2022-2023学年陕西省宝鸡市金台区高一下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年陕西省宝鸡市金台区高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．以下说法中正确的是（    ）

A．用简单随机抽样方法抽取样本，样本量越大越好

B．抽签法是实现简单随机抽样的唯一方法

C．通过查询获得的数据叫做二手数据

D．通过调查获取的数据一定可以获得好的分析结果

【答案】C

【分析】根据简单随机抽样的含义和方法逐个分析判断.

【详解】对于A，用简单随机抽样方法抽取样本，样本容量的增大会导致调查的人力、费用、时间等成本的增加,而且代表性较差的样本并不能真实反映总体的情况，所以A错误.    

对于B，简单随机抽样除了抽签法外，还有随机数表法，所以B错误，

对于C，通过查询获得的数据叫做二手数据，所以C正确.    

对于D，通过调查获取的数据不一定可以获得好的分析结果，所以D错误.

故选：C

2．要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000、001、002、…、499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续，则第三袋牛奶的标号是（    ）（下面摘取了某随机数表的第8行至第9行）

84421  75331  57245  50688  77047  44767  21763

35025  83921  20676  63016  47859  16955  56719

A．572 B．455 C．169 D．206

【答案】B

【分析】利用随机数表法进行一一抽样即可

【详解】由题所给随机数表：从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，

则牛奶抽到标号分别为：175,331,455，068,...

故第三袋牛奶的标号是：445，

故选：B

3．已知向量，，且，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示计算可得；

【详解】解：因为，，且，

所以，解得；

故选：D

4．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（    ）

A．甲成绩的极差小于乙成绩的极差

B．甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数

C．甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数

D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差

【答案】B

【分析】分析图中数据，结合方差，极差的求法和意义，结合百分位数的求解，得到答案.

【详解】从图表可以看出甲成绩的波动情况小于乙成绩的波动情况，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，且甲成绩的极差小于乙成绩的极差，AD正确；

将甲成绩进行排序，又，故从小到大，选择第二个成绩作为甲成绩的第25百分位数，估计值为90分，

将乙成绩进行排序，又，故从小到大，选择第5个成绩成绩作为乙成绩的第75百分位数，估计值大于90分，

从而甲成绩的第25百分位数小于乙成绩的第75百分位数，B错误；

甲成绩均集中在90分左右，而乙成绩大多数集中在60分左右，故C正确.

故选：B

5．下列命题不正确的是（       ）

A．若向量满足，则为平行向量

B．已知平面内的一组基底，则向量也能作为一组基底

C．模等于个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等

D．若是等边三角形，则

【答案】C

【分析】由平行向量定义判断A，根据基底的定义判断B，由相等向量的定义判断C，由向量夹角的定义判断D.

【详解】对于A，因为，所以当为零向量时，，是平行向量，

当不是零向量时，，也是平行向量，A正确；

对于B，为一组基底，不共线，

假设共线，则，

所以，

所以，矛盾，

所以不共线，

所以可以作为一组基底，B正确；

对于C，虽然单位向量模长相等，但方向可以不同，故不是所有单位向量均相等，C错误；

对于D，为等边三角形，，D正确.

故选：C.

6．端午节是我国传统节日，记事件“甲端午节来宝鸡旅游”， 记事件“乙端午节来宝鸡旅游”，且，，假定两人的行动相互之间没有影响，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】依题意可得、相互独立，根据计算可得.

【详解】依题意，且、相互独立，

所以.

故选：A.

7．在正方体中，M，N，P，Q分别为，，，的中点，则直线PM与NQ所成的角为（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】C

【分析】取AB的中点R，连接RN，RQ，，根据M，N，P，Q为中点，得到，从而为直线PM与NQ所成的角求解.

【详解】解：如图所示：

取AB的中点R，连接RN，RQ，，

因为M，N，P，Q分别为，，，的中点，

所以，

所以，

所以为直线PM与NQ所成的角，

又因为是等边三角形，

所以，

故选：C

8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则（    ）

A． B． C．4 D．

【答案】D

【分析】根据正弦定理面积公式和余弦定理求解即可.

