2022-2023学年陕西省榆林市高一下学期7月期末数学试题（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年陕西省榆林市高一下学期7月期末数学试题（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z=(m2−1)+(m+1)i是纯虚数，则实数m=( )
A. 1B. −1
C. ±1D. 0
2.口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，则摸出黑球的概率是( )
A. 0.42B. 0.28
C. 0.7D. 0.3
3.若向量a表示“向东航行1 km ”，向量b表示“向北航行 3km”，则向量a+b表示( )
A. 向东北方向航行2 kmB. 向北偏东30∘方向航行2 km
C. 向正北方向航行1+ 3kmD. 向正东方向航行1+ 3km
4.从某班57 名同学中选出4 人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将57 名同学按01、02、⋯、57进行编号，然后从随机数表第1 行的第3 列和第4 列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第4 个同学的编号为( )
(注：表中的数据为随机数表第1 行和第2 行)
A. 36B. 42C. 46D. 47
5.如图，已知水平放置的△ABC按斜二测画法得到的直观图为△A′B′C′，若A′B′=12，A′C′=3，则△ABC的面积为.( )
A. 3B. 34C. 32D. 3 22
6.已知a=123.1,b=3.112,c=lg12，则 a，b，c 的大小关系为( )
A. c7.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级 M 之间的关系为lgE=4.8+1.5M.据此，地震震级每提高1级，释放出的能量是提高前的(参考数据： 10≈3.16)( )
A. 9.46倍B. 31.60倍C. 36.40倍D. 47.40倍
8.我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔淡》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：lAB⌢=弦+2×矢2径，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为4π3，扇形所在圆O的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为( )
A. 3+2B. 3 3+22C. 4 3+12D. 2 3+1
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“两次掷出的点数之和是3”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则下列结论正确的是( )
A. A与B互斥B. A与C互斥C. B与C独立D. B与D对立
10.以下说法正确的有( )
A. 命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1<0”
B. 若1a<1b<0，则a>b
C. “m=0且n=0”是“mn=0”的充要条件
D. 当x∈0,π2时，sinx+2sinx的最小值为2 2
11.已知m,n,l为三条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列命题中错误的有( )
A. α//β,m⊂α,n⊂β⇒m//nB. l⊥β,α⊥β⇒l//α
C. m⊥α,m⊥n⇒n//αD. α//β,l⊥α⇒l⊥β
12.已知半径为 R 的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上、下底面半径分别为r1和r2，母线长为l，球的表面积与体积分别为S1和V1，圆台的表面积与体积分别为S2(S2=πr12+r22+r1l+r2l)和V2(V2=13πhr12+r1r2+r22,其中h是高).则下列说法正确的是( )
A. l=r1+r2B. R= r1r2C. S1S2=V1V2D. S1S2的最大值为23
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.复平面内复数 z 所对应的点为2,−1，则z+i=__________.
14.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：
则年降水量在[200,300](mm)范围内的概率是__________
15.在正方体AC1中， E 、 F 分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则 EF 和 CD 所成的角是__________.
16.如图，直径AB=2的半圆， D 为圆心，点 C 在半圆弧上，∠ADC=60∘，线段 AC 上有动点 P ，则DP⋅BA的最小值为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知a=(4,3),b=(−1,2).
(1)求a与b夹角的余弦值；
(2)若(a−λb)⊥(2a+b)，求实数λ的值．
18.(本小题12分)
在△ABC中， a 、 b 、 c 分别是内角 A 、 B 、 C 的对边，sin2A+sinAsinC+sin2C=sin2B.
(1)求角 B 的大小；
(2)若a=5，b=7，求sinC.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象过点P(π12,0)，且图象上与点P最近的一个最低点是Q(−π6,−2).
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(α+π12)=38，且α为第三象限的角，求sinα+csα的值；
20.(本小题12分)
某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩.经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)的分组作出频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中 a 的值，并估计本次竞赛成绩的第80百分位数：
(2)若按照分层随机抽样从成绩在[50,60),[90,100)的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的成绩在[50,60)内的概率.
21.(本小题12分)
已知函数fx=lg2x，gx=f1−x+f1+x.
(1)判断函数gx的奇偶性并予以证明；
(2)若存在 x 使得不等式gx≥m−1成立，求实数 m 的最大值.
22.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=2,AB⊥AC,AA1=3，点 M，N 分别在棱CC1,AA1上，且C1M=13C1C,A1N=13A1A,CN与 AM 交于点O.

