2022-2023学年山东省烟台市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年山东省烟台市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若随机事件A，B互斥，且P(A)=0.6，P(B)=0.3，则P(A∪B)=( )
A. 0B. 0.18C. 0.6D. 0.9
2.下列几何元素可以确定唯一平面的是( )
A. 三个点B. 圆心和圆上两点C. 梯形的两条边D. 一个点和一条直线
3.若一水平放置的正方形的边长为2，则其用斜二测画法得到的直观图的面积是( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 4
4.某汽车生产厂家用比例分配的分层随机抽样方法从A，B，C三个城市中抽取若干汽车进行调查，各城市的汽车销售总数和抽取数量如表所示，则样本容量为( )
A. 60B. 80C. 100D. 120
5.在正四面体S−ABC中，D，E分别是SC，AB中点，则DE与BS所成角的大小为( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
6.甲、乙、丙三人破译一份密码，若三人各自独立破译出密码的概率为12，13，13，且他们是否破译出密码互不影响，则这份密码被破译出的概率为( )
A. 29B. 49C. 59D. 79
7.如图，圆锥PO的侧面展开图是半径为5、圆心角为6π5的扇形，过PO上一点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，相应圆柱的体积为( )
A. 3π2
B. 3π
C. 9π2
D. 6π
8.如图，一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，抛掷这个正八面体两次，记它与地面接触的面上的数字分别为x，y，则|x−y|≤2的概率为( )
A. 1132
B. 1332
C. 1532
D. 1732
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知m，n为空间中两条不同的直线，α，β，γ为空间中三个不同的平面，则( )
A. 若α⊥β，m⊥α，则m//β
B. 若m//α，m⊂β，α∩β=n，则m//n
C. 若m⊥α，n⊥β，m//n，则α//β
D. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，则m⊥γ
10.某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则( )
A. 该校高一学生总数为800
B. 该校高一学生中选考物化政组合的人数为96
C. 该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多
D. 用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取6人
11.一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异.从袋中随机摸球两次，每次摸出1个球，设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，则以下结论错误的有( )
A. 若摸球方式为有放回摸球，则A与B−互斥
B. 若摸球方式为有放回摸球，则A与B−相互独立
C. 若摸球方式为不放回摸球，则A与B−互斥
D. 若摸球方式为不放回摸球，则A与B−相互独立
12.在枝长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1中点，M，N，G，H分别是线段AB，C1D1，AC1，AD1上的动点，则( )
A. 存在点M，N，使得EN//MC1
B. 三棱锥C−MND的体积为定值
C. CG+GH的最小值为43
D. 直线CE与MF所成角的余弦值的取值范围为[0,25]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某学校高一男生、女生的人数之比为4：5，现采用比例分配的分层随机抽样方法抽取90人，若样本中男生的平均身高为171cm，女生的平均身高为160.2cm，则该校高一学生平均身高的估计值为______(单位：cm).
14.已知正四棱台上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为3，则此棱台的体积为______.
15.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“
”和阴爻“——”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有1个阳爻的概率是______.
16.边长为2的正三角形ABC中，D，E分别为AB，AC中点，将△ADE沿DE折起，使得AE⊥BD，则四棱锥A−BCED的体积为______，其外接球的表面积为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
某农场在两块面积相同的水稻试验田中分别种植甲、乙两种水稻，已知连续6季的产量如表：
现在该农场决定选择其中一种水稻进行推广种植，若你是农场经营者，你会如何选择？请使用统计学的有关知识进行说明.
18.(本小题12分)
如图，在三棱锥D−ABC中，DA⊥底面ABC，AB⊥BC.
(1)证明：平面CBD⊥平面DAB；
(2)若DA=AB=12BC，求直线CA与平面DBC所成角的正弦值.
19.(本小题12分)
某商场随机抽取了100名员工的月销售额x(单位：千元)，将x的所有取值分成[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30]五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中b=2a.
