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专题2-3 零点14种题型归类（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）
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这是一份专题2-3 零点14种题型归类（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用），文件包含专题2-3零点归类讲+练原卷版docx、专题2-3零点归类讲+练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共88页， 欢迎下载使用。
知识梳理与二级结论
一、二分法及其应用
（1）二分法的概念
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的_零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
（2）用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
①确定零点的初始区间，验证．
②求区间的中点c．
③计算，并进一步确定零点所在的区间：
a．若（此时），则c就是函数的零点．
b．若（此时），则令b．
c．若（此时，则令a．
④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤②～④．
二、函数零点存在性定理：
如果函数在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得_，这个也就是方程的解.
三、指数运算公式
(a>0且a≠1)：
①a＝ eq \r(n,am) ②am·an＝am＋n③am÷an＝am－n④(am)n＝amn.
指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由：
（1）如果，当
（2）如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在．
（3）如果，是一个常量，对它就没有研究的必要．
为了避免上述各种情况，所以规定且．
四、对数运算公式
(a>0且a≠1，M>0，N>0)
(1)指对互化： x＝lgbN .
(2)对数的运算法则：
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM (n∈R)； ④lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM．
(3)对数的性质：①a＝ N ；②lgaaN＝ N (a>0且a≠1)．
(4)对数的重要公式
①换底公式：lgbN＝eq \f(lgaN,lgab)；②换底推广：lgab＝eq \f(1,lgba)， lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
五、图形变换
(1)平移变换：上加下减，左加右减
(2)对称变换
①y＝f(x) eq \(――――――――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)；②y＝f(x) eq \(―――――――――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)；
③y＝f(x) eq \(―――――――――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)；④y＝ax (a>0且a≠1) eq \(――――――――→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝lgax(a>0且a≠1)．
⑤y＝f(x) eq \(――――――――――――――――→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\d5(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|.⑥y＝f(x) eq \(――――――――――→,\s\up7(保留y轴右边图象，并作其),\s\d5(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．
(3)伸缩变换
y＝f(ax) ②y＝f(x) eq \(――――――――――――――→,\s\up7(a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),\s\d5(0六、常见图像变换
平移变化
翻折变换：绝对值内外型
对称变换
复合变换
复合变换：绝对值，平移
带系数：系数不为1，类比正弦余弦的系数，提系数平移
热点考题归纳
【题型一】二分法
【典例分析】
1.（2023·辽宁大连·统考一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数在附近一点的函数值可用代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程，选取初始值，在下面四个选项中最佳近似解为（ ）
A．B．C．D．
2.（河南省南阳市第一中学校2022-2023学年高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知函数的零点位于区间内，则整数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【提分秘籍】
【变式演练】
1.已知函数，则下列区间中含零点的是（ ）
A．B．C．D．
2.（辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学2022-2023学年 ）用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（ ）
A．B．C．D．
3.（2023·高三阶段测试）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数可以是（ ）
A．B．C．D．
【题型二】幂指对图像基础
【典例分析】
1.已知函数，若函数在R上有两个零点，则m的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
2.（2023·全国·模拟预测）使函数的值域为的一个a的值为 ．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·云南·校联考模拟预测）已知，设，则函数的最大值为 .