(1)求证：CN⊥平面 ABM ；
(2)求三棱锥B1−ABM的体积；
(3)求直线 BC 与平面 AMB 所成角的大小.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数的概念与分类.
由题意可得 m2−1=0 且 m+1≠0 ，从而可求出 m 的值
【解答】
解：因为复数 z=(m2−1)+(m+1)i 是纯虚数，
所以 m2−1=0 且 m+1≠0 ，解得 m=1 ，
故选：A
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查互斥事件概率的加法公式．
因为只摸出一个球，所以摸出红球、摸出白球、摸出黑球是互斥的，结合已知即可求解.
【解答】
解：从中摸出一个球，摸出红球、摸出白球、摸出黑球是互斥的，
所以由互斥事件概率的加法公式知摸出黑球的概率是1−0.42−0.28=0.3，
故选D.
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了向量的加法运算，属于基础题.
根据向量的方向，画出图形，利用向量的加法运算，计算结果.
【解答】
解：如图，

易知 tanα= 1 3= 33 ，所以 α=30∘ .
故 a+b 的方向是北偏东 30∘ .又 a+b=2km .
故选：B.
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了简单随机抽样，属于基础题.
利用随机数表可列举出样本前4 个同学的编号，即可得解.
【解答】
解：由随机数表法可知，样本前4 个同学的编号依次为47 、43 、36 、46 ，
故选出的第4 个同学的编号为46.
故选：C.
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查斜二测画法，属于中档题.
根据斜二测画法的规则，还原图象，可得三角形的高和底，可得答案.
【解答】
解：由题意， AB⊥AC，AB=A′B′=12，AC=2A′C′=6 ，
S△ABC=12⋅AB⋅AC=12×12×6=32 .
故选：C.
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用指数函数与对数函数的图象与性质比较大小，
根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出 a，b，c 的取值范围，从而可得结果.
【解答】
解： ∵ a=123.1∈(0,1) ， b=3.112>1 ， c=lg12<0 ，
∴c故选：A.
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查对数函数的简单应用
记地震震级提高至里氏震级 M+1 ，释放后的能量为 E1 ，由题意可推得 lgE1−lgE=1.5 ，根据对数的运算，结合指对互化以及指数幂的运算，即可得出答案.
【解答】
解：记地震震级提高至里氏震级 M+1 ，释放后的能量为 E1 ，
由题意可知， lgE1−lgE=4.8+1.5M+1−4.8+1.5M=1.5 ，
即 lgE1E=1.5 ，所以 E1E=101.5=10 10≈31.60 .
故选：B.
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查弧长及扇形面积，属于中档题
根据扇形的面积公式可得圆心角大小，进而根据弧长的近似计算公式即可求解.
【解答】
解：设扇形的圆心角为α，由扇形面积公式可知 12×22×α=4π3 ，所以 α=2π3 ，
如图，取 AB⌢ 的中点C，连接OC，交AB于点D，则 OC⊥AB .
易知 ∠OAD=π6 ，则 OD=2sinπ6=1 ，
所以 CD=2−1=1 ， AD=2csπ6= 3 ， AB=2AD=2 3 ，
所以扇形弧长的近似值为 lAB⌢=弦+2×矢2径=AB+2CD22OA=4 3+12 .
故选：C

