2022-2023学年陕西省宝鸡市金台区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年陕西省宝鸡市金台区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.以下说法中正确的是( )
A. 用简单随机抽样方法抽取样本，样本量越大越好
B. 抽签法是实现简单随机抽样的唯一方法
C. 通过查询获得的数据叫做二手数据
D. 通过调查获取的数据一定可以获得好的分析结果
2.要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000、001、002、…、499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续，则第三袋牛奶的标号是(下面摘取了某随机数表的第8行至第9行)( )
84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763
35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719
A. 572B. 455C. 169D. 206
3.已知向量a=(1,−2)，b=(λ,1)，且a⊥b，则λ=( )
A. −2B. −12C. 12D. 2
4.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图(图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩)，则下列说法不正确的是( )
A. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差
B. 甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数
C. 甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数
D. 甲成绩的方差小于乙成绩的方差
5.下列命题不正确的是( )
A. 若向量a,b满足a=−3b，则a,b为平行向量
B. 已知平面内的一组基底e1,e2，则向量e1+e2,e1−e2也能作为一组基底
C. 模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等
D. 若△ABC是等边三角形，则=2π3
6.端午节是我国传统节日，记事件A=“甲端午节来宝鸡旅游”，记事件B=“乙端午节来宝鸡旅游”，且P(A)=13，P(B)=34，假定两人的行动相互之间没有影响，则P(A∪B)=( )
A. 56B. 712C. 34D. 14
7.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1B1，BB1，AA1，BC的中点，则直线PM与NQ所成的角为( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘
8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为2 3，C=60∘，a2+b2=5ab，则c=( )
A. 2 2B. 2 3C. 4D. 4 2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题，其中不正确的是( )
A. 已知复数z=a+bi，a，b∈R，则仅当a=0时，z为纯虚数
B. 已知复数a2−4+(a+2)i(a∈R)为实数，则a=−2
C. 已知复数Z=−2i，则|Z|=2
D. 已知复数Z=−1+2i，则复数z对应的点在第四象限
10.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是( )
A. 该试验样本空间共有4个样本点B. P(AB)=14
C. A与B为互斥事件D. A与B为相互独立事件
11.α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中错误的是( )
A. 若m⊥n，m⊄α，n⊂α，则m⊥α
B. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n
C. 若α⊥β，n⊂α，则n⊥β
D. 若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
12.已知点O为△ABC内的一点，D，E分别是BC，AC的中点，则( )
A. 若O为AD中点，则AO=12(OB+OC)
B. 若O为AD中点，则OB=34AB−12AE
C. 若O为△ABC的重心，则OB+OE=0
D. 若O为△ABC的外心，且BC=4，则OB⋅BC=−8
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.从3名男同学和2名女同学中任选3人参加社区服务，则选中的3人中恰有两名男同学的概率为______.
14.已知复数z=1+i(其中i是虚数单位)，则z2+z−=______.
15.已知向量a，b满足|a|=2，|b|= 3，|2a+b|=3，则a⋅b=______.
16.已知一个圆锥的底面半径为r，其体积为V，则该圆锥的侧面积为______.(用V和r表示出来)
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分组的频率分布直方图如图：
(1)求直方图中x的值；
(2)求月平均用电量的中位数；
(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四组居民中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则在月平均用电量为[220,240)的居民中应抽取多少户？
18.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB、PB的中点．
(1)求证：DE//平面PAC；
(2)求证：AB⊥PB.
19.(本小题12分)
某校组织高一年级1000名学生参加了跳绳比赛活动，以每个学生的跳绳个数作为最终比赛成绩.现从中随机抽取50名学生的比赛成绩作为样本，整理数据并按比赛成绩[80,100),[100,120),[120,140),[140,160),[160,180),[180,200]分组进行统计，得到比赛成绩的频数分布表，记比赛成绩大于或等于160的为“优秀”.
(1)估计该校高一年级学生比赛成绩为“优秀”的人数；
(2)从样本比赛成绩在[120,140)和[160,180)的学生中随机抽取2人，求两人比赛成绩都为“优秀”的概率
20.(本小题12分)
在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了15个，乙同学猜对了8个.假设猜对每道灯谜都是等可能的，设事件A为“任选一灯谜，甲猜对”，事件B为“任选一灯谜，乙猜对”.
(1)任选一道灯谜，记事件C为“恰有一个人猜对”，求事件C发生的概率；
(2)任选一道灯谜，记事件D为“甲、乙至少有一个人猜对”，求事件D发生的概率.
