专题3-1 三角函数与弧度制14种题型归类（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

这是一份专题3-1 三角函数与弧度制14种题型归类（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用），文件包含专题3-1三角函数与弧度制14种题型归类讲+练原卷版docx、专题3-1三角函数与弧度制14种题型归类讲+练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共61页， 欢迎下载使用。


知识梳理与二级结论
1．正角、负角、零角
我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做正角，如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个负角.
2．象限角、轴线角的概念
（1）象限角：若角的顶点在原点，角的始边与x轴非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角.
（2）轴线角：若角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限.
3．弧长公式和扇形面积公式
（1）；
（2）；（为扇形圆心角的弧度数）
4．角度与弧度制的换算
5．三角函数线
设角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为，其中 OM，MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则AT．我们把有向线段OM、MP、AT叫做的余弦线、正弦线 、正切线．
6．比值叫做的正弦，记作：；
比值叫做的余弦，记作：；
比值叫做的正切，记作：.
7．任意角的三角函数的定义
8.象限角：
9.轴线角
10.常见角度与弧度对应三角函数值
热点考题归纳
【题型一】角基础1：象限角
【典例分析】
1．（2023秋·江西·高三宁冈中学校考开学考试）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·高三单元测试）若为第二象限角，则的终边所在的象限是（ ）
A．第二象限B．第一、二象限
C．第一、三象限D．第二、四象限
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023春·广西钦州·高三模拟试卷）若是第二象限角，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
2．（2023·全国·高三假期作业）若角是第二象限角，则角的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2021秋·高三课时练习）若是第四象限角，则一定是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【题型二】角基础2：角的范围
【典例分析】
1．（2021·高三课时练习）．若α是第四象限角，则下列角中是第一象限角的是（ ）
A．α＋180°B．α－180°C．α＋270°D．α－270°
2．（2023·全国·高三专题练习）若α是第四象限角，则180°－α是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）若是第三象限角，则的终边所在的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2022·高三课时练习）已知是第四象限角，则是第象限角.
A．一B．二C．三D．四
3．（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【题型三】角基础3：不等式与角域
【典例分析】
1．（2023·全国·高三专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校联考期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023·全国·高三假期作业）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·广西钦州·高三浦北中学校考期中）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·高三课时练习）集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°,k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（ ）
A．B．C．D．
【题型四】角基础4：终边相同角关系
【典例分析】
1．（2023·全国·高三专题练习）如果角与角x＋45°具有相同的终边，角与角x－45°具有相同的终边，那么与之间的关系是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·高三课时练习）若角与角的终边相同,角与角的终边相同,则与之间的关系2
A．B．
C．D．
【变式演练】
1．（2022秋·四川攀枝花·高三攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）已知集合，，，则A，B，C之间的关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021秋·高三课时练习）已知集合，则M，P之间的关系为（ ）
A．M=PB．
C．D．
3．（2023秋·四川眉山·高三仁寿一中校考期末）已知集合，.则集合M，P之间的关系为（ ）
A．M=PB．C．D．
【题型五】角度之间对称关系
【典例分析】
1．（2023春·四川南充·高三校考阶段练习）是一个任意角，则的终边与的终边（ ）
A．关于坐标原点对称B．关于轴对称
C．关于轴对称D．关于直线对称
2．（2022春·陕西铜川·高三铜川市第一中学校考阶段练习）平面直角坐标系内，角，的顶点均在坐标原点，始边均与x轴非负半轴重合，其终边在同一直线上，则角与的关系为（ ）
A．B．
C．D．
【变式演练】
1．（2021春·陕西宝鸡·高三统考期中）若角与角的终边关于轴对称，则（ ）.
A．()B．()
C．()D．()
2．（2022·高三课时练习）在直角坐标系中，若角与角的终边关于轴对称，则与的关系是（ ）.
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）若,,其中,则角与的终边（ ）.