(1)求a，b的值；
(2)设这100名员工月销售额的第75百分位数为p.为调动员工的积极性，该商场基于每位员工的月销售额x制定如下奖励方案：当某员工的月销售额x不足5千元时，不予奖励；当x∈[5,p−7)时，其月奖励金额为0.3千元；当x∈[p−7,p+3)时，其月奖励金额为0.8千元；当x不低于(p+3)时，其月奖励金额为1.1千元.根据频率分布直方图，用样本频率近似概率，估计上述奖励方案下该商场一名员工的月奖励金额的平均值.
20.(本小题12分)
如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D是BC中点.
(1)证明：A1B//平面AC1D；
(2)若AB=2，AC1⊥A1B，求A1到平面AC1D的距离.
21.(本小题12分)
如图，在圆锥PO中，P为顶点，O为底面圆的圆心，A，B为底面圆周上的两个相异动点，且OA=3 3，PO=4.
(1)求△PAB面积的最大值；
(2)已知△ABC为圆O的内接正三角形，M为线段PO上一动点，若二面角B−MA−C的余弦值为−2531，试确定点M的位置.
22.(本小题12分)
已知甲、乙两个袋子中各装有形状、大小、质地完全相同的3个红球和3个黑球，现设计如下试验：从甲、乙两个袋子中各随机取出1个球，观察两球的颜色，若两球颜色不同，则将两球交换后放回袋子中，并继续上述摸球过程；若两球颜色相同，则停止取球，试验结束.
(1)求第1次摸球取出的两球颜色不同的概率；
(2)我们知道，当事件A与B相互独立时，有P(AB)=P(A)P(B).那么，当事件A与B不独立时，如何表示积事件AB的概率呢？某数学小组通过研究性学习发现如下命题：P(AB)=P(A)P(B|A)，其中P(B|A)表示事件A发生的条件下事件B发生的概率，且对于古典概型中的事件A，B，有P(B|A)=n(AB)n(A).依据上述发现，求“第2次摸球试验即结束”的概率.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：随机事件A，B互斥，且P(A)=0.6，P(B)=0.3，
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.3=0.9.
故选：D.
由互斥事件概率加法公式计算．
本题考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对A，三个不共线的点才能确定唯一平面，A错误；
对B，当圆上的两点和圆心共线时，三个点不能确定唯一平面，B错误；
对C，梯形的任意两条边都能确定梯形所在的平面，所以确定的平面唯一，C正确；
对D，当点在直线上时，这个点和直线不能确定唯一平面，D错误，
故选：C.
根据题意，由平面的确定方法分析选项，综合可得答案．
本题考查平面的基本性质，注意平面确定的条件，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为一水平放置的正方形的边长为2，且S直观图= 24S原图，
所以其直观图的面积是S直观图= 24×2×2= 2，
故选：A.
由S直观图= 24S原图求解．
本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由题可得，A，B，C三个城市的销售总数比为3：2：5，
所以3：2：5=m：20：n，所以m=30，n=50，
所以样本容量为100.
故选：C.
根据分层抽样的方法求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：取SA中点F，连结EF，DF，SE，CE，设正四面体S−ABC的棱长为2，
因为E，F分别是AB，SA中点，所以EF//BS，所以∠DEF或其补角是DE与BS所成角．
又ES=EC= 22−12= 3，D是SC中点，
在△ECS中，DE= EC2−DC2= ( 3)2−12= 2，
因为D，F分别是SC，SA中点，所以DF=12CA=1，又EF=12BS=1，
在△DFE中，由余弦定理可知cs∠DEF=DE2+EF2−DF22⋅DE⋅EF=2+1−12× 2×1= 22，
又0<∠DEF≤π2，所以∠DEF=π4.
故选：B.