2.（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）已知函数，则不等式的解集为 ．
3.（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则 ．
【题型三】求零点基础方法：水平线法
【典例分析】
1.已知函数，且，当时，函数存在零点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2.（天津市津衡高级中学2022届高三下学期4月月考数学试题）已知函数，若函数有4个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
【变式演练】
1.（湘鄂冀三省益阳平高学校、长沙市平高中学等七校2021-2022学年上学期联考数学试题）已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.（河南省2021-2022学年上学期阶段性考试（三）数学试题）已知函数函数有三个不同的零点，，，且，则（ ）
A．B．的取值范围为
C．a的取值范围为D．的取值范围为
【题型四】 水平线法：对数绝对值型
【典例分析】
1.（重庆市璧山来凤中学校九校2023届高三上学期联考模拟（二）数学试题）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
2.已知函数（，且）在区间上为单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． ．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（吉林省长春市第五中学2021-2022学年数学试题）已知函数，函数有四个不同的零点，，，，且满足：，则下列结论中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
2.（福建省德化第一中学2021-2022学年考试数学试题）设函数，若函数在R上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是
A．B．C．D．
3.已知函数，若函数有四个零点，分别为则的取值范围是
A．B．C．D．
【题型五】 水平线法：指数型
【典例分析】
1.（黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2022-2023学年考试数学试题）已知函数，若函数g(x)＝f(x)－k有3个零点，则实数k的取值范围为（ ）
A．(0，＋∞)B．(0，1)C．[1，＋∞)D．[1，2)
2.（河北省2023届高三上学期11月联考数学试题）已知函数若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
2.（陕西省2022届高三下学期教学质量检测（三）理科数学试题）已知函数 ，若函数有三个不同的零点，，且，则 的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
3..（陕西省商洛市2021-2022学年数学试题）已知函数，函数有四个不同的的零点，，，，且，则（ ）
A．a的取值范围是(0,) B．的取值范围是(0,1) C．D．
【题型六】 复合二次型函数零点求参数：因式分解型
【典例分析】
1.（重庆市开州区临江中学2023届高三上学期入学考试数学试题）已知函数，若函数恰好有5个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.（广东省佛山市第一中学2023届高三上学期第三次月考数学试题）已知函数，若函数只有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（河南省驻马店市2021-2022学年数学试题）已知函数，，则函数的零点个数不可能是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2.已知，则函数的零点个数为（ ）
A．B．C．D．
3.（2022·山东日照·日照一中校考一模）已知函数是定义在R的偶函数，当时， 若函数有且仅有6个不同的零点，则实数a取值范围 .
【题型七】复合二次型函数零点求参数：根的分布型
【典例分析】
1.（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知函数，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围为 ．
2.（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是 ．
【变式演练】
1.（黑龙江省大庆市大庆中学2021-2022学年数学试题）已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为
A．B．C．D．
2.（重庆市长寿区七校2021-2022学年联考数学试题）已知，若有5个零点，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
3.（2023春·四川绵阳·高三校考开学考试）已知函数，若的零点个数为4，则实数a取值范围为 .
【题型八】双函数内外复合型函数零点求参数
【典例分析】
1.（2022·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）设，（其中为自然对数的底数),若函数有个零点，则的取值范围
A．B．C．D．
2.（2023春·辽宁沈阳·高三联考）已知函数，，若有6个零点，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.（2023春·江西·高三江西省清江中学校考）已知函数，，记函数，若函数恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023春·江苏苏州·高三江苏省苏州实验中学校考阶段练习）已知函数，，若函数有3个不同的零点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
3..（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若函数有个零点(互不相同)，则实数的取值范围为 ．
【题型九】函数自身内外复合型零点求参
【典例分析】
1.(湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题)己知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．B．C．D．
2.(北京市第四中学2023届高三上学期期中考试数学试题)函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式演练】
1.已知函数，则函数，的零点个数（ ）
A．5或6个B．3或9个C．9或10个D．5或9个
2.已知函数为定义在上的单调函数，且．若函数有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C．D．
3.已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【题型十】解析式含参数零点型
【典例分析】
1.设是定义在R上且周期为2的函数，当时，，其中a，，且函数在区间上恰有3个零点，则a的取值不可能是（ ）
A．B．C．D．0
2.已知函数，恰有2个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.已知函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
2.（2021·江苏·高三专题练习）设，e是自然对数的底数，函数有零点，且所有零点的和不大于6，则a的取值范围为 ．
3.（2023·全国·高三专题练习）设函数．若恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ．
【题型十一】函数分段定义域处含参数零点型
【典例分析】
1.（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知函数，若函数g(x)＝f(f(x)＋1)有三个零点，则实数a的取值范围是 ．
2.（2022·江苏泰州·泰州中学校考模拟预测）已知函数，若存在，使得函数有三个零点，则实数的取值范围是 .
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021·全国·高三专题练习）已知（其中，为自然对数的底数），若在上有三个不同的零点，则的取值范围是 .