A．关于原点对称B．关于轴对称
C．关于轴对称D．关于对称
【题型六】最小角
【典例分析】
1．（2021·高三课时练习）把表示成的形式，使最小的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）表示成（）的形式，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1．（2021·高三单元测试）把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是（ ）
A．－πB．－2π
C．πD．－π
2．（2021秋·高三课时练习）把表示成的形式，使最小的的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·江西南昌·高三南昌十五中校考阶段练习）与角终边相同的最小正角是（ ）
A．B．C．D．
【题型七】弧长与扇形面积最值
【典例分析】
1．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学期中）已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（ ）
A．1B．2C．4D．5
2．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（ ）
A．2B．4C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2020·全国·高三专题练习）在面积为定值的扇形中，当扇形的周长取得最小值时，扇形的半径是（ ）.
A．B．C．D．
2．（2023秋·江西吉安·高三吉安一中校考期末）已知扇形的周长为20cm，当扇形面积的最大值时，扇形圆心角为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
3．（2021·江苏·高三专题练习）已知扇形的周长为，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长等于（ ）
A．B．C．D．
【题型八】单位圆
【典例分析】
1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三模拟试卷）已知角的终边与单位圆的交点，则（ ）
A．B．C．D．
2（2022秋·广东东莞·高三模拟试卷）如图，质点在单位圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为2，则点到轴距离关于时间的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【变式演练】
1．（2023·全国·高三专题练习）设，角的终边与圆的交点为，那么
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与以原点为圆心，半径为的圆相交于点则，则 （ ）
A．B．C．D．
3．（2021春·浙江·高三期末）在单位圆中，已知角的终边上与单位圆的交点为，则位于第几象限（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【题型九】三角函数线应用比大小
【典例分析】
1．（2023春·高三课时练习）利用正弦线比较的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）以下命题正确的是（ ）
A．都是第一象限角，若，则
B．都是第二象限角，若，则
C．都是第三象限角，若，则
D．都是第四象限角，若，则
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·高三单元测试）在上，利用单位圆，得到成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·江苏·高三专题练习）设，和分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则下列式子正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型十】三角函数线解三角不等式
【典例分析】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
2．（2023春·湖北·高三校考阶段练习）若0<α<2π，且sinα<，csα>，则角α的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．∪
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023秋·辽宁抚顺·高三抚顺一中校考期末）已知是的一个内角，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2019秋·全国·高三贵阳一中校联考阶段练习）的解集为
A．B．,
C．D．
3．（2019·高三课时练习）在内，使成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型十一】三角函数符号判断
【典例分析】
1．（2023春·贵州遵义·高三校联考期中）若，，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
2．（2021·高三课时练习）的符号为（ ）
A．正B．0C．负D．无法确定
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2022秋·上海杨浦·高三复旦附中校考期末）已知角满足，，则的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2022·全国·高三专题练习）下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3.（2023·全国·高三对口高考）设，如果且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【题型十二】三角函数式与角的位置判定
【典例分析】
1．（2023春·江西抚州·高三校联考期中）已知是第四象限的点，则角的终边位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2023春·高三课时练习）已知点在第二象限，则角的一个可能的区间是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1．（2023春·江苏常州·高三校考阶段练习）已知，则“”是“点在第一象限内”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023·高三课时练习）若，且，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
3．（2023春·江西·高三江西师大附中校考阶段练习）已知，，，则下列不等关系中必定不成立的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【题型十三】解三角函数方程
【典例分析】
1．（2023春·高三课时练习）使得等式成立的x的集合是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三假期作业）若，则角x等于（ ）
A．或B．或C．或D．或
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023秋·浙江·高三期末）已知，且，则（ ）
A．B．或C．或D．或
2．（2023秋·天津河西·高三天津市新华中学校考期末）满足方程的的取值为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
3．（2023春·辽宁葫芦岛·高三校考阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【题型十四】定义域型解三角函数
【典例分析】
1．（2023春·广西钦州·高三校考期中）已知，则的定义域为（ ）
A．B．
C．，其中D．
2．（2022秋·甘肃庆阳·高三校考期末）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023·全国·高三对口高考）函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·江西南昌·高三校考阶段练习）函数的定义域为（ ）．