设四面体棱长为2，取取SA中点F，连结EF，DF，利用三角形中位线性质作出异面直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可．
本题主要考查异面直线所成的角，考查运算求解能力，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意，设这份密码被破译出为事件A，
所以P(A−)=(1−12)×(1−13)×(1−13)=29，
所以P(A)=1−P(A−)=79，
故选：D.
根据题意，设这份密码被破译出为事件A，先由相互独立事件的概率公式求出P(A−)，进而计算可得答案．
本题考查相互独立事件的概率性质，涉及对立事件的概率性质，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：设圆锥PO的底面半径为r，母线长为l，
因为圆锥的侧面展开图是半径为5、圆心角为6π5的扇形，
所以圆锥的母线长为l=5，2πr=6π5×5，即r=3，
则PO= l2−r2= 52−32=4，
作出圆锥的轴截面如图所示：
设圆柱的底面半径为r1，高为x，0由题意可知r13=4−x4，可得r1=12−3x4，
则圆柱的侧面积S=2πr1x=3π2(−x2+4x)=3π2[−(x−2)2+4],x∈(0,4)，
所以当x=2,r1=32时，圆柱的侧面积取得最大值，
此时圆柱的体积为9π2.
故选：C.
先求出圆锥的半径和高，然后设出圆柱的底面半径和高，利用圆锥轴截面结合圆柱侧面积公式求得侧面积，利用二次函数的性质求得取得最值时圆柱的底面半径和高，代入圆柱体积公式即可求解．
本题考查圆柱的体积以及侧面积，考查函数思想以及运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：由题意可得，基本事件的总数为82=64，则事件“|x−y|≤2”包含的基本事件为：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,2)，
(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(5,7)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，(6,7)，
(6,8)，(7,5)，(7,6)，(7,7)，(7,8)，(8,6)，(8,7)，(8,8)共34个，
所以事件|x−y|≤2的概率P=3464=1732.
故选：D.
根据题意，分别求得基本事件的总数与满足要求的基本事件个数，即可得到结果．
本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A，若α⊥β，m⊥α，则m//β或m⊂β，故A不正确；
对于B，若m//α，m⊂β，α∩β=n，则m//n(线面平行的性质定理)，故B正确；
对于C，若m⊥α，m//n，所以n⊥α，又n⊥β且α，β是空间两个不同的平面，则α//β，故C正确；
对于D，α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，如下图，
设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内直线a与b外任取一点P，
在γ内作PA⊥a于A，作PB⊥b于B，
由平面与平面垂直的性质可得PA⊥α，则PA⊥m，PB⊥β，则PB⊥m，
可得m⊥γ，故D正确．
故选：BCD.
根据直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断可得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A，∵选科为政史地的人数为200人，占比为25%，
∴该校高一学生共有20025%=800人，A正确；
对于B，∵选科为物化生的人数为800×35%=280人，
∴选科为物化政的人数为800−200−280−1602=80，B错误；
对于C，∵选考历史的人数有200+160=360人，选考物理的人数有280+80+80=440人，
∴选考物理的人数比选考历史的人数多，C正确；
对于D，∵选科为生史地的学生人数占比为160800=0.2=20%，
∴采用分层抽样抽取20人，生史地组合应抽取20×20%=4人，D错误．
故选：AC.
根据政史地人数和占比可判断A；计算出物化生的人数后，可判断B；分别计算选考历史和物理的人数，可判断C；确定生史地组合人数占比后，根据分层抽样原则，可判断D.