21.(本小题12分)
在△ABC中，已知a+c=10，C=2A，csA=34.
(1)求a和c的值；
(2)求b的值．
22.(本小题10分)
请你回答以下问题：
(1)古典概型的特征有哪些？
(2)举出一个在日常生活中利用概率决策的例子.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：对于A，用简单随机抽样方法抽取样本，样本容量的增大会导致调查的人力、费用、时间等成本的增加，而且代表性较差的样本并不能真实反映总体的情况，所以A错误．
对于B，简单随机抽样除了抽签法外，还有随机数表法，所以B错误，
对于C，通过查询获得的数据叫做二手数据，所以C正确．
对于D，通过调查获取的数据不一定可以获得好的分析结果，所以D错误．
故选：C.
根据简单随机抽样的含义和方法逐个分析判断．
本题主要考查简单随机抽样的定义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题意可知，读取的标号依次为175，331，572(舍去)，455，068，⋅⋅⋅，
故第三袋牛奶的标号是455.
故选：B.
根据已知条件，依次写出符合题意的编号，即可求解．
本题主要考查简单随机抽样的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵a=(1,−2)，b=(λ,1)，且a⊥b，
∴1×λ−2×1=0，解得λ=2.
故选：D.
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：从图表可以看出甲成绩的波动情况小于乙成绩的波动情况，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，且甲成绩的极差小于乙成绩的极差，AD正确；
将甲成绩进行排序，又6×25%=1.5，故从小到大，选择第二个成绩作为甲成绩的第25百分位数，估计值为90(分)，
将乙成绩进行排序，又6×75%=4.5，故从小到大，选择第5个成绩成绩作为乙成绩的第75百分位数，估计值大于90(分)，
从而甲成绩的第25百分位数小于乙成绩的第75百分位数，B错误；
甲成绩均集中在90(分)左右，而乙成绩大多数集中在60(分)左右，故C正确．
故选：B.
分析图中数据，结合方差，极差的求法和意义，结合百分位数的求解，得到答案．
本题主要考查方程、极差、百分位数的定义，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：对于A，因为a=−3b，所以当b为零向量时，a=b=0，a,b是平行向量，
当b不是零向量时，a=−3b，a,b也是平行向量，A正确；
对于B，∵e1,e2为一组基底，
∴e1,e2不共线，
假设e1+e2,e1−e2共线，则e1+e2=λ(e1−e2)，
所以(1−λ)e1+(1+λ)e2=0，
所以1−λ=0，1+λ=0，矛盾，
所以e1+e2,e1−e2不共线，
所以e1+e2,e1−e2可以作为一组基底，B正确；
对于C，虽然单位向量模长相等，但方向可以不同，故不是所有单位向量均相等，C错误；
对于D，∵△ABC为等边三角形，
∴，=π−=2π3，故D正确．
故选：C.
由平行向量定义判断A，根据基底的定义判断B，由相等向量的定义判断C，由向量夹角的定义判断D.
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
依题意可得A、B相互独立，根据P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)计算可得．
【解答】
解：依题意P(A)=13，P(B)=34且A、B相互独立，
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)
=13+34−13×34=56.
故选：A.
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成的角，属基础题．
取AB的中点R，连接RN，RQ，AB1，根据M，N，P为中点，得到PM//RN，从而直线PM与NQ所成的角为∠RNQ或补角，最后解三角形即可得解．
【解答】
解：如图所示：
取AB的中点R，连接RN，RQ，AB1，
因为M，N，P分别为A1B1，BB1，AA1的中点，
所以PM//AB1，RN//AB1，
所以PM//RN，
所以直线PM与NQ所成的角是∠RNQ或它的补角，
易得RN=NQ=RQ，
所以△RNQ是等边三角形，
所以∠RNQ=60∘，
故选C.
8.【答案】D
【解析】解：因为△ABC的面积为2 3，C=60∘，
所以S△ABC=12absinC= 34ab=2 3，即ab=8.
所以c2=a2+b2−2abcsC=a2+b2−ab=4ac=32，
所以c=4 2.
故选：D.
根据正弦定理面积公式和余弦定理求解即可．
本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的应用，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：复数z=a+bi，a，b∈R，则当a=0且b≠0时，z为纯虚数，故A错误；
复数a2−4+(a+2)i(a∈R)为实数，则a+2=0，即a=−2，故B正确；
复数Z=−2i，则|Z|=|−2i|=2，故C正确；
已知复数Z=−1+2i，则复数Z对应的点的坐标为(−1,2)，在第二象限，故D错误．
故选：BC.