【详解】因为的面积为，，

所以，即.

所以，

所以.

故选：D.

二、多选题

9．下列命题，其中不正确的是（    ）

A．已知复数，，，则仅当时为纯虚数

B．已知复数为实数，则

C．已知复数，则

D．已知复数，则复数对应的点在第四象限

【答案】AD

【分析】A选项应当时为纯虚数，D选项复数对应的点在第二象限.

【详解】复数，，，则仅当时为纯虚数，所以A选项错误；

若复数为实数，则，所以B选项正确；

复数，则，所以C选项正确；

复数，则复数对应的点在第二象限，所以D选项错误.

故选：AD

10．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（    ）

A．该试验样本空间共有个样本点 B．

C．与为互斥事件 D．与为相互独立事件

【答案】ABD

【分析】由题可得样本空间及事件样本点，结合互斥事件，独立事件的概念及古典概型概率公式逐项分析即得.

【详解】对于A：试验的样本空间为：正，正，正，反，反，正，反，反，共个样本点，故A正确

对于B：由题可知正，正，正，反，正，反，反，反，

显然事件，事件都含有“正，反这一结果，故，故B正确；

对于C：事件，事件能同时发生，因此事件不互斥，故C不正确；

对于D：，，，所以，故D正确．

故选：ABD.

11．，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（    ）

A．若，，，则

B．若，，，则

C．若，，则

D．若，，则

【答案】ABC

【分析】根据线面垂直的定义和性质，结合面面平行的性质逐一判断即可.

【详解】对于A，若，，，则或与斜交或与平行，该命题错误；

对于B，若，，，则或与异面，该命题错误；

对于C，若，，则或与斜交或与平行，该命题错误；

对于D，若，，由线面垂直的性质可知，该命题正确.

故选：ABC．

12．已知点O为△ABC内的一点，D，E分别是BC，AC的中点，则（    ）

A．若O为AD中点，则

B．若O为AD中点，则

C．若O为△ABC的重心，则

D．若O为△ABC的外心，且BC＝4，则

【答案】ABD

【分析】由为中点，结合平面向量的加法法则即可判断A，B；由重心的性质即可判断C；由三角形外心性质结合数量积公式判断D．

【详解】对于A，因为为中点，所以，故A正确；

对于B，由为中点，则，故B正确；

对于C，由O为△ABC的重心，则根据三角形重心的性质得，所以，故C错误；

对于D，若点O为△ABC的外心，BC＝4，则根据三角形外心的性质得，

故，故D正确．

故选：ABD．

三、填空题

13．从3名男同学和2名女同学中任选3人参加社区服务，则选中的3人中恰有两名男同学的概率为           .

【答案】/0.6

【分析】利用列举法计算古典概型的概率.

【详解】设2名女同学为，3名男同学为，从以上5名同学中任选3人总共有

共10种情况.

选中的3人中有两名男同学的情况有共6种情况，

故所求概率为.

故答案为：

14．已知复数（其中是虚数单位），则           .

【答案】/

【分析】根据复数代数形式的乘法、加法运算法则计算可得.

【详解】因为，则，所以.

故答案为：

15．已知向量，满足，，，则           .

【答案】

【分析】两边平方后，结合向量数量积运算法则计算出结果.

【详解】

又因为，，，

所以

所以，

故答案为：

16．已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为         .（用和表示出来）

【答案】

【分析】设圆锥的高为，母线长为，由体积求出，再由勾股定理求出，最后根据侧面积公式计算可得.

【详解】设圆锥的高为，母线长为，则圆锥的体积，解得，

所以，

故圆锥的侧面积为.