本题主要考查了统计图的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：以x、y分别表示第1次、第2次摸球的编号，以(x,y)为一个基本事件．
对于AB选项，若摸球方式为有放回摸球，则所有的基本事件个数为42=16个，
事件A包含的基本事件有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)，共8种，
事件B−包含的基本事件有：(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)、(3,3)、(3,4)、(4,3)、(4,4)，共8种，
则事件AB−包含的基本事件有：(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)，则A∩B−≠⌀，
即A与B−不互斥，A错；
P(A)=P(B−)=816=12，P(AB−)=416=P(A)P(B−)，即A与B−相互独立，B对；
对于CD选项，若摸球方式为不放回摸球，则所有的基本事件有：(1,2)、(1,3)、(1,4)、
(2,1)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)，共12种，
事件A包含的基本事件有：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,3)、(2,4)，共6种，
事件B−包含的基本事件有：(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)、(3,4)、(4,3)，共6种，
事件AB−包含的基本事件有：(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)，共4种，
则A∩B−≠⌀，即A与B−不互斥，C错；
P(A)=P(B−)=612=12，P(AB−)=412=13≠P(A)P(B−)，即A与B−不相互独立，D错．
故选：ACD.
以x、y分别表示第1次、第2次摸球的编号，以(x,y)为一个基本事件，列举出所有的基本事件，以及事件A、B−、AB−所包含的基本事件，利用互斥事件以及独立事件的定义逐项判断，即可得出合适的选项．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了互斥事件和独立事件的定义，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：以D为原点，分别以DA、DC、DD1方向为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则D(0,0,0)，E(12,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，F(0,0,12)，
设M(1,a,0)，N(0,b,1)，设AH=tAD1(0≤t≤1)，则H(1−t,0,t)，
设AG=λAC1(0≤λ≤1)，则G(1−λ,λ,λ)，
对于选项A，EN=(−12,b,1)，MC1=(−1,1−a,1)，若EN//MC1，则EN//MC1，
所以−12−1=b1−a=11，矛盾，故不存在点M，N，使得EN//MC1，错误；
对于选项B，因为平面ABA1B1//平面CDD1C1，所以点M到平面CDD1C1的距离为正方体的棱长1，
又S△CND=12×1×1=12，所以VC−MND=VM−CND=13×12×1=16为定值，故B正确；
对于选项C，CG=(1−λ,λ−1,λ)，GH=(λ−t,−λ,t−λ)，
所以CG+GH=|CG|+|GH|= (1−λ)2+(λ−1)2+λ2+ (λ−t)2+(−λ)2+(t−λ)2
= 3λ2−4λ+2+ 3λ2−4tλ+2t2= 3[ (λ−23)2+(0+ 23)2+ (λ−23t)2+(0− 23t)2]，
记P(λ,0)，Q(23,− 23)，R(23t, 23t)，
因为 (λ−23)2+(0+ 23)2+ (λ−23t)2+(0− 23t)2表示点P到点Q与点R的距离之和，
由平面几何知识，当P、Q、R三点共线时距离和最小，
所以 (λ−23)2+(0+ 23)2+ (λ−23t)2+(0− 23t)2≥ (23t−23)2+( 23t+ 23)2= 23t2−49t+23，
又0≤t≤1，所以当t=13时， 23t2−49t+23有最小值为4 39，所以CG+GH的最小值为4 39× 3=43，故C正确；
对于选项D，设直线CE与MF所成的角为θ，又CE=(12,−1,0)，MF=(−1,−a,12)，
所以csθ=|csCE,MF|=|CE⋅MF||CE|⋅|MF|=|a−12| 52⋅ 54+a2=2 55 1−a+1a2+54，
令x=a+1∈[1,2]，则a+1a2+54=x(x−1)2+54=xx2−2x+94=1x+94x−2，
又f(x)=x+94x−2在[1,32]上单调递减，在[32,2]上单调递增，且f(32)=1，f(1)=54>f(2)=98，
所以1≤x+94x−2≤54，所以45≤a+1a2+54≤1，
所以0≤ 1−a+1a2+54≤ 55，所以0≤csθ≤25，
所以直线CE与MF所成角的余弦值的取值范围为[0,25]，故D正确．
故选：BCD.
建立空间直角坐标系，利用线线平行的坐标运算判断A；利用等体积法判断B；利用空间中两点距离公式表示距离，然后利用三点共线最小求解判断C；利用异面直线夹角的向量坐标公式求出余弦值函数，利用函数的性质求解范围判断D.