2.（2023春·天津南开·高三南开大学附属中学校考阶段练习）已知，函数恰有3个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3.（2022秋·江苏苏州·高三校考阶段练习）若函数恰有1个零点，则实数的取值范围是 .
【题型十二】切线型零点求参
【典例分析】
1.2023·全国·高三专题练习）已知函数，函数有2个零点，则实数a的取值范围是 ．
2.（2022秋·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）已知函数，且函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·天津滨海新·统考三模）已知函数，若函数在上恰有三个不同的零点，则的取值范围是 ．
2.（2020春·陕西西安·高三交大附中分校校考阶段练习）已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是 .
3.（2023·高三课时练习）已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是 .
【题型十三】切线型折线零点求参
【典例分析】
1.（2021秋·湖北武汉·高三华中科技大学附属中学校考）已知函数，上有两个不同的零点，则的取值范围 ；
2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数有且只有个零点，则实数的取值范围是 .
【变式演练】
1.（2023春·天津·高二天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末）已知函数 ，若函数有三个零点，则实数的取值范围是 .
2.（2022·全国·高三专题练习）已知函数对于任意，都有，且当时，.若函数恰有3个零点，则的取值范围是 .
3.（2020·江苏镇江·统考三模）已知函数，若函数有三个零点，则实数k的取值范围是 ．
【题型十四】类周期型函数零点求参
【典例分析】
1.（2021秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考期中）已知且函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是 .
2.（2020·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数满足:当时，，且对任意的恒成立，若函数在区间内有6个零点，则实数的取值范围是 .
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2020·江苏·高三专题练习）已知函数如果函数恰有2个不同的零点，那么实数的取值范围是 .
2.（2022·四川成都·成都七中校考三模）对于函数，有下列4个命题：①任取，都有恒成立；②，对于一切恒成立；③函数有3个零点；④对任意，不等式恒成立.则其中所有真命题的序号是 .
3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，如果函数恰有三个不同的零点，那么实数的取值范围是
高考真题对点练
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·天津·统考高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
4．（2020·天津·统考高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
5．（2019·浙江·高考真题）已知，函数，若函数恰有三个零点，则
A． B． C．D．
6．（2014·重庆·高考真题）已知函数内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是
A． B． C．D．
7．（2014·全国·高考真题）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
A．B．C．D．
8．（2018·全国·高考真题）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）
9．（2015·天津·高考真题）已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（2013·重庆·高考真题）若，则函数的两个零点分别位于区间
A．和内B．和内
C．和内D．和内
二、填空题
11．（2023·天津·统考高考真题）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为 ．
12．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
13．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
最新模考真题
一、单选题
1．（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知函数，其中，若在区间内恰好有4个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知函数，若有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）函数，若有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
4．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知函数，，记函数，若函数恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
6．（2023·全国·模拟预测）设函数，则（ ）
A．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）也有零点
B．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）没有零点
C．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）有零点
D．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）也没有零点
7．（2023·山东济南·统考三模）已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）设表示m，n中的较小数．若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
二、多选题
9．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．若，则有2个零点B．若，则有3个零点
C．存在负数，使得只有1个零点D．存在负数，使得有3个零点
10．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，，则（ ）
A．当没有零点时，实数的取值范围为
B．当恰有1个零点时，实数的取值范围为
C．当恰有2个零点时，实数的取值范围为
D．当恰有3个零点时，实数的取值范围为
11．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知，若关于 的方程存在正零点，则实数的值可能为（ ）
A．B．C．eD．2
12．（2023·山东青岛·统考二模）已知函数有四个零点，则（ ）
A．B．
三、填空题
13．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）设，函数与函数在区间内恰有3个零点，则a的取值范围是 ．
14．（2023·天津和平·耀华中学校考一模）函数，其中表示x，y，z中的最小者.若函数有12个零点，则b的取值范围是 .
15．（2023·天津·校联考二模）已知函数 ，，若函数至少有4个不同的零点，则实数的取值范围是 .