9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件
写出事件 A，B，C，D 所包含的基本事件，根据互斥事件和对立事件的概念进行判断ABD；求出 PB∩C=PB⋅PC ，得到C正确.
【解答】
解：先后两次掷一枚质地均匀的骰子，样本空间 Ω=1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,
3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6,
5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6 ，
故事件 A=1,2,2,1 ，
事件 B=1,2,1,4,1,6,2,2,2,4,2,6,3,2,3,4,3,6,4,2,4,4,4,6
,5,2,5,4,5,6,6,2,6,4,6,6 ，
事件 C=1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6 ，
事件 D={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),
3,5,3,6,4,1,4,3,4,5,5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1,6,3,6,5 .
A选项， A∩B=1,2 ，故A与B不互斥，A错误；
B选项， A∩C=⌀ ，故A与C互斥，B正确；
C选项， B∩C=2,2,4,4,6,6 ，故 P(B∩C)=336=112 ，
又 PB=1836=12 ， PC=636=16 ，故 PB∩C=PB⋅PC ，
所以B与C独立，C正确；
D选项， B∪D=Ω ，
但 B∩D=1,2,1,4,1,6,3,2,3,4,3,6,5,2,5,4,5,6≠⌀ ，
所以B与D不对立，D错误.
故选：BC
10.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定，充要条件及其判断，利用不等式的基本性质判断不等关系，判断或证明函数的单调性.
根据存在量词命题的否定为全称量词命题可判断A；利用作差法可判断B；根据充分不必要条件定义可判断C，利用函数的单调性可判断D.
【解答】
解：对于A，命题“ ∃x∈R ，使得 x2+x+1≥0 ”的否定是“ ∀x∈R ，都有 x2+x+1<0 ”，故A正确；
对于B，由 1a<1b<0 ，可知 ab>0 ， 1a−1b=b−aab<0 ，可得 a>b ，故B正确；
对于C，由 m=0 且 n=0 可得 mn=0 ，若 mn=0 ，可得 m=0 或 n=0 ，故“ m=0 且 n=0 ”是“ mn=0 ”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，当 x∈0,π2 时， sinx∈0,1 ，令 t=sinx∈0,1 ， ft=t+2t ，
设 0因为 0所以 ft1−ft2>0 ，即 ft1>ft2 ，故 ft=t+2t 在 t∈0,1 单调递减，
所以 ft=t+2t 在 t∈0,1 无最值，故D错误.
故选：AB.
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查空间中的位置关系，属于中档题.
根据线面、面面和线线的位置关系逐一判断得到相应的结果.
【解答】
解：对于A：若 α//β,m⊂α,n⊂β ，则 m 与 n 可能平行，也可能异面，故A错误；
对于B：若 l⊥β ， α⊥β ，则 l//α 或 l⊂α ，故B错误；
对于C：若 m⊥α ， m⊥n ，则 n//α 或 n⊂α ，故C错误；
对于D： α//β,l⊥α ，易得 l⊥β ，故D正确；
故选：ABC
12.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查圆台的体积，球的体积，圆台的表面积，球的表面积，属于较难题.
作出圆台的轴截面，利用切线长定理可判断A选项；在截面 ABCD 内，设圆 O 切梯形 ABCD 的边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 分别于点 E 、 F 、 G 、 H ，推导出 tan∠DOH=tan∠OAD ，可判断B选项；利用圆台、球体的表面积、体积公式可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项.
【解答】
解：对于A选项，取圆台的轴截面 ABCD ，则四边形 ABCD 为等腰梯形，
圆台的外接球球心为 O ，则球心 O 在截面 ABCD 内，
在截面 ABCD 内，设圆 O 切梯形 ABCD 的边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 分别于点 E 、 F 、 G 、 H ，
由切线长定理可得 AE=AH ， DG=DH ，
故 AD=DH+AH=DG+AE ，即 l=r1+r2 ，A对；
对于B选项，连接 OD 、 OA ，