本题主要考查了利用空间向量证明线线平行，考查了利用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．
13.【答案】165
【解析】解：依题意，设样本中高一男生人数为4x，则样本中高一女生的人数为5x，
故4x+5x=90，解得x=10，则样本中高一男生人数为40，高一女生的人数为50，
所以样本中高一学生平均身高为40×171+50×160.290=165cm，
故而该校高一学生平均身高的估计值为165cm.
故答案为：165.
利用平均数的求法即可得解．
本题主要考查平均数的公式，属于基础题．
14.【答案】28 73
【解析】解：由题意可知此棱台的上、下底面对角线长2 2、4 2，
所以棱台的高h= 32−(4 2−2 22)2= 7，
所以棱台的体积V=13(4+ 4×16+16)× 7=28 73.
故答案为：28 73.
根据棱台的体积公式直接计算即可．
本题考查棱台的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】332
【解析】解：在所有重卦中随机取一重卦，
基本事件总数n=26=64，
该重卦恰有1个阳爻包含的基本个数m=C61=6，
则该重卦恰有1个阳爻的概率P=664=332.
故答案为：332.
基本事件总数n=26=64，该重卦恰有1个阳爻包含的基本个数m=C61=6，再利用古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了排列组合知识，是基础题．
16.【答案】 24 112π
【解析】解：取BC的中点G，DE的中点F，连AF，FG，EG，AG，
因为△ABC为边长为2的正三角形，D，E分别为AB，AC中点，所以DE//BG，DE=BG，
所以四边形DEGB为平行四边形，所以EG//BD，EG=BD=1，
又AE⊥BD，所以AE⊥EG，因为AE=EG=1，所以AG= 2，
又因为AF=FG= 32，所以cs∠AFG=( 32)2+( 32)2−( 2)22× 32× 32=−13，
因为DE⊥AF，DE⊥FG，AF∩FG=F，AF，FG⊂平面AFG，
所以DE⊥平面AFG，因为DE⊂平面BCED，所以平面AFG⊥平面BCED，
过A作AH⊥FG，垂足为H，则H在GF的延长线上，
因为AH⊂平面AFG，平面AFG∩平面BCED=FG，所以AH⊥平面BCED，
因为cs∠AFG=−13，所以cs∠AFH=13,sin∠AFH= 1−19=2 23，
AH=AF⋅sin∠AFH= 32×2 23= 63,SBCED=12(1+2)× 32=3 34，
所以VA−BCED=13AH⋅SBCED=13× 63×3 34= 24；
因为GB=GC=GD=GE=1，所以G为四边形BCED外接圆圆心，
设正三角形ADE外接圆圆心为M，四棱锥A−BCED的外接球球心为O，
则OG⊥平面BCED，OM⊥平面ADE，
所以OG⊥FG，OM⊥MF，则OF是四边形OGFM的外接圆直径，
因为MG= MF2+FG2−2MF⋅FG⋅cs∠MFG= (13× 32)2+( 32)2−2× 36× 32×(−13)=1，
所以由正弦定理得OF=MGsin∠MFG=12 23=3 24，
所以OE= OF2+EF2= (3 24)2+14= 224，
即四棱锥A−BCED的外接球半径为 224，
所以四棱锥A−BCED的外接球表面积为4π⋅( 224)2=112π.
故答案为： 24;112π.