利用复数的基本概念判断A与B；求复数的模判断C；求出复数的坐标判断D.
本题考查复数的基本概念与复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，分别抛掷两枚质地均匀的硬币，则有{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}四个样本点，故A正确，
对于B，事件A与事件B相互独立，则P(AB)=12×12=14，故B正确，
对于C，D，事件A与事件B相互独立，故A与B为相互独立事件不为互斥事件，故C错误，D正确，
故选：ABD.
根据相互独立事件的定义以及概率乘法公式可解．
本题考查相互独立事件的定义以及概率乘法公式，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，
对于A，若m⊥n，m⊄α，n⊂α，则m⊥α或m与α斜交或m与α平行，故A错误；
对于B，若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n或m与n异面，故B错误；
对于C，若α⊥β，n⊂α，则n⊥β或n与β斜交或n与β平行，故C错误；
对于D，若m⊥α，n⊂α，由线面垂直的性质得m⊥n，故D正确．
故选：ABC.
根据线面垂直的定义和性质，结合面面平行的性质逐一判断即可．
本题考查线面垂直的判定与性质、面面平行的性质等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：如图1，D为边BC的中点，O是AD的中点，
∴AO=OD=12(OB+OC)，A正确；
OD=14(AB+AC)=14AB+12AE，
∴OB=OD+DB=14AB+12AE+12CB=14AB+12AE+12(AB−2AE)=34AB−12AE，B正确；
如图2，O为△ABC的重心，E为AC的中点，则|OB|=2|OE|，∴OB+OE≠0，C错误；
如图3，O为△ABC的外心，BC=4，则OB⋅BC=−BO⋅BC=|BO||BC|cs∠OBC=−12|BC|2=−8，D正确．
故选：ABD.
A.根据D为BC的中点，O为AD中点及相等向量的定义、向量数乘的几何意义、向量加法的平行四边形法则即可判断A的正误；
B.根据O为AD的中点，E是AC的中点即可得出OD=14AB+12AE，然后根据OB=OD+12CB及CB=AB−2AE即可判断B的正误；
C.由O为△ABC的重心得出|OB|=2|OE|，从而可判断C的正误；
D.根据O为△ABC的外心及向量数量积的计算公式即可判断D的正误．
本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，重心的性质，向量的数乘运算，三角形重心和外心的定义，考查了计算能力，属于基础题．
13.【答案】35
【解析】解：设2名女同学为A1，A2，3名男同学为B1，B2，B3，从以上5名同学中任选3人总共有：
A1A2B1，A1A2B2，A1A2B3，A1B1B2，A1B2B3，A1B1B3，A2B1B2，A2B2B3，A2B1B3，B1B2B3，共10种情况，
选中的3人中有两名男同学的情况有A1B1B2，A1B2B3，A1B1B3，A2B1B2，A2B2B3，A2B1B3，共6种情况，
故所求概率为610=35.
故答案为：35.
利用列举法计算古典概型的概率．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
14.【答案】1+i
【解析】解：因为z=1+i，
则z2+z−=(1+i)2+1−i=2i+1−i=1+i.
故答案为：1+i.
由已知结合共轭复数的概念及复数的四则运算即可求解．
本题主要考查了复数的运算，属于基础题．
15.【答案】−52
【解析】解：已知向量a，b满足|a|=2，|b|= 3，|2a+b|=3，
又|2a+b|2=4|a|2+4a⋅b+|b|2，
所以9=4×22+4a⋅b+3=19+4a⋅b，
所以a⋅b=−52，
故答案为：−52.
将|2a+b|=3两边平方后，结合向量数量积运算法则计算出结果．
本题考查了平面向量的模的运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
16.【答案】 9V2+π2r6r
【解析】解：设圆锥的高为h，母线长为l，
则圆锥的体积V=13πr2h，
解得h=3Vπr2，
所以l= r2+(3Vπr2)2= 9V2+π2r6πr2，
故圆锥的侧面积为S=πrl=πr 9V2+π2r6πr2= 9V2+π2r6r.
故答案为： 9V2+π2r6r.