因为 AE=AH ， AO=AO ， OE=OH ，所以， △AOE≌△AOH ，
所以， ∠OAE=∠OAH ，即 ∠OAH=12∠BAD ，同理可得 ∠ADO=12∠ADC ，
因为 AB//CD ，则 ∠BAD+∠ADC=180∘ ，
所以， ∠OAH+∠ADO=12∠BAD+∠ADC=12×180∘=90∘ ，故 ∠AOD=90∘ ，
由圆的切线的性质可知， OH⊥AD ，
所以， ∠DOH=90∘−∠ODH=∠OAD ，
由 tan∠DOH=tan∠OAD 可得 DHOH=OHAH ，
即 OH2=DH⋅AH ，即 R2=r1r2 ，
故 R= r1r2 ，B对；
对于C选项， V2V1=13πh(r12+r1r2+r22)43πR3=π×2R(r12+r1r2+r22)4πR3=r12+r1r2+r222r1r2 ，
S2S1=π(r12+r22+r1l+r2l)4πR2=r12+r22+(r1+r2)24r1r2=r12+r22+r1r22r1r2 ，故 S1S2=V1V2 ，C对；
对于D选项，因为 r1≠r2 ，
则 S1S2=2r1r2r12+r22+r1r2=2r1r2+r2r1+1<22 r1r2⋅r2r1+1=23 ，
(因为 r1≠r2 ，结合基本不等式知识可得r1r2+r2r1+1>2 r1r2⋅r2r1+1，取不到等号)，D错.
故选：ABC.
13.【答案】2 2
【解析】【分析】
本题考查复数的几何意义和复数的模，涉及共轭复数，属于基础题.
利用坐标求出 z=2−i⇒z=2+i ，再利用复数模的公式求解即可.
【解答】
解：因为平面内复数 z 所对应的点为 2,−1 ，
所以 z=2−i⇒z=2+i ，
z+i=2+2i= 4+4=2 2 ，
故答案为： 2 2
14.【答案】0.25
【解析】【分析】
本题考查互斥事件的概率.
结合互斥事件的概率加法公式求解即可。
【解答】
解：年降水量在[200,300](mm)包括[200,250)与[250,300]而且是互斥的，
所以年降水量在[200,300](mm)范围内的概率=0.13+0.12=0.25.
15.【答案】45∘
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角，属于中档题.
连接 A1D 、 C1D ，则点 F 为 A1D 的中点，利用中位线的性质可得出 EF//C1D ，从而可知 EF 和 CD 所成的角为 ∠CDC1 ，即为所求.
【解答】
解：连接 A1D 、 C1D ，则点 F 为 A1D 的中点，如下图所示：
易知点 E 为 A1C1的中点，又因为 F 为 A1D 的中点，所以， EF//C1D ，
所以， EF 和 CD 所成的角为 ∠CDC1=45∘ .
故答案为： 45∘ .
16.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的概念及其运算
设 AP=λAC0≤λ≤1 ，可得出 DP=1−λDA+λDC ，计算得出 DA⋅DC=12 ，利用平面向量数量积的运算性质可得出 DP⋅BA 关于 λ 的表达式，结合 λ 的取值范围可求得 DP⋅BA 的最小值.
【解答】
解：设 AP=λAC0≤λ≤1 ，
则 DP=DA+AP=DA+λAC=DA+λDC−DA=1−λDA+λDC ，
∵∠ADC=60∘ ， DC=DA=12BA=1 ，则 DA⋅DC=DA⋅DCcs60∘=12 ，
所以， DP⋅BA=1−λDA+λDC⋅2DA=21−λDA2+2λDA⋅DC
=2×12×(1−λ)+2λ×12=2−λ∈[1,2] .
因此， DP⋅BA 的最小值为1.
故答案为：1.
17.【答案】解：(1)因为 a=(4,3),b=(−1,2) ，
所以 a⋅b=4×(−1)+3×2=2 ， |a|= 42+32=5 ， |b|= (−1)2+22= 5 ，
设 a 与 b 的夹角为 θ ，
所以 csθ=a⋅b|a||b|=25 5=2 525
(2)因为 a−λb=(4+λ,3−2λ),2a+b=(7,8) ，
又 (a−λb)⊥(2a+b) ，
所以 74+λ+83−2λ=0 ，解得 λ=529