作出四棱锥A−BCED的高，计算出高和底面积，可得体积，根据球的性质找到球心，求出半径可得表面积．
本题考查了四棱锥的体积和外接球的表面积计算，属于中档题．
17.【答案】解：设甲种水稻产量的平均值和方差分别为x1−，s12，
乙种水稻产量的平均值和方差分别为x2−，s22，由题中数据可得，
x1−=16×(550+580+570+570+550+600)=570，
x2−=16×(540+590+560+580+590+560)=570，
s12=16[(550−570)2+(580−570)2+(570−570)2+(570−570)2+(550−570)2+(600−570)2]=300，
s22=16[(540−570)2+(590−570)2+(560−570)2+(580−570)2+(590−570)2+(560−570)2]=10003=10003，
因为x1−=x2−，s12所以两种水稻产量的总体水平相同，但甲种水稻的产量较稳定，
所以应推广甲种水稻种植．
【解析】分别求出两种水稻的平均数与方差，再根据平均数与方差即可得出结论．
本题主要考查了平均数和方差的计算，属于基础题．
18.【答案】证明：(1)∵AD⊥面ABC，BC⊂面ABC，
∴BC⊥AD，
又∵BC⊥AB，AB∩AD=A，
∴BC⊥面ABD，
∵BC⊂面BCD，
∴得证CBD⊥面ABD.
解：(2)过点A做AE⊥BD于E，连接CE，如下图所示：
由(1)可知面CBD⊥面ABD，且面CBD∩面ABD=BD，AE⊂平面ABD，
∴AE⊥面DBC，
∴∠ACE即直线CA与平面DBC所成的角，
设BC=2，则DA=AB=1，
∵DA=AB=12BC，
∴易知AE= 22，AC= 5，
故sin∠ACE=AEAC= 1010，
即直线CA与面DBC所成角的正弦值为 1010.
【解析】(1)先证明BC⊥面ABD，再根据面面垂直的判定定理证明即可；
(2)过点A做AE⊥BD于E，连接CE，即可证明∠ACE即直线CA与平面DBC所成的角，进而求解即可．
本题主要考查面面垂直的判定定理和直线与平面所成的角，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由已知得(a+0.06+0.07+b+0.01)×5=1，
所以a+b=0.06，又因为b=2a，
所以a=0.02，b=0.04；
(2)由于(0.02+0.06+0.07)×5=0.75，所以员工月销售额的第75百分位数为20，
所以当x∈[5,13)时，奖励金额为0.3千元；
当x∈[13,23)时，奖励金额为0.8千元；
当x≥23时，奖励金额为1.1千元，
所以该商场一位员工的月奖励金额的平均值为：
(0.02×5+0.06×3)×0.3+(0.06×2+5×0.07+0.04×3)×0.8+(0.04×2+0.01×5)×1.1=0.699(千元).
【解析】(1)根据频率分布直方图中各小长方形面积和为1并结合b=2a即可求解；
(2)先求第75百分位数p，然后确定奖励方案，进而估算出月奖励金额的平均值．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数的计算，属于基础题．
20.【答案】解：(1)连接A1C，交AC1于点O，连接OD，
∵四边形ACC1A1为平行四边形，∴O为A1C中点，又D为BC中点，
∴DO//A1B，又A1B⊄平面AC1D，DO⊂平面AC1D，
∴A1B//平面AC1D；
(2)设A1A=b，A1到平面AC1D的距离为d，
∵AC1⊥A1B，DO//A1B，∴AC1⊥DO，又O为AC1中点，∴AD=DC1，
又△ABC为等边三角形，∴AD= 22−12= 3
∴DC1= b2+1= 3，解得b= 2，
∵VD−AA1C1=12VB−AA1C1=12×13×12×2× 2× 3= 66，
S△ADC1=12×OD×AC1=12× 62× 6=32，
∴VA1−AC1D=VD−AA1C1=13S△AC1D⋅d=12d= 66，解得d= 63，
即A1到平面AC1D的距离为 63.
【解析】(1)利用三角形中位线性质可得DO//A1B，由线面平行的判定可得结论；
(2)利用VD−AA1C1=VA1−AC1D可构造方程求得结果．
本题考查空间中线面平行及等体积法求点面距离，属中档题．
21.【答案】解：(1)取AB中点N，连接ON，PN.