16．（2023·全国·模拟预测）已知则函数的零点个数是 ．
一、知识梳理与二级结论
二、热考题型归纳
【题型一】 二分法
【题型二】 幂指对图像基础
【题型三】 水平线法求零点
【题型四】 水平线法：对数绝对值型
【题型五】 水平线法：指数型
【题型六】 复合二次型零点求参：因式分解型
【题型七】 复合二次型零点求参：根的分布型
【题型八】 双函数内外复合求参
【题型九】 函数自复合内外零点求参
【题型十】 解析式含参型
【题型十一】分段函数定义域分界处含参
【题型十二】切线型零点求参
【题型十三】切线型折线零点求参
【题型十四】类周期型函数零点求参
三、高考真题对点练
四、最新模考题组练
图象
定义域
__R____
___R___
值域
______
______
性质
过定点___________，即______0_____时，____0_______
减函数
增函数
二分法的一般步骤（精确度为）
（1）确定零点所在区间为，验证 ；
（2）求区间的中点 ；
（3）计算；
①若则就是函数的零点；
②若，则，令；
③若，则，令；
（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或），否则重复步骤（2）-（4）.
函数， ：
（1）当，时，图象恒过和_两点；其中当时，幂函数图象在图象的下方；当时，幂函数图象在图象的上方．
（2）当，时，图象也恒过__和两点；其中当时，幂函数图象在图象的上方；当，幂函数图象在图象的下方．
（3）当，时，图象恒过点___．
对数函数的图象与性质
图
象
性
质
（1）定义域：_.
（2）值域：
（3）过定点，即x=_1_时，y=0
（4）在 _上增函数
（4）在上是减函数
（5）；
（5）；
指数函数图象与性质
图
象
性
质
（1）定义域：R_
（2）值域：
（3）过定点__，即x=0时，y=1
（4）增函数
（4）减函数
（5）;
（5）;
对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数和外层函数；
（2）确定外层函数的零点；
（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.
利用函数的零点个数求参数的取值范围，主要从以下几个角度分析：
（1）函数零点个数与图像交点的转化；
（2）注意各段函数图像对应的定义域；
（3）导数即为切线斜率的几何应用；
（4）数形结合的思想的应用.
分段函数
（1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
（2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集
利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
上下平移
知识梳理与二级结论
一、二分法及其应用
（1）二分法的概念
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的_零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
（2）用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
①确定零点的初始区间，验证．
②求区间的中点c．
③计算，并进一步确定零点所在的区间：
a．若（此时），则c就是函数的零点．
b．若（此时），则令b．
c．若（此时，则令a．
④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤②～④．
二、函数零点存在性定理：
如果函数在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得_，这个也就是方程的解.
三、指数运算公式
(a>0且a≠1)：
①a＝ eq \r(n,am) ②am·an＝am＋n③am÷an＝am－n④(am)n＝amn.
指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由：
（1）如果，当
（2）如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在．
（3）如果，是一个常量，对它就没有研究的必要．
为了避免上述各种情况，所以规定且．
四、对数运算公式
(a>0且a≠1，M>0，N>0)
(1)指对互化： x＝lgbN .
(2)对数的运算法则：
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM (n∈R)； ④lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM．
(3)对数的性质：①a＝ N ；②lgaaN＝ N (a>0且a≠1)．
(4)对数的重要公式
①换底公式：lgbN＝eq \f(lgaN,lgab)；②换底推广：lgab＝eq \f(1,lgba)， lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
五、图形变换
(1)平移变换：上加下减，左加右减
(2)对称变换
①y＝f(x) eq \(――――――――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)；②y＝f(x) eq \(―――――――――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)；
③y＝f(x) eq \(―――――――――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)；④y＝ax (a>0且a≠1) eq \(――――――――→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝lgax(a>0且a≠1)．
⑤y＝f(x) eq \(――――――――――――――――→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\d5(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|.⑥y＝f(x) eq \(――――――――――→,\s\up7(保留y轴右边图象，并作其),\s\d5(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．
(3)伸缩变换
y＝f(ax) ②y＝f(x) eq \(――――――――――――――→,\s\up7(a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),\s\d5(0
平移变化
翻折变换：绝对值内外型
对称变换
复合变换
复合变换：绝对值，平移
带系数：系数不为1，类比正弦余弦的系数，提系数平移
热点考题归纳
【题型一】二分法
【典例分析】
1.（2023·辽宁大连·统考一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数在附近一点的函数值可用代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程，选取初始值，在下面四个选项中最佳近似解为（ ）
A．B．C．D．
2.（河南省南阳市第一中学校2022-2023学年高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知函数的零点位于区间内，则整数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【提分秘籍】
【变式演练】
1.已知函数，则下列区间中含零点的是（ ）
A．B．C．D．
2.（辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学2022-2023学年 ）用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（ ）
A．B．C．D．
3.（2023·高三阶段测试）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数可以是（ ）
A．B．C．D．
【题型二】幂指对图像基础
【典例分析】
1.已知函数，若函数在R上有两个零点，则m的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
2.（2023·全国·模拟预测）使函数的值域为的一个a的值为 ．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·云南·校联考模拟预测）已知，设，则函数的最大值为 .