【解析】本题考查利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角。向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系。
(1)先求出 a⋅b ， |a| ， |b| ，然后利用夹角公式进行求解即可；
(2)利用向量的垂直公式进行求解即可
18.【答案】解：(1)∵sin2A+sinAsinC+sin2C=sin2B ，
由正弦定理可知， a2+ac+c2=b2 ，
∴csB=a2+c2−b22ac=−ac2ac=−12 ， ∵B∈0,π ， ∴B=2π3 .
(2)∵a=5 ， b=7 ，则由余弦定理知 b2=a2+c2−2accsB ，
即 72=52+c2−2×5ccs2π3 ，化简得 c2+5c−24=0 ，解得 c=3 或 c=−8 (舍去).
由正弦定理知 csinC=bsinB ，则 sinC=csinBb=3× 327=3 314 .

【解析】本题考查利用正弦定理解三角形，利用余弦定理解三角形.
(1)利用正弦定理结合余弦定理可求得 csB ，再结合角 B的取值范围可求得角 B 的值；
(2)利用余弦定理可得出关于 c 的等式，解出 c 的值，再利用正弦定理可求得 sinC 的值.
19.【答案】解：(1)根据题意可知， A=2 ， T4=π12−−π6=π4 ，
所以 T=2πω=π ，解得 ω=2 .
又 fπ12=0 ， ∴sinπ12×2+φ=0 ，而 |φ|<π2 ， ∴φ=−π6 .
∴f(x)=2sin2x−π6 .
(2)由 fα+π12=38 可得， 2sin2α=38 ，即 sin2α=316 .
因为 α 为第三象限的角，
所以 sinα+csα=− 1+sin2α=− 1+316=− 194 .

【解析】本题主要考查利用三角函数的性质求解析式，二倍角公式以及同角三角函数基本关系的应用，属于中档题．
(1)根据题意可知， A=2 ， T4=π12−−π6=π4 ，即可求出周期 T 并得到 ω 的值，再结合 fπ12=0 以及 |φ|<π2 可求出 φ ，即求出 f(x) 的解析式；
(2)由 fα+π12=38 可得， 2sin2α=38 ，而 α 为第三象限的角，所以
sinα+csα=− 1+sin2α ，即可求出．
20.【答案】解：(1)由题意得， 100.005+0.030+0.035+a+0.010=1 ，
所以 a=0.020
因为 10×0.005=0.05 ， 10×0.030=0.3 ， 10×0.035=0.35 ， 10×0.01=0.1 ，
10×0.02=0.2 ，所以成绩在80分以下的频率为 0.05+0.3+0.35=0.7<0.8 ，
成绩在90分以下的频率为 0.05+0.3+0.35+0.2=0.9>0.8 ，
所以第80百分位数 p∈(80,90) ，即 p=80+10×0.8− .
(2)因为 [50,60) ， [90,100) 的频率之比为 0.005:0.010=1:2 ，
所以从 [50,60) 中随机抽取 6×13=2 人，
从 [90,100) 中随机抽取 6×23=4
从 [50,60) 中抽取的2人记为 a ， b ，从 [90,100) 中抽取的4人记为1，2，3，4，
从这6人中随机抽取2人的样本空间为
Ω={12,13,14,1a,1b,23,24,2a,2b,34,3a,3b,4a,4b,ab} ，共有15个样本点，
设事件 A 表示“至少有1人的成绩在 [50,60) 内”，
则 A={1a,1b,2a,2b,3a,3b,4a,4b,ab} 共有9个样本点，
所以至少有1人在 [50,60) 内的概率为 P(A)=915=35 .