设圆锥的高为h，母线长为l，由体积求出h，再由勾股定理求出l，最后根据侧面积公式计算可得．
本题考查了圆锥的侧面积公式，重点考查了圆锥的体积公式，属基础题．
17.【答案】解：(1)因直方图中，各组数据频率之和即所有矩形面积之和为1，
则(0.002+0.0025+0.005+x+0.0095+0.011+0.0125)×20=1，
得x=0.0075；
(2)因前3个矩形面积之和为(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5，
前4个矩形面积之和为(0.002+0.0095+0.011+0.0125)×20=0.7>0.5，
则中位数在[220,240)内，设为y，则(y−220)×0.0125=0.5−0.45，
得y=224，即中位数为224；
(3)月平均用电量为[220,240)的居民对应的频率为：0.0125×20=0.25，
又由(2)分析可知，月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四组居民对应频率之和为：1−0.45=0.55，
则应抽取居民的户数为：11×
【解析】对于(1)，由各组数据频率之和即所有矩形面积之和为1可得答案；
对于(2)，在频率分布直方图中，中位数左边和右边直方图面积相等，据此可得答案；
对于(3)，利用频率估计月平均用电量为[220,240)的居民在四组中所占比例，即可得答案．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了中位数的计算，属于中档题．
18.【答案】证明：(1)∵D，E分别是AB，PB的中点，
∴DE//PA.
又∵PA⊂平面PAC，DE⊄平面PAC
∴DE//平面PAC；
(2)∵PC⊥底面ABC，AB⊂底面ABC，
∴PC⊥AB，
∵AB⊥BC，PC∩BC=C，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴AB⊥平面PBC，
∵PB⊂平面PBC，
∴AB⊥PB.
【解析】(1)由D，E分别是AB，PB的中点，根据三角形中位线定理，可得DE//PA，利用线面平行的判定定理可得DE//平面PAC；
(2)由线面垂直的性质，可得PC⊥AB，结合AB⊥BC和线面垂直的判定定理可得AB⊥平面PBC，再由线面垂直的性质可得AB⊥PB.
本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，解答的关键是熟练掌握空间线面关系的判定定理及性质，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由频数分布表可知，样本比赛成绩大于或等于160的学生有3+15=18人，所以估计该校高一年级学生比赛成绩为“优秀”的人数为1000×1850=360人；
(2)设“两人比赛成绩都为‘优秀’”为事件 M，
记比赛成绩在[120,140)的学生为 A1， A2，比赛成绩在[160,180)的学生为 B1， B2， B3，
则从这5个学生中随机抽取2人的样本空间Ω={(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)}，
M={(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)}，
所以，由古典概型得P(M)=310；
综上，估计该校高一年级学生比赛成绩为“优秀”的人数为360，两人比赛成绩都为优秀的概率为310.
【解析】(1)将频率作为概率即可算出高一年级优秀人数；(2)用枚举法求出基本事件的样本空间，再计算所求事件的种数，按照古典概型计算即可．
本题考查了古典概型及频率分布表的应用，属于基础题．
20.【答案】解：(1)设事件A为“任选一灯谜，甲猜对”，事件B为“任选一灯谜，乙猜对”．
则P(A)=1520=34，P(B)=820=25，
任选一道灯谜，记事件C为“恰有一个人猜对”，
则事件C发生的概率P(C)=P(AB−)+P(A−B)=34×35+14×25=1120.
(2)任选一道灯谜，记事件D为“甲、乙至少有一个人猜对”，
甲、乙至少有一个人猜对的对立事件是D−=“甲、乙均没有猜对”，
则事件D发生的概率P(D)=1−[1−P(A)][1−P(B)]
=1−(1−34)(1−25)=1720.
【解析】(1)先求出P(A)，P(B)，则事件C发生的概率P(C)=P(AB−)+P(A−B)，由此能求出事件C发生的概率．
(2)甲、乙至少有一个人猜对的对立事件是D−=“甲、乙均没有猜对”，由此能求出事件D发生的概率．
本题考查概率的求法，相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21.【答案】解：因为C=2A，csA=34，
由正弦定理可得，ca=sinCsinA=2sinAcsAsinA=2csA=32，
因为a+c=10，
所以a=4，c=6，
(2)由余弦定理可得，34=b2+36−1612b，
整理可得，b2−9b+20=0，
所以b=4或b=5，
当b=4时，由C=2A，a=4，可知B=45∘与已知矛盾，
故b=5.
【解析】(1)由已知结合正弦定理及二倍角公式即可求解；
(2)由余弦定理代入即可求解b.
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．
22.【答案】解：(1)古典概型的特征有：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
(2)如天气预报，疾病筛查等．
【解析】(1)根据古典概型的定义即可解答；
(2)举出生活中常见的实例即可．
本题主要考查古典概型，属于基础题．比赛成绩
[80,100)
[100,120)
[120,140)
[140,160)
[160,180)
[180,200]
人数
4
10
2
16
3
15