△周长的最小值是_____________.【答案】10【分析】设出直线在两坐标轴上的截距,再设,把三角形的三边用表示，然后利用万能公式化简，换元后由基本不等式求最值.【详解】设三角形三个顶点坐标分别为O(0,0)，A(a,0)，B(0,b)，其中a>0，b>0，设，则，△周长=，令，则△周长=当且仅当，即时，周长取最小值10.故答案为：1033．已知sin 2θ＝，0＜2θ＜，则＝________．【答案】##0.5【分析】利用二倍角公式变形求出，根据三角恒等变换化简待求式为，即可代入求解.【详解】因为，所以，所以，因为所以，即故答案为：（2022·四川·高三期中）34．已知，则________．【答案】【分析】先用诱导公式求出，再用万能公式求出和，再用正弦的和角公式进行求解【详解】因为，由诱导公式得：所以．，．故答案为：（2022·全国·高一单元测试）35．已知为锐角且，则的值是________．【答案】##-0.6【分析】由题意首先求得的值，然后利用诱导公式和二倍角公式求得三角函数式的值即可.【详解】由，得，解得，或.因为为锐角，故.故答案为: .36．已知向量，，且，则______．【答案】【分析】由向量垂直的坐标表示可得，再由万能公式有求即可.【详解】向量，，且，∴，即，则，∴．故答案为：（2022·江西·贵溪市实验中学高三月考）37．已知，，若，则______．【答案】【分析】由向量平行的坐标运算求出，然后由万能公式计算．【详解】因为，所以，所以，所以，所以．故答案为：．（2022·北京市育英学校高一期末）38．已知，，则的值为___________【答案】【分析】先由求出、的值，再利用余弦的二倍角公式以及诱导公式化简，将、的值代入即可求解.【详解】因为，所以，因为，所以，，故答案为：.（2022·广东·新会陈经纶中学高三月考）39．已知，则______.【答案】.【分析】令，则，，进而可求得结果.【详解】令，则，且，所以.故答案为：.（2022·上海市实验学校高一期中）40．若，则函数的值域为__________.【答案】【分析】当时，令，, 然后利用函数的奇偶性与基本不等式即可求解【详解】当时，，当时，令，则因为，所以，所以所以在R是奇函数当时，，其中时，取得等号所以当，根据奇函数性质当时，所以的值域为；综上，的值域为故答案为：（2022·浙江省杭州学军中学高三月考）41．已知角的终边在直线上，则___________；___________.【答案】     ##0.5     ##0.8【分析】由已知，结合直线方程及斜率与倾斜角的关系直接写出，应用诱导公式、万能公式可得即可求值.【详解】由直线的斜率为，则，又.故答案为：.三､解答题42．已知且，求：(1)；(2).【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据，利用同角三角函数的关系，可得出，即可直接利用二倍角公式求解；（2）在（1）的基础上，直接利用二倍角公式求解.（1）∵，∴，∴，∴.（2）.43．已知，，求的值．【答案】【分析】先用万能公式求出的值，再根据得出，最后联立可求得答案.【详解】，则有①， 又已知，从而有②． 联立①②可得，．∴．