【解析】本题考查百分位数，古典概型及其计算和频率分布直方图，属于中档题.
(1)利用频率之和为1，列式求 a ，由百分位数的定义求解第80百分位数即可；
(2)先求出从 [50 ， 60) 和 [90 ， 100) 中抽取的人数，然后利用列举法求出总的基本事件数以及符合条件的基本事件数，由古典概型的概率公式求解即可．
21.【答案】解：(1)函数 gx 为偶函数，证明如下：
gx=f1−x+f1+x=lg21−x+lg21+x ，
由 1−x>01+x>0 ，解得 −1∴gx 的定义域为 −1,1 ，关于原点对称，
∵g−x=lg21+x+lg21−x=gx ，
∴gx为偶函数.
(2)若存在 x 使得不等式 gx≥m−1 成立，
∴gxmax≥m−1 ，
而 gx=lg21−x+lg21+x=lg21−x2 ， x∈−1,1 ，
∵ 函数 y=1−x2 在 −1,0 上单调递增，在 0,1 上单调递减，
∴ 函数 gx 在 −1,0 上单调递增，在 0,1 上单调递减，
∴gxmax=g0=0 ，
∴m−1≤0 ，即 m≤1 ，
∴ 实数 m 的最大值为1.

【解析】本题考查利用对数函数的单调性解不等式和复合函数的单调性，属于较难题.
(1)根据函数的奇偶性的定义判断并证明即可；
(2)转化问题为 gxmax≥m−1 ，进而根据函数 gx 的单调性求解即可.
22.【答案】解：(1)连接MN.
∵AA1=CC1=3 ，且 C1M=13CC1,A1N=13AA1 ，
∴CM=AN=AC=2
∵ 三棱柱 ABC−A1B1C1 是直三棱柱，
∴AA1⊥ 平面 ABC ，AB,AC⊂平面 ABC ，
∴AA1⊥AB,AA1⊥AC ，
∴ 四边形 ANMC 是正方形，
∴AM⊥CN .∵AB⊥AC,AC∩AA1=A,
又 AC⊂ 平面 ACC1A1 ， AA1⊂ 平面 ACC1A1 ， ∴AB⊥ 平面 ACC1A1 ，
∵CN⊂ 平面 ACC1A1,∴AB⊥CN .
又 ∵AB∩AM=A ， ∵AM⊂ 平面 ABM ， AB⊂ 平面 ABM
∴CN⊥ 平面ABM.
(2)∵AC⊥AB ，且三棱柱 ABC−A1B1C1 是直三棱柱，
∴AC⊥ 平面 ABB1A1 ，
又 ∵MN//AC ，
∴ 点 M 到平面 ABB1 的距离即为 AC=2 .
则 VB1−ABM=VM−ABB1=13×12×2×3×2=2 .
(3)如图，连接BO.

由(1)知， CN⊥ 平面 ABM ，
∴∠CBO 是直线 BC 与平面 ABM 所成的角.
由勾股定理得 CO=12 22+22= 2,BC= 22+22=2 2 ，
则 sin∠CBO=COBC= 22 2=12 ，得 ∠CBO=30∘ ，
故直线 BC 与平面 ABM 所成的角为 30∘ .

【解析】本题考查线面垂直的判定，棱锥的体积，直线与平面所成角，属于难题.
(1)根据线面垂直判定定理证明即可；
(2)应用锥体的体积公式计算可得；
(3)应用线面角定义先找到角再求正弦值计算求解.
0347
4373
8636
9647
3661
4698
6371
6297
7424
6292
4281
1457
2042
5332
3732
1676
年降水量/mm
[100,150)
[150,200)
[200,250)
[250,300]
概率
0.21
0.16
0.13
0.12