2.（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）已知函数，则不等式的解集为 ．
3.（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则 ．
【题型三】求零点基础方法：水平线法
【典例分析】
1.已知函数，且，当时，函数存在零点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2.（天津市津衡高级中学2022届高三下学期4月月考数学试题）已知函数，若函数有4个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
【变式演练】
1.（湘鄂冀三省益阳平高学校、长沙市平高中学等七校2021-2022学年上学期联考数学试题）已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.（河南省2021-2022学年上学期阶段性考试（三）数学试题）已知函数函数有三个不同的零点，，，且，则（ ）
A．B．的取值范围为
C．a的取值范围为D．的取值范围为
【题型四】 水平线法：对数绝对值型
【典例分析】
1.（重庆市璧山来凤中学校九校2023届高三上学期联考模拟（二）数学试题）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
2.已知函数（，且）在区间上为单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． ．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（吉林省长春市第五中学2021-2022学年数学试题）已知函数，函数有四个不同的零点，，，，且满足：，则下列结论中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
2.（福建省德化第一中学2021-2022学年考试数学试题）设函数，若函数在R上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是
A．B．C．D．
3.已知函数，若函数有四个零点，分别为则的取值范围是
A．B．C．D．
【题型五】 水平线法：指数型
【典例分析】
1.（黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2022-2023学年考试数学试题）已知函数，若函数g(x)＝f(x)－k有3个零点，则实数k的取值范围为（ ）
A．(0，＋∞)B．(0，1)C．[1，＋∞)D．[1，2)
2.（河北省2023届高三上学期11月联考数学试题）已知函数若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
2.（陕西省2022届高三下学期教学质量检测（三）理科数学试题）已知函数 ，若函数有三个不同的零点，，且，则 的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
3..（陕西省商洛市2021-2022学年数学试题）已知函数，函数有四个不同的的零点，，，，且，则（ ）
A．a的取值范围是(0,) B．的取值范围是(0,1) C．D．
【题型六】 复合二次型函数零点求参数：因式分解型
【典例分析】
1.（重庆市开州区临江中学2023届高三上学期入学考试数学试题）已知函数，若函数恰好有5个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.（广东省佛山市第一中学2023届高三上学期第三次月考数学试题）已知函数，若函数只有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（河南省驻马店市2021-2022学年数学试题）已知函数，，则函数的零点个数不可能是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2.已知，则函数的零点个数为（ ）
A．B．C．D．
3.（2022·山东日照·日照一中校考一模）已知函数是定义在R的偶函数，当时， 若函数有且仅有6个不同的零点，则实数a取值范围 .
【题型七】复合二次型函数零点求参数：根的分布型
【典例分析】
1.（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知函数，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围为 ．
2.（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是 ．
【变式演练】
1.（黑龙江省大庆市大庆中学2021-2022学年数学试题）已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为
A．B．C．D．
2.（重庆市长寿区七校2021-2022学年联考数学试题）已知，若有5个零点，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
3.（2023春·四川绵阳·高三校考开学考试）已知函数，若的零点个数为4，则实数a取值范围为 .