故答案为：

四、解答题

17．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以分组的频率分布直方图如下图：

(1)求直方图中x的值；

(2)求月平均用电量的中位数；

(3)在月平均用电量为的四组居民中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则在月平均用电量为的居民中应抽取多少户？

【答案】(1)

(2)224

(3)5

【分析】对于（1），由各组数据频率之和即所有矩形面积之和为1可得答案；

对于（2），在频率分布直方图中，中位数左边和右边直方图面积相等，据此可得答案;

对于（3），利用频率估计月平均用电量为的居民在四组中所占比例，即可得答案.

【详解】（1）因直方图中，各组数据频率之和即所有矩形面积之和为1，

则，

得.

（2）因前3个矩形面积之和为.

前4个矩形面积之和为.

则中位数在内，设为，则，

得.即中位数为224.

（3）月平均用电量为的居民对应的频率为：.

又由（2）分析可知，月平均用电量为的四组居民对应频率之和为：.

则应抽取居民的户数为：.

18．如图，在三棱锥P－ABC中，底面ABC，，D，E分别是AB，PB的中点．

(1)求证：平面PAC；

(2)求证：

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到，即可得证；

（2）由线面垂直的性质得到，再根据，即可得到平面，即可得证.

【详解】（1）∵点D、E分别是棱AB、PB的中点，

∴，

又∵平面，平面；

∴平面．

（2）∵底面，底面，

∴，

∵，，平面，

∴平面，

又∵平面，

∴．

19．某校组织高一年级1000名学生参加了跳绳比赛活动，以每个学生的跳绳个数作为最终比赛成绩.现从中机抽取50名学生的比赛成绩作为样本，整理数据并按比赛成绩，，，，，分组进行统计，得到比赛成绩的频数分布表.记比赛成绩大于或等于160的为“优秀”.

(1)估计该校高一年级学生比赛成绩为“优秀”的人数；

(2)从样本比赛成绩在和的学生中随机抽取2人，求两人比赛成绩都为“优秀”的概率.

【答案】(1)360人

(2)

【分析】(1)将频率作为概率即可算出高一年级优秀人数；

(2)用枚举法求出基本事件的样本空间，再计算所求事件的种数，按照古典概型计算即可.

【详解】（1）由频数分布表可知，样本比赛成绩大于或等于160的学生有3+15=18人，    

所以估计该校高一年级学生比赛成绩为“优秀”的人数为1000×＝360人；

（2）设“两人比赛成绩都为‘优秀’”为事件M，    

记比赛成绩在的学生为A1，A2，比赛成绩在的学生为B1，B2，B3，    

则从这5个学生中随机抽取2人的样本空间Ω={（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）}，

M={（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）}，    

所以，由古典概型得P（M）；

综上，估计该校高一年级学生比赛成绩为“优秀”的人数为360，,两人比赛成绩都为优秀的概率为 .

20．在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了15个，乙同学猜对了8个．假设猜对每道灯谜都是等可能的，设事件为“任选一灯谜，甲猜对”，事件为“任选一灯谜，乙猜对”．

（1）任选一道灯谜，记事件为“恰有一个人猜对”，求事件发生的概率；

（2）任选一道灯谜，记事件为“甲、乙至少有一个人猜对”，求事件发生的概率．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由题意可得，，再根据即可求出结果；

（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为，根据即可求出结果．

【详解】解：（1）由题意可得，，

；

（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：

，

∴．

21．在△ABC中，已知，，．

(1)求a和c的值；

(2)求b的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理列方程，求得.

（2）先求得，然后利用余弦定理求得.

【详解】（1）由于，所以为锐角，所以，

由正弦定理得，

所以，

结合可得.

（2）

由余弦定理得.

22．请你回答以下问题：

(1)古典概型的特征有哪些？

(2)举出一个在日常生活中利用概率决策的例子．

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）根据古典概型的定义即可解答；

（2）举出生活中常见的实例即可.

【详解】（1）古典概型的特征有：

①有限性：样本空间的样本点只有有限个；

②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

（2）如天气预报，疾病筛查等.