设AB=2a，则2a∈(0,6 3],所以a∈(0,3 3],又OA=3 3，PO=4，
在直角△AON中，ON= 27−a2，
在直角△PON中，PN= 16+27−a2= 43−a2，
所以，S△PAB=12×2a× 43−a2=a⋅ 43−a2≤a2+43−a22=432，
当且仅当a2=43−a2，即a= 862∈(0,3 3]时，等号成立．
所以，△PAB面积的最大值为432.
(2)因为△ABC为圆O的内接正三角形，由正弦定理得：AB=2×3 3×sin60∘=9.
过点B作BQ⊥AM于点Q，连接CQ.因为△MAB≌△MAC，所以CQ⊥AM.
所以∠BQC即为二面角B−MA−C的平面角．
连接MN，设OM=t，t∈(0,4],在直角△AMO中，MA= t2+27，
在直角△NMO中，且ON= 27−(92)2，则MN= t2+274.
在△BMA中，S△BMA=12AB⋅MN=12AM⋅BQ，所以BQ=9 t2+274 t2+27.
在△BQC中，由余弦定理得：
cs∠BQC=BQ2+CQ2−BC22⋅BQ⋅CQ=−2531，
将BQ=CQ=9 t2+274 t2+27，BC=9代入上式，解得t=1.
所以点M为线段PO上靠近点O的四等分点．
【解析】(1)将△PAB面积表示出来，利用不等式求最值即可；(2)设OM=t，将AB，BQ表示出来，代入余弦定理，可得t值，确定等分点．
本题考查二面角，考查线面的位置关系，属于中档题．
22.【答案】解：(1)设甲袋中的三个红球为1，2，3，三个黑球为a，b，c，
乙袋中的三个红球为4，5，6，三个黑球为d，e，f，
设第1次摸球对应的样本空间为Ω1，则n(Ω1)=6×6=36，
设事件C=“第1次摸球取出的两球颜色不同”，
事件C={(1,d),(1,e),(1,f),(2,d),(2,e),(2,f),(3,d),(3,e),(3,f),(a,4),(a,5),
(a,6)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，(c,4)，(c,5)，(c,6)}，
所以n(C)=18，
所以p(C)=n(C)n(Ω1)=1836=12；
(2)设两次摸球试验的样本空间为Ω，则n(Ω)=36×36，
在样本空间Ω中，设事件A=“第1次摸球取出的两球颜色不同”，
事件B=“第2次摸球取出的两球颜色相同”，
由(1)知，第1次摸球取出的两球颜色不同共有18个可能的结果，
且每个可能的结果对应的“第2次摸球中从甲、乙两袋中各一个球”均有36种可能取法，
所以n(A)=18×36，
由(1)知，第1次摸球取出的两球颜色不同共有18个可能的结果，
不妨设第1次摸球中甲取出1、乙取出d(其余情况，同理可得)，
则第1次摸球结束后，甲袋中红球2个、黑球4个，乙袋中红球4个、黑球2个，
在接下来的第2次摸球中，当甲、乙两袋取出的球颜色相同时，
共有2×4+4×2=16种取法，
故n(AB)=18×16，
所以P(B|A)=n(AB)n(A)=18×1618×36=49，
因此P(AB)=P(A)P(B|A)=12×49=29.
【解析】(1)设甲袋中的三个红球为1，2，3，三个黑球为a，b，c，乙袋中的三个红球为4，5，6，三个黑球为d，e，f，利用列举法结合古典概型求解即可；
(2)设事件A=“第1次摸球取出的两球颜色不同”，事件B=“第2次摸球取出的两球颜色相同”，结合(1)分别求出n(A)，n(AB)，再根据题中所给公式计算即可．
本题主要考查条件概率公式，考查转化能力，属于中档题．城市
销售总数
抽取数量
A
420
m
B
280
20
C
700
n
品种
第1季
第2季
第3季
第4季
第5季
第6季
甲/kg
550
580
570
570
550
600
乙/kg
540
590
560
580
590
560