【题型八】双函数内外复合型函数零点求参数
【典例分析】
1.（2022·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）设，（其中为自然对数的底数),若函数有个零点，则的取值范围
A．B．C．D．
2.（2023春·辽宁沈阳·高三联考）已知函数，，若有6个零点，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.（2023春·江西·高三江西省清江中学校考）已知函数，，记函数，若函数恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023春·江苏苏州·高三江苏省苏州实验中学校考阶段练习）已知函数，，若函数有3个不同的零点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
3..（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若函数有个零点(互不相同)，则实数的取值范围为 ．
【题型九】函数自身内外复合型零点求参
【典例分析】
1.(湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题)己知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．B．C．D．
2.(北京市第四中学2023届高三上学期期中考试数学试题)函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式演练】
1.已知函数，则函数，的零点个数（ ）
A．5或6个B．3或9个C．9或10个D．5或9个
2.已知函数为定义在上的单调函数，且．若函数有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C．D．
3.已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【题型十】解析式含参数零点型
【典例分析】
1.设是定义在R上且周期为2的函数，当时，，其中a，，且函数在区间上恰有3个零点，则a的取值不可能是（ ）
A．B．C．D．0
2.已知函数，恰有2个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.已知函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
2.（2021·江苏·高三专题练习）设，e是自然对数的底数，函数有零点，且所有零点的和不大于6，则a的取值范围为 ．
3.（2023·全国·高三专题练习）设函数．若恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ．
【题型十一】函数分段定义域处含参数零点型
【典例分析】
1.（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知函数，若函数g(x)＝f(f(x)＋1)有三个零点，则实数a的取值范围是 ．
2.（2022·江苏泰州·泰州中学校考模拟预测）已知函数，若存在，使得函数有三个零点，则实数的取值范围是 .
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021·全国·高三专题练习）已知（其中，为自然对数的底数），若在上有三个不同的零点，则的取值范围是 .
2.（2023春·天津南开·高三南开大学附属中学校考阶段练习）已知，函数恰有3个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3.（2022秋·江苏苏州·高三校考阶段练习）若函数恰有1个零点，则实数的取值范围是 .
【题型十二】切线型零点求参
【典例分析】
1.2023·全国·高三专题练习）已知函数，函数有2个零点，则实数a的取值范围是 ．
2.（2022秋·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）已知函数，且函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·天津滨海新·统考三模）已知函数，若函数在上恰有三个不同的零点，则的取值范围是 ．
2.（2020春·陕西西安·高三交大附中分校校考阶段练习）已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是 .
3.（2023·高三课时练习）已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是 .
【题型十三】切线型折线零点求参
【典例分析】
1.（2021秋·湖北武汉·高三华中科技大学附属中学校考）已知函数，上有两个不同的零点，则的取值范围 ；
2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数有且只有个零点，则实数的取值范围是 .
【变式演练】
1.（2023春·天津·高二天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末）已知函数 ，若函数有三个零点，则实数的取值范围是 .
2.（2022·全国·高三专题练习）已知函数对于任意，都有，且当时，.若函数恰有3个零点，则的取值范围是 .
3.（2020·江苏镇江·统考三模）已知函数，若函数有三个零点，则实数k的取值范围是 ．
【题型十四】类周期型函数零点求参
【典例分析】
1.（2021秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考期中）已知且函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是 .
2.（2020·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数满足:当时，，且对任意的恒成立，若函数在区间内有6个零点，则实数的取值范围是 .
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2020·江苏·高三专题练习）已知函数如果函数恰有2个不同的零点，那么实数的取值范围是 .
2.（2022·四川成都·成都七中校考三模）对于函数，有下列4个命题：①任取，都有恒成立；②，对于一切恒成立；③函数有3个零点；④对任意，不等式恒成立.则其中所有真命题的序号是 .