A．B．
C．D．
3．（2023春·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）函数的定义域为（ ）
A．，B．，
C． ，D．，
高考真题对点练
1．（上海·高考真题）三角方程的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2020·全国·统考高考真题）若α为第四象限角，则（ ）
A．cs2α>0B．cs2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0
3．（2018·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是
A．B．
C．D．
4．（2018·全国·高考真题）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
A．B．C．D．
多选题
5．（全国·高考真题）已知，那么下列命题中成立的是（ ）
A．若、是第一象限角，则
B．若、是第二象限角，则
C．若、是第二象限角，则
D．若、是第四象限角，则
6．（北京·高考真题）、、，从小到大的顺序是 ．
7．（2020·浙江·统考高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是 ．
8．（2023·北京·统考高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
最新模考真题
一、单选题
1．（2023·辽宁·校联考一模）已知角的终边上一点的坐标为，则的最小正值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南商丘·校联考模拟预测）已知条件，条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．（2020·福建·校联考一模）设角属于第二象限，且，则角属于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
4．（2020·四川眉山·统考模拟预测）下列结论中错误的是（ ）
A．若角的终边过点，则
B．若是第二象限角，则为第一或第三象限角
C．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度
D．若，则
5．（2021·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考模拟预测）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：，）（ ）

A．1.012mB．1.768mC．2.043mD．2.945m
6．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）下列不等式中，正确的有（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·四川·校联考模拟预测）已知点为角终边上一点，绕原点将顺时针旋转，点旋转到点处，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考阶段练习）若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
10．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．，则D．若，则
11．（2021·辽宁沈阳·统考三模）如图，圆心在坐标原点、半径为的半圆上有一动点，、是半圆与轴的两个交点，过作直线垂直于直线，为垂足．设，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则的最大值为
12．（2020·山东济宁·济宁一中校考一模）若集合，，则正确的结论有（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023·河北·校联考三模）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
14．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模）在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点顺时针旋转得到线段，则点B的横坐标为 .
15．（2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC的面积S为，若，则当该纸叠扇的周长C最小时，BD的长度为 .
16．（2021·上海·统考模拟预测）已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是
一、知识梳理与二级结论
二、热考题型归纳
【题型一】角基础1：象限角
【题型二】角基础2：角的范围
【题型三】角基础3：不等式与角域
【题型四】角基础4：终边相同角关系
【题型五】角度之间对称关系
【题型六】最小角
【题型七】弧长与扇形面积最值
【题型八】单位圆
【题型九】三角函数线应用比大小
【题型十】三角函数线解三角不等式
【题型十一】三角函数符号判断
【题型十二】三角函数式与角的位置判定
【题型十三】解三角函数方程
【题型十四】定义域型解三角函数
三、高考真题对点练
四、最新模考题组练
三角函数线
条件
如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
定义
正弦函数
把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作，即
余弦函数
把点P的横坐标叫做的余弦函数，记作，即
正切函数
把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即
三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
象限角
集合
区间
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
角终边所在位置
角度制
弧度制
角终边在轴非负半轴
角终边在轴非正半轴
角终边在轴非负半轴
角终边在轴非正半轴
角终边在轴上
角终边在轴上
角终边在坐标轴上
象限角、轴线角的概念
（1）象限角：若角的顶点在原点，角的始边与x轴非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角.
（2）轴线角：若角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限.
象限角
集合
区间
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
对于k形式，要注意讨论k的奇偶性。
1.k偶数时候，k终边落在x轴正半轴
2.k奇数时候，k终边落在x轴负半轴
弧长公式和扇形面积公式
（1）；
（2）；（为扇形圆心角的弧度数）
求弧长或者面积最值是，多用均值不等式来计算
常用不等式：
(1)重要不等式：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；
(2)重要不等式链：eq \r(,eq \f(a2＋b2,2))≥ eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)≥eq \f(2ab,a＋b)；
设角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为，其中 OM，MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则AT．我们把有向线段OM、MP、AT叫做的余弦线、正弦线 、正切线．
三角函数线
应用三角函数线解三角不等式时，要注意几点：
1.周期性。
2.角度取舍时，要遵循逆时针旋转。从小到大。
三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
解三角方程公式公式记忆较复杂，可以通过三角函数来记忆。
sin=m，则角度关于x轴对称
Cs=m，则角度关于y轴对称
涉及到三角函数型定义域不等式求解，交集计算要放在数周上来求解计算