3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，如果函数恰有三个不同的零点，那么实数的取值范围是
高考真题对点练
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·天津·统考高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
4．（2020·天津·统考高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
5．（2019·浙江·高考真题）已知，函数，若函数恰有三个零点，则
A． B． C．D．
6．（2014·重庆·高考真题）已知函数内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是
A． B． C．D．
7．（2014·全国·高考真题）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
A．B．C．D．
8．（2018·全国·高考真题）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）
9．（2015·天津·高考真题）已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（2013·重庆·高考真题）若，则函数的两个零点分别位于区间
A．和内B．和内
C．和内D．和内
二、填空题
11．（2023·天津·统考高考真题）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为 ．
12．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
13．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
最新模考真题
一、单选题
1．（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知函数，其中，若在区间内恰好有4个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知函数，若有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）函数，若有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
4．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知函数，，记函数，若函数恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
6．（2023·全国·模拟预测）设函数，则（ ）
A．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）也有零点
B．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）没有零点
C．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）有零点
D．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）也没有零点
7．（2023·山东济南·统考三模）已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）设表示m，n中的较小数．若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
二、多选题
9．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．若，则有2个零点B．若，则有3个零点
C．存在负数，使得只有1个零点D．存在负数，使得有3个零点
10．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，，则（ ）
A．当没有零点时，实数的取值范围为
B．当恰有1个零点时，实数的取值范围为
C．当恰有2个零点时，实数的取值范围为
D．当恰有3个零点时，实数的取值范围为
11．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知，若关于 的方程存在正零点，则实数的值可能为（ ）
A．B．C．eD．2
12．（2023·山东青岛·统考二模）已知函数有四个零点，则（ ）
A．B．
三、填空题
13．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）设，函数与函数在区间内恰有3个零点，则a的取值范围是 ．
14．（2023·天津和平·耀华中学校考一模）函数，其中表示x，y，z中的最小者.若函数有12个零点，则b的取值范围是 .
15．（2023·天津·校联考二模）已知函数 ，，若函数至少有4个不同的零点，则实数的取值范围是 .
16．（2023·全国·模拟预测）已知则函数的零点个数是 ．
一、知识梳理与二级结论
二、热考题型归纳
【题型一】 二分法
【题型二】 幂指对图像基础
【题型三】 水平线法求零点
【题型四】 水平线法：对数绝对值型
【题型五】 水平线法：指数型
【题型六】 复合二次型零点求参：因式分解型
【题型七】 复合二次型零点求参：根的分布型
【题型八】 双函数内外复合求参
【题型九】 函数自复合内外零点求参
【题型十】 解析式含参型
【题型十一】分段函数定义域分界处含参
【题型十二】切线型零点求参
【题型十三】切线型折线零点求参
【题型十四】类周期型函数零点求参
三、高考真题对点练
四、最新模考题组练
图象
定义域
__R____
___R___
值域
______
______
性质
过定点___________，即______0_____时，____0_______
减函数
增函数
二分法的一般步骤（精确度为）
（1）确定零点所在区间为，验证 ；
（2）求区间的中点 ；
（3）计算；
①若则就是函数的零点；
②若，则，令；
③若，则，令；
（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或），否则重复步骤（2）-（4）.
函数， ：
（1）当，时，图象恒过和_两点；其中当时，幂函数图象在图象的下方；当时，幂函数图象在图象的上方．
（2）当，时，图象也恒过__和两点；其中当时，幂函数图象在图象的上方；当，幂函数图象在图象的下方．
（3）当，时，图象恒过点___．
对数函数的图象与性质
图
象
性
质
（1）定义域：_.
（2）值域：
（3）过定点，即x=_1_时，y=0
（4）在 _上增函数
（4）在上是减函数
（5）；
（5）；
指数函数图象与性质
图
象
性
质
（1）定义域：R_
（2）值域：
（3）过定点__，即x=0时，y=1
（4）增函数
（4）减函数
（5）;
（5）;
对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数和外层函数；
（2）确定外层函数的零点；
（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.
利用函数的零点个数求参数的取值范围，主要从以下几个角度分析：
（1）函数零点个数与图像交点的转化；
（2）注意各段函数图像对应的定义域；
（3）导数即为切线斜率的几何应用；
（4）数形结合的思想的应用.
分段函数
（1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
（2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集
利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
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专题4-4 数列求和综合大题15题型归类（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）： 这是一份专题4-4 数列求和综合大题15题型归类（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用），文件包含专题4-4数列求和综合大题归类讲+练原卷版docx、专题4-4数列求和综合大题归类讲+练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。
